高中抛物线教案

九年级数学竞赛抛物线讲座。

九年级数学竞赛抛物线讲座
一般地说来，我们称函数(、、为常数，)为的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：
1．、、的符号决定抛物线的大致位置；
2．抛物线关于对称，抛物线开口方向、开口大小仅与相关，抛物线在顶点(，)处取得最值；
3．抛物线的解析式有下列三种形式：
①一般式：；
②顶点式：；
③交点式：，这里、是方程的两个实根．
确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．
注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有：
(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；
(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被轴所截得的弦长获得对称信息．
【例题求解】
【例1】二次函数的图象如图所示，则函数值时，对应的取值范围是．
思路点拨由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出，值，先求出时，对应的值．

【例2】已知抛物线(0)经过点(一1，0)，且满足．以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路点拨由条件大致确定抛物线的位置，进而判定、、的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．

【例3】如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN＝4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?
思路点拨恰当建立直角坐标系，易得出M、N及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A(，)，建立含的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．

注：把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．
【例4】二次函数的图象与轴交于A、两点(点A在点B左边)，与轴交于C点，且∠ACB＝90°．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设计两种方案：作一条与轴不重合，与△ABC两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积为△BOC面积的，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证明)．

思路点拨(1)A、B、C三点坐标可用m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．

注：解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键．
【例5】已知函数，其中自变量为正整数，也是正整数，求何值时，函数值最小．
思路点拨将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为，因，，故函数的最小值只可能在取，，时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．

学历训练
1．如图，若抛物线与四条直线、、、所围成的正方形有公共点，则的取值范围是．
2．抛物线与轴的正半轴交于A，B两点，与轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则的值为．
3．如图，抛物线的对称轴是直线，它与轴交于A、B两点，与轴交于点C，点A、C的坐标分别为(-l，0)、(0，)，则(1)抛物线对应的函数解析式为；(2)若点P为此抛物线上位于轴上方的一个动点，则△ABP面积的最大值为．
4．已知二次函数的图象如图所示，且OA＝OC，则由抛物线的特征写出如下含有、、三个字母的式子①，②，③，④，0，其中正确结论的序号是(把你认为正确的都填上)．
5．已知，点(，)，(，)，(，)都在函数的图象上，则()
A．B．C．D．

6．把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为，则有()
A．，B．，C．，c＝3D．，
7．二次函数的图象如图所示，则点(，)所在的直角坐标系是()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

8．周长是4m的矩形，它的面积S(m2)与一边长(m)的函数图象大致是()

9．阅读下面的文字后，回答问题：
“已知：二次函数的图象经过点A(0，)，B(1，-2)，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线．
题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说明理由．
(2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整．
10．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?

11．如图，抛物线和直线()与轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线的对称轴与轴相交于C点，且∠ABC＝90°，求抛物线的解析式．

12．抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，若△ABC是直角三角形，则．
13．如图，已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于．
14．已知二次函数，一次函数．若它们的图象对于任意的实数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为．
15．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系式中不能总成立的是()
A．b=0B．S△ADC＝c2C．ac＝一1D．a+c＝0
16．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线对称．
根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是()
A．过点(3，0)B．顶点是(2，一2)
C．在轴上截得的线段长为2D．与轴的交点是(0，3)
17．已知A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函数()的图象上两时，二次函数的值是()
A．B．C．2002D．5
18．某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润＝销售额一费用)．
19．如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与轴交于点C，直线：x＝m(m1)与轴交于点D．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)在直线x＝m(m1)上有一点P(点P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标(用含m的代数式表示)；
(3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形?如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．

20．已知二次函数及实数，求
(1)函数在一2x≤a的最小值；
(2)函数在a≤x≤a+2的最小值．
21．如图，在直角坐标：O中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，)，且在轴上截得的线段AB的长为6．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在轴上求作一点P(不写作法)使PA+PC最小，并求P点坐标；
(3)在轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

22．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上．
(1)请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式；
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由；
(3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊—一般”的思想，你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由．

参考答案

相关知识

九年级数学下册《抛物线形问题》教案

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，到写教案课件的时候了。我们制定教案课件工作计划，才能更好地安排接下来的工作！你们清楚教案课件的范文有哪些呢？下面是小编精心为您整理的“九年级数学下册《抛物线形问题》教案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

九年级数学下册《抛物线形问题》教案

教

学

目

标

知识技能

1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．

2．学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力．

数学思考

1.通过对实际问题的研究，体会建模的数学思想．

2．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会转化和数形结合的思想．

问题解决

通过问题的设计、解答，使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法，获得解决问题的经验．

情感态度

1.通过小组合作交流，提高合作意识，培养创新精神．

2．通过用二次函数的知识解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系，提高学习数学的兴趣，增强应用数学的意识.

教学

重点

探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法.

教学

难点

如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型．

授课

类型

新授课

课时

1

教具

多媒体

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

1.二次函数常见的表达式有哪几种？

2.用待定系数法求二次函数表达式，选择不同表达式的条件是什么？

3.二次函数的应用通常有哪些类型？

在已有知识的基础上提出新的问题，能为学生营造一个主动思考、探索的氛围，激发学生的学习兴趣.

活动

一：

创设

情境

导入

新课

问题1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

二次函数的应用--抛物线形问题教学设计杨光辉

根据问题中的图形为抛物线，由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答．

通过日常生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.

活动

二：

实践

探究

交流

新知

问题2

一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？

二次函数的应用--抛物线形问题教学设计杨光辉

学生合作解决问题

活动

二：

实践

探究

交流

新知

2.归纳总结

教师引导学生进行归纳总结：

建立适当的平面直角坐标系；

根据题意找出题目中的点的坐标；

求出抛物线所对应的函数表达式；

直接利用图象解决实际问题．

2.通过总结抛物线类型的实际问题的解题步骤，使学生明确问题的解答方法，思路清晰，明确了方向.

活动

三：

开放

训练

体现

应用

问题3，图中是抛物线形拱桥，当水面在L时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？

二次函数的应用--抛物线形问题教学设计杨光辉

激发学生的学习欲望和兴趣，让学生切实感受到数学就在身边的亲切感．让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移，并让学生体验数学的建模思想，增强应用意识.

活动三：应用新知，解决问题

问题4：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由

二次函数的应用--抛物线形问题教学设计杨光辉

二次函数的应用--抛物线形问题教学设计杨光辉练习：有一抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面的宽度是二次函数的应用--抛物线形问题教学设计杨光辉m，水位上升4m就达到警戒线CD，这时水面宽是二次函数的应用--抛物线形问题教学设计杨光辉米．若洪水到来时，水位以每小时0.5m速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M处．

通过抛物线与常见生活情景相联系的题目的展示，拓宽学生的视野，提高学生灵活运用知识的能力.

活动

四：

课堂

总结

反思

【课堂总结】

1．课堂总结：

(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获，有哪些进步．

(2)学完本节课后，你还存在哪些困惑？

2．布置作业：

教材P42的习题21.4.第4、5题

小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.

结识抛物线导学案

2.2结识抛物线

学习目标

1．能够作出函数y=x2的图象，通过对图像的观察得出二次函数性质。

2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同

知识回顾：

1．一次函数的表达式为图象为

2、反比例函数的表达式为图象为

3、二次函数的表达式为猜想一下它的图象是什么形状呢？

回顾一下，我们是怎样研究一次函数和反比例函数图象的？作图象的三步骤：、___、。

新知探究：

4、作二次函数的图象

(1)列表：

(2)描点：(右图)

(3)连线：（右图）

用光滑的曲线连接各点

5、观察二次函数的图象，回答下列问题：

(1)你能描述图象的形状吗？它像。

(2)图象与轴交点，交点坐标是。

(3)当＜0时，的值随着的增大而，

当＞0时，的值随着的增大而。

(4)当取值时，的值最小，最小值是。

(5)图象是轴对称图形吗？它的对称轴

是

6、小结归纳：二次函数的图象是一条，它的开口向，且关于轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的，它是图象的最点。

x－3－2－10123

y＝-x2

7、请在左边的直角坐标系中画二次函数y＝－x2的图象,比较这两个函数的图象，你能发现什么？

8、归纳总结，思维提升

1、函数与y＝-的图象的比较．

不同点：（1）开口方向，开口，y＝-开口．

（2）．函数值随自变量增大的变化趋势不同。

（3）．有最低点，y＝-有最高点．在中y有值，即x=0时．y最小＝0，在y＝-中y有值．即当x＝0时，y最大＝0．

相同点：（1）．图象都是．

（2）．图象都与x轴交于点()．

（3）．图象都关于对称．

联系：它们的图象关于对称．

9、完成下表

抛物线y=x

顶点坐标

对称轴

位置

开口方向

增减性

最值

巩固练习

10、填空：

（1）抛物线y＝3x2的对称轴是_______________，顶点坐标是____________，当x_________时，抛物线上的点都在x轴的上方；

（2）抛物线y＝－x2的开口向________，除了它的顶点，抛物线上的点都在x轴的_________方，它的顶点是图象的最___________点．

（3）二次函数的图象开口，当＞0时，随的增大而；当＜0时，随的增大而；当＝0时，函数有最值是。

11.抛物线不具有的性质是（）

A．开口向下；B．对称轴是轴；

C．当＞0时，随的增大而减小；D．函数有最小值

12、抛物线共有的性质是（）

A．开口方向相同B．开口大小相同

C．当＞0时，随的增大而增大D．对称轴相在函数

13、已知点A（－2，），B（4，）在二次函数的图象上，则.

14、不画图象，说出抛物线y＝－4x2和y＝x2的对称轴、顶点坐标和开口方向

课后反馈

1．函数y=x2的顶点坐标为．若点（a，4）在其图象上，则a的值是．

2、若点A（2，m）在抛物线y=-x2上，则点A关于y轴对称点的坐标是，它是否也在抛物线y=x2上。

3、关于函数y=x2图像的说法：①图像是一条抛物线；②开口向上；③是轴对称图形；④过原点；⑤对称轴是y轴；⑥y随x增大而增大；正确的有（）

A、3个B、4个C、5个D、6个

4、关于抛物线y=x2和y=-x2，下面说法不正确的是（）

A、顶点相同B、对称轴相同C、开口方向不相同D、都有最小值

5、直线y=-x+1与抛物线y=x2有（）

A、1个交点B、2个交点C、3个交点D、没有交点

6、抛物线y=x2的对称轴为（）

Ax轴By轴C直线y=xD以上都不对

7、设边长为xcm的正方形的面积为ycm2，y是x的二次函数，该函数的图象是下列各图形中（）

8、点(-2，y1)、(-1，y2)在抛物线y=-x2上则y1_____y2.

9、请作出的函数图像，并表示出该函数的顶点坐标、对称轴、最值以及增减性。

10.已知抛物线经过点A（1，－4），

求（1）函数的关系式；（2）＝4时的函数值(3)＝－8时的的值。

九年级数学竞赛走进追问求根公式讲座

形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．
求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．
【例题求解】
【例1】满足的整数n有个．

思路点拨从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程．

【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（）
A．一4B．8C．6D．0
思路点拨求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，．

【例3】解关于的方程．
思路点拨因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论．

【例4】设方程，求满足该方程的所有根之和．
思路点拨通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解．

【例5】已知实数、、、互不相等，且，试求的值．
思路点拨运用连等式，通过迭代把、、用的代数式表示，由解方程求得的值．

注：一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程（）直接作零值多项式代换；
(2)把方程（）变形为，代换后降次；
(3)把方程（）变形为或，代换后使之转化关系或整体地消去．
解合字母系数方程时，在未指明方程类型时，应分及两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如．

学历训练
1．已知、是实数，且，那么关于的方程的根为．
2．已知，那么代数式的值是．

3．若，，则的值为．

4．若两个方程和只有一个公共根，则()
A．B．C．D．
5．当分式有意义时，的取值范围是()
A．B．C．D．且
6．方程的实根的个数是()
A．0B．1C．2D．3
7．解下列关于的方程：
(1)；
(2)；(3)．
8．已知，求代数式的值．

9．是否存在某个实数m，使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．
注：解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口．
10．若，则＝．
11．已知、是有理数，方程有一个根是，则的值为．
12．已知是方程的一个正根。则代数式的值为．
13．对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于()
A．1n．2C．D．2．5
14．自然数满足，这样的的个数是()
A．2B．1C．3D．4
15．已知、都是负实数，且，那么的值是()
A．B．C．D．
16．已知，求的值．
20．如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中为不小于3的自然数．求证：需为无理数．

参考答案