九年级数学竞赛走进追问求根公式讲座。

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形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．
求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．
【例题求解】
【例1】满足的整数n有个．

思路点拨从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程．

【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（）
A．一4B．8C．6D．0
思路点拨求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，．

【例3】解关于的方程．
思路点拨因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论．

【例4】设方程，求满足该方程的所有根之和．
思路点拨通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解．

【例5】已知实数、、、互不相等，且，试求的值．
思路点拨运用连等式，通过迭代把、、用的代数式表示，由解方程求得的值．

注：一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程（）直接作零值多项式代换；
(2)把方程（）变形为，代换后降次；
(3)把方程（）变形为或，代换后使之转化关系或整体地消去．
解合字母系数方程时，在未指明方程类型时，应分及两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如．

学历训练
1．已知、是实数，且，那么关于的方程的根为．
2．已知，那么代数式的值是．

3．若，，则的值为．

4．若两个方程和只有一个公共根，则()
A．B．C．D．
5．当分式有意义时，的取值范围是()
A．B．C．D．且
6．方程的实根的个数是()
A．0B．1C．2D．3
7．解下列关于的方程：
(1)；
(2)；(3)．
8．已知，求代数式的值．

9．是否存在某个实数m，使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．
注：解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口．
10．若，则＝．
11．已知、是有理数，方程有一个根是，则的值为．
12．已知是方程的一个正根。则代数式的值为．
13．对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于()
A．1n．2C．D．2．5
14．自然数满足，这样的的个数是()
A．2B．1C．3D．4
15．已知、都是负实数，且，那么的值是()
A．B．C．D．
16．已知，求的值．
20．如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中为不小于3的自然数．求证：需为无理数．

参考答案

延伸阅读

九年级数学竞赛坐标平面上的直线讲座

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一般地，若(，是常数，)，则叫做的一次函数，它的图象是一条直线，函数解析式6中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性(随的变化情况)．如图所示：

一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系，任意一个一次函数都可看作是关于、的一个二元一次方程；任意一个关于、的二元一次方程，可化为形如()的函数形式．坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组．

【例题求解】

【例1】如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)，P为线段OC上一点，若过B、P两点的直线为，过A、P两点的直线为，且BP⊥AP，则=．

思路点拨解题的关键是求出P点坐标，只需运用几何知识建立OP的等式即可．

【例2】设直线(为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为(＝1，2，…2000)，则S1+S2+…+S2000的值为()

A．1B．C．D．

思路点拨求出直线与轴、轴交点坐标，从一般形式入手，把用含的代数式表示．

【例3】某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为分钟，Q1、Q2与之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：

(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?

(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1(吨)与时间(分钟)的函数关系式；

(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．

思路点拨对于(3)，解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量．

注：（1）当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点，一次函数当自变量取值受限制时，存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了．

（2）当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起，求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础．

【例4】如图，直线与轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P(，)，且△ABP的面积与△AABC的面积相等，求的值．

思路点拨利用S△ABP＝S△ABC建立含的方程，解题的关键是把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差．

注：解函数图象与面积结合的问题，关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标就建立了联系．

【例5】在直角坐标系中，有以A(一1，一1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)为顶点的正方形，设它在折线上侧部分的面积为S，试求S关于的函数关系式，并画出它们的图象．

思路点拨先画出符合题意的图形，然后对不确定折线及其中的字母的取值范围进行分类讨论，的取值决定了正方形在折线上侧部分的图形的形状．

注：我们把有自变量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号在内的一类函数称为绝对值函数．去掉绝对值符号，把绝对值函数化为分段函数，这是解绝对值的一般思路．

学历训练

1．一次函数的自变量的取值范围是-3≤≤6，相应函数值的取值范围是-5≤≤-2，则这个函数的解析式为．

2．已知，且，则关于自变量的一次函数的图象一定经过第象限．

3．一家小型放影厅的盈利额(元)与售票数之间的关系如图所示，其中超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元．试根据关系图回答下列问题：

(1)当售票数满足0≤150时，盈利额(元)与之间的函数关系式是．

(2)当售票数满足150x≤200时，盈利额(元)与之间的函数关系式是．

(3)当售票数为时，不赔不赚；当售票数满足时，放影厅要赔本；若放影厅要获得最大利润200元，此时售票数应为

(4)当售票数满足时，此时利润比＝150时多．

4．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4，BD＝6，P是BD上的任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F，设BP=，EF=，则能反映与之间关系的图象是()

5．下列图象中，不可能是关于的一次函数的图象是()

6．小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与卖瓜的千克数之间关系如图所示，那么小李赚了()

A．32元B．36元C．38元D．44元

7．某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量(微克)随时间(小时)的变化如图所示，当成人按规定剂量服用后．

(1)分别求出≤2和≥2时与之间的函数关系式；

(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长?

8．如图，正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系O中，使AB在轴的正半轴上，A点的坐标是(1，0)

(1)经过C点的直线与轴交于点E，求四边形AECD的面积；

(2)若直线经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线的方程，并在坐标系中画出直线．(2001年湖北省荆州市中考题)

9．如图，已知点A与B的坐标分别为(4，0)，(0，2)

(1)求直线AB的解析式．

(2)过点C(2，0)的直线(与轴不重合)与△AOB的另一边相交于点P，若截得的三角形与△AOB相似，求点P的坐标．

10．如图，直线与轴、y轴分别交于P、Q两点，把△POQ沿PQ翻折，点O落在R处，则点R的坐标是．

11．在直角坐标系O中，轴上的动点M（，0）到定点P(5，5)、Q(2，1)的距离分别为MP和MQ，那么，当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标为．

12．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝．

13．如果—条直线经过不同的三点A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直线经过()象限．

A．二、四B．—、三C．二、三、四D．一、三、四

14．一个一次函数的图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点(一l，—25)，则在线段AB(包括端点A、B)上，横、纵坐标都是整数的的点有（）

A．4个B．5个C．6个D．7个

15．点A(一4，0)，B(2，0)是坐标平面上两定点，C是的图象上的动点，则满足上述条件的直角△ABC可以画出()

A．1个B．2个C．3个D．4个

16．有—个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5分钟内只进不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到时间(分)与水量(升)之间的关系如下图．若20分钟后只出水不进水，求这时(即≥20)y与之间的函数关系式．

17．如图，△AOB为正三角形，点B坐标为(2，0)，过点C(一2，0)作直线交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等，求直线的函数解析式．

18．在直角坐标系中，有四个点A(一8，3)，B(一4，5)，C(0，)，D(，0)，当四边形ABCD的周长最短时，求的值．

19．转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染，该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关．现经过试验得到下列数据：

通过电流强度（单位A）11.71.92.12.4

氧化铁回收率（%）7579888778

如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁回收率．

（1）将试验所得数据在右图所给的直角坐标系中用点表示（注：该图中坐标轴的交点代表点（1，70）；

（2）用线段将题（1）所画的点从左到右顺次连接，若用此图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电流x的函数关系，试写出该函数在1.7≤x≤2.4时的表达式；

（3）利用题（2）所得函数关系，求氧化铁回收率大于85%时，该装置通过的电流应该控制的范围（精确到0.1A）．

20．如图，直线OC、BC的函数关系式分别为和，动点P(x，0)在OB上移动(03)，过点P作直线与轴垂直．

(1)求点C的坐标；

(2)设△OBC中位于直线左侧部分的面积为S，写出S与之间的函数关系式；

(3)在直角坐标系中画出(2)中的函数的图象；

(4)当为何值时，直线平分△OBC的面积?

参考答案

九年级数学竞赛由常量数学到变量数学讲座

数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期．
函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．
函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法．
在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题．
【例题求解】
【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为．(河南省竞赛题)
思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程．

注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：
(1)利用几何计算求；
(2)通过解析式求；
(3)解由解析式联立的方程组求．
【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是下列图象中的()
思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高．

注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．
【例3】南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：
运输工具途中速度(千米／时)途中费用(元／千米)装卸费用(元)装卸时间(小时)
飞机2001610002
火车100420004
汽车50810002
若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元/小时，记A、B两市间的距离为x千米．
(1)如果用Wl、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗)，求出Wl、W2、W3与小x间的函数关系式．
(2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?
(湖北省黄冈市中考题)
思路点拨每种运输工具总支出费用＝途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由Wl—W2＝0，W2一W3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式．
【例4】已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为(2，8)．
(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；
(2)写出A、B两点的坐标；
(3)设菱形ABCD的对角线交点为P．问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．(江苏省常州市中考题)

思路点拨(1)关键是探求点A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断∠COy与∠CAD的大小；(2)利用解直角三角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P与F只可能关于直线DC对称．

注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型．
【例5】如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点，若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的右侧作正方形PQMN，记PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．
(1)当AP＝3cm时，求的值；
(2)设AP=cm时，求y与x的函数关系式；
(3)当y=2cm2，试确定点P的位置．(2001年天津市中考题)
思路点拨对于(2)，由于点P的位置不同，y与x之间存在不同的函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求x值．

注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：
(1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论；
(2)确定自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法．

学力训练
1．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90°，有直角三角形与Rt△ABO全等且以AB为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标．
(贵州省中考题)
2．在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标)．(广西桂林市中考题)

3．根据指令(S≥0，0°A180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离S．现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴的正方向，(1)若给机器人下了一个指令，则机器人应移动到点；(2)请你给机器人下一个指令，使其移动到点(一5，5)．
(浙江省杭州市中考题)
4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴的夹角为60°，且点A的坐标为(一2，0)，点B在x轴上方，设AB＝，那么点B的横坐标为()
A．B．C．D．
(年南昌市中考题)

5．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程(米)与登山所用的时间(分钟的关系)(从爸爸开始登山时计时)，根据图象，下列说法错误的是()
A．爸爸登山时，小军已走了50米
B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面
C．小军比爸爸晚到山顶
D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟之后登山的速度比小军快
(江苏省淮安市中考题)
6．若函数的自变量的取值范围为一切实数，则的取值范围是()
A．mlB．m=1C．mlD．m≤1
7．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、点B(0，3)，若有一个直角三角形与Rt△ABO全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知顶点的坐标(不必写出计算过程)．
(常州市中考题)
8．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为，请写出与(表示第个图形)的函数关系式；
(2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时的值；
(3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖?
(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形?请通过计算说明为什么?
(吉林省中考题)
9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A(10，0)，B(0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，则该正方形内及边界上共有个整点(即纵横坐标都是整数的点)．(上海市初中数学竞赛题)

10．如图，已知边长为l的正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第一象限内，OA与轴的夹角为30°，那么点B的坐标是．
11．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1，0)，而后它接着按图所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在1989分钟后这个粒子所处位置为．
(美国高中数学考试题)
12．在直角坐标系中，已知A(1，1)，在轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有()
A．1个B．2个C．3个D．4个(2001年湖北赛区选拔赛题)

13．已知点P的坐标是(l，)，这里、是有理数，PA、PB分别是点P到轴和轴的垂线段，且矩形OAPB的面积为，则P点可能出现的象限有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个(江苏省竞赛题)
14．甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度Vl与V2(ViV2)，甲用一半的路程使用速度Vl、另一半的路程使用速度V2；关于甲乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有图中4个不同的图示分析．其中横轴表示时间，纵轴表示路程，其中正确的图示分析为()
A．图(1)B．图(1)或图(2)C．图(3)D．图(4)
(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)

15．依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月工资、薪金收入不超过800元，不需交税；超过800元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如下表：
级别全月应纳税所得额税率(％)
1不超过500元部分5
2超过500元至2000元部分10
3超过2000元至5000元部分15
……
(1)某公民2002年10月的总收人为1350元，问他应交税款多少元?
(2)设表示每月收入(单位：元)，表示应交税款(单位：元)，当1300x≤2800时，请写出关于的函数关系式；
(3)某企业高级职员2002年11月应交税款55元，问该月他的总收入是多少元?
(四川省竞赛题)
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上任意一点(A、B两点除外)，过D作AB垂线与△ABC的直角边相交于E，设AD=，△ADE的面积为，当点D在AB上移动时，求关于之间的函数关系式．

九年级数学竞赛直线与圆专题辅导讲座

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注：点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点．

【例题求解】

【例1】如图，AB是半圆O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为．

思路点拨从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半径．

注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用．

【例2】如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数是()

A．65°B．115°C．60°和115°D．130°和50°

(山西省中考题)

思路点拨略

【例3】如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是⊙O的切线．

问：(1)若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB为半径的圆的交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由；

(2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切?(2001年黑龙江省中考题)

【例4】如图，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点(与点A、B不重合)，Q是BC边上的动点(与点B、C不重合)．

(1)当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段PC的长；

(2)当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．(广州市中考题)

思路点拨对于(2)，易发现只有点P能作为直角顶点，建立一个研究的模型——以CQ为直径的圆与线段AB的交点就是符合要求的点P，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ的取值范围．

注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有：

(1)从直线与圆交点个数入手；

(2)利用角证明，即证明半径和直线垂直；

(3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径．

一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑；

【例5】如图，在正方形ABCD中，AB=1，︵AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作︵AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．

（1）当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；

（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图，当EF=时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．

(上海市中考题)

思路点拨图中有多条⊙B的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的基础，对于(3)，由(2)求出的值，确定E点位置，这是解题的关键．

注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互

助等思想方法，具有较强的选拔功能．

学力训练

1．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，若OA=，FM=，那么△PMB的周长为．(河北省中考题)

2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则

∠ACB=．

3．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠F=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是．(重庆市中考题)

4．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D，过点D作⊙O的切线交AC于E，要使DE⊥AC，则△ABC的边必须满足的条件是．

(武汉市中考题)

5．、表示直线，给出下列四个论断：①∥；②切⊙O于点A；③切⊙O于点B；④AB是⊙O的直径．若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为()

1B．2C．3D．4

(江苏镇江市中考题)

6．如图，圆心O在边长为的正方形ABCD的对角线BD上，⊙O过B点且与AD、DC边均相切，则⊙O的半径是()

A．B．C．D．

(广西玉林市中考题)

7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BCDC，若腰DC上有一点P，使AP⊥BP，则这样的点()

A．不存在B．只有一个C．只有两个D．有无数个

(大连市中考题)

8．如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC于P，DH⊥BH于H，下列结论：①CH=CP；②AD=DB；③AP＝BH；④DH为圆的切线，其中一定成立的是()

A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③

(武汉市中考题)

9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半径为1，

(1)求弦AC、AB的长；

(2)若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论．

10．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，且PC2=PEPO．

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)若OE：EA=1：2，且PA＝6，求⊙O的半径；

(3)求sin∠PCA的值．(长沙市中考题)

11．(1)如图a，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F(不与B重合)，直线交⊙O于C、D，交AB于E且与AF垂直，垂足为G，连AC、AD，求证：①∠BAD=∠CAG；②ACAD=AEAF．

(2)在问题(1)中，当直线向上平行移动与⊙O相切时，其他条件不变．

①请你在图b中画出变化后的图形，并对照图a标记字母；

②问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立，请给出证明；如不成立，请说明理由．

(辽宁省中考题)

12．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分别与AB、AC相切于点E、F，圆心O在BC上，若AB=a，AC=b，则⊙O的半径等于．

13．如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动(不与点M重合)，点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．

(1)当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明．

(2)当QP⊥AB时，△QCP的形状是三角形．

(3)由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是三角形．(吉林省中考题)

14．如图，已知AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若AB=3，ED=2，则BC的长为()

A．2B．3C．3．5D．4

15．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B切点，直线OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF为⊙O的直径，下列结论：(1)∠APB=∠AOP；(2)BC=DF；(3)PCPD=PEPO，其中正确结论的个数有()

A．3个B．2个C．1个D．0个

16．如图，已知△ABC，过点A作外接圆的切线交BC的延长线于点P，，点D在AC上，且，延长PD交AB于点E，则的值为()

A．B．C．D．

(太原市竞赛题)

17．如图，已知AB为半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线．在AB上任取一点C(点C与A、B不重合)，过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，垂足为E．连结BD，交CE于点F．

(1)当点C为AB的中点时(如图1)，求证：CF＝EF；

(2)当点C不是AB的中点时(如图2)，试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论．(苏州市中考题)

18．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D与AB切于点E．

(1)求证：△ADE∽△ABC；

(2)设⊙D与BC交于点F，当CF=2时，求CD的长；

(3)设CD=，试给出一个值，使⊙D与BC没有公共点，并说明你给出的值符合的要求．

(浙江省中考题)

19．如图，PA、PB与⊙O切于A、B两点，PC是任意一条割线，且交⊙O于点E、C，交AB于点D．求证：

(天津市选拔赛试题)

20．如图，⊙Oˊ与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心Oˊ的坐标是(1，一1)，半径是，

(1)求A、B、C、D四点的坐标；

(2)求经过点D的切线的解析式；

(3)问过点A的切线与过点D的切线是否垂直?若垂直，请写出

证明过程；若不垂直，试说明理由．

21．当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想?如图，设墙壁上的展品最高处点P距离地面a米，最低处点Q距离地面b米，观赏者的眼睛点E距离地面m米，当过P、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角∠PEQ最大，站在此处观赏最理想．

(1)设点E到墙壁的距离为x米，求a、b、m，x的关系式；

(2)当a=2.5，b=2，m=1.6时，求：

(a)点E和墙壁距离x米；(b)最大视角∠PER的度数(精确到1度)．

(常州市中考题)