《抛物线的性质》知识点总结。

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《抛物线的性质》知识点总结

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

6.抛物线与x轴交点个数

=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

以上就是xx教育网为大家带来的人教版初三数学抛物线的性质知识点归纳，希望大家能够熟练掌握这些知识点，这样考试的时候就能熟练运用，从而取得好的成绩。

相关知识

结识抛物线

§2.2结识抛物线
学习目标:
经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．掌握利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．能够作为二次函数y=－x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．[
学习重点:
利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，这是掌握二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很好的掌握，才会把二次函数学好．只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节．[来
学习难点:
函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质．
学习方法:[
探索——总结——运用法.
学习过程:
一、作二次函数y=x的图象。
二、议一议：
1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？
3.当x0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x0时呢？
4.当x取什么值时，y的值最小？
5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。
三、y=x的图象的性质：
三、例题：
【例1】求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．
【例2】已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
四、练习作业：小结：
教后记：

结识抛物线导学案

2.2结识抛物线

学习目标

1．能够作出函数y=x2的图象，通过对图像的观察得出二次函数性质。

2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同

知识回顾：

1．一次函数的表达式为图象为

2、反比例函数的表达式为图象为

3、二次函数的表达式为猜想一下它的图象是什么形状呢？

回顾一下，我们是怎样研究一次函数和反比例函数图象的？作图象的三步骤：、___、。

新知探究：

4、作二次函数的图象

(1)列表：

(2)描点：(右图)

(3)连线：（右图）

用光滑的曲线连接各点

5、观察二次函数的图象，回答下列问题：

(1)你能描述图象的形状吗？它像。

(2)图象与轴交点，交点坐标是。

(3)当＜0时，的值随着的增大而，

当＞0时，的值随着的增大而。

(4)当取值时，的值最小，最小值是。

(5)图象是轴对称图形吗？它的对称轴

是

6、小结归纳：二次函数的图象是一条，它的开口向，且关于轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的，它是图象的最点。

x－3－2－10123

y＝-x2

7、请在左边的直角坐标系中画二次函数y＝－x2的图象,比较这两个函数的图象，你能发现什么？

8、归纳总结，思维提升

1、函数与y＝-的图象的比较．

不同点：（1）开口方向，开口，y＝-开口．

（2）．函数值随自变量增大的变化趋势不同。

（3）．有最低点，y＝-有最高点．在中y有值，即x=0时．y最小＝0，在y＝-中y有值．即当x＝0时，y最大＝0．

相同点：（1）．图象都是．

（2）．图象都与x轴交于点()．

（3）．图象都关于对称．

联系：它们的图象关于对称．

9、完成下表

抛物线y=x

顶点坐标

对称轴

位置

开口方向

增减性

最值

巩固练习

10、填空：

（1）抛物线y＝3x2的对称轴是_______________，顶点坐标是____________，当x_________时，抛物线上的点都在x轴的上方；

（2）抛物线y＝－x2的开口向________，除了它的顶点，抛物线上的点都在x轴的_________方，它的顶点是图象的最___________点．

（3）二次函数的图象开口，当＞0时，随的增大而；当＜0时，随的增大而；当＝0时，函数有最值是。

11.抛物线不具有的性质是（）

A．开口向下；B．对称轴是轴；

C．当＞0时，随的增大而减小；D．函数有最小值

12、抛物线共有的性质是（）

A．开口方向相同B．开口大小相同

C．当＞0时，随的增大而增大D．对称轴相在函数

13、已知点A（－2，），B（4，）在二次函数的图象上，则.

14、不画图象，说出抛物线y＝－4x2和y＝x2的对称轴、顶点坐标和开口方向

课后反馈

1．函数y=x2的顶点坐标为．若点（a，4）在其图象上，则a的值是．

2、若点A（2，m）在抛物线y=-x2上，则点A关于y轴对称点的坐标是，它是否也在抛物线y=x2上。

3、关于函数y=x2图像的说法：①图像是一条抛物线；②开口向上；③是轴对称图形；④过原点；⑤对称轴是y轴；⑥y随x增大而增大；正确的有（）

A、3个B、4个C、5个D、6个

4、关于抛物线y=x2和y=-x2，下面说法不正确的是（）

A、顶点相同B、对称轴相同C、开口方向不相同D、都有最小值

5、直线y=-x+1与抛物线y=x2有（）

A、1个交点B、2个交点C、3个交点D、没有交点

6、抛物线y=x2的对称轴为（）

Ax轴By轴C直线y=xD以上都不对

7、设边长为xcm的正方形的面积为ycm2，y是x的二次函数，该函数的图象是下列各图形中（）

8、点(-2，y1)、(-1，y2)在抛物线y=-x2上则y1_____y2.

9、请作出的函数图像，并表示出该函数的顶点坐标、对称轴、最值以及增减性。

10.已知抛物线经过点A（1，－4），

求（1）函数的关系式；（2）＝4时的函数值(3)＝－8时的的值。

九年级数学竞赛抛物线讲座

九年级数学竞赛抛物线讲座
一般地说来，我们称函数(、、为常数，)为的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：
1．、、的符号决定抛物线的大致位置；
2．抛物线关于对称，抛物线开口方向、开口大小仅与相关，抛物线在顶点(，)处取得最值；
3．抛物线的解析式有下列三种形式：
①一般式：；
②顶点式：；
③交点式：，这里、是方程的两个实根．
确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．
注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有：
(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；
(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被轴所截得的弦长获得对称信息．
【例题求解】
【例1】二次函数的图象如图所示，则函数值时，对应的取值范围是．
思路点拨由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出，值，先求出时，对应的值．

【例2】已知抛物线(0)经过点(一1，0)，且满足．以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路点拨由条件大致确定抛物线的位置，进而判定、、的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．

【例3】如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN＝4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?
思路点拨恰当建立直角坐标系，易得出M、N及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A(，)，建立含的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．

注：把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．
【例4】二次函数的图象与轴交于A、两点(点A在点B左边)，与轴交于C点，且∠ACB＝90°．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设计两种方案：作一条与轴不重合，与△ABC两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积为△BOC面积的，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证明)．

思路点拨(1)A、B、C三点坐标可用m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．

注：解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键．
【例5】已知函数，其中自变量为正整数，也是正整数，求何值时，函数值最小．
思路点拨将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为，因，，故函数的最小值只可能在取，，时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．

学历训练
1．如图，若抛物线与四条直线、、、所围成的正方形有公共点，则的取值范围是．
2．抛物线与轴的正半轴交于A，B两点，与轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则的值为．
3．如图，抛物线的对称轴是直线，它与轴交于A、B两点，与轴交于点C，点A、C的坐标分别为(-l，0)、(0，)，则(1)抛物线对应的函数解析式为；(2)若点P为此抛物线上位于轴上方的一个动点，则△ABP面积的最大值为．
4．已知二次函数的图象如图所示，且OA＝OC，则由抛物线的特征写出如下含有、、三个字母的式子①，②，③，④，0，其中正确结论的序号是(把你认为正确的都填上)．
5．已知，点(，)，(，)，(，)都在函数的图象上，则()
A．B．C．D．

6．把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为，则有()
A．，B．，C．，c＝3D．，
7．二次函数的图象如图所示，则点(，)所在的直角坐标系是()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

8．周长是4m的矩形，它的面积S(m2)与一边长(m)的函数图象大致是()

9．阅读下面的文字后，回答问题：
“已知：二次函数的图象经过点A(0，)，B(1，-2)，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线．
题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说明理由．
(2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整．
10．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?

11．如图，抛物线和直线()与轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线的对称轴与轴相交于C点，且∠ABC＝90°，求抛物线的解析式．

12．抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，若△ABC是直角三角形，则．
13．如图，已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于．
14．已知二次函数，一次函数．若它们的图象对于任意的实数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为．
15．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系式中不能总成立的是()
A．b=0B．S△ADC＝c2C．ac＝一1D．a+c＝0
16．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线对称．
根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是()
A．过点(3，0)B．顶点是(2，一2)
C．在轴上截得的线段长为2D．与轴的交点是(0，3)
17．已知A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函数()的图象上两时，二次函数的值是()
A．B．C．2002D．5
18．某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润＝销售额一费用)．
19．如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与轴交于点C，直线：x＝m(m1)与轴交于点D．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)在直线x＝m(m1)上有一点P(点P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标(用含m的代数式表示)；
(3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形?如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．

20．已知二次函数及实数，求
(1)函数在一2x≤a的最小值；
(2)函数在a≤x≤a+2的最小值．
21．如图，在直角坐标：O中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，)，且在轴上截得的线段AB的长为6．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在轴上求作一点P(不写作法)使PA+PC最小，并求P点坐标；
(3)在轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

22．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上．
(1)请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式；
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由；
(3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊—一般”的思想，你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由．

参考答案