抛物线及其标准方程教案。

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。高中教案的内容要写些什么更好呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《抛物线及其标准方程教案》，仅供参考，欢迎大家阅读。

设计说明:学生在初中学习二次函数时知道二次函数的图象是一个抛物线,在物理的学习中也接触过抛物线(物体的运动轨迹)。因而对抛物线的认识比对前面学习的两种圆锥曲线椭圆和双曲线更多。所以学生学起来会轻松。但是要注意的是,现在所学的抛物线是方程的曲线而不是函数的图象。本节内容是在学习了椭圆和双曲线的基础上,利用圆锥曲线的第二定义统一进行展开的,因而对于抛物线的系统学习具有双重的目标性。
抛物线作为点的轨迹,其标准方程的推导过程充满了辨证法,处处是数与形之间的对照和相互转化。而要得到抛物线的标准方程,必须建立适当的坐标系,还要依赖焦点和准线的相互位置关系,这是抛物线标准方程有四种而不象椭圆和双曲线只有两种形式。因而抛物线的标准方程的推导也是培养辨证唯物主义观点的好素材。
利用圆锥曲线第二定义通过类比方法,引导学生观察和对比,启发学生猜想与概括,利用建立坐标系求出抛物线的四种标准方程,让每一个学生都能动手,动口,动脑参与教学过程,真正贯彻“教师为主导,学生为主体”的教学思想。对于标准方程中的参数及其几何意义,焦点坐标和准线方程与的关系是本节课的重点内容,必须让学生掌握如何根据标准方程求、焦点坐标、准线方程或根据后三者求抛物线的标准方程。特别对于一些有关距离的问题,要能灵活运用抛物线的定义给予解决。
当前素质教育的主流是培养学生的能力,让学生学会学习。本节课采用学生通过探索、观察、对比分析,自己发现结论的学习方法,培养了学生逻辑思维能力,动手实践能力以及探索的精神。

扩展阅读

§2.3.1抛物线及其标准方程

§2.3.1抛物线及其标准方程
【学情分析】：
学生已经学习过椭圆和双曲线，掌握了椭圆和双曲线的定义。经历了根据椭圆和双曲线的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。
【教学目标】：
（1）知识与技能：
掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步掌握求抛物线标准方程的方法。
（2）过程与方法：
在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。
（3）情感、态度与价值观：
培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。
【教学重点】：
抛物线的定义和抛物线的标准方程。
【教学难点】：
（1）抛物线标准方程的推导；
（2）利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
【课前准备】：
Powerpoint或投影片
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图

一、复习引入抛物线的定义

1.椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（）的点的轨迹.

2．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（）的点的轨迹.

3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e1时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？

抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。
二、建立抛物线的标准方程如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．
设,则焦点F的坐标为（，0），准线的方程为．
设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．
由抛物线的定义，抛物线就是点的集合
．
∵；d=．
∴．
化简得：．

注：叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴，坐标是，准线方程是．

探究：
抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。

根据抛物线的定义，让学生逐步填空，推出抛物线的标准方程。

通过填空，让学生牢固掌握抛物线的标准方程。
三、例题讲解例1求适合下列条件的抛物线的标准方程
(1)过点(-3,2)；(2)焦点在直线x-2y-4=0。
分析：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式。
解：（1）设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p0),则将点(-3,2)方程得或。
∴所求的抛物线方程为
（2）令ｘ＝０，由方程x-2y-4=0的ｙ=-2.
∴抛物线的焦点为F(0,-2).
设抛物线方程为x2=2py。则由得,
∴所求的抛物线方程为x2=-8y
或令y=0由x-2y-4=0得x=4,
∴抛物线焦点为Ｆ(4,0).
设抛物线方程为y2=2px。则由得,
∴所求的抛物线方程为y2=16x
注意：本题是用待定系数法来解的，要注意解题方法与技巧。

例2已知抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程。(1)y2=6x；(2)y=ax2.
分析：先写成标准方程，再求焦点坐标和准线方程。
解：（1）由抛物线方程得焦点坐标为,准线方程是
（2）将抛物线方程化为标准方程，则焦点坐标为，准线方程为
例3已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。
分析：解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5，列出关于m、p的方程组，解关于m、p的方程组；其二利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，直接得p的关系式，求出p的值。为了让学生熟悉抛物线标准方程而设置的。
解：（方法一）设抛物线方程为y2=-2px(p0),则焦点，由题设可得，解之得或.故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为
（方法二）由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为5，∵M的坐标为（-3，m），∴,∴p=4，故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为

四、巩固练习1．选择：
⑴若抛物线y2=2px(p0)上横坐标为-6的点到焦点
的距离是10,则焦点到准线的距离是(B)
A、4B、8C、16D、32
⑵过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于(B)
A.10B.8C.6D.4
⑶已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点。当最小时，M点的坐标是(C)
A.B.C.D.

2．填空：
⑴抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是；
⑵抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a），则点M到准线的距离是_a_，点M的横坐标是．

四、巩固练习
3．(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．
线的标准方程是x2=－8y．

4．已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。
分析：根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线。
又由焦点位置可得，所求的点的轨迹方程是抛物线的标准方程。
解：如图8-20所示，设点M的坐标为M(x,y),则由已知条件得“点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1”，就是“点M与点F（4，0）的距离等于它到直线L：x+4=0的距离”，根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点M，直线x+4=0为准线的抛物线，且
∴所求的抛物线方程为y2=16x.围绕抛物线标准方程练习，让学生熟练掌握抛物线的定义和标准方程。
五、课后练习1.(浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝(B)
(A)(B)(C)(D)1
2.（上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（B）
(A)有且仅有一条(B)有且仅有两条
(C)有无穷多条(D)不存在
3.抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为(D)
(A)2(B)3(C)4(D)5
4.（江苏卷）抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(B)
(A)(B)(C)(D)0
5．求经过点A（2，－3）的抛物线的标准方程：
分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况
解：经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：
y2＝2px或x2＝－2py．（如图）
点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
∴所求抛物线的标准方程是
y2＝x或x2＝－y

6.点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．
分析：画出示意图2-14可知原条件M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．所求方程是y2＝16x．

根据学生情况分层布置作业。

练习与测试：（说明：题目6个（以上）——其中基础题4个，难题2个；每个题目应该附有详细解答）
1．选择题
（1）已知抛物线方程为y＝ax2（a＞0），则其准线方程为（D）
(A)
(B)
(C)
(D)

（2）抛物线（m≠0）的焦点坐标是（B）
(A)（0，）或（0，）
(B)（0，）

(C)（0，）或（0，）
(D)（0，）

（3）焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程是（C）
(A)y2＝16x或x2＝16y(B)y2＝16x或x2＝12y
(C)x2＝－12y或y2＝16x(D)x2＝16y或y2＝－12x

2．根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）过点（－3，4）
（2）过焦点且与x轴垂直的弦长是16
解：（1）或
（2）y2＝±16x

3．点M到点（0，8）的距离比它到直线y＝－7的距离大1，求M点的轨迹方程．
解：x2＝32y

4．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
分析：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求。
解：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，
则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，
则动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2=-12y。
变题：（1）已知动圆M与y轴相切，且与定圆C:x2+y2=2ax(a0)外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
（2）已知动圆M与y轴相切，且与定圆C:x2+y2=2ax(a0)相切，求动圆圆心M的轨迹方程。
解：（1）当x0时，y=0；当x≥0时，y2=4ax。
（2）本题可分外切时，当x0时，y=0；当x≥0时，y2=4ax。内切时当x≥0时，y=0(x≠a);当x0时，y2=4ax。

抛物线及其标准方程导学案

课前预习案
班级姓名组别层次日期

2．2．1抛物线及其标准方程（一）
教学目的：
1．使学生掌握抛物线的定义，标准方程及其推导过程；
2．根据定义画出抛物线的草图
3．使学生能熟练地运用坐标，进一步提高学生“应用数学”的水平
教学重点：抛物线的定义
教学难点：抛物线标准方程的不同形式
学法指导：自主高效的预习，能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养同学们的抽象概括能力和逻辑思维能力

预习内容：
温故迎新：
1.二次函数的一般形式是什么？它有几种形式？

2二次函数的图像如何？：

动手操作把一根直尺固定在图板上直线L位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角标顶点C的长（即点A到直线L的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线
感受新知：阅读p33-34;
1如何理解抛物线的定义？

2.感受抛物线标准方程的推导过程

3观察图2-13如何用数学语言加以描述？

4.二次函数与本节研究抛物线有什么样的关系？
课堂探究案
探究点一：抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
探究点二：推导抛物线的标准方程：
如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=（0）,那么焦点F的坐标为，准线的方程为，
设抛物线上的点M（x,y），则有
化简方程得
方程叫做抛物线的标准方程
（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是
（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下
如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=（0），则抛物线的标准方程如下：

(1),焦点:，准线：
(2),焦点:，准线：
(3),焦点:，准线：
(4),焦点:，准线：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即
不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为（2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号
点评：（1）建立坐标系是坐标法的思想基础，但不同的建立方式使所得的方程繁简不同，布置学生自己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、自学能力，提高教学效果，进一步明确抛物线上的点的几何意义
（2）猜想是数学问题解决中的一类重要方法，请同学们根据推导出的（1）的标准方程猜想其它几个结论，非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能力，帮助他们形成良好的直觉思维—数学思维的一种基本形式另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式，也比老师直接写出这些方程给学生带来的理解和记忆的效果更好
（3）对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的归纳小结，让学生通过对比分析全面深刻地理解和掌握它们
探究点三：
p34例1
课堂检测案
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y2＝8x（2）x2＝4y（3）2y2＋3x＝0（4）

2．根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）焦点是F（－2，0）
（2）准线方程是
（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上
（4）经过点A（6，－2）
3．抛物线x2＝4y上的点p到焦点的距离是10，求p点坐标

课后作业案
课外练习：p35练习1，2，3，4
正式作业：p37习题2-2A组2，3
补充作业：
1（1）已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程
2.已知抛物线的标准方程是（1）y2＝12x，（2）y＝12x2，求它的焦点坐标和准线方程．
3求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是F（－5，0）
（2）经过点A（2，－3）

《抛物线及其标准方程》导学案

2.1抛物线及其标准方程(1)
授课
时间第周星期第节课型讲授新课主备课人徐春妮
学习
目标掌握抛物线的定义、图像和标准方程
重点难点重难点是抛物线的标准方程的推导
学习
过程
与方
法自主学习：
阅读P70页一、抛物线的定义
画抛物线的方法？
你能从画法中归纳出抛物线的定义吗?
定义有何限制？
这个定点和定直线叫作抛物线的什么？

阅读P70页二、抛物线的标准方程，回答下列问题
①根据抛物线的定义，如何建立坐标系，求其标准方程？
②抛物线的定义和椭圆的定义有什么不同？

③阅读图3-13，方程中的P指图中那条线段的长？焦点的横坐标
和准线方程有什么关系？
④自己推导抛物线的方程

精讲互动：
⑴阅读例一，例二，想一想知道焦点的坐标，或准线方程为什么可求标准方程
⑵P72页的《思考交流》你自己完成？

达标训练：
完成P72页练习

作业
布置
学习小结/教学
反思
2.1抛物线及其标准方程（2）
授课
时间第周星期第节课型讲授新课主备课人徐春妮
学习
目标①回忆抛物线的定义及标准方程
②抛物线的定义及标准方程中，的几何意义是什么
重点难点①对函数的几何意义的理解
②抛物线的定义及标准方程在实际生活中的应用
学习
过程
与方
法自主学习：
阅读P72页，回答以下问题
①函数上的点满足什么条件？

②文中“某定点”，“某直线”指什么点和线？

③如何找到这个点和线？点线距离和点点距离的计算公式有啥区别？

④对要进行怎样变形？变形的手段是什么？

阅读P73页思考交流，回答提出的问题.
想一想，例3还有哪些方法可解？

“车能安全通过隧道”集装箱应在什么位置？判断的依据是什么？
如何建立坐标系求抛物线方程？

精讲互动：

达标训练：
P76习题3-2A组4

作业
布置
学习小结/教学
反思

抛物线及其标准方程的教学案例2

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师更好的完成实现教学目标。怎么才能让教案写的更加全面呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“抛物线及其标准方程的教学案例2”，相信能对大家有所帮助。

本节课的教学设计
本节教材是在学生学习了椭圆、双曲线之后,因此在教学中,要时时注意与前两种曲线进行对比,求曲线方程的步骤、建系方法都是学生已经理解和掌握了的,我充分调动学生已有的知识,引导学生把新旧知识有机融合,掌握知识的系统结构。
一、教学理念
在“以学生发展为核心”的理念下,不仅要关注学生“学会”知识,而且还要特别关
注学生“会学”知识。本节课在实验的基础上,以问题为核心,创设情景,通过教师适时的引导,生生间、师生间的交流互动,启迪学生的思维,使学生通过自己的分析、反思、纠正,不断完善并形成抛物线的概念,推导抛物线的方程,建构自己的知识体系,提高获取知识的能力,尝试合作学习的快乐,体验成功的喜悦。在这一过程中,教师只是一名组织者,引导者,促进者。
二、教学方法
为了充分调动学生的积极性,使学生变被动学习为主动学习,我采用了“引导探究”
式的教学模式,在课堂教学过程中,我始终贯彻“教师为主导,学生为主体,探究为主线,思维为核心”的教学思想,通过引导学生实验、观察、比较、分析和概括,使学生充分地动手、动口、动脑,参与教学的全过程。
三、教学手段
直尺—三角板教具在本节课的概念形成过程中起到非常重要的作用,为学生的自主探
究活动提供了实物载体,相关的实验材料可向学生预先布置,做好准备,计算机为教师进行教学演示和学生的观察提供了平台,二者有机结合,协调发挥作用,使课堂更加紧凑有序。
四、教学设计
为了突破本节课的难点——抛物线概念的形成,我注重与同学们所熟知的二次函数对比,通过变换坐标系的建立,一方面强化学生求曲线方程的基本功,另一方面与二次函数联系起来,使学生有一种“顿悟”的感觉。在每个阶段的教学中精心设计问题情景,为学生自主探究和发现创造条件。