九年级数学下29.1.2正投影学案(人教版)。

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29.1.2正投影学案
一、新课导入
1.课题导入
下图表示一块三角尺在光线照射下形成的投影，其中哪个是平行投影？哪个是中心投影?图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?
像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
这节课我们研究正投影.（板书课题）
2.学习目标
(1)知道什么是正投影.
(2)能画出简单物体的正投影.
3.学习重、难点
重点：正投影的概念及性质.
难点：正确画出简单物体的正投影.
二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导
（1）自学内容：教材P88~P90归纳.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：观察、归纳.
（4）探究提纲：
①投影线
垂直于
投影面产生的投影叫做正投影.
②如图所示：
当AB平行于投影面P时，AB=A1B1；
当AB倾斜于投影面P时，AB＞A2B2；
当AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.
③如图所示：
当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小一样；
当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小不完全一样；
当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为一条线段.
④物体的正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：观察学生探究提纲的完成情况和是否理解正投影的性质.
②差异指导：根据学情进行相应指导，条件许可时，还可通过实验验证.
（2）生助生：小组相互交流、研讨.
4.强化：正投影的性质.

第二层次学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P90~P92.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：仔细阅读例题的分析和解题过程，体会画正投影的操作要点.
（4）自学参考提纲：
①教材P90例题第（1）问中，面ABCD和与它平行的面的正投影重合，是正方形A′B′C′D′，其余四个面都与投影面垂直，所以它们的正投影分别是线段A′B′,B′C′,C′D′,A′D′.
②例题第（2）问中，面ABCD和面CDEH的正投影重合，是矩形A′B′C′D′，面ABGF和面GHEF的正投影重合，是矩形A′B′G′F′，面ADEF的正投影是线段D′F′，面BCHG的正投影是线段C′G′；棱AB和棱HE的正投影重合，是线段A′B′，棱GF的正投影是线段G′F′，棱CD的正投影是线段C′D′
③如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影.
2.自学：学生参考自学参考提纲进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：观察学生能否画出简单物体的正投影.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：物体正投影的画法.
三、评价
1.学生学习的自我评价：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习方法、效果和存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时是在上一课时的基础上进一步学习投影的有关知识.教学时要注意让学生自己动手操作，学生在经历观察、探究、思考、归纳的过程中，掌握正投影的特征.教师在教学过程中应注意让学生在实际操作中发现问题，教师对于学生的疑问要进行收集并及时解答，另外还要充分提升学生的空间想象力.

作业评价
一、基础巩固（70分）
1.(10分)如图，投影线的方向如箭头所示，则图中圆柱体的投影是（B）
A.圆B.矩形
C.梯形D.圆柱
2.(10分)一条线段在阳光下的投影可能是（D）
①线段②射线③直线④点
A.①③B.②③C.①②D.①④
3.(10分)三角形的正投影是（D）
A.三角形B.线段C.直线或三角形D.线段或三角形
4.(10分)当棱长为20cm正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（C）
A.20cm2B.300cm2C.400cm2D.600cm2
5.(10分)有一个窗户是田字形，阳光倾斜的照进窗户，地面便现出它的影子，你认为可能为窗户的影子的是（D）
①②③④
A.④B.②④C.①②D.①③
6.(20分)水平面上放置的球、正三棱锥、竖直放置的圆锥和水平放置的圆柱在水平面上的正投影分别是圆、正三角形、圆、矩形.
二、综合应用（20分）
7.(10分)如图是由上到下的光线照射一个正五棱柱的正投影，请你指出这时正五棱柱的各个面的正投影分别是什么.
解：上下表面的正投影相同，是正五边形；五个侧面的正投影相同，是一条线段.
8.(10分)一个圆锥的轴截面平行于投影面，它的正投影是边长为3的等边三角形.求圆锥的体积和表面积.
解：圆锥的体积：；
圆锥的表面积：.
三、拓展延伸（10分）
9.(10分)画出如图摆放的正六棱柱的正投影：
（1）投影线由物体前方照射到后方；
（2）投影线由物体左方照射到右方；
（3）投影线由物体下方照射到上方.
解：

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九年级数学下3.1投影教案（湘教版）

湘教版九年级数学下册第3章《投影与视图》§3.1教案
§3.1投影
第1课时平行投影与中心投影
教学目标：
【知识与技能】
1.了解投影、投影线、投影面的概念，掌握平行投影和中心投影的概念及性质.
2.能够确定物体在平行光线和点光源发出的光线在某一平面上的投影.
【过程与方法】
经过观察、想象，体会中心投影与平行投影之间的区别.
【情感态度】
1.积极参与探索，总结，与同伴交流，勇于解决问题.
2.通过了解，感受我国古代灿烂的文化，并会用数学的眼光观察世界.
【教学重点】
平行投影、中心投影的含义及其特征.
【教学难点】
平行投影与中心投影的区别及判断方法.
教学过程：
一、情境导入，初步认识
媒体展示:①物体在日光或灯光的照射下，在墙壁或地面形成影子；②皮影戏；③灯光下，做不同的手势形成各种各样的手影.(可让学生参与现场表演，激发学生求知欲)
二、思考探究，获取新知
1.投影及平行投影的概念阅读教材P95，了解投影的定义及平行投影的定义.
(1)投影的定义:光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫投影线，投影所在的平面叫投影面.
(2)平行投影的定义:由平行光线形成的投影.如物体在太阳光的照射下形成影子.
【教学说明】平行投影的特征:同一物体在不同时刻太阳光下影子的方向和长短是不一样的.一般上午的影子由西→西北→北变化，影子越来越短，下午的影子由北→东北→东变化，影子越来越长.
例1如图，有两根木棒AB，CD在同一平面上竖着，其中AB这根木棒在太阳光下的影子为BE，请画出CD的影子DF，并说明你是怎样画的.
【分析】因为是太阳光下的影子，所以光线应是平行的，木棒的顶端A与影子E的连线AE即为太阳光线.
解:过点C作CF∥AE，交BD所在的直线于F，则DF就是所求的CD的影子，如图所示.2.中心投影中心投影的定义:探照灯，路灯或台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影.
【教学说明】①中心投影会改变物体的形状和大小.我们前面学过的位似图就是中心投影.
②中心投影的点光源，物体边缘上的点及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两点，就可以求出第三个点位置.
例2如图，垂直于地面的两根木杆AB，CD在同一路灯下的影子分别是BE，DF，试画出路灯灯泡的位置.
【分析】因为路灯发出的光线均从一点(即灯泡)出发，故光线AE，CF的交点即为灯泡所在位置.
解:连接EA，FC并延长，交点为P，则点P是灯泡的位置.
三、运用新知，深化理解
1.晚上小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影()
A.变长B.变短C.先变长后变短D.先变短后变长
2.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（）
A.越来越小B.越来越大C.大小不变D.不能确定
3.在一个晴朗的白天里，小亮在向正北方向走路时，发现自己的身影向左偏，你知道当时所处的时间是（）
A.上午B.中午C.下午D.无法确定
4.从早上太阳升起的某一时刻开始到晚上，操场上旗杆在地面上的影子变化规律是（）
A.先变长，后变短B.先变短，后变长
C.方向改变，长短不变D.以上都不正确
5.在同一时刻，身高为1.6米的小强的影长是1.2米，旗杆的影长是15米，则旗杆高为_______.
【教学说明】学生自主完成加深对新知的理解.
【答案】1.D2.A3.A4.B5.20米
四、师生互动，课堂小结
1.本堂课主要学习了投影、平行投影、中心投影的有关概念，初步认识了平行投影和中心投影的特征，通过例题和练习掌握了平行投影的简单应用.
2.本堂课你学到了什么，还有什么疑惑和同学们交流一下.
课堂作业：
1.教材P99第2、3题.
2.完成《学法》中本课时的练习.
教学反思：
本节课首先通过媒体展示、学生动手，让学生们初步感知投影，接着学习平行投影及中心投影的概念，通过例题和练习掌握投影的简单应用，培养学生积极探索、动手动脑的习惯，增强学习数学的兴趣.

第2课时正投影
教学目标：
【知识与技能】
1.理解正投影概念，了解点、直线、平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影.
2.掌握正投影的成像规律，会画一个立体图形的正投影.
【过程与方法】
经过观察、想象、体会正投影的概念，了解中心投影、平行投影与正投影的关系.
【情感态度】
1.积极参与探索，勇于解决问题.
2.会用数学的眼光观察世界.
【教学重点】
掌握正投影的概念，了解中心投影、平行投影和正投影的关系.
【教学难点】
掌握线段、正方形、正方体的正投影特征.
教学过程：
一、情境导入，初步认识
1.同学们回顾一下：
①什么是投影？②投影包括哪几种？
2.同学们猜想一下：平行投影时，当投影线垂直于投影面时，物体形成的投影如何呢？
二、思考探究，获取新知
1.正投影的定义
让同学们拿着课本，看看它在太阳光下的正投影是什么形状?
正投影定义：平行投影中，如果投影线与投影面垂直，就称为正投影.
【教学说明】正投影是一种特殊的平行投影，它区别于一般的平行投影的不同之处是投影线垂直于投影面.
2.正投影的特征
探究1如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置；①铁丝平行于投影面；②铁丝倾斜于投影面；③铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）.
三种情况下铁丝的正投影各是什么形状?由此你可以猜想线段的正投影有什么规律?
学生自主完成，小组内展示，细铁丝可以用铅笔代替.
【教学说明】①铁丝平行于投影面时，它的正投影的形状跟大小与它本身完全相等；
②铁丝倾斜于投影面，它的正投影仍是一条线段，但长度变短了；
③铁丝垂直于投影，它的正投影变成了一个点.
正投影特征：①当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB=A1B1；②当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB＞A2B2；③当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3.
探究2如图，把一块正方形硬纸板Q（例如正方形ABCD）放在三个不同位置：
①纸板平行于投影面；②纸板倾斜于投影面；③纸板垂直于投影面.
三种情况下纸板的正投影各是什么形状?由此你可以猜想得出什么规律?
【教学说明】用作业本做一个投影试验就可得出结论.
结论：①纸板Q平行于投影面P时，Q的正投影与Q形状、大小一样（即全等）；
②纸板Q倾斜于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小发生变化（面积变小）；
③纸板Q垂直于投影面P时，Q的正投影成为一条线段.
例如图，按照箭头所指的投影方向，画出长方体的正投影，并标出尺寸.
解：(1)正投影是一个正方形，如图(1).
(2)正投影是一个矩形，如图(2).
三、运用新知，深化理解
1.正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（）
A.正方形B.平行四边形或线段C.矩形D.菱形
2.当棱长为20cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为（）
A.20cm2B.300cm2C.400cm2D.600cm2
3.当投影线由上到下照射水杯时，如图所示，那么水杯的正投影是（）
4.下列命题中真命题的个数为（）
①正方形的平行投影一定是菱形；②平行四边形的平行投影一定是平行四边形；③三角形的平行投影一定是三角形.
A.1B.2C.3D.0
5.一个长方形的正投影的形状、大小与原长方形完全一样，则这个长方形_______投影面；一个长方形的正投影的形状、大小都发生了变化，则这个长方形_______投影面.
6.已知一纸板的形状为正方形ABCD(如图)，其边长为10cm，AD、BC与投影面β平行，AB、CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠ABB1=45°，求正投影A1B1C1D1的面积.
【教学说明】学生自主完成，教师巡视引导分析.
【答案】1.B2.C3.D4.D5.平行于倾斜于
6.解：如图：过点A作AH⊥BB1于H，
∵∠ABB1=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.在学生回答的基础上，教师点评：①线段、平面图形、立体图形的正投影规律；②画物体的正投影应注意哪些细节?
课堂作业：
1.教材P100第5、6题.
2.完成《学法》本课时的练习.
教学反思：
本节课通过学生自己动手完成书本、铅笔在太阳光下的正投影，加深了对正投影概念的理解，有利于对正投影规律的掌握，培养了学生动手、动脑和探究问题的能力.

九年级数学下28.1.1正弦函数学案（人教版）

28.1.1正弦函数学案
一、新课导入
1.课题导入
情景：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的仰角为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？这个问题转化为数学问题即为：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.
问题1：怎样求AB？
问题2：如果要使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？出水口的高度为10m,20m,30m，am呢？
这些问题用锐角三角函数的知识解决会非常简单，这节课我们学习正弦.（板书课题）
2.学习目标
（1）利用相似的直角三角形，探索并认识正弦的概念.
（2）理解正弦的概念，能根据正弦的定义公式进行相关计算.
3.学习重、难点
重点：正弦的概念.
难点：利用正弦进行相关计算.
二、分层学习

第一层次学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P61~P63例1上面的内容.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：把直角三角形某锐角和它的对边与斜边的比作为两个变量，探索它们的变化关系.
（4）自学参考提纲：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边斜边与∠A有何对应关系？
①∠A=30°时，∠A的对边斜边=,与三角形的大小有关系吗？（无关）
当∠A=45°时，∠A的对边斜边=,与三角形的大小有关系吗？（无关）
②任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，则与有什么关系？
=
③证明：
④归纳：∠A是任一个确定的锐角时，的值固定(填“固定”或“不固定”),与三角形的大小无关(填“有关”或“无关”).
⑤在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA==.
⑥在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，求sinA的值.（sinA=）
2.自学：
学生可参考自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生推导直角三角形中30°、45°角的对边与斜边的比的情况.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：利用师生对话的形式强化正弦的定义.

第二层次学习
1.自学指导
(1)自学内容：教材P63例1.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：紧扣正弦的定义，把求正弦的值转化为求三角形的两边的比.
(4)自学参考提纲：
①求sinA，就是求∠A的对边与斜边的比.
②sinB，就是求∠B的对边与斜边的比.
③据下图，求sinA和sinB的值.
如图1，sinA=,sinB=；
如图2，sinA=,sinB=.
④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=24cm,求AB，BC的长.
AB=26cm,BC=10cm.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生能否正确写出相应角的正弦.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：小组内交流、总结.
4.强化：
（1）强化正弦意义及求法.
（2）点两位学生板演自学参考提纲③、④题，并点评.
三、评价
1.学生自我评价：这节课你学到了哪些知识？还有什么疑惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生的学习态度、参与状况、小组协作研讨积极性等方面进行评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时教学时主要是通过让学生画图、动手操作获得相关的结论.正弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，教学中应十分重视.在教学过程中教师应注意调动学生的积极性与主动性，争取让学生自己发现规律并用自己的语言进行归纳，教师引导学生比较、分析，最后得出结论.同时正弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理.

评价作业
一、基础巩固（70分）
1.(10分)在△ABC中，已知AC=5，BC=4，AB=3．那么下列各式正确的是（A）
A.sinA=B.sinA=C.sinB=D.sinB=
2.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，延长AB到B′，使BB′=AB，延长AC到C′，使CC′=AC，连接B′C′，在△AB′C′中，sinA的值（C）
A.扩大B.等于
C.等于D.以上都不对
3.(10分)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，sinA=，则BC=2，AC=.
4.(10分)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3BC，则sinA=.
5.(30分)分别求出下列各图中的sinA与sinB值.
解：(1)sinA=,sinB=.(2)sinA=,sinB=.
(3)sinA=,sinB=.
二、综合应用（20分）
6.(10分)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，求sinB.
解：sinB=.
7.(10分)三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，求sinα的值.
解：sinα=.

三、拓展延伸（10分）
8.(10分)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列线段的比中不可能等于sinA的是(D)
A.B.

九年级数学下28.1.2余弦、正切函数学案（人教版）

28.1.2余弦、正切函数学案
一、新课导入
1.课题导入
问题：在Rt△ABC中，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定.∠A的邻边与斜边的比呢？∠A的对边与邻边的比呢？这节课我们学习余弦和正切.（板书课题）
2.学习目标
（1）了解锐角三角函数的概念，理解余弦、正切的概念.
（2）能依据正弦、余弦、正切的定义进行相关的计算.
3.学习重、难点
重点：余弦、正切的概念.
难点：余弦、正切的求值.
二、分层学习

第一层次学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P64探究.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①∠A是任一个确定的锐角时，是一个固定值,与三角形的大小无关，那么也是一个固定值吗？呢？
②在Rt△ABC中，∠C=90°，叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=.
③在Rt△ABC中，∠C=90°，叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=.
④锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否能弄清正弦、余弦、正切分别表示直角三角形中哪两条边的比.
②差异指导：结合图形理解三个三角函数的意义.
（2）生助生：小组相互交流、研讨.
4.强化：余弦、正切的求值.

第二层次学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P65例2.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：完成自学参考提纲.
④在Rt△ABC中，∠C=90°，如果各边长都扩大到原来的2倍，那么∠A的正弦、余弦和正切值有变化吗？说明理由
∠A的正弦、余弦和正切值没有变化.理由：锐角三角函数值与三角形大小无关.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否能弄清正弦、余弦、正切分别表示直角三角形中哪两条边的比.
②差异指导：根据学情分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）已知直角三角形任意两边长，求其锐角的三角函数值问题：可先由勾股定理求出第三条边长，再按三角函数定义求值.
（2）点3名学生板演自学参考提纲第②、③题，点1名学生口答自学参考提纲第④题，并点评.
三、评价
1.学生自我评价:这节课你学到了哪些知识？还有什么问题未解决？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价:从学生学习、交流协作以及回答问题等方面进行评价.
（2）纸笔评价:课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本节课的引入采用探究的形式.首先引导学生认知特殊角的余弦、正切，进而引出锐角三角函数的定义.通过作图、猜想论证，配合由浅入深的练习，使学生不但知道对任意给定锐角，它的余弦、正切值是固定值，而且加以论证并会运用.在教学过程中逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力，提高学生对几何图形美的认识，感受三角函数的实际应用价值

作业评价
一、基础巩固（70分）
1.(10分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则下列等式中不正确的是（D）
A.a=c×sinA
B.b=a×tanB
C.b=c×sinB
D.c=
2.(10分)如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则cos∠AOB的值是（C）（C）
3.(30分)分别求出下列各图中的∠A、∠B的余弦和正切值.
4.(10分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，cosA＝，求sinA,tanB的值.
解：sinA=,tanB=.
5.(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，sinB=．求cosD，tanD的值.
二、综合应用（20分）
6.(10分)如图，在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求sinB,cosB,tanB的值.
解：作AD⊥BC于D.∵AB=AC=5，∴BD=DC=BC=3.
∴在Rt△ABD中，AD==4,∴sinB=,cosB=,tanB=.
7.（10分）如图，点P在∠α的边OA上，且P点坐标为(，5)．求sinα，cosα和tanα的值.
解：sinα=，cosα=,tanα=.
三、拓展延伸（10分）
8.(10分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，请利用锐角三角函数的定义及勾股定理探索∠A的正弦、余弦之间的关系.