北师大版八年级数学下第二章分解因式复习教案。
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二次函数知识点总结
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
2.二次函数的性质
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.
（2）函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
3.二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.
4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9.抛物线中，的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下（轴）
（0,0）
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
12.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线得交点为(0,).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
（3）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
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北师大版八年级数学下第二章分解因式全章教案
第二章分解因式
§2.1分解因式
知识与技能目标：
1．使学生了解因式分解的意义。
2．知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。
过程与方法目标：
1．通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系。
2．培养学生的观察能力和语言概括能力。
情感态度与价值观目标：
1．通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系。
2．让学生了解事物间的因果联系
教学重点
1．理解因式分解的意义；
2．识别分解因式与整式乘法的关系．
教学难点
通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系．
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备
有两个边长为1的正方形，剪刀.
投影片两张：
第一张：做一做(记作§2.1.1A)；
第二张：补充练习(记作§2.1.1B).
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
计算(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a＋b)(a－b)＝a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2＝(a＋b)(a－b)是否成立呢？
a2－b2＝(a＋b)(a－b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题．
Ⅱ.讲授新课
1．讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流．
93－99能被100整除．因为993－99＝99×992－99＝99×(992－1)＝99×9800＝99×98×100，其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除．
993－99还能被哪些正整数整除？（99，98，980，990，9702）
从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式．
2．议一议
你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．
大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式．
a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)
3．做一做
（1）计算下列各式：
①(m＋4)(m－4)＝__________；②(y－3)2＝__________；
③3x(x－1)＝__________；④m(a＋b＋c)＝__________；
⑤a(a＋1)(a－1)＝__________．
（2）根据上面的算式填空：
①3x2－3x＝()()；②m2－16＝()()；
③ma＋mb＋mc＝()()；④y2－6y＋9＝()2．
⑤a3－a＝()()．
能分析一下两个题中的形式变换吗？
在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解．
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
4．想一想
由a(a＋1)(a－1)得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a(a＋1)(a－1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
总结一下：
联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式．
区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算．
所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形．
5．例题
下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a(a＋2b)＝4a2＋8ab；（2）6ax－3ax2＝3ax(2－x)；
（3）a2－4＝(a＋2)(a－2)；（4）x2－3x＋2＝x(x－3)＋2．
Ⅲ.课堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形．
Ⅴ.课后作业
见作业本
六、活动与探究
已知a＝2，b＝3，c＝5，求代数式a(a＋b－c)＋b(a＋b－c)＋c(c－a－b)的值．
VI板书设计
§2.1分解因式
一、1．讨论993－99能被100整除吗？
2．议一议3．做一做
4．想一想
5．例题讲解
二、课堂练习
三、课时小结
§2.2.1提公因式法（一）
知识与技能目标：
1．让学生了解多项式公因式的意义。
2．初步会用提公因式法分解因式。
过程与方法目标：
1．通过找公因式，培养学生的观察能力。
情感态度与价值观目标：
1．在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性。
2．让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识。
3．还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用．
教学重点
能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．
教学难点
让学生识别多项式的公因式
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果
教具准备
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
一块场地由三个矩形组成，矩形的长分别为，，，宽都是，求这块场地的面积．
从两种不同的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些．这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法．
Ⅱ.讲授新课
1．公因式与提公因式法分解因式的概念．
若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma＋mb＋mc，或m(a＋b＋c)，可以用等号来连接．
从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？
由于m是左边多项式ma＋mb＋mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式．
由上式可知，把多项式ma＋mb＋mc写成m与(a＋b＋c)的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma＋mb＋mc的一个因式，把m从多项式ma＋mb＋mc各项中提出后形成的多项式(a＋b＋c)，作为多项式ma＋mb＋mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2．例题讲解
例1将下列各式分解因式：
（1）3x＋6；（2）7x2－21x；（3）8a3b2－12ab3c＋abc；（4）－24x3－12x2＋28x．
分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来．
3．议一议
通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤．
首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4．其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab，相同字母的指数取次数最低的．
4．想一想
从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？
提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式．
Ⅲ.课堂练习
1．写出下列多项式各项的公因式．
（1）ma＋mb；（2）4kx－8ky；（3）5y3＋20y2；（4）a2b－2ab2＋ab。
2．把下列各式分解因式
（1）8x－72＝8(x－9)（2）a2b－5ab＝ab(a－5)
（3）4m3－6m2＝2m2(2m－3)（4）a2b－5ab＋9b＝b(a2－5a＋9)
（5）－a2＋ab－ac＝－(a2－ab＋ac)＝－a(a－b＋c)
（6）－2x3＋4x2－2x＝－(2x3－4x2＋2x)＝－2x(x2－2x＋1)
3．把3x2－6xy＋x分解因式。3x2－6xy＋x＝x(3x－6y＋1)。
将x写成x1，这样可知提出一个因式x后，另一个因式是1．
Ⅳ.课时小结
1．提公因式法分解因式的一般形式，如：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式．
2．提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式．
3．找公因式的一般步骤
（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的．
（4）所有这些因式的乘积即为公因式．
4．初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生．
5．公因式相差符号的，如(x－y)与(y－x)要先统一公因式，同时要防止出现符号问题．
Ⅴ.课后作业
利用分解因式计算：（1）32004－32003；（2）(－2)101＋(－2)100．
VI板书设计
§2.2.1提公因式法（一）
一、1．公因式与提公因式法分解因式的概念
2．例题讲解（例1）
3．议一议（找公因式的一般步骤）4．想一想
二、课堂练习（1．随堂练习，2．补充练习）
三、课时小结
§2.2.2提公因式法（二）
知识与技能目标：
1．进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法。
过程与方法目标：
1．进一步培养学生的观察能力和类比推理能力。
情感态度与价值观目标：
通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．
教学重点
能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式．
教学难点
准确找出公因式，并能正确进行分解因式．
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜．
Ⅱ.讲授新课
1．例题讲解
例2把a(x－3)＋2b(x－3)分解因式．
分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有(x－3)，因此可以把(x－3)作为公因式提出来．
例3把下列各式分解因式：
（1）a(x－y)＋b(y－x)；（2）6(m－n)3－12(n－m)2．
分析：虽然a(x－y)与b(y－x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出(x－y)与(y－x)是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x＝－(x－y)(m－n)3与(n－m)2也是如此．
2．做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”号，使等式成立：
（1）2－a＝________(a－2)；（2）y－x＝________(x－y)；
（3）b＋a＝________(a＋b)；（4）(b－a)2＝________(a－b)2；
（5）－m－n＝________－(m＋n)；（6）－s2＋t2＝________(s2－t2)．
Ⅲ.课堂练习
1．把下列各式分解因式：
（1）x(a＋b)＋y(a＋b)；（2）3a(x－y)－(x－y)；
（3）6(p＋q)2－12(q＋p)；（4）a(m－2)＋b(2－m)；
（5）2(y－x)2＋3(x－y)；（6）mn(m－n)－m(n－m)2．
2．补充练习
把下列各式分解因式
5(x－y)3＋10(y－x)2；m(a－b)－n(b－a)
m(m－n)＋n(n－m)；m(m－n)－n(m－n)
m(m－n)(p－q)－n(n－m)(p－q)；(b－a)2＋a(a－b)＋b(b－a)
Ⅳ.课时小结
本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式．
Ⅴ.课后作业
见作业本
把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)分解因式．
参考练习
把下列各式分解因式：
1．a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)；2．x2y－3xy2＋y3；
3．2(x－y)2＋3(y－x)；4．5(m－n)2＋2(n－m)3．
参考答案：
1．(x－y)(a＋b＋c)；2．y(x2－3xy＋y2)；
3．(x－y)(2x－2y－3)；4．(m－n)2(5－2m＋2n)．
VI板书设计
§2.2.2提公因式法（二）
一、1．例题讲解
2．做一做
二、课堂练习
三、课时小结
§2.3.1运用公式法（一）
知识与技能目标：
1．使学生了解运用公式法分解因式的意义。
2．使学生掌握用平方差公式分解因式。
3．使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式。
过程与方法目标：
1．通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力。
2．训练学生对平方差公式的运用能力。
情感态度与价值观目标：
1．在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。
2．同时让学生了解换元的思想方法。
教学重点
让学生掌握运用平方差公式分解因式．
教学难点
将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力．
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式．
如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法．
Ⅱ.讲授新课
1．请看乘法公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2（1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是
a2－b2＝(a＋b)(a－b)（2）
左边是一个多项式，右边是整式的乘积．判断，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
2．公式讲解
观察式子a2－b2，找出它的特点．
是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差．
如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积．
如x2－16＝(x)2－42＝(x＋4)(x－4)；9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝(3m＋2n)(3m－2n)。
3．例题讲解
例1把下列各式分解因式：
（1）25－16x2；（2）9a2－b2．
例2把下列各式分解因式：
（1）9(m＋n)2－(m－n)2；（2）2x3－8x．
说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法．
补充例题：判断下列分解因式是否正确．
（1）(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2；（2）a4－1＝(a2)2－1＝(a2＋1)(a2－1)．
Ⅲ.课堂练习
（一）随堂练习
1．判断正误
（1）x2＋y2＝(x＋y)(x－y)；（2）x2－y2＝(x＋y)(x－y)；
（3）－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)；（4）－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)．
2．把下列各式分解因式
（1）a2b2－m2；（2）(m－a)2－(n＋b)2；
（3）x2－(a＋b－c)2；（4）－16x4＋81y4。
3．见课本。
（二）补充练习
把下列各式分解因式
（1）36(x＋y)2－49(x－y)2；（2）(x－1)＋b2(1－x)；（3）(x2＋x＋1)2－1．
Ⅳ.课时小结
我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行．
第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止．
Ⅴ.课后作业
把(a＋b＋c)(bc＋ca＋ab)－abc分解因式
见作业本
VI板书设计
§2.3.1运用公式法（一）
一、1．由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式．
2．公式讲解
3．例题讲解补充例题
二、课堂练习
三、课时小结
§2.3.2运用公式法（二）
知识与技能目标：
1．使学生会用完全平方公式分解因式。
2．使学生学习多步骤，多方法的分解因式。
过程与方法目标：
1．在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力。
情感态度与价值观目标：
1．通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．
教学重点
让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法．
教学难点
让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式．
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法．现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？
在前面我们不仅学习了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，而且还学习了完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2。本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式．
Ⅱ.讲授新课
1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点．
由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
将完全平方公式倒写：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
便得到用完全平方公式分解因式的公式．
什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？互相交流，找出这个多项式的特点．
左边的特点有：（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍．
右边的特点：这两数或两式和（差）的平方．
用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
练一练：下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a＋4；（2）x2＋4x＋4y2；（3）4a2＋2ab＋b2；
（4）a2－ab＋b2；（5）x2－6x－9；（6）a2＋a＋0.25．
2．例题讲解
例1把下列完全平方式分解因式：
（1）x2＋14x＋49；（2）(m＋n)2－6(m＋n)＋9．
分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．
例2把下列各式分解因式：
（1）3ax2＋6axy＋3ay2；（2）－x2－4y2＋4xy．
分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“＋”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式．
Ⅲ.课堂练习
a．随堂练习
b．补充练习
把下列各式分解因式：
（1）4a2－4ab＋b2；（2）a2b2＋8abc＋16c2；
（3）(x＋y)2＋6(x＋y)＋9；（4）4(2a＋b)2－12(2a＋b)＋9；
（5）－＋n2；（6）x2y－x4－。
Ⅳ.课时小结
这节课我们学习了用完全平方公式分解因式．它与平方差公式不同之处是：
（1）要求多项式有三项．
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．
同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式．
Ⅴ.课后作业
写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式．
见作业本
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§2.3.2运用公式法（二）
一、1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点
2．例题讲解（例1、例2）
二、课堂练习
a．随堂练习
b．补充练习
§2.4回顾与思考
知识与技能目标：
1．复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式。
2．熟悉本章的知识结构图。
过程与方法目标：
1．通过知识结构图的教学，培养学生归纳总结能力。
2．在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力．
情感态度与价值观目标：
1．通过因式分解综合练习，提高学生观察、分析能力。
2．通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。
教学重点
复习综合应用提公因式法，运用公式法分解因式．
教学难点
利用分解因式进行计算及讨论．
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
前面我们已学习了因式分解概念，提公因式法分解因式，运用公式法分解因式的方法，并做了一些练习．今天，我们来综合总结一下．
Ⅱ.讲授新课
（一）讨论推导本章知识结构图
请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?
（1）有因式分解的意义，提公因式法和运用公式法的概念．（2）分解因式与整式乘法的关系．（3）分解因式的方法．
能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难，给予帮助）
（二）重点知识讲解
1．举例说明什么是分解因式．
如15x3y2＋5x2y－20x2y3＝5x2y(3xy＋1－4y2)
把多项式15x3y2＋5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy＋1－4y2的乘积的形式，就是把多项式15x3y2＋5x2y－20x2y3分解因式．
学习因式分解的概念应注意以下几点：
（1）因式分解是一种恒等变形，即变形前后的两式恒等．
（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止．
2．分解因式与整式乘法有什么关系?
分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形．如：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法．
3．分解因式常用的方法有哪些?
提公因式法和运用公式法．
4．例题讲解
例1下列各式的变形中，哪些是因式分解?哪些不是?说明理由．
（1）x2＋3x＋4＝(x＋2)(x＋1)＋2；（2）6x2y3＝3xy2xy2；
（3）(3x－2)(2x＋1)＝6x2－x－2；（4）4ab＋2ac＝2a(2b＋c)。
例2将下列各式分解因式．
（1）8a4b3－4a3b4＋2a2b5；（2）－9ab＋18a2b2－27a3b3；
（3）－x2；（4）9(x＋y)2－4(x－y)2；
（5）x4－25x2y2；（6）4x2－20xy＋25y2；
（7）(a＋b)2＋10c(a＋b)＋25c2．
例3把下列各式分解因式：
（1）x7y3－x3y3；（2）16x4－72x2y2＋81y4。
从上面的例题中，大家能否总结一下分解因式的步骤呢?
分解因式的一般步骤为：
（1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式．
（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式．
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止．
Ⅲ.课堂练习
1．把下列各式分解因式
（1）16a2－9b2；（2）(x2＋4)2－(x＋3)2；
（3）－4a2－9b2＋12ab；（4）(x＋y)2＋25－10(x＋y)
2．利用因式分解进行计算
（1）9x2＋12xy＋4y2，其中x＝，y＝－；
（2）()2－()2，其中a＝－，b＝2．
Ⅳ.课时小结
1．共同回顾，总结因式分解的意义，因式分解的方法及一般步骤，其中要特别指出：必须使每一个因式都不能再进行因式分解．
2．利用因式分解简化某些计算．
Ⅴ.课后作业
复习题A组
求满足4x2－9y2＝31的正整数解．
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2.6回顾与思考
一、1．讨论推导本章知识结构图
2．重点知识讲解
（1）举例说明什么是因式分解．
（2）分解因式与整式乘法有什么关系?
（3）分解因式常用的方法有哪些?
（4）例题讲解（例1、例2、例3）
（5）分解因式的一般步骤
二、课堂练习
四、课后作业
北师大版八年级下第二章分解因式的复习教案
3．4．3分式方程
课型：新授学生姓名：_________
[目标导航]
1、学习目标
（1）知识目标：
①用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题。
②用分式方程来解决现实情境中的问题。
（2）能力目标：
①经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力。
②认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型。
（3）情感目标：
①经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣。
②培养学生的创新精神，从中获得成功的体验。
2、学习重点：
①审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型。
②根据实际意义检验解的合理性。
3、学习难点：
寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法。
[课前导学]
1、课前复习：
2、课前预习：
某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元
（１）找出这一情境的等量关系。
（２）根据这一情境，你能提出哪些问题？
（３）利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少？
设第一年每间租金为x元，则第二年每间租金为元。
于是：第一年出租房屋的间数是，第二年出租房屋的间数是。
当然，第一年、第二年出租房屋的间数不会发生变化，于是可得方程：
3、课前学记（课前学习疑难点、教学要求建议）
[课堂研讨]
1、新知探究，例题讲解
例1、某市从今年１月１日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨。小丽家去年１２份的水费是１５元，而今年７月份的水费则是３０元。已知小丽家今年７月份的用水量比去年１２份的用水量多５，求该市今年居民的用水价格。
分析：请列出此题中的两个等量关系：
；
。
解：设该市去年居民用水的价格是，则该市今年居民的用水价格是
根据题意：可列方程：
解之得：x=
检验：
答：
小结：列分式方程解应用题的一般步骤是：
。
2、随堂练习，巩固提高（要求列分式方程）
（1）小明和同学一起去书店买书。他们先用１５元买了一种科普书，又用１５元买了一种文学书。科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的科普书比文学书少１本。问这种科普书和文学书的价格各是多少？
（2）某商店销售一批服装，每件售价１５０元，可获利２５%，求这种服装的成本价。
（3）甲种原料和乙种原料的单价比是２：３，将价值２０００元的甲种原料和价值１０００元的乙种原料混合后，单价是９元，求甲种原料的单价。
[课外拓展]
1、课后记（收获、体会、困惑）
2、分层作业（班级：_____________，学生姓名：____________）
A、必做题（限时12分钟，实际完成时间：_______分钟）
一、列分式方程解决以下问题
某商店甲种糖果的单价是每千克20元，乙种糖果的单价是每千克１６元。为了促销，现将１０千克乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克１７.５元，那么分开销售和混合销售的销售额相同。问这包甲种糖果有多少千克？
B、选做题
如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为3km，王老师家到学校的路程为0.5km,由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学。已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
C：选做题
某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用。1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元。超出5m3的部分每立方米收费多少元
第二章分解因式
第二章分解因式
1．分解因式
总体说明
因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．
本节是因式分解的第1小节，占一个课时，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，让学生了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，感受分解因式在解决相关问题中的作用．
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．
学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点．
二、教学任务分析
基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学能力，如：类比思想，逆向运算能力等。因此，本课时的教学目标是：
知识与技能：
（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．
（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法．
数学能力：
（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想．
（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
情感与态度：
让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度．
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：看谁算得快——看谁想得快——看谁算得准——学生讨论——反馈练习——学生反思．
第一环节看谁算得快
活动内容：用简便方法计算：
（1）=
（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=
（3）992–1=．
活动目的：如果说学生对因式分解还相当陌生的话，相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍，本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度，为下一环节的理解搭一个台阶．
注意事项：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式．
第二环节看谁想得快
活动内容：993–99能被哪些数整除？你是怎么得出来的？
学生思考：从以上问题的解决中，你知道解决这些问题的关键是什么？
活动目的：引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，为学生类比因式分解提供必要的精神准备．
注意事项：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式．
第三环节看谁算得准
活动内容：
计算下列式子：
（1）3x(x-1)=；
（2）m(a+b+c)=；
（3）（m+4）(m-4)=；
（4）（y-3）2=；
（5）a(a+1)(a-1)=．
根据上面的算式填空：
（1）ma+mb+mc=；
（2）3x2-3x=；
（3）m2-16=；
（4）a3-a=；
（5）y2-6y+9=．
活动目的：在第一组的整式乘法的计算上，学生通过对第一组式子的观察得出第二组式子的结果，然后通过对这两组式子的结果的比较，使学生对因式分解有一个初步的意识，由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
注意事项：由于整式的乘法运算是学生在七年级已经学习过的内容，因此，学生能很快得出第一组式子的结果，并能很快发现第一组式子与第二组式子之间的联系，从而得出第二组式子的结果．
第四环节学生讨论
活动内容：
比较以下两种运算的联系与区别：
（1）a(a+1)(a-1)=a3-a
（2）a3-a=a(a+1)(a-1)
在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？
结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2
活动目的：通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
（2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
注意事项：学生通过讨论，能找出分解因式与整式的乘法的联系与区别，基本清楚了“分解因式与整式的乘法是一种互逆关系”以及“分解因式的结果要以积的形式表示”这两种事实，后两种事实是在老师的引导与启发下才能完成．
第五环节反馈练习
活动内容：
1、看谁连得准
x2-y2.(x+1)2
9-25x2y(x-y)
x2+2x+1(3-5x)(3+5x)
xy-y2(x+y)(x-y)
2、下列哪些变形是因式分解，为什么？
（1）（a+3）(a-3)=a2-9
（2）a2-4=(a+2)(a-2)
（3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1
（4）2πR+2πr=2π（R+r）
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对因式分解意义的理解是否到位，以便教师能及时地进行查缺补漏．
注意事项：从学生的反馈情况来看，学生对因式分解意义的理解基本到位．
第六环节学生反思
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对因式分解意义的理解，进一步清楚地了解分解因式与整式的乘法的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解，对矛盾对立统一的观点有一个初步认识．
注意事项：从学生的反思来看，学生掌握了新的知识，提高了逆向思维的能力，对于类比的数学思想有了一定的理解，对于矛盾对立统一的哲学观点也有了一个初步认识．
巩固练习：课本第45页习题2.1第1，2，3题
思考题：课本第45页习题2.1第4题（给学有余力的同学做）
四、教学反思
传统教学中，总是先介绍因式分解的定义，然后通过大量的模仿练习来强化巩固学生对因式分解概念的记忆与理解，其本质上是对因式分解的概念进行强化记忆．
在新课程的教学中，对因式分解的记忆退到了次要的位置，它把因式分解作为培养学生逆向思维、全面思考、灵活解决矛盾的载体．在教师的指导下，学生通过因数分解类比出因式分解，对学生进行类比的数学思想培养，由整式的乘法与因式分解的对比，对学生的逆向思维能力进行培养，也使得学生对于因式分解概念的引入不至于茫然．
尽管新旧两种教法的对比上，新课程的教学不一定马上显露出强劲的优势，甚至可能因为强化练习较少，在短时间内，学生的成绩比不上传统教法的学生成绩，但从长远目标看来，这种对数学本质的训练会有效地提高学生的数学素养，培养出学生对数学本质的理解，而不仅仅是停留在对数学的机械模仿记忆的层面上．
总之，教学的着眼点，不是熟练技能，而是发展思维，使学生在学习的情感态度与价值观上发生深刻的变化．
