北师大版2018八年级数学下册重要知识点汇总：分解因式。
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北师大版2018八年级数学下册重要知识点汇总：分解因式
第二讲分解因式
因式分解(分解因式)Factorization，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
I注意三原则
1分解要彻底
2最后结果只有小括号
3最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=x(-3x+1））
归纳方法：
1、提公因式法。
2、公式法。
3、分组分解法。
4、十字相乘法。
5、双十字相乘法。
6、配方法。
7、拆项法。
8、待定系数法。
9、特殊值法。
II提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数，分子为各分数分子的最大公约数（最大公因数）
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“一”号时，多项式的各项都要变号。
III公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2Jab88.cOm
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
两根式：ax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a)
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3
IV分解因式技巧
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式；
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
3.提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同
延伸阅读
北师大版2018八年级数学下册重要知识点汇总：分式
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北师大版2018八年级数学下册重要知识点汇总：分式
第三讲分式
I分式
形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
注:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的分式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
1.约分：
把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。
分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.
(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去.
2.通分：
异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
II分式的四则运算
1.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c
2.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
用字母表示为：a/b±c/d=ad±cb/bd
3.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.
用字母表示为：a/b*c/d=ac/bd
4.分式的除法法则:
(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc
(2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b*d/c
八年级数学下《4.1因式分解》导学案（新版北师大版）
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红星学校初中部______年级___________学科课堂导学案
第____课时备课：____月___日讲课：____月____日组长签批：____月____日
课题因式分解授课教师
学习
目标1、理解因式分解的概念和意义。
2、认识因式分解与整式乘法的互逆关系，并能解决相关问题。
学习
重难点学习重点：因式分解的概念和意义。
学习难点：运用分解因式解决相关问题。
学法
指导讲练结合法多媒体演示法探究法尝试指导法
学习过程
独
立
尝
试学案导案
一、学前准备
1、回忆小学时学过的因数分解概念__________；并举出例子___________，_____________。
2、如何简便计算
①若a=101，b=99，则a2－b2=___________；
②若a=99，b=－1，则a2－2ab+b2=___________。
3、观察a2－b2=（a+b）（a－b）
a2－2ab+b2=（a－b）2
20x2+60x=20x（x+3），找出它们的特点。
（等式的左边是一个什么式子？右边又是什么形式？）
比较小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念：把一个___________化成几个__________的____形式叫做因式分解，也叫多项式分解因式。阅读课本第92—93页：
①记住整式乘法与因式分解之间的互逆运算。
②完成做一做。
③尝试完成随堂练习。
合作探究1、计算下列各式：
（1）3x（x－1）=____________；（2）m（a+b+c）=____________；
（3）（m+4）（m－4）=_________；（4）（y－3）2=______________。
2、根据上面的算式填空：
（1）3x2－3x=（）（）；（2）m2－16=（）（）；
（3）ma+mb+mc=（）（）；（4）y2－6y+9=（）2．
自我挑战下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
（1）x2－3x+1=x（x－3）+1；
（2）3a2+6a=3a（a+2）；
（3）（m＋n）（a＋b）＋（m＋n）（x＋y）＝（m＋n）（a＋b＋x＋y）；
（4）2m（m－n）=2m2－2mn；
（5）4x2－4x+1=（2x－1）2；
堂清试题判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？
（1）（2）
（3）（4）
（5）（a＋3）（a－3）=－9（6）
自我总结因式分解的要求：
1、分解的结果要以积的形式表示。2、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。3、必须分解到每个多项式因式不能再分解为止。
预留作业课本第94页知识技能第1、2题。
板书设计因式分解
一、整式乘法和因式分解的互逆性三、自学检测
二、典型例题分析四、堂清试题
八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版
八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版
第三章分式
一、分式
1、两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.
整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.
2、整式和分式统称为有理式,即有:
3、进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
4、一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.
二、分式的乘除法
1、分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
2、分式乘方,把分子、分母分别乘方.
逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.
3、分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.
三、分式的加减法
1、分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
2、分式的加减法:
分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.
(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;
上述法则用式子表示是:
(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;
上述法则用式子表示是:
3、概念内涵:
通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.
四、分式方程
1、解分式方程的一般步骤:
①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;
②解这个整式方程;
③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.
2、列分式方程解应用题的一般步骤:
①审清题意;
②设未知数;
③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;
④解方程,并验根;
⑤写出答案.
