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高三数学排列1

发表时间:2022-02-13

做好教案课件是老师上好课的前提,是时候写教案课件了。我们制定教案课件工作计划,才能更好地安排接下来的工作!有没有好的范文是适合教案课件?下面是由小编为大家整理的“高三数学排列1”,欢迎您参考,希望对您有所助益!

分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分,依分类计数原理解题,首先明确要做的这件事是什么,其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准,最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏,保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤,必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事,每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的,分类计数原理更具有一般性,解决复杂问题时往往需要先分类,每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段,不能嫌罗嗦,教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题. 只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰,才会做到分类有据、分步有方,为排列、组合的学习奠定坚实的基础

延伸阅读

高三数学教案:《排列、组合与概率》教学设计


第六部分排列、组合与概率

47、解排列组合应用题是首先要明确需要完成的事件是什么,其次要分清完成该事件是分类还是分步,另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反(即淘汰法)思想.简单地说:解排列、组合问题要搞清“做什么?怎么做!”分步做时要考虑到每一步的可行性与“步”与“步”之间的连续性.尤其是排列问题,更要注意“特殊元素、特殊位置”之间的关系,一般地讲,从正面入手解决时,“特殊元素特殊照顾,特殊位置特殊考虑.”相邻问题则用“捆绑”,不邻问题则用“插空”.特别提醒:解排列、组合问题时防止记数重复与遗漏.

[举例]对于问题:从3位男同学,5位女同学这8位同学中选出3人参加学校一项活动,求至少有2位女同学的选法种数.一位同学是这样解的:先从5位女同学中选出2名有种选法,再在剩下的6位同学中任选一位有种选法,所以共有种不同的选法.请分析这位同学的错误原因,并给出正确的解法.

分析:这位同学的解法中犯了计数重复的错误.不妨设女同学的编号为A、B、C、D、E,如先选的为A、B,再选的为C,和先选的为A、C,再选的为B是同一种选法.本解法中作为两种不同的结果计数,所以重复.

正确解法有两种:方法一:(分类讨论)选出的3人中至少有2名女同学,则为2女1男有种不同选法,3位都为女同学有种不同选法.两种结果都能完成这件事,所以有种不同的选法.方法二:(去杂法)8位同学中选出3人不满足条件和选法为3男与2男1女.所有选法为,则满足题义的选法为:.

48、简单地说:事件A的概率是含有事件A的“个体数”与满足条件的事件的“总体数”的比值.现行高考中的概率问题实际上是排列、组合问题的简单应用.

[举例]定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”,集合的真子集可以作为A的“孙集”的概率是______.

分析:本例是“即时性”学习问题.要正确理解“孙集”的定义——“真子集的真子集”.元素为个的集合的真子集有个,其真子集的元素最多有个.有个元素的集合的真子集最多有个元素.所以有个元素的集合的“孙集”实际上是原集合中的小于等于

08届高三数学轨迹问题1


1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,最后"补漏"和"去掉增多"的点.

高三数学数列问题的题型与方法1


1.能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题;2.能熟练地求一些特殊数列的通项和前项的和;3.使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;4.通过解决探索性问题,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.5.在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力.6.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.

排列


一、排列问题常见类型
对于有限制条件的排列问题,要注意总结以下几种类型的问题的思考方法.
1.某些元素不能排或必须排在某一位置的问题.
(1)先排特殊元素或特殊位置,然后再排其他元素或位置.
(2)先不考虑限制条件,求出所有的排列数,然后减去不符合条件的排列数,即间接法.
2.某些元素要求相邻的问题,常用“捆绑”的办法,先看成一个元素.
3.某些元素要求不相邻的问题,常用“插空”的办法.
二、参考例题
[例1]5男5女共10个同学排成一行.
(1)女生都排在一起,有几种排法?
(2)女生与男生相间,有几种排法?
(3)任何两个男生都不相邻,有几种排法?
(4)5名男生不排在一起,有几种排法?
(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生,女生又不能排在队伍的两端,有几种排法?
解:(1)将5名女生看作一人,就是6个元素的全排列,有A种排法.又5名女生内部可有A种排法,所以共有AA=86400种排法.
(2)男生自己排,女生也自己排,然而相间插入(此时有2种插法),所以女生与男生相间共有2AA=28800种排法.
(3)女生先排,女生之间及首尾共有6个空隙.任取其中5个安插男生即可,因而任何两个男生都不相邻的排法共有AA=86400种.
(4)直接分类较复杂,可用间接法.即从10个人的排列总数中,减去5名男生排在一起的排法数,得5名男生不排在一起的排法数为A-AA=3542400.
(5)先安排2个女生排在男生甲、乙之间,有A种方法;又甲、乙之间还有A种排法.这样就有AA种排法.然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生),再从这一元素及另3名男生中,任选2人排在首尾,有A种排法.最后再将余下的2个男生、3个女生排在其间,有A种排法.故总排法为AAAA=57600种.
[例2]用0,1,2,…,9十个数字可组成多少个没有重复数字的
(1)五位奇数?
(2)大于30000的五位偶数?
解:(1)要得到五位奇数,末位应从1、3、5、7、9五个数字中取,有A种取法.取定末位数字后,首位就有除这个数字和0之外的八种不同取法.首末两位取定后,十个数字还有八个数字可供中间的十位,百位与千位三个数位选取,共有A种不同的安排方法.因此由分步计数原理共有5×8×A=13440个没有重复数字的五位奇数.
(2)要得偶数,末位应从0、2、4、6、8中选取,而要得比30000大的五位偶数,可分两类:
①末位数字从0,2中选取,则首位可取3、4、5、6、7、8、9中任一个,共7种选取方法.其余三个数位就有除首末两个数位上的数字之外的八个数字可以选取,共A种取法,所以共有2×7×A种不同情况.
②末位数字从4、6、8中选取,则首位应从3、4、5、6、7、8、9中除去末位数字的六个数字中选取,其余三个数位仍有A种选法,所以共有3×6×A种不同情况.
由分类计数原理,共有2×7×A+3×6×A=10752个比30000大的无重复数字的五位偶数.
●备课资料
解排列问题的常用技巧
解排列问题,首先必须认真审题,明确问题是否是排列问题,其次是抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答,同时,还要注意讲究一些基本策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解.
(一)特殊元素的“优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其他元素.
[例1]用0、1、2、3、4这五个数字,组成没有重复数字的两位数,其中偶数共有______个.
A.24B.30C.40D.60
分析:由于该三位数都是偶数,故末尾数字必须是偶数,又因为0不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,应优先安排.按0排在末尾和0不排在末尾分为两类:①0排末尾时,有A个;②0不排末尾时,有AAA个,由分类加法计数原理,共有偶数30个.
答案:B
(二)总体淘汰法
对于含有否定词语的问题,还可以从总体中把不符合要求的除去,此时应注意既不能多减也不能少减,例如在例1中,也可用此法解答:五个数字组成三位数的全排列A个,排好后发现0不能排在首位,而且3、1不能排在末尾,这两种不符合题意的排法要除去,故有30个偶数.
(三)合理分类与准确分步
解含有约束条件的排列组合问题,应按元素的性质进行分类,事情发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏.
[例2]五人从左到右站成一排,其中甲不站排头,乙不站第二个位置,那么不同的站法有
A.120种B.96种
C.78种D.72种
分析:由题意,可先安排甲,并按其进行分类讨论:
①若甲在第二个位置上,则剩下的四人可自由安排,有A种方法;
②若甲在第三或第四个位置上,则根据分步计数原理,不同站法有AAA种站法.
再根据分类计数原理,不同站法共有A+AAA=78种.
(四)相邻问题用“捆绑法”
对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”起来,看作一个“大”的元素与其他元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列.
答案:C
[例3]7人站成一排照相,要求甲、乙、丙三人相邻,分别有多少种不同的排法?
分析:先把甲、乙、丙三人“捆绑”起来看作是一个元素,与其余4人共5个元素作全排列,有A种排法,而后对甲、乙、丙三人进行全排列,再利用分步计数原理可得AA种不同排法.
答案:AA.
(五)不相邻问题用“插空法”
对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可.
[例4]在例3中,若要求甲、乙、丙三人不相邻,则又有多少种不同的排法?
分析:先让其余4人站好,有A种排法,再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、乙、丙插入,则有A种方法,这样共有AA种不同的排法.
答案:AA.
(六)顺序固定问题用“除法”
对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.
[例5]五人排队甲在乙前面的排法有几种?
分析:若不考虑限制条件,则有A种排法,而甲、乙之间排法有A种,故甲在乙前面的排法只有一种符合条件,故符合条件的排法有种.
答案:.
(七)分排问题用“直排法”
把n个元素排成若干排的问题,若没有其他的特殊要求,可采取统一排成一排的方法来处理.
[例6]7人坐两排座位,第一排坐3人,第二排坐4人,则有________种排法.
分析:7个人,可以在前后两排随意就坐,再无其他条件,故两排可看作一排来处理,故不同的坐法有A种.
答案:A.
(八)试验
题中附加条件增多,直接解决困难时,用试验逐步寻找规律有时也是行之有效的方法.
[例7]将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内,每个方格填1个,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有
A.6B.9C.11D.23
分析:此题考查排列的定义.由于附加条件较多,解法较为困难,可用试验法逐步解决.
第一方格内可填2或3或4.如填2,则第二方格内可填1或3或4.若第二方格内填1,则第三方格只能填4,第四方格填3.若第二方格填3,则第三方格应填4,第四方格应填1.同理,若第二方格填4,则第三、四方格应分别填3.因而第一方格填2共有3种方法.同理,第一格填3或4也各有3种,所以共有9种方法,选B.
答案:B
(九)探索
对情况复杂、不易发现其规律的问题需要仔细分析,探索出其中规律,再予以解决.
[例8]从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,则不同的取法种数有
A.50B.100C.1275D.2500
分析:此题数字较多,情况也不一样,需要分析摸索其规律.为方便,两个加数中以较小的数为被加数,因为1+100=101>100,1为被加数的有1种;同理,2为被加数的有2种;……;49为被加数有49种;50为被加数的有50种,但51为被加数只有49种,52为被加数只有48种;……,99为被加数的只有1种.故不同的取法共有(1+2+……+50)+(49+48+……+1)=2500种.
答案:D
(十)消序
[例9]有4个男生,3个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法?
分析:先在7个位置上任取4个位置排男生,有A种排法.剩余的3个位置排女生,因要求“从矮到高”,只有1种排法,故共有A1=840种.
答案:840种.
(十一)住店法
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复.把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解的方法称为“住店法”.
[例10]七名学生争夺五项冠军,获得冠军的可能的种数有
A.75B.57C.AD.C
分析:因同一学生可同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作七家“店”,五项冠军看作5名“客”,每个“客”有7种住宿法,由乘法原理得75种.
答案:A
对此类问题,常有疑惑:为什么不以五项冠军作为五家“店”呢?因为几个学生不能同时夺得同一冠军,即冠军不能重复,则立即使这种疑惑烟消云散.
(十二)对应
[例11]在100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场比赛失败要退出比赛),最后产生一名冠军,问要举行几场比赛?
分析:要产生一名冠军,需淘汰掉冠军以外的所有其他选手,即要淘汰99名选手,要淘汰一名选手,必须进行一场比赛;反之,每比赛一场恰淘汰一名选手,两者之间一一对应,故立即可得比赛场次99次.
答案:99场.
(十三)特征分析
研究有约束条件的排数问题,需紧扣题目所提供的数字特征、结构特征,进行推理、分析求解.
[例12]由1,2,3,4,5,6六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数?
分析数字特征:6的倍数的数既是2的倍数,又是3的倍数.其中3的倍数又满足“各个数位上的数字和是3的倍数”的特征.把6个数分成4组(3)、(6)、(1,5)、(2,4),每组的数字和都是3的倍数.因此可分成两类讨论:第一类:由1,2,4,5,6作数码;首先从2,4,6中任选一个作个位数字有A,然后其余四个数字在其他数位上全排列有A,所以N1=AA;第二类:由1,2,3,4,5作数码,依上法有N2=AA,故N=N1+N2=120(个).
答案:120个.
以上介绍了排列组合应用题的几种常见求解策略.这些策略不是彼此孤立的,而是相互依存、相互为用的.有时解决某一问题时要综合运用几种求解策略.
●备课资料
一、用比例法解排列问题
有些排列应用题,可以根据每个元素出现的机会占整个问题的比例,直接求得问题的解.
[例1]A、B、C、D、E五人站成一排,如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻),那么不同的排法共有________种.
分析:若没有限制条件,则五人的全排列有A=120种不同排法,而A在B右边与B在A右边各占,所以B在A右边的排法共有A=60种.
[例2]七个人并排站成一行,如果甲、乙两人必须不相邻,那么不同排法种数为________.
分析:若没有限制条件,则七人的全排列有A种,而甲、乙两人不相邻排法占7人排法任意数的.
因此所求排法有×A=3600(种).
[例3]由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有________.
分析:全排列为A.由题意知:满足条件的五位数的个位上出现2或4的可能性为.在余下的四个数字中,万位上出现满足条件的数字的可能性为.
故满足条件的五位数共有A=36(个).
[例4]由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字,且1与2不相邻的五位数的个数为________.
分析:1与2不相邻占这5个数字全排列的,因此所求共有×A=72(个).
[例5]从6个运动员中选出4个参加4×100米接力赛,如果甲、乙两人都不能跑第一棒,那么共有多少种不同的参赛方案?
分析:若不受条件限制,其参赛方案有A种,但其中限制甲、乙两人不能跑第一棒,即跑第一棒的只能是甲、乙以外的其余4人.因而,这四人在第一棒中出现的可能性为.
故所求参赛方案有A=240种.
二、“机会均等问题”例析
[例1]用0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的个位数字小于十位数字的五位数有多少个?
分析:由这六个数字组成无重复数字的所有五位数有A-A=600个,
又因为个位数字小于十位数字的数与个位数字大于十位数字的数一样多,所以个位数字小于十位数字的数有600÷2=300个,这是一个机会(出现次数)均等问题.
[例2]A、B、C、D、E这五个人排成一排,如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻),那么不同的排法种数为多少?
分析一:在所有的排列中,B在A的右边与B在A的左边的排法总数是一样的,5个人排成一排的总数为A种,故B在A右边的不同排法为A÷2=60种.
分析二:(供教师参考)
可先排C、D、E,其中连两头共有4个空,再插空,又可分两类,A、B各插一个空,选两个空C,另一类A、B相邻插一个空C.故可有A(C+C)=60种不同排法种数.
[例3]用1,2,3,4,5,6,7组成无重复数字的七位数中,若2,4,6次序一定,有多少种不同的七位数?
分析一:七个数占七个位置,只需要七个位置中选取4个排1,3,5,7即可,此时,2,4,6自然按规定的次序排在剩下的三个位置上,故有A=840种.
分析二:实际上这也是一种机会均等问题,2,4,6次序不定时,有A=6种可能,2,4,6次序一定时,只有其中一种排法,是所有排法种数的,即,故2,4,6次序一定的七位数有==840(个).
[例4]用1,2,3,4,5,6,7组成无重复数字的七位数中,若1,3,5,7的次序一定,有多少种七位数?
分析一:七个数占七个位置,只需在七个位置中选3个排2,4,6即可,有A=210种.
分析二:1,3,5,7次序不定有A=24种不同排法,故1,3,5,7次序一定只占七位总数的次机会,故有==210个.
规律总结:任取n个不同的元素排成一排,其中m(m<n)个元素次序一定时,不同的排法总数有种不同排法.