高中牛顿第二定律教案

发表时间：2020-12-24

第二章分解因式。

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第二章分解因式
1．分解因式
总体说明
因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．
本节是因式分解的第1小节，占一个课时，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，让学生了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，感受分解因式在解决相关问题中的作用．

一、学生知识状况分析
学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．
学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点．
二、教学任务分析
基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学能力，如：类比思想，逆向运算能力等。因此，本课时的教学目标是：
知识与技能：
（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．
（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法．
数学能力：
（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想．
（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
情感与态度：
让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度．

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：看谁算得快——看谁想得快——看谁算得准——学生讨论——反馈练习——学生反思．

第一环节看谁算得快
活动内容：用简便方法计算：
（1）=
（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=
（3）992–1=．
活动目的：如果说学生对因式分解还相当陌生的话，相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍，本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度，为下一环节的理解搭一个台阶．
注意事项：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式．

第二环节看谁想得快
活动内容：993–99能被哪些数整除？你是怎么得出来的？
学生思考：从以上问题的解决中，你知道解决这些问题的关键是什么？
活动目的：引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，为学生类比因式分解提供必要的精神准备．
注意事项：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式．

第三环节看谁算得准
活动内容：
计算下列式子：
（1）3x(x-1)=；
（2）m(a+b+c)=；
（3）（m+4）(m-4)=；
（4）（y-3）2=；
（5）a(a+1)(a-1)=．
根据上面的算式填空：
（1）ma+mb+mc=；
（2）3x2-3x=；
（3）m2-16=；
（4）a3-a=；
（5）y2-6y+9=．
活动目的：在第一组的整式乘法的计算上，学生通过对第一组式子的观察得出第二组式子的结果，然后通过对这两组式子的结果的比较，使学生对因式分解有一个初步的意识，由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
注意事项：由于整式的乘法运算是学生在七年级已经学习过的内容，因此，学生能很快得出第一组式子的结果，并能很快发现第一组式子与第二组式子之间的联系，从而得出第二组式子的结果．
第四环节学生讨论
活动内容：
比较以下两种运算的联系与区别：
（1）a(a+1)(a-1)=a3-a
（2）a3-a=a(a+1)(a-1)
在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？
结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2
活动目的：通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
（2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
注意事项：学生通过讨论，能找出分解因式与整式的乘法的联系与区别，基本清楚了“分解因式与整式的乘法是一种互逆关系”以及“分解因式的结果要以积的形式表示”这两种事实，后两种事实是在老师的引导与启发下才能完成．

第五环节反馈练习
活动内容：
1、看谁连得准
x2-y2.(x+1)2
9-25x2y(x-y)
x2+2x+1(3-5x)(3+5x)
xy-y2(x+y)(x-y)
2、下列哪些变形是因式分解，为什么？
（1）（a+3）(a-3)=a2-9
（2）a2-4=(a+2)(a-2)
（3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1
（4）2πR+2πr=2π（R+r）
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对因式分解意义的理解是否到位，以便教师能及时地进行查缺补漏．
注意事项：从学生的反馈情况来看，学生对因式分解意义的理解基本到位．

第六环节学生反思
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对因式分解意义的理解，进一步清楚地了解分解因式与整式的乘法的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解，对矛盾对立统一的观点有一个初步认识．
注意事项：从学生的反思来看，学生掌握了新的知识，提高了逆向思维的能力，对于类比的数学思想有了一定的理解，对于矛盾对立统一的哲学观点也有了一个初步认识．
巩固练习：课本第45页习题2.1第1，2，3题
思考题：课本第45页习题2.1第4题（给学有余力的同学做）

四、教学反思
传统教学中，总是先介绍因式分解的定义，然后通过大量的模仿练习来强化巩固学生对因式分解概念的记忆与理解，其本质上是对因式分解的概念进行强化记忆．
在新课程的教学中，对因式分解的记忆退到了次要的位置，它把因式分解作为培养学生逆向思维、全面思考、灵活解决矛盾的载体．在教师的指导下，学生通过因数分解类比出因式分解，对学生进行类比的数学思想培养，由整式的乘法与因式分解的对比，对学生的逆向思维能力进行培养，也使得学生对于因式分解概念的引入不至于茫然．
尽管新旧两种教法的对比上，新课程的教学不一定马上显露出强劲的优势，甚至可能因为强化练习较少，在短时间内，学生的成绩比不上传统教法的学生成绩，但从长远目标看来，这种对数学本质的训练会有效地提高学生的数学素养，培养出学生对数学本质的理解，而不仅仅是停留在对数学的机械模仿记忆的层面上．
总之，教学的着眼点，不是熟练技能，而是发展思维，使学生在学习的情感态度与价值观上发生深刻的变化．

精选阅读

北师大八年级数学下第二章分解因式复习学案

第一章《分解因式》复习
课型：复习学生姓名：_______________
一、知识网络图

二、思想方法
复习本章知识应注意领会以下几种思想方法的运用：
1．观察、试验的思想方法观察、试验是一种基本的研究方法，它可以用来引导数学发现、启迪问题解决的思路．用十字相乘法进行分解因式不像整式乘法那样可按法则计算，而是需要根据所给多项式的特点进行观察，试验才能解决。
2．整体思想有些多项式，表面上看较复杂，若能注意到题目中的整体所在，利用整体思想去把握，则能化繁为简，化难为易。
3．逆向思维的方法整式的乘法与分解因式的学习过程中，同学们可以仔细体会。
4．类比思想数学问题的相似性在数学中普遍存在．根据多项式与多项式之间的异同点，抓住其本质特征，运用类比思想去处理，则能将生疏的问题转化为熟悉的问题。

三、知识梳理
1．了解分解因式：把一个多项式化成几个______________的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法______________。
如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：
①（）②（）
③（）④（）
2．提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做___________________。
如：分解因式：=________________；=________________；
3．公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做_____________________。
如：分解因式①②

4．十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b）=，用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做_____________________。
如:分解因式：①②
5．分解因式的一般步骤：首先提取公因式；然后运用_____________；
如：①②③
四、常见错误：
1．概念不辨，错误出现：错解：．
2．公式不清，错误入侵：错解：（1）；（2）．
3．提公因式后，“1”被遗弃：错解：．
4．混淆变形，无中生有：错解：．
5．画蛇添足，背道而驰：错解：

五、典型题析
例1把下列各式因式分解
（1）
（2）
分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，，是在因式分解过程中常用的因式变换。
例2简化计算过程：计算
分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果

例3把分解因式
分析：多项式有公因式时需先提取公因式，再利用平方差公式分解，且要分解到不能再分解为止

例4运用整体思想解决问题：
不解方程组，求代数式的值
分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果

例5证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。

例6已知多项式有一个因式是，求的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。

例7已知是的三条边，且满足，试判断的形状。
分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。

五、巩固练习
1、把下列各式分解因式：

2、把下列各式分解因式：

3、先分解因式，然后计算求值：
①，其中，②，其中，。

4、把下列各式分解因式：

5、利用分解因式解决问题：
（1）①利用分解因式说明：能被120整除；
②可以被60至70之间的某两个数整除，求这两个数；

（2）利用分解因式计算：
①②

（3）①如图在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，利用分解因式计算当R=7.8cm，r=1.1cm时剩余部分的面积（取3.14，结果保留两位有效数字）

②如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d=45cm，外径D=75cm，长l=300cm，利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（取3.14，结果保留两位有效数字）

③已知正方形面积是（），利用分解因式写出表示该正方形的边长的代数式。

④正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960，求这两个正方形的边长。

（4）①已知，求的值。

②当取何值时，多项式取最小值。

③当取何值时，多项式时一个完全平方式。

④计算下列各式：
你能根据所学知识找到计算上面式子的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：

⑤已知，求a,b,c的值。
⑥已知x、y都是正整数，且，求x、y
⑦已知：，求的值。

北师大版八年级下第二章分解因式的复习教案

3．4．3分式方程
课型：新授学生姓名：_________
[目标导航]
1、学习目标
（1）知识目标：
①用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题。
②用分式方程来解决现实情境中的问题。
（2）能力目标：
①经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力。
②认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型。
（3）情感目标：
①经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣。
②培养学生的创新精神，从中获得成功的体验。
2、学习重点：
①审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型。
②根据实际意义检验解的合理性。
3、学习难点：
寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法。
[课前导学]
1、课前复习：

2、课前预习：
某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元
（１）找出这一情境的等量关系。

（２）根据这一情境，你能提出哪些问题？

（３）利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少？
设第一年每间租金为x元，则第二年每间租金为元。
于是：第一年出租房屋的间数是，第二年出租房屋的间数是。
当然，第一年、第二年出租房屋的间数不会发生变化，于是可得方程：
3、课前学记（课前学习疑难点、教学要求建议）

[课堂研讨]
1、新知探究，例题讲解
例1、某市从今年１月１日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨。小丽家去年１２份的水费是１５元，而今年７月份的水费则是３０元。已知小丽家今年７月份的用水量比去年１２份的用水量多５，求该市今年居民的用水价格。
分析：请列出此题中的两个等量关系：
；
。
解：设该市去年居民用水的价格是，则该市今年居民的用水价格是
根据题意：可列方程：
解之得：x=
检验：
答：
小结：列分式方程解应用题的一般步骤是：
。

2、随堂练习，巩固提高（要求列分式方程）
（1）小明和同学一起去书店买书。他们先用１５元买了一种科普书，又用１５元买了一种文学书。科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的科普书比文学书少１本。问这种科普书和文学书的价格各是多少？

（2）某商店销售一批服装，每件售价１５０元，可获利２５%，求这种服装的成本价。

（3）甲种原料和乙种原料的单价比是２：３，将价值２０００元的甲种原料和价值１０００元的乙种原料混合后，单价是９元，求甲种原料的单价。

[课外拓展]
1、课后记（收获、体会、困惑）

2、分层作业（班级：_____________，学生姓名：____________）
A、必做题（限时12分钟，实际完成时间：_______分钟）
一、列分式方程解决以下问题
某商店甲种糖果的单价是每千克20元，乙种糖果的单价是每千克１６元。为了促销，现将１０千克乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克１７.５元，那么分开销售和混合销售的销售额相同。问这包甲种糖果有多少千克？

B、选做题
如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为3km，王老师家到学校的路程为0.5km,由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学。已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
C：选做题
某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用。1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元。超出5m3的部分每立方米收费多少元

八年级数学下册第二章分解因式回顾与思考学案

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家都在十分严谨的想教案课件。只有规划好教案课件计划，新的工作才会更顺利！你们清楚有哪些教案课件范文呢？小编收集并整理了“八年级数学下册第二章分解因式回顾与思考学案”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

回顾与思考
学习目标：
（1）提高因式分解的基本运算技能
（2）能熟练进行因式分解方法的综合运用．
学习重难点:
几种因式分解方法的综合运用．
学习准备：
1、把一个多项式化成的形式，叫做把这个多项式分解因式。
要弄清楚分解因式的概念，应把握如下特点：
（1）结果一定是的形式；
（2）每个因式都是；
（3）各因式一定要分解到为止。
2、分解因式与是互逆关系。
3、分解因式常用的方法有：
（1）提公因式法：
（2）应用公式法：①平方差公式：②完全平方公式：
（3）分组分解法：am+an+bm+bn=
(4)十字相乘法：=
4、分解因式步骤：
（1）首先考虑提取，然后再考虑套公式；
（2）对于二次三项式联想到平方差公式因式分解；
（3）对于二次三项式联想到完全平方公式，若不行再考虑十字相乘法分解因式；
（4）超过三项的多项式考虑分组分解；
（5）分解完毕不要大意，检查是否分解彻底。
辨析题：
1、下列哪些式子的变形是因式分解？
（1）x2–4y2=（x+2y）（x–2y）
（2）x（3x+2y）=3x2+2xy
（3）4m2–6mn+9n2=2m（2m–3n）+9n2
（4）m2+6mn+9n2=（m+3n）2
2、把下列各式分解因式：
（1）7x2–63（2）（x+y）2–14（x+y）+49