八年级数学竞赛例题和差化积--因式分解的应用专题讲解。

每个老师不可缺少的课件是教案课件，大家在认真写教案课件了。是时候对自己教案课件工作做个新的规划了，未来的工作就会做得更好！究竟有没有好的适合教案课件的范文？小编收集并整理了“八年级数学竞赛例题和差化积--因式分解的应用专题讲解”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

专题05和差化积
——因式分解的应用
阅读与思考：
因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：
1．复杂的数值计算；
2．代数式的化简与求值；
3．简单的不定方程（组）；
4．代数等式的证明等.
有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：
1.;
2.;
3.；
4.；
5.．
例题与求解
【例1】已知，，那么的值为___________.
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a，b之间的关系，代入关系求值．

【例2】a，b，c是正整数，a＞b，且，则等于().
A.－1B．－1或－7C．1D.1或7
（江苏省竞赛试题）
解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，
在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．
求代数式的值的基本方法有；
(1)代入字母的值求值；
(2)代入字母间的关系求值；
(3)整体代入求值．
【例3】计算：(1)（“希望杯”邀请赛试题）
（2）（江苏省竞赛试题）
解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究的规律．
【例4】求下列方程的整数解．
(1);（上海市竞赛试题）
(2).（四川省竞赛试题）
解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．
解不定方程的常用方法有：
(1)穷举法；(2)配方法；(3)分解法；(4)分离参数法．
用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.

【例5】已知，，求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)．
解题思路：先分解因式再代入求值.

【例6】一个自然数恰等于另一个自然数的立方，则称自然数为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：是一个完全立方数．（北京市竞赛试题）
解题思路：用字母表示数，将分解为完全立方式的形式即可．

能力训练
A级
1.如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，边长分别为，的长方形卡片6张，边长为的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为________．
（烟台市初中考试题）
2．已知，则的值为__________．（江苏省竞赛试题）
3．方程的整数解是__________．（“希望杯”邀请赛试题）
4.如果是完全平方式，那么的值为__________．（海南省竞赛试题）
5.已知()，则的值是()．
A．2，B．2C．D．
6．当，的值为()．
A.－1B．0C．2D．1
7．已知，，则M与N的大小关
系是()．
A.M＜NB．M＞NC．M＝ND．不能确定
（“希望杯”邀请赛试题）
8．为某一自然数，代入代数式中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是()．
A.388944B.388945C.388954D.388948
（五城市联赛试题）
9．计算：
(1)（北京市竞赛试题）
(2)(安徽省竞赛试题)

10.一个自然数恰好等于另一个自然数的平方，则称自然数为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若＝19982＋19982×19992＋19992，求证：是一个完全平方数．
（北京市竞赛试题）

11.已知四个实数，，，，且，，若四个关系式，，，同时成立.
(1)求的值；
(2)分别求，，，的值．
（湖州市竞赛试题）

B级
1．已知是正整数，且是质数，那么____________.
（“希望杯”邀请赛试题）
2．已知三个质数的乘积等于这三个质数的和的5倍，则＝________.
（“希望杯”邀请赛试题）
3.已知正数，，满足，则
＝_________.（北京市竞赛试题）
4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取＝9，＝9时，则各个因式的值是：，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式，取＝10，＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．
（浙江省中考试题）
5．已知，，是一个三角形的三边，则的值()．
A.恒正B．恒负C．可正可负D．非负
(太原市竞赛试题)
6．若是自然数，设，则()．
A.一定是完全平方数B．存在有限个，使是完全平方数
C.一定不是完全平方数D．存在无限多个，使是完全平方数
7．方程的正整数解有()组．
A.3B．2C．1D．0
（“五羊杯”竞赛试题）
8．方程的整数解有()组．
A.2B．4C．6D.8
（”希望杯”邀请赛试题）
9．设N＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N的因数？
（美国中学生数学竞赛试题）

10．当我们看到下面这个数学算式时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：
，，，，…
你能发现以上等式的规律吗？

11.按下面规则扩充新数：
已有，两数，可按规则扩充一个新数，而以，，三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4，求：
(1)按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；
(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．
（重庆市竞赛试题）
12.设，，为正整数．被整除所得的商分别为，.
(1)若，互质，证明与互质；
(2)当，互质时．求的值；
(3)若，的最大公约数为5，求的值．
（江苏省竞赛试题）

扩展阅读

八年级数学竞赛例题和差化积--因式分解的方法1专题讲解

专题3和差化积----因式分解的方法（1）
阅读与思考
提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．
一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：
1．换元法：
对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等．
2．拆、添项法：
拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．

例题与求解
【例l】分解因式___________．
（浙江省中考题）
解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．

【例2】观察下列因式分解的过程：
（1）；
原式＝；
（2）．
原式＝．
第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．
仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
（1）；
（西宁市中考试题）
（2）．
（临沂市中考试题）
解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．

【例3】分解因式
（1）；
（重庆市竞赛题）
（2）；
（“缙云杯”邀请赛试题）
（3）．
（“五羊杯”竞赛试题）

解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．

【例4】把多项式因式分解后，正确的结果是（）．
A．B．
C．D．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．

【例5】分解因式：
（1）；
（扬州市竞赛题）
（2）；（请给出多种解法）
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（3）．
解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．

【例6】分解因式：．
（河南省竞赛试题）
解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．

能力训练

A级
1．分解因式：
（1）＝___________________________．
（泰安市中考试题）
（2）＝__________________________．
（威海市中考试题）
2．分解因式：
（1）＝_________________________；
（2）＝_____________________________．
3．分解因式：＝____________________________．
4．多项式与多项式的公因式是____________________．
5．在1~100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有_______个．
6．将多项式分解因式的积，结果是（）．
A．B．
C．D．
7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．
A．B．
C．D．
（“希望杯”邀请赛试题）
8．把分解因式，其中一个因式是（）．
A．B．C．D．
9．多项式有因式（）．
A．B．
C．D．
（“五羊杯”竞赛试题）

10．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．
A．一定是奇数B．一定是偶数
C．可为奇数也可为偶数D．一定是负数
11．分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（4）；（重庆市竞赛试题）
（5）；
（6）．

12．先化简，在求值：
，其中，．

B级
1．分解因式：＝_______________．
（重庆市竞赛试题）
2．分解因式：＝_____________．
（“五羊杯”竞赛试题）
3．分解因式：＝_________________________．
（“希望杯”邀请赛试题）
4．分解因式：＝______________________．
（“五羊杯”竞赛试题）
5．将因式分解得（）．
A．B．
C．D．
（陕西省竞赛试题）
6．已知是△ABC三边的长，且满足，则此三角形是（）．
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定
7．的因式是（）．
A．B．C．D．E.
（美国犹他州竞赛试题）
8．分解因式：
（1）；（湖北省黄冈市竞赛试题）
（2）；（江苏省竞赛试题）
（3）；（陕西省中考试题）
（4）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（5）；（“五羊杯”竞赛试题）
（6）．（太原市竞赛试题）

9．已知乘法公式：
利用或者不利用上述公式，分解因式：．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）

10．分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．

11．对方程，求出至少一组正整数解．
（莫斯科市竞赛试题）

12．已知在△ABC中，，
求证：．
（天津市竞赛试题）

八年级数学竞赛例题乘法公式专题讲解

专题02乘法公式

阅读与思考
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：
1．熟悉每个公式的结构特征；
2．正用即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；
3．逆用即将公式反过来逆向使用；
4．变用即能将公式变换形式使用；
5．活用即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．

例题与求解
【例1】1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是．
（全国初中数字联赛试题）
解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．

【例2】（1）已知满足等式，则的大小关系是()
A．B．C．D．
（山西省太原市竞赛试题）
（2）已知满足，则的值等于（）
A．2B．3C．4D．5
（河北省竞赛试题）
解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．

【例3】计算下列各题：
（1）；（天津市竞赛试题）
（2）；（“希望杯”邀请赛试题）
（3）．
解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．

【例4】设，求的值．（西安市竞赛试题）
解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．

【例5】观察：
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）．
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．

【例6】设满足求：
（1）的值；
（2）的值．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．

能力训练
A级
1．已知是一个多项式的平方，则．（广东省中考试题）
2．数能被30以内的两位偶数整除的是．
3．已知那么．
（天津市竞赛试题）
4．若则．
5．已知满足则的值为．
（河北省竞赛试题）
6．若满足则等于．
7．等于（）
A．B．C．D．
8．若，则的值是（）
A．正数B．负数C．非负数D．可正可负
9．若则的值是（）
A．4B．19922C．21992D．41992
（“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？（“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）

11．设，证明：是37的倍数．（“希望杯”邀请赛试题）

12．观察下面各式的规律：
写出第2003行和第行的式子，并证明你的结论．

B级
1．展开式中的系数，当1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为．（《学习报》公开赛试题）
2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为，则的值为．
（天津市竞赛试题）
3．已知满足等式则．
4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为．
（全国初中数学联赛试题）
5．已知，则多项式的值为（）
A．0B．1C．2D．3
6．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）
A．16种B．14种C．12种D．10种
（北京市竞赛试题）
7．若正整数满足，则这样的正整数对的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
（山东省竞赛试题）
8．已知，则的值是（）
A．3B．9C．27D．81
（“希望杯”邀请赛试题）
9．满足等式的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．
（天津市竞赛试题）

11．若，且，求证：．

12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如
因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？（浙江省中考试题）

八年级数学竞赛例题双曲线专题讲解

教案课件是老师需要精心准备的，到写教案课件的时候了。在写好了教案课件计划后，才能够使以后的工作更有目标性！有没有好的范文是适合教案课件？以下是小编收集整理的“八年级数学竞赛例题双曲线专题讲解”，希望能为您提供更多的参考。

专题11双曲线

阅读与思考
形如的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使用的模型，如通过改变电阻来控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中.
反比例函数的基本性质有：
1.反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交；
2.k的正负性，决定双曲线大致位置及y随x的变化情况；
3.双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线及.
反比例函数与一次函数有着内在的联系.如在作图时都要经历列表、描点、连线的过程；研究它们的性质时，都是通过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同.
反比例函数中的几何意义是：等于双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积，如图：
（1）；
（2）.
求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到.
求符合某种条件的点的坐标，常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标.
解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性.
反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识.
例题与求解
【例1】（1）如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F且交BC于点E，四边形OEBF的面积为2，则.
（兰州市中考试题）

（2）如图，△P1OA1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1，P2在函数的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是.
（南通市中考试题）
解题思路：对于（1），通过连线，把相关图形的面积用k表示；对于（2），设，，把A，C两点坐标用a，b表示.

【例2】如图，P是函数图象上一点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F，则的值为.
（北京市竞赛试题）
解题思路：设，把AF，BE用a，b的式子表示.

【例3】如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4.
（1）求k的值；
（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标.
（福州市中考试题）
解题思路：对于（2），有下列不同的解法：
图1图2图3
对于（3），需要思考的是，四边形APBQ的形状，P点与A点有怎样的位置关系.
【例4】已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知A点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求A点坐标；
（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.
解题思路：对于（3），应分类讨论，并注意A点坐标隐含的信息.

【例5】一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数的图象相交于点A、B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD.
（1）若点A，B在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：
①；②.
（2）若点A，B分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论.
图1图2
（威海市中考试题）
解题思路：对于（1），通过连线证明面积相等，进而可证AB∥DC，则四边形ANDC，DCMB为平行四边形；（2）方法同（1）.

例5的拓展变化：
如图，点M，N在反比例函数的图象上，过点M作ME⊥x轴，过点N作NF⊥y轴，垂足分别为E、F，则MN∥EF.

【例6】点，与点C构成边长是3，4，5的直角三角形，如果点C在反比例函数的图象上，求k可能取的一切值.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：本题是与反比例函数相关的综合题，运用了代数化、勾股定理、消元降次、分类讨论等思想方法.

能力训练
A级
1.已知是反比例函数，则.
2.若反比例函数的图象位于第二、四象限，则满足条件的正整数k的值是.
（沈阳市中考试题）
3.已知双曲线经过点，如果，两点在该双曲线上，且，那么.（威海市中考试题）
4.已知函数（a为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是.
5.如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是.（荆门市中考试题）
6.如图，B为双曲线上一点，直线AB平行于y轴交直线于点A，若，则.（武汉市四月调考试题）
（第5题）（第6题）
7.如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若，则k的值是（）
A.2B.C.D.4
（鄂州市中考试题）
（第7题）（第8题）
8.如图，反比例函数的图象与直线的交点为A、B，过A作y轴的平行线与过B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（）
A.8B.6C.4D.2
（深圳市中考试题）

9.函数与在同一坐标系中的图象可能是（）
（山西省中考试题）
10.如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积.
（黄冈市中考试题）

11.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴、x轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点、，过C点作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于F.
（1）求m，n的值；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）求证：△AEC≌△DFB.
（温州市中考试题）

12.如图所示，已知双曲线的图象上有两点，，且，分别过，向x轴作垂线，垂足为B，D，过，向y轴作垂线，垂足分别为A，C.
（1）若记四边形和四边形的面积分别为，，周长分别为，，试比较和，和的大小；
（2）若P是双曲线上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N.试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？
（黄冈市特长生选拔赛试题）

B级
1.已知，且与成反比例，与成反比例.且当时，；当时，.当时，.
2.直线与双曲线交于，两点，则.
（荆门市中考试题）
3.如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点A，C，自点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为B和D，则四边形ABCD的面积等于.
（北京市竞赛试题）
（第3题）（第4题）
4.已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点C，B，与双曲线交于点A，D，若，则k的值为.
（十堰市中考试题）
5.两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，有以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.
其中一定正确的是.
（咸宁市中考试题）
6.如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数的图象上，则点E的坐标是（）
A.B.
C.D.
（绍兴市中考试题）
7.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是曲线和，设P点在上，PE⊥x轴于点E，交于点A，PD⊥y轴于点D，交于点B，则四边形PAOB的面积为（）
A.B.C.D.
（浙江省竞赛试题）
8.等腰直角三角形ABC位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线与△ABC有交点，则k的取值范围是（）

A.B.
C.D.
（济南市中考试题）

9.如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点是函数的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.
（1）求B点坐标和k的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）写出S关于m的函数关系式.
（温州市中考试题）

10.如图，已知直线交x轴于A，交y轴于B，P为反比例函数上一点，过P作x轴平行线交直线l于E，过P作y轴平行线交直线l于F.求的值.

11.已知一次函数与反比例函数的图象交于点，.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△MON的面积.
（太原市竞赛试题）

12.已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴，y轴分别交于点A和点B，且.这条曲线是函数的图象在第一象限内的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是，由点P向x轴、y轴作垂线PM，PN（垂足分别为M，N），分别与直线AB相交于点E和点F.
（1）设交点E和F都在线段AB上（如图），分别求E，F的坐标（用a的代数式表示E点坐标，用b的代数式表示F点坐标，只需写出答案，不要求写出计算过程）；
（2）求△OEF的面积（结果用a，b的代数式表示）；
（3）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由；
（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，是否有大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论.
（上海市竞赛试题）