八年级数学竞赛例题专题-梯形。
老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中，大家应该开始写教案课件了。我们制定教案课件工作计划，才能对工作更加有帮助！你们会写多少教案课件范文呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“八年级数学竞赛例题专题-梯形”，仅供您在工作和学习中参考。
专题21梯形
阅读与思考
梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.
解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅助线的方法有：
（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；
（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；
（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；
（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形．
如图所示：
例题与求解
【例1】如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的长度分别为，，那么AB的长是___________.（荆州市竞赛试题）
解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特殊三角形．
【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形．
（1）求四边形ABCD四个内角的度数；
（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图．
（山东省中考试题）
解题思路：对于（1）、（2），在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见辅助线入手；对于（3），在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干种图形．
【例3】如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2，求梯形的高.
（内蒙古自治区东四盟中考试题）
解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手．
【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，问：满足条件∠BPC＝900的点P有多少个？
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：根据AB＋DC＝AD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形．
【例5】如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC，BD相交于O，∠ACD＝600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点．
（1）求证：△PQS是等边三角形；
（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面积；
（3）若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.
【例6】如图，分别以△ABC的边AC和BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半．
（山东省竞赛试题）
解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质．关键是要构造能运用条件EP＝PF的图形．
能力训练
A级
1.等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，则下底角的度数是__________.
（天津市中考试题）
2.如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至DE，连接AE，则△ADE的面积为______________.（宁波市中考试题）
3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为______________.
4.如图，梯形ABCD中，AD//BC，EF是中位线，G是BC边上任一点，如果，那么梯形ABCD的面积为__________.（成都市中考试题）
5.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高和中位线的长之间的关系是()
A．＞B．＝C．＜D．无法确定
6.梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝，∠BCD＝，∠CDA＝，则DC的长度是()
A.B．8C.D.E.
（美国高中考试题）
7．如图，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，则∠DBC的度数是()
A.300B.450C.600D.900
（陕西省中考试
8．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为()
A．B．C．D．3
（鄂州市中考试题）
9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为E，F，G．求证：PE＋PF＝BG．
（哈尔滨市中考试题）
10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别为AB，AC中点，BD与EF相交于G．
求证：．
11.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形；
（2）．（深圳市中考试题）
12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN//AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP＝．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由．
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．（江西省中考试题)
B级
1.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延长BD到E，使DE＝DB，作
EF⊥AB交BA的延长线于点F，则AF＝__________.
（山东省竞赛试题）
2.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC与BD相交于G，且∠AGD＝，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为_________.
（“希望杯”邀请赛试题）
3.用四条线段：作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为_________.（湖北赛区选拔赛试题）
4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO＝3：2，则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为_________.（安徽省中考试题）
第4题图第5题图第6题图
5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，若△DEC的面积为S，则四边形ABCD的面积为()
A．B．2SC．D．
（重庆市竞赛试题）
6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝，∠C＝，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，
DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF的值为()
A．4B．C．5D．6
（全国初中数学联赛试题）
7.如图，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中点，有以下四个命题：①若AB＋DC＝BC，则∠BEC＝；②若∠BEC＝，则AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分线，则∠BEC＝；
④若AB＋DC＝BC，则CE是∠DCB的平分线.其中真命题的个数是()
A．1个B．2个C．3个D．4个
（重庆市竞赛试题）
8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于()
A．1cmB．1.5cmC．2cmD．2.5cm
（“希望杯”邀请赛试题）
9.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，M是腰BC的中点，MN⊥AD.求证：
（山东省竞赛试题）
10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.
（全国初中数学联赛试题）
11.已知一个直角梯形的上底是3，下底是7，且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积.
（“东方航空杯”上海市竞赛试题）
12.如图1，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形OABD的边BD的三等分点（）交AB于E，AB＝12，四边形OEBF的面积为16.
（1）求值.
（2）已知，点P从A出发以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动，点Q从C同时出发，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，经过多少时间，四边形PQCB为等腰梯形（如图2）.
（3）在（2）条件下，在梯形PQCB内是否有一点M，使过M且与PB，CQ分别交于S，T的直线把PQCB的面积分成相等的两部分，若存在，请写出点M的坐标及CM的长度；若不存在，请说明理由.
延伸阅读
八年级数学竞赛例题专题-面积法
专题27面积法
阅读与思考
平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．
所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．
用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．
下列情况可以考虑用面积法：
（1）涉及三角形的高、垂线等问题；
（2）涉及角平分线的问题．
例题与求解
【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．
等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？
【例2】如图，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是△AOB的面积的，则OC：OD等于()
A．3：1B．2：1
C．3：2D．5：3
解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．
【例3】如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于G，求证：∠BGC＝∠DGC.
（长春市竞赛试题）
解题思路：要证∠BGC＝∠DGC，即证CG为∠BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．
【例4】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.
求证：（1）；
（2）.（南京市竞赛试题）
解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.
【例5】如图，在△ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，且，求的值.
解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.
（黄冈市竞赛试题）
【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，且（是正数），求四边形EFGH的面积．
（河北省竞赛试题）
解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比．
线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有：
(1)等高三角形面积比，等于它们的底之比；
(2)等底三角形面积比，等于它们的高之比；
(3)相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．
能力训练
1．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM⊥EC，垂足为M，则BM＝______.
（福建省中考试题）
2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝，AB＝，则CE＝__________.
（南宁市中考试题）
第1题图第2题图第3题图
3．如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR＝13，则该八边形的面积为____________.
（江苏省竞赛试题）
4.在△ABC中，三边长为，，，表示边上的高的长，，的意义类似，则(＋＋)的值为____________.（上海市竞赛试题）
5．如图，△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.
（全国竞赛试题）
6．如图，过等边△ABC内一点P向三边作垂线，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积是()．
A.B.C.D.
（湖北省黄冈市竞赛试题）
第5题图第6题图第7题图
7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，若∠CAD＝∠DAB＝，AC＝3，AB＝6，则AD的长是()．
A．2B.C.3D.
8．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，，，，，，，那么恒成立的关系式是()．
A.+=B.+=
C.+=D．+=
9．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，，，△ABC的高为．若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：＋＋＝.
请直接用上述信息解决下列问题：
当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，，，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．
（黑龙江省中考试题）
10.如图，已知D，E，F分别是锐角△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝，PE＝，PF＝，若，求的值．
（“希望杯”邀请赛试题）
11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD.
（加拿大数学奥林匹克试题）
12.如图，在锐角△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点.P，Q，R分别是△ADF，△BDE，△CEF的三条中线的交点.
(1)求△DEF与△ABC的面积比；
(2)求△PDF与△ADF的面积比；
(3)求多边形PDQERF与△ABC的面积比.
13．如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使，
若，求的值．（上海市竞赛试题）
14.如图，一直线截△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证：．
（梅涅劳斯定理）
15．如图，在△ABC中，已知，求的值.
（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）
八年级数学竞赛例题专题-正方形
专题20正方形
阅读与思考
矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．
正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．
例题与求解
【例l】如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点，.下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤.
其中，正确结论的序号是______________．（重庆市中考试题）
解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．
【例2】如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上
，取线段的中点.连，．
（1）探究线段，的关系，并加以证明．
（2）将正方形绕点旋转任意角后（如图2），其他条件不变．
探究线段，的关系，并加以证明．
（大连市中考题改编）
解题思路：由为中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．
【例3】如图，正方形中，，是，边上两点，且，于，求证：.
（重庆市竞赛试题）
解题思路：构造的线段是解本例的关键．
【例4】如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，试确定的大小，并证明你的结论．
（北京市竞赛试题）
解题思路：先猜测的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．
【例5】如图，在正方形中，，分别是边，上的点，满足，
分别与对角线交于点．
求证：（1）；
（2）．（四川省竞赛试题）
解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．
【例6】已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
（黑龙江省中考试题）
解题思路：对于（2），构造是解题的关键．
能力训练
A级
1.如图，若四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为__________.
（北京市竞赛试题）
2.四边形的对角线相交于点，给出以下题设条件：
①；
②；
③；
④．
其中，能判定它是正方形的题设条件是______________.（把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）
3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是__________.
（青岛市中考试题）
第1题图第3题图第4题图
4.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转至能与重合，若，则=__________.（河南省中考试题）
5.将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为()
A.B．C.D.
（晋江市中考试题）
第5题图第6题图
6.如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，则的长为()
A.12B．8C.D.
（浙江省竞赛试题）
7．如图，正方形中，，那么是()
A.B．C.D.
8．如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是()
A．15B．12C．11D．10
9．如图，在正方形中，是边的中点，与交于点，求证：．
10.如图，在正方形中，是边的中点，是上的一点，且．
求证：平分．
11.如图，已知是正方形对角线上一点，分别是垂足．
求证：．
（扬州市中考试题）
12.（1）如图1，已知正方形和正方形，在同一条直线上，为线段的中点．探究：线段的关系．
（2）如图2，若将正方形绕点顺时针旋转，使得正方形的对角线在正方形的边的延长线上，为的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（大连市中考试题）
图1图2
B级
1.如图，在四边形中，，于，若四边形的面积为8，则的长为__________.
2.如图，是边长为1的正方形内一点，若，则
__________.
（北京市竞赛试题）
3.如图，在中，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，且，则的长为__________.
（“希望杯”邀请赛试题）
4.如图：边长一定的正方形，是上一动点，交于，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；
③；④为定值，其中一定成立的是()
A.①②③B．①②④C.②③④D.①②③④
5.如图，是正方形，，是菱形，则与度数的比值是()
A.3B．4C.5D.不是整数
6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是()
A.B．C.8D.E.
（美国高中考试题）
7.如图，正方形中，，是的中点，设，在上取一点，使
，则的长度等于()
A.1B．2C.3D.
（“希望杯”邀请赛试题）
8.已知正方形中，是中点，是延长线上一点，且交平分线于（如图1）
（1）求证：；
（2）若将上述条件中的“是中点”改为“是上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（临汾市中考试题）
`
9.已知求证：
10.如果，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数．（“祖冲之杯”邀请赛试题）
11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形，对角线分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：，且．
（北京市竞赛试题）
12.如图，正方形内有一点，以为边向外作正方形和正方形，连接．求证：．
（武汉市竞赛试题）
八年级数学竞赛例题专题-关于中点的联想
每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，是认真规划好自己教案课件的时候了。必须要写好了教案课件计划，未来的工作就会做得更好！究竟有没有好的适合教案课件的范文？以下是小编收集整理的“八年级数学竞赛例题专题-关于中点的联想”，供您参考，希望能够帮助到大家。
专题22关于中点的联想
阅读与思考
线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连．
解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：
例题与求解
【例1】如图，△ABC边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值为___________．(安徽省竞赛试题)
解题思路：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点P可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题．
【例2】如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF∥AB，线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN的长度为()(北京市竞赛试题)
A．102B．172C．173D．2103
解题思路：连接CG，取CG的中点T，构造三角形中位线、梯形中位线．
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB中点，连接CE，CD，
求证：CD＝2EC．(宁波市竞赛试题)
解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．
【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，PD＝PB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．
(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；
(3)如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（营口市中考试题）
图①图②图③
解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创造条件．
【例5】如图，以△ABC的AB，AC边为斜边向形外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD＝∠ACE，M是BC的中点，求证：DM＝EM．（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：显然△DBM不全等于△ECM，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明DM＝EM．
【例6】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高CH与△ABC的两条内角平分线AM，BN分别交于P，Q两点，PM，QN的中点分别为E，F，求证：EF∥AB．（全国初中数学联赛题）
解题思路：从图形的形成过程，逐步探索相应结论．将原问题分解为多个小问题．
○能○力○训○练
A级
1．如图，若E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是____________．
(1)如果把条件中的四边形ABCD依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH分别为_______________________；
(2)如果把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD应具备的条件是_______________________．（湖北省黄冈市中考试题）
2．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为_______________．(重庆市竞赛试题)
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，若BC＝16，DE＝5，则AD＝______________．（南京市中考试题）
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM，若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分的面积为________________．
（北京市中考试题）
5．A′，B′，C′，D′顺次为四边形ABCD的各边的中点，下面条件中使四边形A′B′C′D′为正方形的条件是（）
A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是等腰梯形D．四边形ABCD中，AC⊥BD且AC＝BD
6．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则该等腰梯形的面积为（）
A．16cm2B．32cm2C．64cm2D．112cm2
7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是BD，AC的中点，若AD＝6cm，BC＝18cm，则EF的长为（）
A．8cmB．7cmC．6cmD．5cm
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE＝EG＝GB，AD＝18，BC＝32，则EF＋GH＝（）
A．40B．48C．50D．56（泰州市中考试题）
第8题图第9题图
9．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，M是BC的中点，求证：DM＝12AB．
10．如图，在△ABC中，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P，Q，求证：AP＝AQ．
11．在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
(2009年河北省中考试题)
12．在六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，AB＋DE＝BC＋EF，A1，B1，D1，E1分别是边AB，BC，DE，EF的中点，A1D1＝B1E1．求证：∠CDE＝∠AFE．
B级
1．如图，正方形ABCD两条对角线相交于点E，∠CAD的平分线AF交DE于点G，交DC于点F，若GE＝24，则FC＝_________________．
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别是AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点P，Q，且∠FPQ＝∠FQP，BD＝10，则AC＝_________．（重庆市竞赛试题）
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以AB，AC为边分别向形外作正三角形ABD和正三角形ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，则∠MPN＝_________．（北京市竞赛试题）
4．如图，已知A为DE的中点，设△DBC，△ABC，△EBC的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）
A．S2＝32(S1＋S3)B．S2＝12(S3―S1)C．S2＝12(S1＋S3)D．S2＝32(S3―S1)
5．如图，在图形ABCD中，AB∥DC，M为DC的中点，N为AB的中点，则()
A．MN＞12(AD＋BC)B．MN＜12(AD＋BC)
C．MN＝12(AD＋BC)D．无法确定MN与12(AD＋BC)的关系
6．如图，凸四边形ABCD的面积是a，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，那么图中的阴影部分的面积为()
A．18aB．16aC．14aD．12a
（江苏省竞赛试题）
7．如图，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE＝DF，过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于点P．求证：∠PAE＝∠PBF．（全国初中数学联赛试题）
8．如图，锐角△ABC中，作高BD和CE，过顶点B，C分别作DE的垂线BF和CG，求证：EF＝DG．
（全俄奥林匹克数学竞赛试题）
9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN＝90°，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求证：AD2＝14(AB2＋AC2)．（北京市竞赛试题）
10．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如图1，连接DE，设M为DE的中点．
(1)求证：MB＝MC；
(2)设∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图2的位置，试问：MB＝MC是否还成立?请说明理由．（江苏省竞赛试题）
11．已知△OAB，△OCD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．
(1)如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点，求证：OM⊥BC．
(2)如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转α(α为锐角)，M为线段AD的中点．
①求证：OM＝12BC；
②OM⊥BC是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
12．如图1，在△ABC中，点P为BC边的中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．
(1)延长MP交CN于点E(如图2)．
①求证：△BPM≌△CPE；
②求证：PM＝PN．
(2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3))若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN是否成立．不必说明理由．（沈阳市中考试题）
