八年级数学竞赛例题和差化积--因式分解的方法1专题讲解。

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专题3和差化积----因式分解的方法（1）
阅读与思考
提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．
一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：
1．换元法：
对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等．
2．拆、添项法：
拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．

例题与求解
【例l】分解因式___________．
（浙江省中考题）
解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．

【例2】观察下列因式分解的过程：
（1）；
原式＝；
（2）．
原式＝．
第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．
仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
（1）；
（西宁市中考试题）
（2）．
（临沂市中考试题）
解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．

【例3】分解因式
（1）；
（重庆市竞赛题）
（2）；
（“缙云杯”邀请赛试题）
（3）．
（“五羊杯”竞赛试题）

解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．

【例4】把多项式因式分解后，正确的结果是（）．
A．B．
C．D．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．

【例5】分解因式：
（1）；
（扬州市竞赛题）
（2）；（请给出多种解法）
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（3）．
解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．

【例6】分解因式：．
（河南省竞赛试题）
解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．

能力训练

A级
1．分解因式：
（1）＝___________________________．
（泰安市中考试题）
（2）＝__________________________．
（威海市中考试题）
2．分解因式：
（1）＝_________________________；
（2）＝_____________________________．
3．分解因式：＝____________________________．
4．多项式与多项式的公因式是____________________．
5．在1~100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有_______个．
6．将多项式分解因式的积，结果是（）．
A．B．
C．D．
7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．
A．B．
C．D．
（“希望杯”邀请赛试题）
8．把分解因式，其中一个因式是（）．
A．B．C．D．
9．多项式有因式（）．
A．B．
C．D．
（“五羊杯”竞赛试题）

10．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．
A．一定是奇数B．一定是偶数
C．可为奇数也可为偶数D．一定是负数
11．分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（4）；（重庆市竞赛试题）
（5）；
（6）．

12．先化简，在求值：
，其中，．

B级
1．分解因式：＝_______________．
（重庆市竞赛试题）
2．分解因式：＝_____________．
（“五羊杯”竞赛试题）
3．分解因式：＝_________________________．
（“希望杯”邀请赛试题）
4．分解因式：＝______________________．
（“五羊杯”竞赛试题）
5．将因式分解得（）．
A．B．
C．D．
（陕西省竞赛试题）
6．已知是△ABC三边的长，且满足，则此三角形是（）．
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定
7．的因式是（）．
A．B．C．D．E.
（美国犹他州竞赛试题）
8．分解因式：
（1）；（湖北省黄冈市竞赛试题）
（2）；（江苏省竞赛试题）
（3）；（陕西省中考试题）
（4）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（5）；（“五羊杯”竞赛试题）
（6）．（太原市竞赛试题）

9．已知乘法公式：
利用或者不利用上述公式，分解因式：．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）

10．分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．

11．对方程，求出至少一组正整数解．
（莫斯科市竞赛试题）

12．已知在△ABC中，，
求证：．
（天津市竞赛试题）

相关知识

八年级数学竞赛例题和差化积--因式分解的应用专题讲解

专题05和差化积
——因式分解的应用
阅读与思考：
因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：
1．复杂的数值计算；
2．代数式的化简与求值；
3．简单的不定方程（组）；
4．代数等式的证明等.
有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：
1.;
2.;
3.；
4.；
5.．
例题与求解
【例1】已知，，那么的值为___________.
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a，b之间的关系，代入关系求值．

【例2】a，b，c是正整数，a＞b，且，则等于().
A.－1B．－1或－7C．1D.1或7
（江苏省竞赛试题）
解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，
在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．
求代数式的值的基本方法有；
(1)代入字母的值求值；
(2)代入字母间的关系求值；
(3)整体代入求值．
【例3】计算：(1)（“希望杯”邀请赛试题）
（2）（江苏省竞赛试题）
解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究的规律．
【例4】求下列方程的整数解．
(1);（上海市竞赛试题）
(2).（四川省竞赛试题）
解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．
解不定方程的常用方法有：
(1)穷举法；(2)配方法；(3)分解法；(4)分离参数法．
用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.

【例5】已知，，求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)．
解题思路：先分解因式再代入求值.

【例6】一个自然数恰等于另一个自然数的立方，则称自然数为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：是一个完全立方数．（北京市竞赛试题）
解题思路：用字母表示数，将分解为完全立方式的形式即可．

能力训练
A级
1.如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，边长分别为，的长方形卡片6张，边长为的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为________．
（烟台市初中考试题）
2．已知，则的值为__________．（江苏省竞赛试题）
3．方程的整数解是__________．（“希望杯”邀请赛试题）
4.如果是完全平方式，那么的值为__________．（海南省竞赛试题）
5.已知()，则的值是()．
A．2，B．2C．D．
6．当，的值为()．
A.－1B．0C．2D．1
7．已知，，则M与N的大小关
系是()．
A.M＜NB．M＞NC．M＝ND．不能确定
（“希望杯”邀请赛试题）
8．为某一自然数，代入代数式中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是()．
A.388944B.388945C.388954D.388948
（五城市联赛试题）
9．计算：
(1)（北京市竞赛试题）
(2)(安徽省竞赛试题)

10.一个自然数恰好等于另一个自然数的平方，则称自然数为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若＝19982＋19982×19992＋19992，求证：是一个完全平方数．
（北京市竞赛试题）

11.已知四个实数，，，，且，，若四个关系式，，，同时成立.
(1)求的值；
(2)分别求，，，的值．
（湖州市竞赛试题）

B级
1．已知是正整数，且是质数，那么____________.
（“希望杯”邀请赛试题）
2．已知三个质数的乘积等于这三个质数的和的5倍，则＝________.
（“希望杯”邀请赛试题）
3.已知正数，，满足，则
＝_________.（北京市竞赛试题）
4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取＝9，＝9时，则各个因式的值是：，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式，取＝10，＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．
（浙江省中考试题）
5．已知，，是一个三角形的三边，则的值()．
A.恒正B．恒负C．可正可负D．非负
(太原市竞赛试题)
6．若是自然数，设，则()．
A.一定是完全平方数B．存在有限个，使是完全平方数
C.一定不是完全平方数D．存在无限多个，使是完全平方数
7．方程的正整数解有()组．
A.3B．2C．1D．0
（“五羊杯”竞赛试题）
8．方程的整数解有()组．
A.2B．4C．6D.8
（”希望杯”邀请赛试题）
9．设N＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N的因数？
（美国中学生数学竞赛试题）

10．当我们看到下面这个数学算式时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：
，，，，…
你能发现以上等式的规律吗？

11.按下面规则扩充新数：
已有，两数，可按规则扩充一个新数，而以，，三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4，求：
(1)按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；
(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．
（重庆市竞赛试题）
12.设，，为正整数．被整除所得的商分别为，.
(1)若，互质，证明与互质；
(2)当，互质时．求的值；
(3)若，的最大公约数为5，求的值．
（江苏省竞赛试题）

八年级数学竞赛例题专题-配方法

专题25配方法
阅读与思考
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.
配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：
1、
2、
3、
4、
配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：
(1)具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如能联想起配方法.
(2)具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.

例题与求解
【例1】已知实数，，满足，那么_____
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x，y的值.

【例2】若实数，，c满足，则代数式的最大值是()
A、27B、18C、15D、12
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：运用乘法公式，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.

配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；
(1)非负数的最小值为零；
(2)有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.
【例3】已知，求a+b+c的值.
解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.
复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.

【例4】证明数列49，4489，444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.
解题思路：，由此可猜想，只需完成从左边到右边的推导过程即可.

几个有趣的结论：
(1)
(2)
这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.

【例5】一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．
(全国初中数学联赛试题)

解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.

【例6】已知自然数n使得为完全平方数，求n的值.
(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路：原式中n的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.

能力训练
1、计算=_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知，则.
3、，y为实数，且，则+y的值为__________.
4、当＞2时，化简代数式，得___________.
5、已知，当=________，y=______时，的值最小.
(全国通讯赛试题)

6、若，则M－N的值()
A、负数B、正数C、非负数D、可正可负
7、计算的值为()
A、1B、C、D、
(全国初中数学联赛试题)
8、设，,为实数，，则x，y，z中至少有一个值()
A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零
(全国初中数学竞赛试题)
9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)的是()
A、B、C、
D、E、
10、已知实数，，c满足，则a+b+c的值等于()
A、2B、3C、4D、5
(河北省竞赛试题)
解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：
设x1，x2，x3,…xn为实数.
(1)若则x1，x2，x3,…xn中至少有(或存在)一个为零；
(2)若，则x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一个大于零；
(3)若，则x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一个小于零.

11、解方程组(苏州市竞赛试题)

12、能使是完全平方数的正整数n的值为多少？
(全国初中数学联赛试题)

13、已知，且，，为自然数，求，的值.
(天津市竞赛试题)

13、设a为质数，b为正整数，且，求，的值.
(全国初中数学联赛试题)

14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y与房间单价x之间存在如图所示的一次函数关系.
(1)根据图象求y与x之间的函数关系式(0＜＜160)；
(2)从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？

八年级数学竞赛例题乘法公式专题讲解

专题02乘法公式

阅读与思考
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：
1．熟悉每个公式的结构特征；
2．正用即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；
3．逆用即将公式反过来逆向使用；
4．变用即能将公式变换形式使用；
5．活用即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．

例题与求解
【例1】1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是．
（全国初中数字联赛试题）
解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．

【例2】（1）已知满足等式，则的大小关系是()
A．B．C．D．
（山西省太原市竞赛试题）
（2）已知满足，则的值等于（）
A．2B．3C．4D．5
（河北省竞赛试题）
解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．

【例3】计算下列各题：
（1）；（天津市竞赛试题）
（2）；（“希望杯”邀请赛试题）
（3）．
解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．

【例4】设，求的值．（西安市竞赛试题）
解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．

【例5】观察：
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）．
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．

【例6】设满足求：
（1）的值；
（2）的值．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．

能力训练
A级
1．已知是一个多项式的平方，则．（广东省中考试题）
2．数能被30以内的两位偶数整除的是．
3．已知那么．
（天津市竞赛试题）
4．若则．
5．已知满足则的值为．
（河北省竞赛试题）
6．若满足则等于．
7．等于（）
A．B．C．D．
8．若，则的值是（）
A．正数B．负数C．非负数D．可正可负
9．若则的值是（）
A．4B．19922C．21992D．41992
（“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？（“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）

11．设，证明：是37的倍数．（“希望杯”邀请赛试题）

12．观察下面各式的规律：
写出第2003行和第行的式子，并证明你的结论．

B级
1．展开式中的系数，当1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为．（《学习报》公开赛试题）
2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为，则的值为．
（天津市竞赛试题）
3．已知满足等式则．
4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为．
（全国初中数学联赛试题）
5．已知，则多项式的值为（）
A．0B．1C．2D．3
6．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）
A．16种B．14种C．12种D．10种
（北京市竞赛试题）
7．若正整数满足，则这样的正整数对的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
（山东省竞赛试题）
8．已知，则的值是（）
A．3B．9C．27D．81
（“希望杯”邀请赛试题）
9．满足等式的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．
（天津市竞赛试题）

11．若，且，求证：．

12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如
因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？（浙江省中考试题）