因式分解的应用。

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家都在十分严谨的想教案课件。写好教案课件工作计划，接下来的工作才会更顺利！有没有出色的范文是关于教案课件的？小编为此仔细地整理了以下内容《因式分解的应用》，仅供参考，欢迎大家阅读。

第三讲因式分解的应用
在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．
因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．
因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．
例题求解
【例1】若，则的值为．
(全国初中数学联赛题)
思路点拨恰当处理两个等式，分解关于的二次三项式．
注：
在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用．
代数式求值的常用方法是：
(1)代入字母的值求值；(2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；
(3)整体代入求值．
【例2】已知a、b、c是一个三角形的三边，则的值()
A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负
(大原市竞赛题)
思路点拨从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．
【例3】计算下列各题：
（1）；
（2）
思路点拨观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．
【例4】已知n是正整数，且n4—16n2+100是质数，求n的值．
(“希望杯’邀请赛试题)
思路点拔从因数分解的角度看，质数只能分解成l和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．
【例5】(1)求方程的整数解；
(上海市竞赛题)
(2)设x、y为正整数，且，求的值．
(“希望杯”邀请赛试题)
思路点拔观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口．
链接
解题思路的获得，一般要经历三个步骤：
(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；
(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；
(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．
不定方程(组)的基本解法有：
(1)枚举法；(2)配方法；(3)因数分解、因式分解法；(4)分离系数法．
运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．

学力训练
1．已知x+y＝3，，那么的值为．
2．方程的整数解是．(“希望杯”邀请赛试题)
3．已知a、b、c、d为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d＝．
4．对一切大于2的正整数n，数n5一5n3+4n的量大公约数是．
(四川省竞赛题)
5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是()
A．41，48B．45，47C．43，48D．4l，47
6，已知2x2－3xy+y2＝0(xy≠0)，则的值是()
A．2，B．2C．D．－2，
7．a、b、c是正整数，ab，且a2-ac+bc=7，则a—c等于()
A．一2B．一1C．0D．2
(江苏省竞赛题)
8．如果，那么的值等于()
A．1999B．2001C．2003D．2005
（武汉市选拔赛试题）
9．(1)求证：8l7一279—913能被45整除；
(2)证明：当n为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；
（3）计算：
10．若a是自然数，则a4－3a+9是质数还是合数?给出你的证明．
(“五城市”联赛题)
11．已知a、b、c满足a+b＝5，c2＝ab+b－9，则c＝．(江苏省竞赛题)
12．已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c，则(a+1)(b+1)(c+1)=．(北京市竞赛题)
13．整数a、b满足6ab＝9a—l0b+303，则a+b=．(“祖冲之杯”邀请赛试题)
14．已知，且，则的值等于．
(“希望杯”邀请赛试题)
15．设abcd，如果x=(a＋b)(c＋d)，y=(a+c)(b+d)，z＝(a+d)(b+c)，那么x、y、z的大小关系为()
A．xyzB．yzxC．zxyD．不能确定
16．若x+y=－1，则的值等于()
A．0B．－1C．1D．3
(“希望杯”邀请赛试题)
17．已知两个不同的质数p、q满足下列关系：，，m是适当的整数，那么的数值是()
A．4004006B．3996005C．3996003D．4004004
18．设n为某一自然数，代入代数式n3－n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是()
A．5814B．5841C．8415D．845l(陕西省竞赛题)
19．求证：存在无穷多个自然数k，使得n4+k不是质数．
20．某校在向“希望工程”捐救活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数．(全国初中教学联赛题)
21．已知b、c是整数，二次三项式x2+bx＋c既是x4+6x2+25的一个因式，也是x3+4x2+28x+5的一个因式，求x＝1时，x2+bx＋c的值．
(美国中学生数学竞赛题)
22．按下面规则扩充新数：
已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……每扩充一个新数叫做一次操作．
现有数1和4，(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．(重庆市竞赛题)

延伸阅读

6.4因式分解的简单应用学案(浙教版)

学生们有一个生动有趣的课堂，离不开老师辛苦准备的教案，大家应该开始写教案课件了。认真做好教案课件的工作计划，才能完成制定的工作目标！你们知道多少范文适合教案课件？小编特地为大家精心收集和整理了“6.4因式分解的简单应用学案(浙教版)”，但愿对您的学习工作带来帮助。

课题6.4因式分解的简单应用授课时间
学习目标1、会用因式分解进行简单的多项式除法
2、会用因式分解解简单的方程
学习重难点重点：因式分解在多项式除法和解方程中两方面的应用。
难点：应用因式分解解方程涉及到的较多的推理过程是本节课的难点。
学习过程设计教学过程设计
看一看
1.应用因式分解进行多项式除法．多项式除以多项式的一般步骤：
①________________②__________
2．应用因式分解解简单的一元二次方程．
依据__________,一般步骤:__________
做一做
1.计算：
（1）（-a2b2+16）÷（4-ab）；
（2）（18x2-12xy+2y2）÷（3x-y）．
2．解下列方程：
（1）3x2+5x=0；
（2）9x2=（x-2）2；
（3）x2-x+=0．
3.完成课后练习题
想一想
你还有哪些地方不是很懂？请写出来。
____________________________________

预习检测
1.计算：

2.先请同学们思考、讨论以下问题：
（1）如果A×5＝0，那么A的值
（2）如果A×0＝0，那么A的值
（3）如果AB＝0，下列结论中哪个正确（）
①A、B同时都为零，即A＝0，
且B＝0；
②A、B中至少有一个为零，即A＝0，或B＝0；
应用探究
1.解下列方程

2．化简求值：已知x-y=-3,-x+3y=2，求代数式x2-4xy+3y2的值
拓展提高：
解方程：
1、(x2+4)2-16x2=0
2、已知a、b、c为三角形的三边，试判断a2-2ab+b2-c2大于零？小于零？等于零？
堂堂清练习
1.计算

2.解下列方程
①7x2+2x=0
②x2+2x+1=0
③x2=(2x-5)2
④x2+3x=4x
教后反思主要让学生掌握因式分解的步骤，对一个式子进行因式分解时要注意方法的选取。牢固的掌握因式分解的公式变形。

《因式分解》教案

§2.1分解因式
●教学目标
教学知识点
使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.
能力训练要求。
通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生观察能力和语言概括能力.
情感与价值观要求。
通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.
●教学重点1.理解因式分解的意义.
2.识别分解因式与整式乘法的关系.
●教学难点通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.
●教学方法观察讨论法
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
导入：由（a+b）（a－b）=a2－b2逆推a2－b2=（a+b）（a－b）
Ⅱ.讲授新课
1.讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.
993－99=99×98×100
2.议一议
你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.
3.做一做[
（1）计算下列各式：①（m+4）（m－4）=_________;②（y－3）2=__________;
③3x（x－1）=_______;④m（a+b+c）=_______;⑤a（a+1）（a－1）=________
（2）根据上面的算式填空：
①3x2－3x=（）（）;②m2－16=（）（）;③ma+mb+mc=（）（）;
④y2－6y+9=（）2.⑤a3－a=（）（）.
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式.
4.想一想
由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
下面我们一起来总结一下.
如：m（a+b+c）=ma+mb+mc（1）
ma+mb+mc=m（a+b+c）（2）
5、整式乘法与分解因式的联系和区别
ma+mb+mcm（a+b+c）.因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
6.例题下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;
（3）a2－4=（a+2）（a－2）;（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
Ⅲ.课堂练习
P40随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.
Ⅴ.课后作业

《因式分解》复习学案

每个老师不可缺少的课件是教案课件，规划教案课件的时刻悄悄来临了。将教案课件的工作计划制定好，新的工作才会如鱼得水！你们会写一段适合教案课件的范文吗？考虑到您的需要，小编特地编辑了“《因式分解》复习学案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

第3课时《因式分解》复习学案
班级：_________姓名：__________评价：__________
【考点扫描】
1.分解因式：．
2.下列式子中是完全平方式的是（）
A．B．C．D．
3．若．
4.分解因式：=。
5.分解因式:m2-n2+2m-2n＝.
6.分解因式:.
【例题精讲】
1、分解因式：
2、分解因式：=.
3、因式分解：___________________.
4、已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2（2）a2+b2

5、在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（＞）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）
A．
B．
C．
D．
【当堂检测】
一．选择题：
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）
A．B．
C．D．
2．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（）
A．x2–yB．x2+2xC．x2+y2D．x2–xy+y2
二．填空题：
（将下列各式因式分解）
1．=
2．．
3．=______________．
4．．
5．＝___________________.
6．若是一个完全平方式，则
三．解答题：
1．已知，，求的值。

2．如图所示，边长为的矩形，它的周长为14，面积为10，求的值．

【能力提升】
1．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状.
阅读下面解题过程：
解：由得：
①
②
即③
∴△ABC为直角三角形。④
试问：以上解题过程是否正确：；
若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）；
错误原因是；
本题的结论应为.