充要条件与反证法。
作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？小编收集并整理了“充要条件与反证法”，欢迎大家与身边的朋友分享吧！
wwW.JAB88.cOm要条件与反证法●知识梳理1.充分条件:如果pq,则p叫q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件.
2.必要条件:如果qp,则p叫q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件.
3.充要条件:如果既有pq,又有qp,记作pq,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.
4.反证法:当直接证明有困难时,常用反证法.
●点击双基
1.ac2bc2是ab成立的
A.充分而不必要条件B.充要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析:abac2bc2,如c=0.
答案:A
2.(2004年湖北,理4)已知a、b、c为非零的平面向量.甲:a·b=a·c,乙:b=c,则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析:命题甲:a·b=a·ca·(b-c)=0a=0或b=c.
命题乙:b=c,因而乙甲,但甲乙.
故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
答案:B
3.(2004年浙江,8)在△ABC中,A30°是sinA的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析:在△ABC中,A30°0sinA1sinA,sinA30°A150°
A30°.
∴A30°是sinA的必要不充分条件.
答案:B
4.若条件p:a4,q:5a6,则p是q的______________.
解析:a45a6,如a=7虽然满足a4,但显然a不满足5a6.
答案:必要不充分条件
5.(2005年春季上海,16)若a、b、c是常数,则a0且b2-4ac0是对任意x∈R,有ax2+bx+c0的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:若a0且b2-4ac0,则对任意x∈R,有ax2+bx+c0,反之,则不一定成立.如a=0,b=0且c0时,也有对任意x∈R,有ax2+bx+c0.因此应选A.
答案:A
●典例剖析
【例1】使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分而不必要条件是
A.x0B.x≥0
C.x∈{-1,3,5}D.x≤-或x≥3
剖析:∵2x2-5x-3≥0成立的充要条件是x≤-或x≥3,∴对于A当x=-时2x2-5x-3≥0.同理其他也可用特殊值验证.
答案:C
【例2】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.
证明:(1)必要性,即若x=1是方程ax2+bx+c=0的根,则a+b+c=0.
∵x=1是方程的根,将x=1代入方程,得a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.
(2)充分性,即若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的根.
把x=1代入方程的左边,得a·12+b·1+c=a+b+c.∵a+b+c=0,∴x=1是方程的根.
综合(1)(2)知命题成立.
深化拓展
求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.
证明:必要性:
(1)方程有一正根和一负根,等价于
a0.
(2)方程有两负根,等价于
0a≤1.
综上可知,原方程至少有一负根的必要条件是a0或0a≤1.
充分性:由以上推理的可逆性,知当a0时方程有异号两根;当0a≤1时,方程有两负根.故a0或0a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.
答案:a0或0a≤1.
【例3】下列说法对不对?如果不对,分析错误的原因.
(1)x2=x+2是x=x2的充分条件;
(2)x2=x+2是x=x2的必要条件.
解:(1)x2=x+2是x=x2的充分条件是指x2=x+2x=x2.
但这里不成立,因为x=-1时,左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理:
x2=x+2x=x2=x.
这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
(2)x2=x+2是x=x2的必要条件是指x=x2x2=x+2.
但这里不成立,因为x=0时,左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:
x=x2=xx+2=x2.
这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
评述:此题的解答比较注重逻辑推理.事实上,也可以从真值集合方面来分析:x2=x+2的真值集合是{-1,2},x=x2的真值集合是{0,2},{-1,2}{0,2},而{0,2}{-1,2},所以(1)(2)两个结论都不对.
●闯关训练
夯实基础
1.(2004年重庆,7)已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:依题意有pr,rs,sq,∴prsq.但由于rp,∴qp.
答案:A
2.(2003年北京高考题)cos2α=-是α=kπ+,k∈Z的
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
解析:cos2α=-2α=2kπ±α=kπ±.
答案:A
3.(2005年海淀区第一学期期末练习)在△ABC中,AB是cosAcosB的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:在△ABC中,ABcosAcosB(余弦函数单调性).
答案:C
4.命题A:两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B:曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.
答案:充分不必要
5.(2004年北京,5)函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是
A.a∈(-∞,1]B.a∈[2,+∞)
C.α∈[1,2]D.a∈(-∞,1]∪[2,+∞)
解析:∵f(x)=x2-2ax-3的对称轴为x=a,∴y=f(x)在[1,2]上存在反函数的充要条件为[1,2](-∞,a]或[1,2][a,+∞),即a≥2或a≤1.
答案:D
6.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求数列{an}成等比数列的充要条件.
分析:先根据前n项和公式,导出使{an}为等比数列的必要条件,再证明其充分条件.
解:当n=1时,a1=S1=p+q;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)·pn-1.
由于p≠0,p≠1,∴当n≥2时,{an}是等比数列.要使{an}(n∈N*)是等比数列,则=p,即(p-1)·p=p(p+q),∴q=-1,即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1.
再证充分性:
当p≠0且p≠1且q=-1时,Sn=pn-1,
an=(p-1)·pn-1,=p(n≥2),
∴{an}是等比数列.
培养能力
7.(2004年湖南,9)设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩(UB)的充要条件是
A.m-1,n5B.m-1,n5
C.m-1,n5D.m-1,n5
解析:∵UB={(x,y)|nx+y},将P(2,3)分别代入集合A、B取交集即可.∴选A.
答案:A
8.已知关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0,①
x2-4mx+4m2-4m-5=0.②
求使方程①②都有实根的充要条件.
解:方程①有实数根的充要条件是Δ1=(-4)2-16m≥0,即m≤1;
方程②有实数根的充要条件是Δ2=(4m)2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥-.
∴方程①②都有实数根的充要条件是-≤m≤1.
9.已知a、b、c是互不相等的非零实数.
求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
证明:反证法:
假设三个方程中都没有两个相异实根,
则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0.
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.①
由题意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.
∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
探究创新
10.若x、y、z均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,则a、b、c中是否至少有一个大于零?请说明理由.
解:假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0.
而a+b+c=x2-2y++y2-2z++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,
∵π-30,且无论x、y、z为何实数,
(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,
∴a+b+c0.这与a+b+c≤0矛盾.因此,a、b、c中至少有一个大于0.
●思悟小结
1.要注意一些常用的结论否定形式,如至少有一个至多有一个都是的否定形式是一个也没有至少有两个不都是.
2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明.
●教师下载中心
教学点睛
1.掌握常用反证法证题的题型,如含有至少有一个至多有一个等字眼多用反证法.
2.强调反证法的第一步,要与否命题分清.
3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证.
拓展题例
【例题】指出下列命题中,p是q的什么条件.
(1)p:0x3,q:|x-1|2;
(2)p:(x-2)(x-3)=0,q:x=2;
(3)p:c=0,q:抛物线y=ax2+bx+c过原点.
解:(1)p:0x3,q:-1x3.
p是q的充分但不必要条件.
(2)pq,qp.p是q的必要但不充分条件.
(3)p是q的充要条件.
评述:依集合的观点看,若AB,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
相关知识
反证法导学案
选修2-2§2.2.2反证法导学案
班级姓名
【学习目标】
1.结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2.了解反证法的思考过程、特点;
3.会用反证法证明问题.
【自研自学】
（一）复习旧知
1.直接证明的两种基本证法：________________________
2.这两种基本证法的推证过程和特点是什么？
3.在实际解题时，两种方法如何运用？
（二）预习新知
4.反正法是_____________的一种基本方法。
5.课本P89页思考，你能解释这种现象吗？
6.一般地，假设原命题________（即在原命题的条件之下，结论不成立），经过正确的推理，
最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了____________________，这样的证明方法叫反证法。
7.用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应为____________
8.反正法的关健是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与_______
矛盾，或与___________________________________矛盾等。
【合作探究】
1.思考：（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？
（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？
2.课本例2、求证：是无理数
（1）___________________________是有理数，________________________是无理数。
（2）有理数可写成形如_______________________________________的形式。
（3）两个正整数互质可理解为____________________
（4）奇数通常表示为或，则偶数可表示为____________
(5)奇数的平方是________（奇数还是偶数？），而偶数的平方是_________（奇数还是偶数？）
（6）本题如何证明呢？写出证明过程
★小结反证法的证明过程及步骤
【展示提升】
1．已知：一个整数的平方能被2整除，求证：这个数是偶数。
2.不可能成等差数列
3.已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
4.已知x0,y0，x+y2，求证：中至少有一个小于2。
※学习小结
1.反证法的步骤：_________________________________________.
2.哪些命题适宜用反证法加以证明？_____________________________________________
3.反正法的关健是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与_______
矛盾，或与___________________________________矛盾等。
【当堂检测】（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于”时，反设正确的是（）.
A．假设三内角都不大于
B．假设三内角都大于
C．假设三内角至多有一个大于
D．假设三内角至多有两个大于
2.实数不全为0等价于为（）.
A．均不为0
B．中至多有一个为0
C．中至少有一个为0
D．中至少有一个不为0
3.设都是正数，则三个数（）.
A．都大于2B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2
4.用反证法证明命题“自然数中恰有一个偶数”的反设为
5.常见的“结论词”与“反设词”
原结论词是存在等于大于都是至少有一个至多有一个
反设词
【课后作业】
1.如果,那么.
2.的三边的倒数成等差数列,求证:.
3.证明在中,若是直角,那么一定是锐角.
4.求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于.
充要条件
一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助教师提高自己的教学质量。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？下面是由小编为大家整理的“充要条件”，希望能对您有所帮助，请收藏。
课题：充要条件
一、课标要求：
理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断充分条件、必要条件与充要条件．
二、知识与方法回顾：
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念：
2、从逻辑推理关系上看充分不必要条件、必要不充分条件与充要条件：
3、从集合与集合之间关系上看充分条件、必要条件与充要条件：
4、特殊值法：判断充分条件与必要条件时，往往用特殊值法来否定结论
5、化归思想：
“”表示p等价于q，等价命题可以进行相互转化，当我们要证明p成立时，就可以转化为证明q成立；
这里要注意“原命题逆否命题”、“逆命题否命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系（否定式）的命题一般应用化归思想．
6、数形结合思想：
利用韦恩图（即集合的包含关系）来判断充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件．
三、基础训练：
1、设命题“若p则q”为假，而“若q则p”为真，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2、设集合M，N为是全集U的两个子集，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3、若是实数，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
四、例题讲解
例1已知实系数一元二次方程，下列结论中正确的是（）
（1）是这个方程有实根的充分不必要条件
（2）是这个方程有实根的必要不充分条件
（3）是这个方程有实根的充要条件
（4）是这个方程有实根的充分不必要条件
A．（1）（3）B．（3）（4）C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）
例2（1）已知h0，a，b∈R，设命题甲：“”，命题乙：“且”，问甲是乙的（）
（2）已知p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式：a=0是直线与平行的条件；
例3如果命题p、q都是命题r的必要条件，命题s是命题r的充分条件，命题q是命题s
的充分条件，那么命题p是命题q的条件；命题s是命题q的条件；命题r是命题q的条件．
例4设命题p：|4x－3|≤1，命题q：x2－(2a+1)x+a(a+1)≤0，若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
例5设是方程的两个实根，试分析是两实根均大于1的什么条件？并给予证明．
五、课堂练习
1、设命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2、给出以下四个命题：①“若p则q”；②“若﹁r则﹁q”；③“若r则﹁s”；
④“若﹁s则q”；若它们都是真命题，则﹁p是s的条件；
3、是否存在实数p，使“”是“”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在说明理由．
六、课堂小结：
七、教学后记：
高三班学号姓名日期：月日
1、AB是A∪B＝B的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2、“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3、2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（）
A．－＜x＜3B．－＜x＜0C．－3＜x＜D．－1＜x＜6
4、“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5、设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为集合M和N，那么“”是“M=N”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6、若命题A：，命题B：，则命题A是B的条件；
7、设条件p：|x|=x，条件q：x2≥－x，则p是q的条件；
8、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是；
9、关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件是；
10、已知，求证：的充要条件是；
11、已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1+m，若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
12、已知关于x的方程(1－a)x2＋(a+2)x－4=0，a∈R，求：
（1）方程有两个正根的充要条件；
（2）方程至少有一正根的充要条件.
充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
教学目标
（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
（一）教材分析
1．知识结构
首先给出推断符号“”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识．
2．重点难点分析
本节的重点与难点是关于充要条件的判断．
（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系．
（2）在判断条件和结论之间的因果关系中应该：
①首先分清条件是什么，结论是什么；
②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；
③最后再指出条件是结论的什么条件．
（3）在讨论条件和条件的关系时，要注意：
①若，但，则是的充分但不必要条件；
②若，但，则是的必要但不充分条件；
③若，且，则是的充要条件；
④若，且，则是的充要条件；
⑤若，且，则是的既不充分也不必要条件．
（4）若条件以集合的形式出现，结论以集合的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．
①若，则是的充分条件；
显然，要使元素，只需就够了．类似地还有：
②若，则是的必要条件；
③若，则是的充要条件；
④若，且，则是的既不必要也不充分条件．
（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．
（二）教法建议
1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的，与四种命题中的，要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若则”形式的复合命题．
2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．
3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念．
4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．
教学设计示例
充要条件
教学目标：
（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
教学重点难点：关于充要条件的判断
教学用具：幻灯机或实物投影仪
教学过程设计
1．复习引入
练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；
（5）若，则；
（6）若方程有两个不等的实数解，则．
（学生口答，教师板书．）
（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．
置疑：对于命题“若，则”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
答：看能不能推出，如果能推出，则原命题是真命题，否则就是假命题．
对于命题“若，则”，如果由经过推理能推出，也就是说，如果成立，那么一定成立．换句话说，只要有条件就能充分地保证结论的成立，这时我们称条件是成立的充分条件，记作．
2．讲授新课
（板书充分条件的定义．）
一般地，如果已知，那么我们就说是成立的充分条件．
提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．
（学生口答）
（1）“，”是“”成立的充分条件；
（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；
（3）“方程的有两个不等的实数解”是“”成立的充分条件．
从另一个角度看，如果成立，那么其逆否命题也成立，即如果没有，也就没有，亦即是成立的必须要有的条件，也就是必要条件．
（板书必要条件的定义．）
提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．
（学生口答）．
（1）因为，所以是的充分条件，是的必要条件；
（2）因为，所以是的必要条件，是的充分条件；
（3）因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；
（4）因为“四边形的对角线互相垂直”“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；
（5）因为，所以是的必要条件，是的充分条件；
（6）因为“方程的有两个不等的实根”“”，而且“方程的有两个不等的实根”“”，所以“方程的有两个不等的实根”是“”充分条件，而且是必要条件．
总结：如果是的充分条件，又是的必要条件，则称是的充分必要条件，简称充要条件，记作．
（板书充要条件的定义．）
3．巩固新课
例1（用投影仪投影．）
B
A是B的什么条件
B是的什么条件
是有理数
是实数
、是奇数
是偶数
是4的倍数
是6的倍数
（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）
①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；
②一定能推出，而不一定推出，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；
③、是奇数，那么一定是偶数；是偶数，、不一定都是奇数（可能都为偶数），所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；
④表示或，所以是成立的必要非充分条件；
⑤由交集的定义可知且是成立的充要条件；
⑥由知且，所以是成立的充分非必要条件；
⑦由知或，所以是，成立的必要非充分条件；
⑧易知“是4的倍数”是“是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；
（通过对上述问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．）
例2已知是的充要条件，是的必要条件同时又是的充分条件，试与的关系．（投影）
解：由已知得
，
所以是的充分条件，或是的必要条件．
4．小结回授
今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础．
课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第35页练习l、2；第36页练习l、2．
（通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评．）
5．课外作业：教材第36页习题1.81、2、3．
充分条件与必要条件教案
俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，减轻教师们在教学时的教学压力。教案的内容具体要怎样写呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《充分条件与必要条件教案》，仅供您在工作和学习中参考。
一.教学目标:1.使学生初步掌握充要条件
2.培养学生理解、分析、归纳、解决问题的能力
二.教学重点:关于充要条件的判断
教学难点:关于充要条件的判断
三.教学过程
(一)复习提问
1.什么叫充分条件?什么叫必要条件?说出“”的含义
2.指出下列各组命题中,“pq”及“qp”是否成立
(1)p:内错角相等q:两直线平行
(2)p:三角形三边相等q:三角形三个角相等
(二)授新课
1.(通过复习提问直接引入课题)充要条件定义:
一般地,如果既有pq,又有qp,就记作:pq。
这时,p既是q的充分条件,又是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件
点明思路:判断p是q的什么条件,不仅要考查pq是否成立,即若p则q形式命题是否正确,还得考察qp是否成立,即若q则p形式命题是否正确。
2.辨析题:(学生讨论并解答,教师引导并归纳)
思考:下列各组命题中,p是q的什么条件:
1)p:x是6的倍数。q:x是2的倍数
2)p:x是2的倍数。q:x是6的倍数
3)p:x是2的倍数,也是3的倍数。q:x是6的倍数
4)p:x是4的倍数q:x是6的倍数
总结:1)pq且q≠p则p是q的充分而不必要条件
2)qp且p≠q则p是q的必要而不充分条件
3)pq且qp则q是p的充要条件
4)p≠q且q≠p则p是q的既不充分也不必要条件
强调:判断p是q的什么条件,不仅要考虑pq是否成立,同时还要考虑qp是否成立。
且p是q的什么条件,以上四种情况必具其一.
3巩固强化
例一:指出下列各命题中,p是q的什么条件:
1)p:x1q:x2
2)p:x5q:x-1
3)p:(x-2)(x-3)=0q:x-2=0
4)p:x=3q:=9
5)p:x=±1q:x-1=0
