《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳。
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《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
知识体系梳理
◆添项拆项法
有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。
一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。
◆待定系数法
有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。
◆换元法
所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫。换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。
（1）、使用换元法时，一定要有意识，即把某些相同或相似的部分看成一个。
（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。
（3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。
★★典型例题、方法导航
◆方法一：添项拆项法
【例1】分解因式：
分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。可考虑添项拆项法分解。从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即，再看常数项可分解成±1、±2，因此我们可猜想分解的结果可能是或或,但的中间项是,因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。下面请看：
解：
其结果是我们猜想中的第一种。此题还有其他分解方法吗？在注意到分解结果中有和的因式，因此还有其他更多的分解方法。
方法二：
方法三：
方法四：
方法五：
方法六：（余下过程同学自己完成）
方法点金：拆项、添项法分解因式的关键是通过拆项、添项达到分组或运用公式的目的，一般可考虑添多项式中所缺的项，或考虑常数项可分解的因数有关的因式。
◎变式议练一：
分解下列各式的因式
（1）（2）（3）
◆方法二：待定系数法
【例2】分解因式：
解：
设：
展开后左右两边比较系数求出、即可。
分解结果：
【例3】已知多项式能被整除，请分解前者的因式。
分析：设，利用多项式的恒等求出、即可。
◎变式议练二：
1、已知是的一个因式，则；
2、用待定系数法分解因式：
【例4】在实数范围内分解因式
（1）（2）（3）
◎变式议练三：
求的算术平方根。
◆方法三：换元法
◆直接换元法
【例5】用换元法分解因式：
方法点金：设，
注意：换元法分解因式最后要回归。
◎变式议练四
1、用换元法分解因式：
2、用换元法分解因式：
方法点金：当两括号中的二次项，一次项的系数对应成比例可考虑用换元法分解因式。
【例6】分解因式：
分析：两括号中二次项、一次项系数的比为，可以换元。
◆组合换元法
【例7】分解因式：
分析：观察第一、四括号内的常数项和第二、三括号内的常数的和为，因此也可用组合换元法分解因式。
◎变式议练五
证明四个连续正整数的积与1的和是一个完全平方。
◆能力与创新
把下列各式分解因式：
①、②、
③、
◆◆◆◆快乐体验
1、若多项式和多项式有公因式，则；
2、若能被整除，则；
3、分解因式：
（1）（2）
4、已知多项式有一个因式是，把这个多项式分解因式。
5、甲、乙两同学分解多项式时，甲看错了,分解结果为,乙看错了,分解结果为,请分析一下，、的值分别为多少？并写出正确的分解过程。
6、已知一个三角形的三边、、满足,试判断这个三角形的形状，并证明你的结论。
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中考待定系数法专题复习教案
中考复习专题（二）待定系数法复习教案
【内容分析】
重点：灵活选择题目给定的条件，利用待定系数法确定函数解析式.
难点：会利用或找出给的条件设出函数解析式的一般形式.
考点：待定系数法是确定代数式中某些项的系数的重要数学方法，它是以代数式形式上的恒等变换的性质为依据，通过特定的已知条件，辩证地转化已知和未知的关系，从而求得代数式中某些系数的值，在中考题目中往往会有多处涉及，其中临沂市近几年中考题最后压轴的第一问多是利用待定系数法确定函数解析式.
【复习目标】
通过训练，让学生熟练掌握待定系数法确定函数解析式.
【教学环节安排】
环节
教学问题设计
教学活动设计
知
识
回
顾1.如图１，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=－x
的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（）
A．y=－x+2B．y=x+2C．y=x－2D．y=－x－2
2.已知点A（m，1）在直线y=2x－1上，求m的方法是，可得m=.
3.已知点B（－2，n）在直线y=2x－1上，求n的方法是，可得n=.
4.已知某一次函数的图象经过点P（3，5）和Q（－4，－9），求一次函数的解析式是一般先，再由已知条件可得，解得，∴满足已知条件的一次函数解析式是：，这个一次函数解析式的图象与坐标轴交点坐标为：.
5.一次函数的图象经过反比例函数的图象上的A、B两点，且点A的横坐标与点B的纵坐标都是2.求这个一次函数的解析式.教师引入新课后，出示题目，学生自主完成.
教师巡视，及时发现学生完成的情况，记录下所出现的问题，以便集中处理.
教师要求学生在做题的同时，总结解决问题所运用的知识点、方法和规律.
找学生展示完成的情况，师生共同点评和分析，同时就检查过程中发现的问题进行处理，就本部分所用到的知识进行方法总结.
综
合
应
用【例1】如图2，抛物线经过三点．求出抛物线的解析式.
【例2】如图3，一次函数与反比例函数的图像交与Ａ(２,３)Ｂ(-３，ｎ)两点．
（１）求一次函数与反比例函数的解式；
（２）根据所给条件，请直接写出不等式ｋｘ＋ｂ＞的解集：.
（3）过B点作BD⊥x轴，垂足为C,求△ABC的面积.
【变式练习】已知如图4，抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C.求抛物线的解析式；
教师出示例题，学生开始思考，先独立分析，然后在小组内交流，解答.
教师巡视，了解学生的讨论情况或解答的情况，搜集要强调的知识点、解题的方法及易出错的地方等等.
学生讨论交流后，请3位学生讲解.
展示部分学生的解答练习.
师生共同评析.
矫
正
补
偿1．点（2,4）在一次函数的图象上，则_____.
2．若反比例函数的图象经过点，则该函数的解析式为_____．
3.函数y＝x2＋bx＋3的图象经过点(－1,0)，则b＝.
4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图5，则这个二次函数的解析式是y＝___.
5.函数y＝(m－n)x2＋mx＋n是二次函数的条件是()
A.m、n是常数，且m≠0B.m、n是常数，且m≠n
C.m、n是常数，且n≠0
D.m、n可以为任意实数
6.抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴，则c的值是（）
A.0B.4C.－4D.2
教师出示问题，学生开始解答
教师巡视，了解学生的解答的情况，搜集要强调的知识点、解题的方法及易出错的地方等等.
学生展示自己的成果，教师点评分析，并及时地鼓励学生
.
完善
整
合
通过本节课的复习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？
教师提出问题，学生思考，总结，在小组内交流．
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中考数学专题复习之二：待定系数法
对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．
【范例讲析】：
【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．
(1)求这个函数的解析式．
(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．
【例2】一次函数的图象经过反比例函数的图象上的A、B两点，且点A的横坐标与点B的纵坐标都是2。
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若一条抛物线经过点A、B及点C（1，7），求抛物线的解析式。
【闯关夺冠】
1.已知：反比例函数和一次函数图象的一个交点为（－3，4），且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定这两个函数的解析式。
2、如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．
6.3公式法因式分解(1)学案(浙教版)
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课题6、3公式法因式分解授课时间
学习目标1、学会用平方差公式进行因式法分解
2、学会因式分解的而基本步骤.
学习重难点重点：用平方差公式进行因式法分解.
难点：因式分解化简的过程
自学过程设计教学过程设计
看一看
平方差公式：
平方差公式的逆运用：
做一做：
1．填空题．
（1）25a2-_______=（5a+2b）（5a-2b）；（2）x2-=（x-）（________）．
（3）-a2+b2=（b+a）（________）；（4）36x2-81y2=9（_______）（_______）．
2．把下列各式分解因式结果为-（x-2y）（x+2y）的多项式是（）
A．x2-4yB．x2+4y2C．-x2+4y2D．-x2-4y2
3．多项式-1+0.04a2分解因式的结果是（）
A．（-1+0.2a）2B．（1+0.2a）（1-0.2a）
C．（0.2a+1）（0.2a-1）D．（0.04a+1）（0.04a-1）
4.把下列各式分解因式：
（1）4x2-25y2；（2）0.81m2-n2；
（3）a3-9a；（4）8x3y3-2xy．
5.把下列各式分解因式：
（1）（3a+2b）2-（a-b）2；（2）4（x+2y）2-25（x-y）2．
6.用简便方法计算：3492-2512．
想一想
你还有哪些地方不是很懂？请写出来。
____________________________________________________________________________________
预习展示一：
1、下列多项式能否用平方差公式分解因式？
说说你的理由。
4x2+y2
4x2-(-y)2
-4x2-y2-4x2+y2
a2-4a2+3
2.把下列各式分解因式：
(1)16-a2
(2)0.01s2-t2
(4)-1+9x2
(5)(a-b)2-(c-b)2
(6)-(x+y)2+(x-2y)2
应用探究：
1、分解因式
4x3y-9xy3
变式：把下列各式分解因式
①x4-81y4
②2a-8a
2、从前有一位张老汉向地主租了一块“十字型”土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块相同面积的长方形土地。同学们，你能帮助张老汉算出这块长方形土地的长和宽吗？w
3、在日常生活中如上网等都需要密码.有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译.
例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码,当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗?
小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即可)
拓展提高：
若n为整数，则（2n＋1)2－(2n－1)2能被8整除吗?请说明理由.
教后反思考察利用公式法因式分解的题目不会很难，但是需要学生记住公式的形式，之后利用公式把式子进行变形，从而达到进行因式分解的目的。
