函数的值域。

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。那么，你知道高中教案要怎么写呢？小编收集并整理了“函数的值域”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

1.2（专题一）函数的值域
【内容与解析】
本节课要学的内容有函数的值域指的是函数值的取值集合，理解它关键就是找准定义域和对应关系。学生已经学过了一次函数、二次函数、反比例函数并会画它们的图像，本节课的内容函数的值域就是在此基础上的发展的。由于它还与换元法、数形结合的思想有必要的联系,所以在本学科有着很重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的核心内容。教学的重点是数形结合的思想和换元法，所以解决重点的关键是通过实例和学生动手操作，让学生逐步体会数形结合的思想及换元法的具体操作。
【教学目标与解析】
1．教学目标
（1）会求某些简单函数的值域；
（2）初步掌握换元法及数形结合的思想；
2．目标解析
（1）会求某些简单函数的值域指的是会利用图像法求某些能够通过换元化成一次函数、二次函数或者反比例函数的函数的值域；
（2）初步掌握换元法及数形结合的思想指的是让学生通过一些具体问题的操作体会数学思想和数学方法的重要性及实用性；
【问题诊断分析】
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是换元法较难掌握，产生这一问题的原因是：换元法本身比较灵活，属于较难掌握的内容之一。要解决这一问题，就要在通过实例向学生作初步介绍，再结合具体问题让学生动手操作，感受换元法的具体应用，其中关键是搞清楚换元的目的。
【教学过程】
问题1：我们已经学习过函数的值域的概念，请回答一下问题：
1.1一次函数的定义域和值域是什么？请画出图像；
1.2二次函数的定义域和值域是什么？请画出图像；
1.3反比例函数的定义域和值域是什么？请画出图像；
设计意图：通过以上问题，让学生回顾已经学习过的知识，作为本节内容的出发点，和解题的基本依据，是必要的准备。
问题2：(1)函数的值域是什么？
（2）函数的值域是什么？
（3）函数的值域是什么？
设计意图：通过这些问题，让学生理解定义域对值域有限制作用，具体解题中，需要画出相应的函数图像、截断，来得出结论。
问题3：
求下列函数的值域：
设计意图：通过这些问题，让学生理解思考解决的方案，最后得出用换元法化为我们熟悉的函数，并和学生共同归纳需要注意的问题：即引入新元的取值范围要弄清。
问题4：
求下列函数的值域：
（2）
设计意图：通过这些问题，让学生理解思考解决的方案，最后得出需要先做处理，即分离常数法，再按换元法来处理。
问题5：
求下列函数的值域
（1）（2）
设计意图：通过这些问题，让学生理解含有根式的这种函数，可是先对分式进行处理，即将整个根式换元法。
【课堂目标检测】
求下列函数的值域：
【课堂小结】
1、对一次函数、二次函数、反比例函数的图像要熟悉；
2、有些函数的图像虽不能直接作出，但可以通过换元化为关于新元的一次函数、二次函数或者反比例函数，根据定义域，在图像上截段分析，即得其值域；
3、有时在换元前要作一些处理，比如分离常数等；另外，换元法比较灵活，要多加练习。
【配餐作业】
求下列函数的值域：

延伸阅读

高一数学上册重要知识点：函数定义域函数值域

高一数学上册重要知识点：函数定义域函数值域

定义域

(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗?

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

高三数学下册《函数值域》知识点讲解

高三数学下册《函数值域》知识点讲解

(1)配方法:

若函数为一元二次函数，则可以用这种方法求值域，关键在于正确化成完全平方式。

(2)换元法：

常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。

(3)判别式法：

若函数为分式结构，且分母中含有未知数x，则常用此法。通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式△0，确定y的范围，即原函数的值域

(4)不等式法：

借助于重要不等式a+bab(a0)求函数的值域。用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件一正，二定，三相等。

(5)反函数法：

若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。

(6)单调性法：

首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p0)的单调性：增区间为(-,-p)的左开右闭区间和(p,+)的左闭右开区间，减区间为(-p,0)和(0,p)

(7)数形结合法：

分析函数解析式表达的集合意义，根据其图像特点确定值域。

注意：

(1)用换元法求值域时，认真分析换元后变量的范围变化;用判别式法求函数值域时，一定要注意自变量x是否属于R。

(2)用不等式法求函数值域时，需要认真分析其等号能否成立;利用单调性求函数值域时，准确找出其单调区间是关键。分段函数的值域应分段分析，再取并集。

(3)不管用哪种方法求函数值域，都一定要先确定其定义域，这是求函数的重要环节。

练习题：

例：已知f(x+1）=x2;+1，f(x+1）的定义域为[0，2]，求f(x）解析式和定义域

设x+1=t，则；x=t-1，那么用t表示自变量f的函数为：（也就是把x=t-1代入f(x+1）=x2;+1中）

f(t)=f(x+1）=(t-1）2;+1

=t2;-2t+1+1

=2;-2t+2

所以，f(t)=t2;-2t+2，则f(x)=x2;-2x+2

或者用这样的方法——更直观：

令f(x+1）=x2;+1中的x=x-1，这样就更直观了，把x=x-1代入f(x+1）=x2;+1，那么：

f(x)=f[(x-1）+1]=(x-1）2;+1

=xsup2;-2x+1+1

=xsup2;-2x+2

所以，f(x)=x2;-2x+2

而f(x）与f(t）必须x与t的取值范围相同，才是相同的函数，

由t=x+1，f(x+1）的定义域为[0，2]，可知道：t∈[1，3]

f(x)=x2;-2x+2的定义域为：x∈[1，3]

综上所述，f(x)=x2;-2x+2（x∈[1，3]

高一数学上册知识点整理：函数定义域函数值域

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助教师能够更轻松的上课教学。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“高一数学上册知识点整理：函数定义域函数值域”，希望能对您有所帮助，请收藏。

高一数学上册知识点整理：函数定义域函数值域

定义域
(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;
值域
名称定义
函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等
关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”相同吗?
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

高一数学知识点：函数定义域值域

俗话说，磨刀不误砍柴工。作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助授课经验少的教师教学。那么怎么才能写出优秀的教案呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《高一数学知识点：函数定义域值域》，希望能对您有所帮助，请收藏。

高一数学知识点：函数定义域值域

定义域
(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。
值域
名称定义
函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。
常用的求值域的方法
(1)化归法;(2)图象法(数形结合),学习规律;(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等
关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”相同吗?
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。