2015届高考数学教材知识点复习函数的定义域和值域导学案。
一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助教师提高自己的教学质量。我们要如何写好一份值得称赞的教案呢？下面是由小编为大家整理的“2015届高考数学教材知识点复习函数的定义域和值域导学案”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。
【学习目标】
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2．了解简单的分段函数，并能简单应用．
预习案
1．函数的定义域
(1)求定义域的步骤：
①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
(2)函数f(x)＝x0的定义域为；
(3)指数函数的定义域为；对数函数的定义域为．
2．函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是．
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a0时，值域为；当a0时，值域为．
(3)y＝kx(k≠0)的值域是．(4)y＝ax(a0且a≠1)的值域是．
(5)y＝logax(a0且a≠1)的值域是．
【预习自测】
1．函数y＝1log2x－2的定义域是()
A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞)D．(2,4)∪(4，＋∞)
2．若函数y＝f(x)的定义域是，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是()
A．B．D．(0,1)
3．函数y＝log0.3(x2＋4x＋5)的值域为________．WwW.JAB88.cOM
4．函数y＝x2＋3x2＋2的值域为________．
探究案
题型一函数的定义域
例1.(1)函数y＝1log0.5x－1的定义域为．
(2)函数y＝1logax－1(a0且a≠1)的定义域为．
(3)函数f(x)＝x＋2x2lg|x|－x的定义域为
探究1.求函数y＝25－x2＋lgcosx的定义域．
例2.(1)已知y＝f(x)的定义域为，求y＝f(3x－1)的定义域．
(2)已知y＝f(log2x)的定义域为，求y＝f(x)的定义域．
探究2.(1)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为
(2)若函数f(2x)的定义域是，则f(log2x)的定义域为．
题型二函数的值域
例3.求下列函数的值域：
(1)y＝1－x21＋x2；(2)y＝－2x2＋x＋3；(3)y＝x＋1x＋1；
(4)y＝x－1－2x；(5)y＝x＋4－x2；(6)y＝|x＋1|＋|x－2|.
探究3.(1).函数的值域为()
A．(－∞，12]B．[12，1]C．[12，1)D．[12，＋∞)
(2)函数y＝2－sinx2＋sinx的值域是．
(3)函数y＝x2＋x＋1x＋1的值域为．
题型三定义域与值域的应用
例4.已知函数f(x)＝lg．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
探究4.已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6，x∈R.
(1)若函数的值域为
我的学习总结：
（1）我对知识的总结.
（2）我对数学思想及方法的总结
相关知识
高一数学下册《函数定义域值域》知识点讲解
高一数学下册《函数定义域值域》知识点讲解
定义域：
(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。
值域：
名称定义：
函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。
常用的求值域的方法：
(1)化归法
(2)图象法(数形结合)
(3)函数单调性法
(4)配方法
(5)换元法
(6)反函数法(逆求法)
(7)判别式法
(8)复合函数法
(9)三角代换法
(10)基本不等式法等
关于函数值域误区：
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
练习题：
例：已知f(x+1）=xsup2;+1，f(x+1）的定义域为[0，2]，求f(x）解析式和定义域
设x+1=t，则；x=t-1，那么用t表示自变量f的函数为：（也就是把x=t-1代入f(x+1）=xsup2;+1中）
f(t)=f(x+1）=(t-1）sup2;+1
=tsup2;-2t+1+1
=tsup2;-2t+2
所以，f(t)=tsup2;-2t+2，则f(x)=xsup2;-2x+2
或者用这样的方法——更直观：
令f(x+1）=xsup2;+1中的x=x-1，这样就更直观了，把x=x-1代入f(x+1）=xsup2;+1，那么：
f(x)=f[(x-1）+1]=(x-1）sup2;+1
=xsup2;-2x+1+1
=xsup2;-2x+2
所以，f(x)=xsup2;-2x+2
而f(x）与f(t）必须x与t的取值范围相同，才是相同的函数，
由t=x+1，f(x+1）的定义域为[0，2]，可知道：t∈[1，3]
f(x)=xsup2;-2x+2的定义域为：x∈[1，3]
综上所述，f(x)=xsup2;-2x+2（x∈[1，3]
映射函数定义域值域
一种特殊的对应：映射
（1）（2）（3）（4）
1．对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。
2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）
3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。
4．注意映射是有方向性的。
5．符号：f：AB集合A到集合B的映射。
6．讲解：象与原象定义。
再举例：1A={1,2,3,4}B={3,4,5,6,7,8,9}法则：乘2加1是映射
2A=N+B={0,1}法则：B中的元素x除以2得的余数是映射
3A=ZB=N*法则：求绝对值不是映射（A中没有象）
4A={0,1,2,4}B={0,1,4,9,64}法则：f：ab=(a1)2是映射
一一映射
观察上面的例图（2）得出两个特点：
1对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（单射）
2集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射）
即集合B中的每一个元素都有原象。
从映射的观点定义函数（近代定义）：
1函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f：AB这里A,B非空。
2A：定义域，原象的集合
B：值域，象的集合（C）其中CB
f：对应法则xAyB
3函数符号：y=f(x)——y是x的函数，简记f(x)
函数的三要素：对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
1．解：不是同一函数，定义域不同
2。解：不是同一函数，定义域不同
3。解：不是同一函数，值域不同
4．解：是同一函数
5．解：不是同一函数，定义域、值域都不同
关于复合函数
设f(x)=2x3g(x)=x2+2则称f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。
f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1
g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11
例：已知：f(x)=x2x+3求：f()f(x+1)
解：f()=()2+3f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3
1.函数定义域的求法
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
正切函数
余切函数
反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)
函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域是，
函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π]，
函数y＝arctgx的定义域是R，值域是，
函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是(0,π).
注意，
1.复合函数的定义域。
如：已知函数的定义域为（1，3），则函数的定义域。
2.函数的定义域为,函数的定义域为,
则函数的定义域为，解不等式，最后结果才是
3.这里最容易犯错的地方在这里：
已知函数的定义域为(1,3),求函数的定义域；或者说，已知函数的定义域为(3,4),
则函数的定义域为______?
2.函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,
对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.
（1）、直接观察法
对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
其值域可通过观察直接得到。
例求函数的值域
（2）、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数的值域。
（3）、根判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简
如:
4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例求函数值域。
,分母不等于0,即
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例求函数，，的值域。
10.倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例求函数的值域
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，
首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，
一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
高一数学上册重要知识点：函数定义域函数值域
高一数学上册重要知识点：函数定义域函数值域
定义域
(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;
值域
名称定义
函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等
关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”相同吗?
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。
定义域与值域
第二十七教时
教材：正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域
目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。
过程：一、复习：正弦和余弦函数图象的作法
二、研究性质：
1．定义域：y=sinx,y=cosx的定义域为R
2．值域：
1引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1,|cosx|≤1（有界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论
∴y=sinx,y=cosx的值域为[-1，1]
2对于y=sinx当且仅当x=2k+kZ时ymax=1
当且仅当时x=2k-kZ时ymin=-1
对于y=cosx当且仅当x=2kkZ时ymax=1
当且仅当x=2k+kZ时ymin=-1
3．观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知
当2kx(2k+1)(kZ)时y=sinx0
当(2k-1)x2k(kZ)时y=sinx0
当2k-x2k+(kZ)时y=cosx0
当2k+x2k+(kZ)时y=cosx0
三、例题：
例一（P53例二）略
例二直接写出下列函数的定义域、值域：
1y=2y=
解：1当x2k-kZ时函数有意义，值域:[+∞]
2x[2k+,2k+](kZ)时有意义,值域[0,]
例三求下列函数的最值：
1y=sin(3x+)-12y=sin2x-4sinx+53y=
解：1当3x+=2k+即x=(kZ)时ymax=0
当3x+=2k-即x=(kZ)时ymin=-2
2y=(sinx-2)2+1∴当x=2k-kZ时ymax=10
当x=2k-kZ时ymin=2
3y=-1+当x=2k+kZ时ymax=2
当x=2kkZ时ymin=
例四、函数y=ksinx+b的最大值为2,最小值为-4，求k,b的值。
解：当k0时
当k0时（矛盾舍去）
∴k=3b=-1
例五、求下列函数的定义域：
1y=2y=lg(2sinx+1)+3y=
解：1∵3cosx-1-2cos2x≥0∴≤cosx≤1
∴定义域为：[2k-,2k+](kZ)
2
∴定义域为：
3∵cos(sinx)≥0∴2k-≤x≤2k+(kZ)
∵-1≤sinx≤1∴xR≤y≤1
四、小结：正弦、余弦函数的定义域、值域
五、作业：P56练习4P57-58习题4．82、9
