第6课时2.3.2向量的坐标表示（1）教案。

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第6课时§2.3.2向量的坐标表示（1）
【教学目标】
一、知识与技能
掌握平面向量的正交分解及其坐标的意义与运算
二、过程与方法
从数的层面通过坐标来对向量进行考察，体现数学的简捷
三、情感、态度与价值观
数形结合让学生在学习本块知识的同时感受到数学的美，增强数学学习的兴趣
【教学重点难点】坐标的运算、坐标的意义
一、复习
平面向量的基本定理：；
二、创设情景：
问题1平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数对（它的坐标）惟一表示，对于直角坐标平面内的每一个向量，是否都可以用一对有序实数对（它的坐标）表示惟一表示？
问题2若向量以原点为起点，则如何用坐标刻画向量？若向量不以原点为起点呢？
三、讲解新课：
1．向量的坐标表示的定义：
分别选取与轴、轴方向相同的单位向量，作为基底，对于任一向量，，（），实数对叫向量的坐标，记作．
其中叫向量在轴上的坐标，叫向量在轴上的坐标。
说明：（1）对于，有且仅有一对实数与之对应；
（2）相等的向量的坐标也相同；
（3），，；
（4）从原点引出的向量的坐标就是点的坐标。
问题3的坐标吗？
2.由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得：
(1)两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）
(2)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，
(3)一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。
3．向量的坐标计算公式：
已知向量，且点，，求的坐标．
．
归纳：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；
（2）两个向量相等的等价条件是这二个向量的坐标相等。
四、例题分析：
例1、如图，用基底，分别表示向量、、、，并求出它们的坐标。

例2、已知A（-1，3），B（1，-3），C（4，1），D（3，4），求向量OA，OB，AO，CD的坐标。
问题4：四边形OCDA是平行四边形吗？

例3、已知，，求，，的坐标．

例4、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C、D的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标？

例5、（1）已知的方向与轴的正向所成的角为，且，则的坐标为．
（2）已知，，，且，求，．

五、课时小结：
1．正确理解平面向量的坐标意义；
2．掌握平面向量的坐标运算；
3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题
六、反馈练习
8.如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC和BO的交点P的坐标。

相关知识

第二章平面向量第1课时2.1向量的概念及表示教案

第1课时§2.1向量的概念及表示
【教学目标】
一、知识与技能
1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向），能正确地表示向量；
2．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）；
3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。
二、过程与方法
（1）从对不同问题的思考中感受什么是向量。
（2）通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质.
三、情感、态度与价值观
（1）通过向量包含大小和方向，概念的学习感知数学美。
（2）向量的方向包含正反两方面，正反关系的对照培养学生辨证唯物主义思维
【教学重点难点】：1．向量、相等向量、共线向量等概念；
2．向量的几何表示
【教学过程】
一、问题情境：
问题1、湖面上有3个景点O，A，B，如图所示.一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客送至景点B，从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移.位移与距离这两个量有什么不同？

问题2、下列物理量中，那些量分别与位移和距离这两个量类似：
（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；
（2）物体所受重力；
（3）物体的质量为a千克；
（4）1月1日的4级偏南风的风速。
问题3、上述的物理量中有什么区别吗？
二、新课讲解：
（一）概念辨析：
（1）向量的定义：

（2）向量的表示：

（3）向量的大小及表示
（4）零向量：

（5）单位向量：

（二）向量的关系：
问题4：在平行四边形ABCD中，向量与，与有什么关系？
（1）平行向量

（2）相等向量

（3）相反向量

说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作；
（2）零向量与零向量相等，记作；
（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
问题5：1.向量能否平移？

2.要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？两者有何区别？

二、例题分析：
例1、已知O为正六边形ABCDEF的中心，如图，所标出的向量中：
（1）试找出与FE共线的向量；
（2）确定与FE相等的向量；
（3）OA与BC向量相等么？
例2、判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？

例3、如图，在4×5的方格纸中有一个向量AB，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？（AB除外）
课时小结：
（1）向量是既有大小又有方向的量，向量有两个要素：方向和长度，称为自由向量；有向线段具有三个要素：起点，方向和长度；
（2）数量（标量）与向量的区别与联系：向量不同于数量。数量是只有大小的量，而向量是既有大小又有方向的量；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模可以比较大小；记号“”是没有意义的，而||＞||才有意义。

平面向量坐标表示

平面向量坐标表示
年级高一学科数学课题平面向量坐标表示
授课时间撰写人
学习重点平面向量的坐标运算．

学习难点对平面向量坐标运算的理解
学习目标
1.会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；
2.能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；

教学过程
一自主学习
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设=(x1,y1)=(x2,y2)则＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？
＋＝
－＝
λ＝
思考2：根据向量的坐标表示，向量＋，－，λ的坐标分别如何？
＋＝();－＝();
λ＝().
两个向量和与差的坐标运算法则：
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
思考3：已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐标如何？

二师生互动
例1已知，，求和.

例2已知平行四边形的顶点，，，试求顶点的坐标.

变式：若与的交点为，试求点的坐标.

练1.已知向量的坐标，求，的坐标.
⑴
⑵
⑶
⑷
练2.已知、两点的坐标，求，的坐标.
⑴
⑵
⑶
⑷

三巩固练习
1.若向量与向量相等，则（）
A.B.
C.D.
2.已知，点的坐标为，则的坐标为（）
A.B.
C.D.
3.已知，，则等于（）
A.B.C.D.
4.设点，，且
，则点的坐标为.
5.作用于原点的两力，，为使它们平衡，则需加力.
6.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，则点B的坐标为__________。
A．(7,4)B．(5,4)C．(7,14)D．(5,14)
7．已知点，及，，，求点、、的坐标。

四课后反思

五课后巩固练习
1.若点、、，且，，则点的坐标为多少？点的坐标为多少？向量的坐标为多少？

2.已知向量，，，试用来表示.

平面向量共线的坐标表示

平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，.
2．平面向量的坐标运算
若，，
则，，.
若，，则
二、讲解新课：
∥()的充要条件是x1y2-x2y1=0
设=(x1，y1)，=(x2，y2)其中.
由=λ得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1，y2有可能为0，∵∴x2，y2中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成∵x1，x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥()
三、讲解范例：
例1已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，求y.
例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例4若向量=(-1，x)与=(-x，2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)与=(-x，2)共线∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵与方向相同∴x=
例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，=(2-1，7-5)=(1，2)
又∵2×2-4×1=0∴∥
又∵=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，=(2，4)，2×4-2×60∴与不平行
∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD
四、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）?
A.-3B.-1C.1D.3
3.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x、y的值可能分别为（）
A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=.
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：

平行向量的坐标表示

平行向量的坐标表示

年级高一

学科数学

课题

平行向量的坐标表示

授课时间

撰写人

学习重点

向量平行的坐标表示及直线上点的坐标的求解．

学习难点

向量平行的坐标表示及应用

学习目标

1.理解用坐标表示的两个向量共线条件；2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学过程

一自主学习

复习：⑴若点、的坐标分别为，那么向量的坐标为.⑵若，则，假设，其中，若共线，当且仅当存在实数，使，用坐标该如何表示这两个向量共线呢？新知：通过运算，我们得知当且仅当时，向量共线.

二师生互动

例1已知，，且，求

变式训练1：已知平面向量，，且，则等于

例2向量，，，当为何值时，三点共线.

变式：已知，，，求证:、、三点共线．

思考题：设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

三巩固练习

1.已知向量，，则与的关系是（）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2.已知三点共线，且，若点横坐标为，则点的纵坐标为（）A.B.C.D.3.点关于点对称点坐标为（）A.B.C.D.4.已知，，若与平行，则的值为.5.已知为边上的一点，且，则分所成的比为.6.已知=+5，=－2+8，=3（－），则（）A.A、B、D三点共线B.A、B、C三点共线C.B、C、D三点共线D.A、C、D三点共线7.若向量=(-1，x)与=(-x，2)共线且方向相同，则x为________.8．设，，，且，求角．

四课后反思

五课后巩固练习

1.已知四点坐标分别为，，试证明：四边形是梯形.

2.已知点，点在直线上，且，求的坐标.