§3.2.2空间角与距离的计算举例。

一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，让教师能够快速的解决各种教学问题。写好一份优质的教案要怎么做呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“§3.2.2空间角与距离的计算举例”，仅供参考，欢迎大家阅读。

§3.2.2空间角与距离的计算举例
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,上次课已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问题，转化为空间向量的数量积来解决。
【教学目标】：
（1）知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算；能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的计算问题.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：
将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.
【教学难点】：
将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入
1．两个向量的数量积如何运算？
2．向量的模与向量的数量积是什么关系？
3．向量的加法法则。为探索新知识做准备.
二、探究与练习
一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）
二、例题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
解：如图1，设
化为向量问题
依据向量的加法法则，
进行向量运算
回到图形问题
这个晶体的对角线的长是棱长的倍。
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
分析:
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
分析:
∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
分析：面面距离点面距离向量的模回归图形
解：
练习:
如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
a和b,CD的长为c,AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值
解：如图
化为向量问题
根据向量的加法法则
进行向量运算

设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。
因此

回到图形问题
库底与水坝所成二面角的余弦值为

思考：
（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？
分析：
∴可算出AB的长。
（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？
分析：如图，设以顶点A为端点的对角线长为d，三条棱长分别为a,b,c,各棱间夹角为.
（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等a，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？
分析：二面角平面角向量的夹角回归图形
解：如图，在平面AB1内过A1作A1E⊥AB于点E，在平面AC内作CF⊥AB于F。
∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。
练习：
（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长。
2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。
让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。

例1的图形比较规范，容易把握，可以让学生很好地体会向量解题的优势。

这是例题1的推广，方法类似，学生进一步体会.
及时进行类比训练，巩固所学方法和技能。

例2是关于角的有关问题，引导学生找到相应的向量进行转化。

三、小结1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
2．面面距离点面距离向量的模回归图形
二面角平面角向量的夹角回归图形
反思归纳
四、作业课本P112第2、4题。

练习与测试：
（基础题）
1．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
答：C。
2．如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点。那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（）
A．B．C．D．
答：B。
3，把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为）
A．90°B．60°C，45°D．30°
答：C。
4，已知是两条异面直线的公垂线段，，则所成的角为．
答：或。
（中等题）
5，一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，
这条线段与这个二面角的棱所成的角为。
答：
6，棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点在棱上，且．
（Ⅰ）求直线与平面所成的角的三角函数值；
（Ⅱ）设点在平面上的射影是，求证：．
解：（1）连BP，则角APB为直线与平面所成的角，
（2）
所以

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空间角的计算学案练习题

俗话说，磨刀不误砍柴工。高中教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。那么怎么才能写出优秀的高中教案呢？下面是小编为大家整理的“空间角的计算学案练习题”，但愿对您的学习工作带来帮助。

§空间角的计算(一)
一、知识要点
1.用向量方法解决线线所成角；
2.用向量方法解决线面所成角。
二、典型例题
例1.如图，在正方体中，点分别在，上，且，，求与所成角的余弦值。

例2.在正方体中，是的中点，点在上，且，求直线与平面所成角余弦值的大小。

三、巩固练习
1.设分别是两条异面直线的方向向量，且，则异面直线与所成角大小为；
2.在正方体，与平面所成角的大小为，与平面所成角大小为，与平面所成角的大小为；
3.平面的一条斜线和它在平面内的射影得夹角45°，平面内一条直线和这条斜线在平面内的射影夹角为45°，则斜线与平面内这条直线所成角为；

四、小结

五、作业
1.平面的一条斜线和这个平面所成角的范围为，两条异面直线所成角的范围为；
2.已知为两条异面直线，，分别是它们的方向向量，则与所成角为；
3.已知向量是直线的方向向量是平面的法向量，则直线与平面所成角为；
4.正方体中，O为侧面的中心，则与平面所成角的正弦值为；
5.长方体中，，点是线段的中点，则与平面所成角为；
6.已知平面相交于，，则直线与平面所成角的余弦值为；
7.如图，内接于的直径，为的直径，且，为中点，求异面直线与所成角的余弦值。

8.如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为。
求与侧面所成角大小。

空间两点间的距离

总课题空间直角坐标系总课时第38课时
分课题空间两点间的距离分课时第2课时
教学目标通过具体到一般的过程，让学生推导出空间两点间的距离公式，通过类比方式得到两点构成的线段的中点公式．
重点难点空间两点间的距离公式的推导及其应用．
引入新课
问题1．平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？

问题2．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？
试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．

问题3．平面直角坐标系中两点，的线段的中点坐标是什么？
空间中两点，的线段的中点坐标又是什么？

例题剖析
例1求空间两点，间的距离．

例2平面上到坐标原点的距离为的点的轨迹是单位圆，其方程为．
在空间中，到坐标原点的距离为的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．

例3证明以，，为顶点的是等腰三角形．
例4已知，，求：
（1）线段的中点和线段长度；
（2）到，两点距离相等的点的坐标满足什么条件．

巩固练习
1．已知空间中两点和的距离为，求的值．

2．试解释方程的几何意义．

3．已知点，在轴上求一点，使．

4．已知平行四边形的顶点，，．
求顶点的坐标．

课堂小结
空间两点间距离公式；空间两点的中点的坐标公式．
课后训练
一基础题
1．在空间直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，
，则的形状是．
2．若，，，则的中点到点的距离是．
3．点与点之间的距离是．
4．在轴上有一点，它与点之间的距离为，
则点的坐标是．
二提高题
5．已知：空间三点，，，
求证：，，在同一条直线上．

6．（1）求点关于平面的对称点的坐标；

（2）求点关于坐标原点的对称点的坐标；

（3）求点关于点的对称点的坐标；

三能力题
7．已知点，的坐标分别为，，
当为何值时，的值最小．最小值为多少？
8．在平面内的直线上确定一点，使到点的距离最小．

空间两点间的距离公式

2.3.2空间两点间的距离公式
一、教学目标：通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
二、教学重点、难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
三、教学方法：学导式
四、教学过程
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想

先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式

问题问题设计意图师生活动
在平面上任意两点A，B之间距离的公式为|AB|=，那么对于空间中任意两点A，B之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？通过类比，充分发挥学生的联想能力。师：、只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：踊跃回答
（2）空间中任意一点P到原点之间的距离公式会是怎样呢？
[1]从特殊的情况入手，化解难度师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成
学生：在教师的指导下作答
得出

问题问题设计意图师生活动
（3）如果是定长r,那么表示什么图形？
任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程表示的图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由

（4）如果是空间中任意一点到点之间的距离公式会是怎样呢？
[2]人的认知是从特殊情况到一般情况的
师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：
五、教后反思：

空间角

题目第九章(B)直线、平面、简单几何体空间角
高考要求
1掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角的概念
2会求直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角
知识点归纳
1．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上
异面直线所成的角的范围：
2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法
3．直线和平面所成角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
一直线垂直于平面，所成的角是直角
一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角
直线和平面所成角范围：0，
（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角
4．公式：平面的斜线a与内一直线b相交成θ角，且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，则有
5二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；
6．二面角的平面角：
（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角
（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角
说明：①二面角的平面角范围是；
②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直
7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法
8求二面角的射影公式：，
其中各个符号的含义是：是二面角的一个面内图形F的面积，是图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小
9．三种空间角的向量法计算公式：
⑴异面直线所成的角：；
⑵直线与平面(法向量)所成的角：；
⑶锐二面角：，其中为两个面的法向量
题型讲解
例1直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．
解法一：(几何法)如图，连结D1F1，
则D1F1
BC∴D1F1
设点E为BC中点
∴D1F1BEEF1
∴∠EF1A或补角即为所求
由余弦定理可求得cos∠EF1A=．
解法二：(向量法)建立如图所示的坐标系，设BC=1
则A（－1，0，0），F1（－，0，1），
B（0，－1，0），D1（－，－，1）
即=（，0，1），=（－，，1）
∴cos，=
点评：解法一与解法二从两个不同角度求异面直线所成的角．解法一体现传统方法作—证—算；解法二把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点．
例2在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD成的角．
分析:求线面角的关键在于找出斜线在平面内的射影，即找垂面，有了垂面即可在垂面内作交线的垂线，线面角即可作出，然后转化到三角形中求解．
解法一:取BC的中点F，连结AF、DF
∵正四面体ABCD
∴BC⊥AF，BC⊥DF
∴BC⊥面AFD，
而BC平面BCD
∴面AFD⊥面BCD
过E作EH⊥DF于H，
而DF平面BCD，则EH⊥面BCD
则∠ECH为CE与面BCD所成的角．
在Rt△CEH中，sin∠ECH=．
即CE与平面BCD成的角为arcsin．
解法二：如图建立以三角形BCD的中心O为原点，,OD,OA依次为y轴，z轴X轴平行于BC
设正四面体ABCD的棱长为，
则
∴
∵E为AD的中点，∴
∴
又因为平面BCD的法向量为，
∴即CE与平面BCD成的角满足：
点评：求线面角的两种方法
例3如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝BB1＝1，E为D1C1的中点，求二面角E—BD—C的正切值．
解法一：∵ABCD—A1B1C1D1是长方体，
∴作EF⊥面BCD，而E为的中点，则F为CD的中点，过F作FM⊥BD交BD于M，连EM，由三垂线定理知EM⊥BD，
∴∠EMF就是二面角E—BD—C的平面角，〕又∵AB＝2，BB1＝BC＝1，EF＝1，
FM＝1×＝
∴tan∠EMF＝．
解法二：∵S△BDF＝S△EBDcosθ
而S△BDF＝BDFM＝＝，
又BD＝，ED＝，BE＝
∴ED2+BE2＝BD2
∴DE⊥EB故S△EBD＝EDEB＝
∴cosθ＝；tanθ＝．
解法三：过E作棱BD的垂线EM交BD于M，过C点作棱BD的垂线CN交BD于N，E、C是异面直线EM、CN上两点，CE＝．EM＝，
而FM⊥BD，CN⊥BD，F为CD中点，
∴MN＝DM＝
∴2＝cosθ
cosθ＝，tanθ＝．
解法四：如图，建立坐标系，则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)
设平面DBE的方程为：（过原点D=0）
则
∴平面DBE的一个法向量为
又因为平面BCD的一个法向量为
二面角E—BD—C的余弦值为：
∴
点评：选此题意在通过此题使学生掌握二面角平面角的作法及求法．即三垂线定理及逆定理法，投影法，利用异面直线上两点间的距离公式法．
例4正方体ABCD-EFGH的棱长为a，点P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a,
⑴求直线PQ与平面ABCD所成的角的正切值；
⑵求直线PQ与AD所成的角
分析：（1）先作出PQ在面ABCD内的射影，由于面BFGC⊥面ABCD，作QM⊥BC于M，则MP就是QP在面ABCD内的射影，∠QPM就是要求的角，也可以先求出面ABCD的法向量与的角，然后再求它的余角即得
（2）（向量法）解：建立坐标系后，求出
可由cos求解，
解（1）作QM⊥BC于M，连MP，则∠QMP就是直线PQ与平面ABCD所成的角则易得：QM=，MP=（1-
tan∠QPM=
（2）建立空间直角坐标系如图，则
Q（0，P（
A（a,0,0）,D(a,a,0),
,=(0,a,0)
QP与AD所成的角为90°
例5如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值
分析：此题中二面角的棱没有画出，按常规解可延长BA，CD相交于E，则SE是二面角的棱，因为DA⊥面ABS，过点A作SE的垂线交SE于F，连结DF，则∠ADF就是所求二面角的平面角
若用向量法求解，就是要求两个面的法向量所成的角或补角
解：如图建立空间直角坐标系，则依题意可知D（，C（1，1，0），
S（0，0，1），可知是面SAB的法向量
设平面SCD的法向量=（x，y，z）
=0，
可推出令x=2,则有y=-1,z=1,=（2，-1，1）
设所求二面角的大小为θ，则
cosθ==
,tan
例6已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD
（1）证明：C1C⊥BD；
（2）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD请给出证明
证明：如设∠C1CB=θ，由题设，∠C1CD=∠BCD=θ令=，=，=，||=1，||=x，因为四边形ABCD为菱形，所以||=1，
（1）∵-
∴=(-)=-
=1xcosθ-1xcosθ=0
∴C1C⊥BD
（2）假设A1C⊥平面C1BD成立
则A1C⊥C1D，从而=0
由于=-，=++
因此
=(++)(-)
=2++-c--2
=2++-2=1+11cosθ-1xcosθ-x2
=（1-x）(1+x+cosθ)
从而(1-x)(1+x+cosθ)=0
由于1+x+cosθ＞0，因此，x=1
也就是说时，A1C⊥平面C1BD成立
点评：平行六面体的12条棱共分三组，每组四条棱两两平行，故可取共顶点的三条棱作为空间向量的基底，此题中，，三个共点向量为基底，其余向量可由此三个向量生成
小结：
空间角的求解有两种方法一种是几何法，另一种是向量法．
1．几何法一般要有三个步骤．
（1）作图：如上例中作出二面角的平面角及题中涉及的有关图形等；
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；
（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．
2．向量法是把求角的问题转化为求两向量的夹角．这里平面的法向量常用待定系数法求解，平面的法向量是关键．
学生练习
1．异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a、b所成的角都是30°的直线有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
解析：将a、b平移到点P，则过P与a、b所成的角都是30°的直线为2条．
答案：B
2．平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为（）
A．30°B．60°C．90°D．150°
解析：本题易误选D，因斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，故最大角为90°．
答案：C
3．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC＝a，这时二面角B—AD—C的大小为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
解析：折起后△BCD为正三角形．
答案：C
4．四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
解析：取AD中点G，连结EG、GF，则GECD，GE=AB
∵CD=2AB∴GE=2GF，∵EF⊥AB，∴EF⊥GF．
∴∠GEF=30°
答案：A
5．在正方体A—C1中，E、F分别为D1C1与AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角为（）
A．arctanB．arccosC．arcsinD．都不对
解：（向量法）建立以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的坐标系，设棱长为1
设平面A1FCE的法向量=（x，y，z）,则=0，=0
∵=（－1，，0），=（0，－，1）
∴,令y=2,∴=（1，2，1）
又∵=（0，1，0）∴cos,=
∴A1B1与平面A1FCE成的角为arcsin答案：A
6．一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是α和β，则α＋β的范围是_____．
解：设A、B分别为平面M、N内任一点，过A、B分别作AC⊥，BD⊥垂足为C、D．则∠BAD=α，∠ABC=β,α+β≤α+∠ABD=90°
又∵α+β≥0°,∴α+β∈[0°，90°]
答案：[0°，90°]
7．在平面角为锐角的二面角α—EF—β中，A∈EF，AGα，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，则二面角α—EF—β的平面角为______．
答案：45°
8．二面角α——β的平面角为120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB＝AC＝BD＝，则CD的长为．
解析：∵，AC⊥，BD⊥．AB∈．
∴，
∴
答案：2
9．在直角坐标系中，设A（－2，3），B（3，－2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，｜AB｜＝4，则θ的值为．
答案：60°

课前后备注