空间两点间的距离。

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，减轻教师们在教学时的教学压力。我们要如何写好一份值得称赞的教案呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《空间两点间的距离》，希望能为您提供更多的参考。

总课题空间直角坐标系总课时第38课时
分课题空间两点间的距离分课时第2课时
教学目标通过具体到一般的过程，让学生推导出空间两点间的距离公式，通过类比方式得到两点构成的线段的中点公式．
重点难点空间两点间的距离公式的推导及其应用．
引入新课
问题1．平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？

问题2．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？
试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．

问题3．平面直角坐标系中两点，的线段的中点坐标是什么？
空间中两点，的线段的中点坐标又是什么？

例题剖析
例1求空间两点，间的距离．

例2平面上到坐标原点的距离为的点的轨迹是单位圆，其方程为．
在空间中，到坐标原点的距离为的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．

例3证明以，，为顶点的是等腰三角形．
例4已知，，求：
（1）线段的中点和线段长度；
（2）到，两点距离相等的点的坐标满足什么条件．

巩固练习
1．已知空间中两点和的距离为，求的值．

2．试解释方程的几何意义．

3．已知点，在轴上求一点，使．

4．已知平行四边形的顶点，，．
求顶点的坐标．

课堂小结
空间两点间距离公式；空间两点的中点的坐标公式．
课后训练
一基础题
1．在空间直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，
，则的形状是．
2．若，，，则的中点到点的距离是．
3．点与点之间的距离是．
4．在轴上有一点，它与点之间的距离为，
则点的坐标是．
二提高题
5．已知：空间三点，，，
求证：，，在同一条直线上．

6．（1）求点关于平面的对称点的坐标；

（2）求点关于坐标原点的对称点的坐标；

（3）求点关于点的对称点的坐标；

三能力题
7．已知点，的坐标分别为，，
当为何值时，的值最小．最小值为多少？
8．在平面内的直线上确定一点，使到点的距离最小．

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两点间的距离

作为老师的任务写教案课件是少不了的，大家应该在准备教案课件了。只有规划好新的教案课件工作，这对我们接下来发展有着重要的意义！有没有出色的范文是关于教案课件的？下面是小编为大家整理的“两点间的距离”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

3.3.2两点间的距离

（一）教学目标
1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；
3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。
（二）教学重点、难点
重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
（三）教学方法
启发引导式
教学环节教学内容师生互动设计意图
复习引入复习数轴上两点的距离公式.设问一：
同学们能否用以前所学知识解决以下问题：
已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求|P1P2|设置情境导入新课
概念形成过P1、P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为N1(0，y)，M2(x2，0)直线P1N1与P2M2相交于点Q.
在直角△ABC中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2，为了计算其长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为M1(x1，0)过点P2向y轴作垂线，垂足为N2(0，y2)，于是有|P1Q|2=|M2M1|2=|x2–x1|2，
|QP2|2=|N1N2|2=|y2–y1|2.
由此得到两点间的距离公式
在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到.通过提问思考教师引导，使学生体会两点间距离公式形成的过程.
应用举例例1已知点A(–1，2)，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.
解：设所求点P(x，0)，于是有
∴x2+2x+5=x2–4x+11
解得x=1
∴所求点P(1，0)且
同步练习，书本112页第1、2题.
教师讲解思路，学生上台板书.
教师提问：还有其它的解法，由学生思考，再讨论提出
解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为
线段AB的垂直平分线的方程是
在上述式子中，令y=0，解得x=1.
所以所求点P的坐标为(1，0).因此

通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用.
例2证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.
证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).
设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b，c)，因为|AB|2=a2，|CD|2=a2，
|AD|2=b2+c2=|BC|2
|AC|2=(a+b)2+c2，
|BD|2=(b–a)2+c2
所以，|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=
2(a2+b2+c2)
|AC|2–|BD|2=2(a2+b2+c2)所以，
|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.此题让学生讨论解决，再由学生归纳出解决上述问题的基本步骤：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量.
第二步：进行有关代数运算.
第三步：把代数结果“翻译”成几何关系.
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题.让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤.
归纳总结主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性.师生共同总结让学生更进一步体会知识形成过程
课后作业布置作业
见习案3.3的第二课时.由学生独立完成巩固深化
备选例题
例1已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标
【解析】设点P的坐标为(x，0)，由|PA|=10，得：
解得：x=11或x=–5.
所以点P的坐标为(–5，0)或(11，0).
例2在直线l：3x–y–1=0上求一点P，使得：
（1）P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
（2）P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.
【解析】（1）如图，B关于l的对称点B′(3，3).
AB′：2x+y–9=0
由解得P(2，5).
（2）C关于l对称点
由图象可知：|PA|+|PC|≥|AC′|
当P是AC′与l的交点时“=”成立，
∴.
例3如图，一束光线经过P(2，1)射到直线l：x+y+1=0，反射后穿过点Q(0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程；（2）沿这条光线从P到Q的长度.
【解析】（1）设点Q′(a，b)是Q关于直线l的对称点
因为QQ′⊥l，k1=–1，所以
又因为Q′Q的中点在直线l上，所以
所以得，所以Q′(–3，–1)
因为Q′在入射光线所在直线l1上，设其斜率为k，
所以
l1：即2x–5y+1=0
（2）设PQ′与l的交点M，由（1）知|QM|=|Q′M|
所以|PM|+|MQ|=|PM|+|MQ′|=|PQ′|=
所以沿这光线从P到Q的长度为.
入射光所在直线方程为2x–5y+1=0.

直线的两点式方程

3.2.2直线的两点式方程

(一)教学目标
1．知识与技能
（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；
（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2．过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.
3．情态与价值观
（1）认识事物之间的普通联系与相互转化；
（2）培养学生用联系的观点看问题。
（二）教学重点、难点：
1．重点：直线方程两点式。
2．难点：两点式推导过程的理解。
（三）教学设想
教学环节教学内容师生互动设计意图
提出问题引入课题得出概念1．利用点斜式解答如下问题：
（1）已知直线l经过两点P1(1，2)，P2(3，5)，求直线l的方程.
（2）已知两点P1(x1，x2)，P2(x1，x2)其中(x1≠x2，y1≠y2).求通过这两点的直线方程.教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化已经解决的问题？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：
（1）y–2=(x–1)
（2）y–y1=
教师指出：当y1≠y2时，方程可写成
由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-pointform）.遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。
概念深入2．若点P1(x1，x2)，P2(x2，y2)中有x1=x2，或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？教师引导学生通过画图、观察和分析，发现x1=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：y=y1.使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.
应用举例3、例3
已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0，b≠0.
求直线l的方程.
教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？那种方法更为简捷？然后求出直线方程：
教师指出：a,b的几何意义和截距方程的概念.使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.

4、例4
已知三角形的三个顶点A(–5,0),B(3,–3),C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择适当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程.在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较.
例4解析：
如图，过B(3，–3)，C(0，2)的两点式方程为
整理得5x+3y–6=0.
这就是BC所在直线的方程.
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为
()，
即().
过A(–5，0)，M()的直线的方程为
，
整理得，
即x+13y+5=0.
这就是BC边上中线所在直线方程.让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题.
5、课堂练习
第102页第1、2、3题学生独立完成，教师检查、反馈.
归纳总结6、小结教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解.
课后作业布置作业
见习案3.2的第二课时.学生课后完成巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力.
备选例题
例1求经过点A(–3，4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.
【解析】当直线l在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为.
将A(–3，4)代入上式，有，解得a=–7.
∴所求直线方程为x–y+7=0.
当直线l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y=kx.将A(–3，4)代入方程得4=–3k，即k=.
∴所求直线的方程为x，即4x+3y=0.故所求直线l的方程为x–y+7=0或4x+3y=0.
【评析】此题运用了直线方程的截距式，在用截距时，必须注意适用条件：a、b存在且都不为零，否则容易漏解.
例2如图，某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费y（元）与行李重量x(kg)的关系用直线AB的方程表示，试求：
（1）直线AB的方程；
（2）旅客最多可免费携带多少行李？
【解析】（1）由图知，A(60，6)，B(80，10)代入两点式可得AB方程为x–5y–30=0
（2）由题意令y=0，得x=30即旅客最多可免费携带30kg行李.

空间距离

题目第九章(B)直线、平面、简单几何体空间距离
高考要求
1理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念
2会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算七种距离
知识点归纳
1点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离
即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离
结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短
2异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．
3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线
4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；
5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；
6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度
说明：两条异面直线的距离即为直线到平面的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离
7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)
8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：
（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线
（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段
（3）两个平行平面的公垂线段都相等
（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长
9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离
10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求
10用向量法求距离的公式：
⑴异面直线之间的距离：
，其中
⑵直线与平面之间的距离：
，其中是平面的法向量
⑶两平行平面之间的距离：
，其中是平面的法向量
⑷点A到平面的距离：
，其中，是平面的法向量
另法：点平面
则
⑸点A到直线的距离：
，其中，是直线的方向向量
⑹两平行直线之间的距离：
，其中，是的方向向量
题型讲解
例1设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离
解法一：∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），
∴
设平面ABC的法向量=（x，y，z），
则=0，=0，
∴
即
令z=－2，则=（3，2，－2）
∴由点到平面的距离公式：
===
∴点D到平面ABC的距离为
解法二：设平面ABC的方程为：
将A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７）的坐标代入，得
，
取B＝2，则平面ABC的法向量=(A,B,C)=（3，2，－2）
又因为
∴由点到平面的距离公式：
===
∴点D到平面ABC的距离为
点评：求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标(两种方法)，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d=|||cos〈，〉
例2如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点
求：（1）与所成的角；
（2）P点到平面EFB的距离；
（3）异面直线PM与FQ的距离
解：建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），
则由中点坐标公式得P（，0，）、Q（，，0）
（1）∴=（－，0，），=（，－，－a），
=（－）×+0+×（－a）=－a2，
且||=a，||=a
∴cos〈，〉===－
故得两向量所成的角为150°
（2）设=（x，y，z）是平面EFB的法向量，
即||=1，⊥平面EFB，∴⊥，⊥
又=（－a，a，0），=（0，a，－a），
即有，
取，则
∵=（，0，）
∴设所求距离为d，则=a
（3）设=（x1，y1，z1）是两异面直线的公垂线的方向向量，
则由=（－，0，），=（，－，－a），得
取＝－1，则
而=（0，a，0）设所求距离为m，
则=a
例3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线BD与B1C的距离
分析：虽然此题中没有给出表示两异面直线距离的线段，但是容易建立直角坐标系，使它变为坐标系下的异面直线距离的问题，还是属于考试范围的问题
解：建立空间直角坐标系（如图），则B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0）B1（0，0，1），
则
设与都垂直的向量为，
则由和
得，
异面直线BD与B1C的距离：
小结：
1用向量求点到平面的距离的步骤为：先确定平面的法向量，再求该点与平面内一点的连线在法向量上的射影长即得也就是若是平面的法向量，为平面内的一点，则点到平面的距离为：
2求异面直线的距离方法很多，但考纲仅要求会求图中已给出表示异面直线间距离的线段，或在空间直角坐标系下的异面直线的距离，对于第一类问题要先找出这条线段，证明它是所求距离，然后求之；第二类问题的求解步骤是：先求出与两异面直线都垂直的一个向量，然后再求异面直线上两点连线在这个向量上的射影的长，即若是与异面直线都垂直的向量，点，则异面直线与之间的距离：
3两平面间的距离一般转化为点到平面或线到面的距离来求解
学生练习
1ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为
ABCD1
解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求易证CE=1∴选D
答案：D
2在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是
A13B11C9D7
解析：作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC
∴O是△ABC的外心
∴OA===5
∴PO==11为所求∴选B
答案：B
3在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是
AaBaCaDa
解析：A到面MBD的距离由等积变形可得
VA—MBD=VB—AMD易求d=a

答案：D
4平面α内的∠MON=60°，PO是α的斜线，PO=3，∠POM=∠PON=4５°，那么点P到平面α的距离是
ABCD
解析：cos∠POM=cos∠POHcos∠MOH，
∴=cos∠POH∴cos∠POH=∴sin∠POH=
∴PH=POsin∠POH=3×=
答案：A
5正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离是
AaBaCaDa
解析：连结A1E、BE，过E作EH⊥A1B于H，
在△A1BE中易求EH=a
答案：D
6A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_______
解析：CD=
答案：5或
7设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________
解析：作AD⊥BC于点D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD∴AD是PA与BC的公垂线易得AB=2，AC=2，BC=4，AD=，连结PD，则PD⊥BC，P到BC的距离PD=
答案：
8已知l1、l2是两条异面直线，α、β、γ是三个互相平行的平面，l1、l2分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1与α成30°角，则β与γ的距离是__________；DE=__________
解析：由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得β与γ间距离为6由面面平行的性质定理可得=，∴=，即=∴DE=25
答案：625
9已知正方体ABCD—A1B1C1D1的边长为a，E、F分别是棱A1B1、CD的中点
（1）证明：截面C1EAF⊥平面ABC1
（2）求点B到截面C1EAF的距离
（1）证明：连结EF、AC1和BC1，易知四边形EB1CF是平行四边形，从而EF∥B1C，直线B1C⊥BC1且B1C⊥AB，则直线B1C⊥平面ABC1，得EF⊥平面ABC1而EF平面C1EAF，得平面C1EAF⊥平面ABC1
（2）解：在平面ABC1内，过B作BH，使BH⊥AC1，H为垂足，则BH的长就是点B到平面C1EAF的距离，在直角三角形中，BH===
另法：建立坐标系(略)
10已知直线l上有两定点A、B，线段AC⊥l，BD⊥l，AC=BD=a且AC与BD成120°角，求AB与CD间的距离

解法一：在面ABC内过B作BE⊥l于B，且BE=AC，则ABEC为矩形
∴AB∥CE
∴AB∥平面CDE
则AB与CD的距离即为B到DE的距离
过B作BF⊥DE于F，易求BF=a
解法二：建系如图，则A（0，0，b），C（－a，a，a），D（a，0，0），
设AB与CD的公垂线的一个方向向量=（x，y，z），
利用=0，=0，
求出，则d==a
课前后备注

§3.2.2空间角与距离的计算举例

§3.2.2空间角与距离的计算举例
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,上次课已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问题，转化为空间向量的数量积来解决。
【教学目标】：
（1）知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算；能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的计算问题.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：
将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.
【教学难点】：
将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入
1．两个向量的数量积如何运算？
2．向量的模与向量的数量积是什么关系？
3．向量的加法法则。为探索新知识做准备.
二、探究与练习
一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）
二、例题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
解：如图1，设
化为向量问题
依据向量的加法法则，
进行向量运算
回到图形问题
这个晶体的对角线的长是棱长的倍。
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
分析:
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
分析:
∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
分析：面面距离点面距离向量的模回归图形
解：
练习:
如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
a和b,CD的长为c,AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值
解：如图
化为向量问题
根据向量的加法法则
进行向量运算

设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。
因此

回到图形问题
库底与水坝所成二面角的余弦值为

思考：
（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？
分析：
∴可算出AB的长。
（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？
分析：如图，设以顶点A为端点的对角线长为d，三条棱长分别为a,b,c,各棱间夹角为.
（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等a，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？
分析：二面角平面角向量的夹角回归图形
解：如图，在平面AB1内过A1作A1E⊥AB于点E，在平面AC内作CF⊥AB于F。
∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。
练习：
（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长。
2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。
让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。

例1的图形比较规范，容易把握，可以让学生很好地体会向量解题的优势。

这是例题1的推广，方法类似，学生进一步体会.
及时进行类比训练，巩固所学方法和技能。

例2是关于角的有关问题，引导学生找到相应的向量进行转化。

三、小结1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
2．面面距离点面距离向量的模回归图形
二面角平面角向量的夹角回归图形
反思归纳
四、作业课本P112第2、4题。

练习与测试：
（基础题）
1．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
答：C。
2．如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点。那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（）
A．B．C．D．
答：B。
3，把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为）
A．90°B．60°C，45°D．30°
答：C。
4，已知是两条异面直线的公垂线段，，则所成的角为．
答：或。
（中等题）
5，一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，
这条线段与这个二面角的棱所成的角为。
答：
6，棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点在棱上，且．
（Ⅰ）求直线与平面所成的角的三角函数值；
（Ⅱ）设点在平面上的射影是，求证：．
解：（1）连BP，则角APB为直线与平面所成的角，
（2）
所以