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高中向量的教案

发表时间:2020-10-13

§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量。

一名优秀的教师就要对每一课堂负责,高中教师要准备好教案,这是老师职责的一部分。教案可以让学生更好的消化课堂内容,帮助高中教师更好的完成实现教学目标。优秀有创意的高中教案要怎样写呢?下面是小编为大家整理的“§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量”,大家不妨来参考。希望您能喜欢!

§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
【学情分析】:
教学对象是高二的学生,学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示,并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学.
【教学目标】:
(1)知识与技能:理解直线的方向向量和平面的法向量;会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.
(2)过程与方法:在解决问题中,通过数形结合的思想方法,加深对相关知识的理解。
(3)情感态度与价值观:开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势.
【教学重点】:
平面的法向量.
【教学难点】:
用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系.
【教学过程设计】:
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入
1.两个非零向量共线的充要条件是什么?
2.什么叫直线的方向向量?
3.回顾平面向量基本定理。为探索新知识做准备.
二、探究新知
一、点、直线、平面的位置的向量表示
1.思考:如何确定一个点在空间的位置?
如图,在空间中,我们取一点O作为基点,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示.称向量为点的位置向量。
2.思考:在空间中给定一个定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空间的位置吗?

如图,点A和不仅可以确定直线l的位置,还可以具体表示出l上的任意一点P。
3.思考:给定一个定点和两个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?
如图,点O和、不仅可以确定平面的位置,还可以具体表示出内的任意一点P.
4.思考:给定一个定点和一个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?
法向量:若,则叫做平面的法向量。
如图,过点A,以为法向量的平面是完全确定的.
二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系
设直线l、m的方向向量分别为、,平面的法向量分别为.
探究1:平行关系
1,线线平行:

2,线面平行:

3,面面平行:

探究2:垂直关系
1,线线垂直:
2,线面垂直:
3,面面垂直:
要求学生自己寻找空间中的几何元素点、直线、平面的位置的向量表示方法。

通过对对称轴不同作法的探讨,拓展学生的思维.

让学生对每一种关系都进行探究,找到相应的向量关系和运算公式。

三、练习巩固1.设直线l,m的方向向量分别为,根据下列条件判断l,m的位置关系:

答案:(1)平行;(2)垂直;(3)平行。
2.设平面的法向量分别为,根据下列条件判断平面的位置关系:
答案:(1)垂直;(2)平行;(3)相交,交角的余弦为。
巩固知识,培养技能.
四、训练与提高1.已知点是平行四边形所在平面外一点,如果,,
(1)求证:是平面的法向量;
(2)求平行四边形的面积.
(1)证明:∵,

∴,,又,平面,
∴是平面的法向量.
(2),,
∴,
∴,
∴,
∴.
引导学生进行应用.

对法向量作理解.

巩固以往知识,培养运算技能.
五、小结1.点、直线、平面的位置的向量表示。
2.线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。反思归纳
六、作业A,预习课本105~110的例题。
B,书面作业:
1,

练习与测试:
(基础题)
1,与两点和所成向量同方向的单位向量是。
解:向量,它的模
则所求单位向量为。
2,从点沿向量的方向取长为6的线段,求点坐标。
解:设点坐标为,由题设有;
由可得。则
,于是所求坐标为。
3,设直线l,m的方向向量分别为,判断l,m的位置关系。
解:因为(1,2,3)(-3,0,1)=0,所以两直线垂直。

4,设平面的法向量分别为,判断平面的位置关系。
解:易知所给二法向量平行,故平面平行。

(中等题)
5,已知空间四点坐标分别为A(1,0,0)、B(1,1,0)、E(1,1/2,1)、F(0,1/2,0),求平面AEF的单位法向量。
解:

设平面AEF的法向量为则有
为平面AEF的单位法向量。
6,如图所示建立坐标系,有

分别求平面SAB与平面SDC的法向量,并求出它们夹角的余弦。
解:因为y轴平面SAB,所以平面SAB的法向量为
设平面SDC的法向量为,

延伸阅读

直线与平面的位置关系


总课题点、线、面之间的位置关系总课时第11课时
分课题直线与平面的位置关系(三)分课时第3课时
教学目标了解直线和平面所成角的概念和范围;能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理.
重点难点直线与平面所成角的概念.
引入新课
1.通过观察一条直线与一个平面相交,思考如何量化它们相交程度的不同.
2.平面的斜线的定义:;
叫做斜足;叫做这个点到平面的斜线段.
3.过平面外一点向平面引斜线和垂线,那么过斜足与垂足
的直线就是;
线段就是线段.
4.斜线与平面所成的角的概念
,其范围是.
指出右上图中斜线与平面所成的角是,你能证明这个角是与平面内经过点的直线所成的所有角中最小的角吗?
一条直线垂直于平面时,这条直线与平面所成的角是;
一条直线与平面平行或在平面内,我们说他们所成的角是.
思考:直线与平面所成的角的范围是.
例题剖析
例1如图:已知,分别是平面垂线和斜线,分别是垂足和斜足,,,求证:.

能用文字语言表述这个结论吗?

例2如图,∠BAC在平面内,点P,∠PAB=∠PAC.求证:点P在平面内的射影在∠BAC的平分线上.
[思考]:
(1)若∠PAB=∠PAC=60°,∠BAC=90°,则直线PA与所成角的大小__________.

(2)从平面外同一点引平面的斜线段长相等,那么它们在内射影长相等吗?反之成立吗?

(3)若将例2中条件“∠PAB=∠PAC”改为“点P到∠BAC的两边AB、AC的距离相等”,结论是否仍然成立?

(4)你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗?

巩固练习
1.如图,,平面,则在的边所在直线中:
(1)与垂直的直线有:
(2)与垂直的直线有:
2.在正方体中,直线与平面
所成的角是
3.如果PA、PB、PC两两垂直,那么P在平面ABC内的射影一定是△ABC的()
A.重心B.内心C.外心D.垂心
4.如图,一块正方体木料的上底面内有一点,要经过点在上底面内画一条直线与垂直,应怎样画?

课堂小结
平面的斜线及斜线在平面内的射影的概念;直线与平面所成的角概念、范围.
课后训练
一基础题
1.若直线与平面不垂直,那么在平面内与直线垂直的直线()
只有一条有无数条是平面内的所有直线不存在
2.设PA、PB、PC是从点P引出的三条射线,每两条的夹角都等于60°,
则直线PC与平面APB所成角的余弦值是.
3.在三棱锥P-ABC中,顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心,
则三条侧棱PA、PB、PC大小关系是_________________.
二提高题
4.在四棱锥中,是矩形,平面.
(1)指出图中有哪些三角形是直角三角形,并说明理由;
(2)若,试求与平面所成角的正切值.

5.求证:如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.

三能力题
6.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC上的射影O是△ABC的垂心,求证:PA⊥BC.

平面向量的应用


课时12平面向量的应用
一、学习目标:
1.经历用向量的方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程,体会向量是某一种数学工具。
2.发展学生的运算能力和解决实际问题的能力
二、重点与难点:
1.利用向量数量积的相关知识解决平面几何、物理学中的垂直、夹角、模长和质点运动等相关问题。
2.用向量的共线定理解决三点共线、动点的轨迹问题。
3.提高学生对所学知识和方法的迁移(转化)能力。
三、基础训练:
1、已知向量,若点C在函数的图象上,实数的值为
2、平面向量=(x,y),=(x2,y2),=(1,1),=(2,2),若==1,则这样的向量有
3、如果向量与的夹角为,那么我们称为向量与的“向量积”,是一个向量,它的长度为,如果,则的值为
4.在平行四边形ABCD中,,则=______________
5.设中,,且,判断的形状。
6、=(cosθ,-sinθ),=(-2-sinθ,-2+cosθ),其中θ∈[0,π2],则||的最大值为
7、有两个向量,,今有动点,从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动,速度为;另一动点,从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动,速度为.设、在时刻秒时分别在、处,则当时,秒.
四、例题研究
例1.已知向量满足条件,且,求证是正三角形。

例2、已知,.求证:

思考:能否画一个几何图形来解释例2

变题:用向量方法证明梯形中位线定理。

例3、已知在△ABC中BC,CA,AB的长分别为a,b,c,试用向量方法证明:
(1)(2)

五、课后作业:
1.设=(1,3),A、B两点的坐标分别为(1,3)、(2,0),则与的大小关系为
2.当|a|=|b|≠0且a、b不共线时,a+b与a-b的关系是
3.下面有五个命题,①单位向量都相等;②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量;③若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b;④由于零向量方向不确定,故0不能与任何向量平行;⑤对于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|。其中正确的命题序号为
4.已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则a+b+c的模等于
5.下面有五个命题,①|a|2=a2;②;③(ab)2=a2b2;④(a-b)2=a2-2ab+b2;⑤若ab=0,则a=0或b=0其中正确命题的序号是
6.已知m,n是夹角为60°的两个单位向量,则a=2m+n和b=-3m+2n的夹角是
7.如图,平面内有三个向量,其中的夹角是120°,的夹角为30°,,若,
则=。
8.已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量AD的坐标.

9.设i,j是平面直角坐标系内x轴,y轴正方向上的两个单位向量,且=4i+2j,=3i+4j,证明△ABC是直角三角形,并求它的面积.

10.已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4),B(0,0)C(c,0)
(1)若c=5,求sinA的值;(2)若A为钝角,求c的取值范围。

11.已知向量,,
(1)向量、是否共线?并说明理由;(2)求函数的最大值

12.在平面直角坐标系中,已知向量又点A(8,0),,(1)若,且,求向量;
(2)向量与共线,当,且取最大值4,求

问题统计与分析

平面向量教案


二、复习要求
1、向量的概念;
2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;
3、向量运算的运用
三、学习指导
1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。
2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:
运算图形语言符号语言坐标语言
加法与减法
=
-=
记=(x1,y1),=(x1,y2)
则=(x1x2,y1y2)
-=(x2-x1,y2-y1)=
实数与向量
的乘积

λ∈R记=(x,y)
则λ=(λx,λy)两个向量
的数量积
·=||||
cos,
记=(x1,y1),=(x2,y2)
则·=x1x2y1y2
3、运算律
加法:=,()=()
实数与向量的乘积:λ()=λλ;(λμ)=λμ,λ(μ)=
(λμ)
两个向量的数量积:·=·;(λ)·=·(λ)=λ(·),()·=··
说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如(±)2=
4、重要定理、公式
(1)平面向量基本定理;如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1λ2,称λ1λλ2为,的线性组合。
根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义(λ1,λ2)为向量的平面直角坐标。
向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则=(x,y);当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)
(2)两个向量平行的充要条件
符号语言:若∥,≠,则=λ
坐标语言为:设=(x1,y1),=(x2,y2),则∥(x1,y1)=λ(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0
在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ0;当与异向时,λ0。
|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
(3)两个向量垂直的充要条件
符号语言:⊥·=0
坐标语言:设=(x1,y1),=(x2,y2),则⊥x1x2y1y2=0
(4)线段定比分点公式
如图,设
则定比分点向量式:
定比分点坐标式:设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)

特例:当λ=1时,就得到中点公式:
,
实际上,对于起点相同,终点共线三个向量,,(O与P1P2不共线),总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。
(5)平移公式:
①点平移公式,如果点P(x,y)按=(h,k)平移至P(x,y),则
分别称(x,y),(x,y)为旧、新坐标,为平移法则
在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标
②图形平移:设曲线C:y=f(x)按=(h,k)平移,则平移后曲线C对应的解析式为y-k=f(x-h)
当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移
利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质
(6)正弦定理,余弦定理
正弦定理:
余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA
b2=c2a2-2cacosB
c2=a2b2-2abcosc
定理变形:cosA=,cosB=,cosC=
正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的程序性特点。
四、典型例题
例1、如图,,为单位向量,与夹角为1200,与的夹角为450,||=5,用,表示。
分析:
以,为邻边,为对角线构造平行四边形
把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ0,μ0
则=λμ
∵||=||=1
∴λ=||,μ=||
△OEC中,∠E=600,∠OCE=750,由得:


说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理
例2、已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量坐标。
分析:
用解方程组思想
设D(x,y),则=(x-2,y1)
∵=(-6,-3),·=0
∴-6(x-2)-3(y1)=0,即2xy-3=0①
∵=(x-3,y-2),∥
∴-6(y-2)=-3(x-3),即x-2y1=0②
由①②得:
∴D(1,1),=(-1,2)
例3、求与向量=,-1)和=(1,)夹角相等,且模为的向量的坐标。
分析:
用解方程组思想
法一:设=(x,y),则·=x-y,·=xy
∵,=,

(2)若∠PED=450,求证:P、D、C、E四点共圆。
分析:
利用坐标系可以确定点P位置
如图,建立平面直角坐标系
则C(2,0),D(2,3),E(1,0)
设P(0,y)
∴=(1,3),=(-1,y)

·=3y-1
代入cos450=
解之得(舍),或y=2
∴点P为靠近点A的AB三等分处
(3)当∠PED=450时,由(1)知P(0,2)
∴=(2,1),=(-1,2)
∴·=0
∴∠DPE=900
又∠DCE=900
∴D、P、E、C四点共圆
说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。
同步练习
(一)选择题
1、平面内三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),若∥,则x的值为:
A、-5B、-1C、1D、5
2、平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C点满足,连DC并延长至E,使||=||,则点E坐标为:
A、(-8,)B、()C、(0,1)D、(0,1)或(2,)
2、点(2,-1)沿向量平移到(-2,1),则点(-2,1)沿平移到:
3、A、(2,-1)B、(-2,1)C、(6,-3)D、(-6,3)
4、△ABC中,2cosB·sinC=sinA,则此三角形是:
A、直角三角形B、等腰三角形C、等边三角形D、以上均有可能
5、设,,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:
①(·)-(·)=0
②||-|||-|
③(·)-(·)不与垂直
④(32)·(3-2)=9||2-4|2中,
真命题是:
A、①②B、②③C、③④D、②④
6、△ABC中,若a4b4c4=2c2(a2b2),则∠C度数是:
A、600B、450或1350C、1200D、300
7、△OAB中,=,=,=,若=,t∈R,则点P在
A、∠AOB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上
C、AB边所在直线上D、AB边的中线上
8、正方形PQRS对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部,且=(0,3),=(4,0),则=
A、()B、()C、(7,4)D、()
(二)填空题
9、已知{,|是平面上一个基底,若=λ,=-2λ-,若,共线,则λ=__________。
10、已知||=,||=1,·=-9,则与的夹角是________。
11、设,是两个单位向量,它们夹角为600,
则(2-)·(-32)=____________。
12、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数___________的图象。
(三)解答题
13、设=(3,1),=(-1,2),⊥,∥,试求满足=的的坐

14、若=(2,-8),-=(-8,16),求、及与夹角θ的余弦值。
15、已知||=,||=3,和夹角为450,求当向量λ与λ夹角为锐角时,λ的取值范围。
参考答案
(一)1、C2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、A
(二)9、10、11、12、y=sinx1
(三)13、(11,6)
14、=(-3,4),=(5,-12),
15、λ,或λ且λ≠

从平面向量到空间向量导学案


经验告诉我们,成功是留给有准备的人。教师要准备好教案,这是老师职责的一部分。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动,帮助教师能够更轻松的上课教学。我们要如何写好一份值得称赞的教案呢?为满足您的需求,小编特地编辑了“从平面向量到空间向量导学案”,欢迎大家阅读,希望对大家有所帮助。

§1从平面向量到空间向量

学习目标
1.了解向量由平面到空间的推导过程
2.理解空间向量的概念
3.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念,并会求直线的方向向量和平面的法向量
学习过程
一、课前准备

复习:平面向量基本概念:
具有和的量叫向量,叫向量的模(或长度);叫零向量,记着;叫单位向量.叫相反向量,的相反向量记着.叫相等向量,向量的表示方法有,,
和共三种方法.

二、新课导学
※学习探究
探究任务一:空间向量的相关概念
问题:1.什么叫空间向量?

2.空间向量中有零向量,单位向量,相等向量吗?

3.空间向量如何表示?

4.向量的夹角的概念、表示、垂直与平行如何表示?

探究任务二:向量、直线、平面的相关概念

问题:1.直线的方向向量概念
2.平面的法向量概念

※典型例题
例1见P26思考与交流例子
三、总结提升
※学习小结
1.空间向量基本概念;
2.直线的方向向量概念
3平面的法向量的概念
4.向量的夹角及垂直、平行与夹角的关系

学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为().
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测(时量:5分钟满分:10分)计分:
1.下列说法中正确的是()
A.若∣∣=∣∣,则,的长度相同,方向相反或相同;
B.若与是相反向量,则∣∣=∣∣;
C.空间向量的减法满足结合律;
D.在四边形ABCD中,一定有.
2.已知向量,是两个非零向量,是与,同方向的单位向量,那么下列各式正确的是()
A.B.或
C.D.∣∣=∣∣
3.在四边形ABCD中,若,则四边形是()
A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形
4.下列说法正确的是()
A.零向量没有方向
B.空间向量不可以平行移动
C.如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等
D.同向且等长的有向线段表示同一向量

§2空间向量的运算(一)

一、选择题
1.下列说法中正确的是()
A.若∣∣=∣∣,则,的长度相同,方向相反或相同;
B.若与是相反向量,则∣∣=∣∣;
C.空间向量的减法满足结合律;
D.在四边形ABCD中,一定有.
2.已知向量,是两个非零向量,是与,同方向的单位向量,那么下列各式正确的是()
A.B.或
C.D.∣∣=∣∣
3.下列说法正确的是()
A.零向量没有方向
B.空间向量不可以平行移动
C.如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等
D.同向且等长的有向线段表示同一向量
二、填空题
4.长方体中,化简=.
5.如果都是平面的法向量,则的关系.
三、解答题
6.已知平行六面体,M为AC与BD的交点,化简下列表达式:
⑴;⑵;
⑶;⑷.

创新与实践:
已知平行六面体(如图),化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量:

错误反思
题号错题分析正确解法

§2空间向量的运算

一、选择题
1.下列说法正确的是()
A.向量与非零向量共线,与共线,则与共线;
B.任意两个共线向量不一定是共线向量;
C.任意两个共线向量相等;
D.若向量与共线,则.
2.已知平行六面体,M是AC与BD交点,若,
则与相等的向量是()
A.B.
C.D.
3.下列命题中:
①若,则,中至少一个为
②若且,则


正确有个数为()
A.0个B.1个C.2个D.3个
二、填空题
3.已知中,所对的边为,且,,则=
4.已知向量满足,,,则________
三、解答题
6.已知平行六面体,点M是棱AA的中点,点G在对角线AC上,且CG:GA=2:1,设=,,试用向量表示向量.

创新与实践:
已知为平行四边形,且,求的坐标.

错误反思

题号错题分析正确解法

§3向量的坐标表示和空间向量基本定理(一)

一、选择题
1.则()
A.-15B.-5C.-3D.-1

2.若,且的夹角为钝角,则的取值范围是()
A.B.C.D.
3.已知,且,则()
A.B.
C.D.
二、填空题
4.设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量,且
,则点B的坐标是.
5.已知,且,则x=.
三、解答题
6.已知,求:
⑴;⑵;⑶;⑷;(5).

创新与实践:
已知A(3,3,1)、B(1,0,5),求:
⑴线段AB的中点坐标和长度;
⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件.

错误反思

题号错题分析正确解法
§3向量的坐标表示和空间向量基本定理(二)
一、选择题
1.若为空间向量的一组基底,则下列各项中,能构成基底的是()
A.B.
C.D.
2.在下列命题中:①若a、b共线,则a、b所在的直线平行;②若a、b所在的直线是异面直线,则a、b一定不共面;③若a、b、c三向量两两共面,则a、b、c三向量一定也共面;④已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数为()
A.0B.1C.2D.3
3.已知,与的夹角为120°,则的值为()
A.B.C.D.
二、填空题
4.在三棱锥OABC中,G是的重心(三条中线的交点),选取为基
底,试用基底表示=.
5.已知关于x的方程有两个实根,,且
,当t=时,的模取得最大值.
三、解答题
如图,在单位正方体中,点分别是的一个四等分点.
(1)求与的坐标;
(2)求与所成的角的余弦值.

创新与实践:
如图,正方体的棱长为,
⑴求的夹角;⑵求证:.

错误反思

题号错题分析正确解法
§4用向量讨论垂直与平行(一)

一、选择题
1.若=,=,则是的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不不要条件
2.已知且与互相垂直,则的值是()
A.1B.C.D.
3.下列各组向量中不平行的是()
A.B.
C.D.
二、填空题
4.设分别是直线的方向向量,则直线的位置关系
是.
5.已知向量,若,则______;若则______.
三、解答题
6.设分别是平面的法向量,判断平面的位置关系:
⑴;
⑵.
创新与实践:
如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=AB=a,E为PB的中点,在平面PAD内求一点F,使得EF⊥平面PBC。
错误反思
题号错题分析正确解法

§4用向量讨论垂直与平行(二)
一、选择题
1.下列说法正确的是()
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量
D.若是直线的方向向量,,则
2.已知,能做平面的法向量的是()
A.B.C.D.
3.已知,,则以、为邻边的平行四边形的面积为()
A.B.C.4D.
二、填空题
4.设分别是平面的法向量,则平面的位置关系
是.
5.若向量,则这两个向量的位置关系是___________.
三、解答题
6.如图,在四面体中,,点分别是的中点.
求证:
(1)直线面;
(2)平面面.

创新与实践:
用向量方法证明:(三垂线定理的逆定理)如果平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线b,那么直线垂直于直线b在这个平面上的射影.

错误反思

题号错题分析正确解法

§5夹角的计算(一)
一、选择题
1.已知向量,若,设,则与轴夹角
的余弦值为()
A.B.C.D.
2.若,,与的夹角为,则的值为()

A.17或-1B.-17或1C.-1D.1
3.在正方体中,为的交点,则与所成角的
()
A.B.C.D.
二、填空题
4.若,且,则与的夹角为____________.
5.若向量与的夹角为,,,则.
三、解答题
6.设空间两个不同的单位向量与向量的夹角
都等于45.
(1)求和的值;(2)求的大小.

创新与实践:
如图,已知点P在正方体的对角线上,∠PDA=60°.
求DP与所成角的大小.

错误反思

题号错题分析正确解法

§5夹角的计算(二)
一、选择题
1.若A,B,C,则△ABC的形状是()
A.不等边锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
2.若向量,且与的夹角余弦为,则等于()
A.B.C.或D.或
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成
角的正弦值为()
A.B.
C.D.
二、填空题
4.直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,,AA1=6,E为AA1
的中点,则平面EBC1与平面ABC所成的二面角的大小为.
5.在长方体中,和与底面所成的角分别为和,则异面
直线和所成角的余弦值为.
三、解答题
6.如图3,已知直四棱柱中,,底面是直角梯形,是直角,,求异面直线与所成角的大小.
创新与实践:
如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=1,,AB1与A1B相交于点D,M为B1C1的中点.
(1)求证:CD⊥平面BDM;
(2)求平面B1BD与平面CBD所成二面角的大小.
错误反思
题号错题分析正确解法

§6距离的计算(一)
一、选择题
1.设,,,则线段的中点到点的距离
为()
A.B.C.D.
2.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是()
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
3.四边形为正方形,为平面外一点,,二面角
为,则到的距离为()
A.B.C.2D.
二、填空题
4.如图,P—ABCD是正四棱锥,是正方体,
其中,则到平面PAD的距离为.
5.已知正方体的棱长是,则直线与
间的距离为。
三、解答题
6.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,求点C到平面AEC1F的距离.

创新与实践:
如图,是矩形,平面,,,分别是的中点,求点到平面的距离.

错误反思
题号错题分析正确解法
§6距离的计算(二)

一、选择题
1.正方体的棱长为1,
是的中点,则点到平面距离等于()
A.B.C.D.
2.一条长为的线段,夹在互相垂直的两个平面之间,它和这两个平面所成的角分别是和,由这条线段两端向两平面的交线引垂线,垂足的距离是()
A.B.C.D.
3.三角形ABC的三个顶点分别是,,,则AC边上的高BD长为()
A.5B.C.4D.
二、填空题
4.已知是异面直线,那么:
①必存在平面过且与平行;②必存在平面过且与垂直;
③必存在平面与都垂直;④必存在平面与距离都相等.
其中正确命题的序号是.
2.已知空间四边形,点分别为的中点,且
,用,,表示,则=______________________.
三、解答题
6.如图,在长方体中,,点在棱上移
(1)证明:;
(2)当为的中点时,求点到面的距离.
创新与实践:
如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,,,,为的中点.求在侧面内找一点,使面,并计算点到和的距离.

错误反思
题号错题分析正确解法

本章小结测试
一、选择题
1.已知,则的最小值是()
A.B.C.D.
2.将正方形沿对角线折成直二面角后,异面直线所成角的余弦值为
()
A.B.C.D.

3.正方体的棱长为,,N是的中点,则=()
A.B.C.D.
二、填空题
4.已知,且,则k=.
5.空间两个单位向量与的夹角都等于,则.
三、解答题
6.如图,在棱长为1的正方体中,点分别为的中点.
⑴求证:;
⑵求与所成角的余弦值;
⑶求的长.

创新与实践:
如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为,在它的顶点处分别受力、、,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是,且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动?这三个力最小为多大时,才能提起这块钢板?