小学圆教案

九年级数学圆和圆的位置关系。

3.6圆和圆的位置关系

本节课要学习的内容是圆和圆的位置关系，其中包括利用平移实验直观地探索圆和圆之间的几种位置关系，通过讨论两圆圆心之间的距离d与两圆半径R和r之间的关系来确定两圆的位置关系．重点和难点是通过学生动手操作和互相交流探索出圆和圆之间的几种位置关系．

在教学中教师不要只强调结论，要关注学生的动手操作过程，关注他们互相交流的过程．看学生是否能积极地投入到数学活动中去，在他们困难的时候要适时地给予帮助，要多加鼓励，提高他们学习数学的兴趣，只要学生有了兴趣就成功了一半，他们就能敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验．

通过学习本节课的内容，使学生具备一定的识图能力，体会数学活动充满着探索性和创造性，敢于发表自己的观点，并尊重和理解他人的见解，能从交流中获益．

教学目标

(一)教学知识点

1．了解圆与圆之间的几种位置关系．

2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．

(二)能力训练要求

1.经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．

2．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．

(三)情感与价值观要求

1．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．

教学重点

探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．

教学难点

探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关

系的过程．

教学方法

教师讲解与学生合作交流探索法

教具准备

投影片三张

第一张：(记作§3．6A)

第二张：(记作§3．6B)

第三张：(记作§3．6C)

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢?没有调查就没有发言权．下面我们就来进行有关探讨．

Ⅱ．新课讲解

一、想一想

[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢?

[生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．

[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就来讨沦这些位置关系分别是什么．

二、探索圆和圆的位置关系

在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系?

[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．

[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：

[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗?从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑．

[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；

(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；

(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；

(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；

(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．

[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗?

[生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．

[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．

经过大家的讨论我们可知：

投影片(§3．6A)

(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．

(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离

外离外切

，相切

内含内切

三、例题讲解

投影片(§3．6B)

两个同样大小的肥皂泡黏

在一起，其剖面如图所示

(点O，O′是圆心)，分隔

两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，

TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．

解：∵OP＝OO′＝PO′，

∴△PO′O是一个等边三角形．

∴∠OPO′=60°．

又∵TP与NP分别为两圆的切线，

∴∠TPO=∠NPO′=90°．

∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°．

四、想一想

如图(1)，⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?切点与对称轴有什么位置关系?如果⊙O1与⊙O2内切呢?[如图(2)]

[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢?这就要看切点了是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明．反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立；第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论；第三步是证明假设错误，则原来的结论成立．

证明：假设切点丁不在O1O2上．

因为圆是轴对称图形．所以T关于O1O2的对称点广也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假没不成立．

则T在O1O2上．

由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上．jab88.COm

在图(2)中应有同样的结论．

通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．

五、议一议

投影片(§3．6C)

设两圆的半径分别为R和r．

(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系?反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗?

(2)当两圆内切时(Rr)，圆心距d与R和r具有怎样的关系?反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗?

[师]如图，请大家互相交流．

[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．

在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．

[师]由此可知，当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切d＝R+r

当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d＝R-r．

Ⅲ．课堂练习

随堂练习

Ⅳ．课时小结

本节课学习了如下内容：

1．探索圆和圆的五种位置关系；

2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系；

3．探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系．

Ⅴ．课后作业

Ⅵ．活动与探究

已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径．

分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O3的半径为r，则O1O3=O2O3＝R+r，连接OO3就有OO3⊙O1O2，所以OO2O3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半径r.

解：连接O2O3、OO3，

∴O2OO3＝90°，OO3＝2R-r

O2O3＝R+r，OO2＝R

∴(R+r)2=(2R-r)2+R2．

∴r=R

板书设计

3.6圆和圆的位置关系

一、1．想一想

2．探索圆和圆的位置-关系

3．例题讲解

4．想一想

5．议一议

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

备课资料

参考练习

1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若两圆外切，则d＝_____；若两圆内切；则d＝____．

2．如果两个圆相切，那么切点和两圆的圆心_____．

3．半径为5cm的⊙O外一点P，则以点P为圆心且与⊙O相切的⊙P能画_______个．

4．两圆半径之比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4cm，则两圆外切时圆心距的长为_____．

5．两圆内切时圆心距是2，这两圆外切时圆心距是5，两圆的半径分别是______、

6．两圆的半径分别为10cm和R、圆心距为13cm，若这两个圆相切，则R的值是

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圆和圆的位置关系(二)

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1、使学生掌握相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦这一性质，

2、通过例题与练习题的教学使学生进一步巩固圆和圆的位置关系及本节所学习的性质．

3、逐步培养学生观察、比较、分析、概括问题的能力及推理论证的能力．

教学重点：

相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．

教学难点：

利用轴对称来证明相交两圆连心线的性质及两圆相交常用的引辅助线的方法是本节课的难点．

教学过程：

一、新课引入：

同学们，上节课我们学习了在同一平面内圆和圆的位置关系及相切两圆的连心线的性质．本节课我们在相切两圆连心线的性质的基础上，继续来学习相交两圆连心线的性质．教师出示板书：“7．13圆和圆的位置关系(二)”．如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．那么将相切改成相交，这时连心线又有什么性质呢？教师这样做有意识留给学生一种悬念，提示给学生能否用类比的方法去探索出结论．

二、新课讲解：

为了使学生进一步来学习相交两圆连心线的性质．向学生提出以下几个问题：

(1)在平面内圆和圆有几种位置关系？

(2)要判定圆和圆的位置关系你学过了什么方法？

(3)相切两圆连心线有什么性质？

(4)如果把相切改成相交，那么连心线又有怎样的性质呢？

教师引导学生能够准确地回答上节课所学习的知识点，把本节课所要讲的内容也抛给学生，启发学生去画图——观察——思考——分析——比较——探索出结论．

为了便于思考，教师把学生探索出的结论写在黑板上：

相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦：

分析：设⊙O1与⊙O2相交于点A、B，O1O2既是⊙O1的对称轴，又是⊙O2的对称轴，所以直线O1O2是⊙O1、⊙O2所组成的图形的对称轴，将图形沿O1O2折叠，上、下两个半圆互相重合，它们的交点重合，所以点A与点B是对称点．这就得到对称点A、B的连线被对称轴O1O2垂直平分．由此可得：

定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．

为了使学生能够更好地应用相交两圆连心线的性质和相切两圆连心线的性质，出示两组练习题：

练习一，判断下列语句是否正确：

1．两圆的连心线过切点，两圆一定是内切．()

2．相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．()

3．相切两圆的连心线必过切点．()

这组题的目的是强化学生对相切两圆、相交两圆的性质的掌握，要求语言叙述准确而规范．

练习二，

(1)图7-99，已知两个等圆的半径为5cm，公共弦长6cm，求圆心距．

本小题由学生回答，教师概括总结方法．

因为O1O2垂直平分AB，交AB于E，所以可得到由一条半径和弦的一半构成的直角三角形，用勾股定理就得到O2E，从而得到O1O2的长．

(2)书上的例2已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点．⊙O1经过点O2．求∠O1AB的度数．

由于通过分析上题学生已初步掌握构造直角三角形方法求解，对于此题可以说是上一题的特殊情况．教师为了不代替学生，让学生参与到教学活动中，启发学生分析解题思路，指导学生上黑板板演，就把例2做为练习题出现．

(3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．

求证：四边形ABCD是等腰梯形．

分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．

这时，教师提出怎样证明AB∥CD呢？

由学生来分析证明弦AB∥CD．总结出相交两圆经常引的辅助线是公共弦，有时还可以引连心线．找一名中等生证明这道题，教师把证明过程写在黑板上，做为参考．

证明：连结O1O2，

∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，

∴AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．

∴AB∥CD．

在⊙O2中，∵AB∥CD，

又∵AB≠CD，

∴四边形ABCD是等腰梯形．

接下来投影出示例3

已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？

教师对例3的处理不是直接给出证明，而是给出命题的题设，启发学生探索能得到什么结论．这样做一方面调动学生的积极性和主动性；另一方面考察学生的思维灵活性和深刻性．

由学生猜想的结论出发，进一步引导学生证明你的结论是否正确，最后由教师概括出证明的分析思路．

是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．

证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，

又∵PA⊥MN，

∴PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，

∴AC=AD．

∴AM=AN．

巩固练习：第139页2题．

三、课堂小结：

本节课主要讲了相交两圆连心线垂直两圆的公共弦的性质．

投影出示本节的知识结构图：

本节课学到的方法：

两圆相交常引辅助线有：(1)公共弦；(2)连心线；(3)构造由半径、公共弦的一半组成的直角三角形．

四、布置作业

教材P．152中A组5、6、7、8、9．

圆和圆的位置关系教案

九年级数学直线与圆的位置关系1

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4.5直线与圆的位置关系（二）

班级姓名学号

学习目标

1．复习切线的概念，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。

2．理解切线的性质并能熟练运用.

学习重点：切线的判定方法、切线的性质的运用.

学习难点：对用“反证法”推理切线性质的理解.

教学过程

一、情境创设

1、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系。

2、回忆切线的定义。你有哪些方法可以判定直线与圆相切？

方法一：定义——唯一公共点

方法二：数量关系——“d=r”

3、如图，A为⊙O上一点，你能经过

点A画出⊙O的切线吗？

二、探究学习

1.思考

（1）在上述画图过程中，你画图的依据是什么？（“d=r”）

（2）根据上述画图，你认为直线l具备什么条件就是⊙O的切线了？

2.总结

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3.交流

判定直线与圆相切的方法：

方法一：定义——唯一公共点

方法二：数量关系——“d=r”

方法三：判定定理——2个条件：

①直线与圆有公共点、

②直线与过公共点的半径垂直。

4.典型例题

例1.如图，O是∠ABC的平分线上的一点，OD⊥BC于D，

以O为圆心、OD为半径的圆与AB相切吗？为什么？

例题小结：

①常用辅助线——判定直线与圆相切时，作出半径是常用辅助线

②当直线与圆的公共点已知时，用判定定理，即只要证明直线与过公共点的半径垂直即可证明是切线；当直线与圆公共点未知时，用“d=r”证明直线是圆的切线。

5.切线性质的探索

（1）如果已知直线与圆相切，那么能得到哪些结论？

性质一：直线与圆唯一公共点

性质二：数量关系——“d=r”

（2）如图，直线l与⊙O相切于点A，直线l与

OA是否一定垂直？为什么？

6.总结

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

（3）小结切线的性质：

性质一：直线与圆唯一公共点

性质二：数量关系——“d=r”

性质三：圆的切线垂直于经过切点的半径。

例2.如图，AB是⊙O的直径，AC＝AB，⊙O交BC于D。DE⊥AC于E，DE是⊙O的切线吗？为什么？

五、课堂小结

1、理解切线的判定方法以及适用情况；

2、掌握了切线的性质；

3、作常用辅助线的方法。

【课后作业】

班级姓名学号

1．如图AB为⊙O的弦，BD切⊙O于点B，OD⊥OA，与AB相交于点C，求证：BD＝CD。

2．如图①，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点D。图中互余的角有（）

A1对B2对C3对D4对

3．如图②，PA切⊙O于点A，弦AB⊥OP，弦垂足为M，AB=4,OM=1,则PA的长为（）

ABCD

4．已知：如图③，直⊙O线BC切于点C，PD是⊙O的直径∠A=28°,∠B=26°,∠PDC=

5．如图，AB是⊙O的直径，MN切⊙O于点C，且∠BCM=38°，求∠ABC的度数。

6.如图在△ABC中AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F求证：直线DE是⊙O的切线

7．如图，AB,CD,是两条互相垂直的公路,∠ACP=45°,设计师想在拐弯处用一段圆弧形弯道把它们连接起来（圆弧在A,C两点处分别与道路相切），你能在图中画出圆弧形弯道的示意图吗？