线段的垂直平分线教案。

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线段的垂直平分线
教学内容:
线段的垂直平分线
教学目的:
1、使学生理解线段的垂直平分线的性质定理及逆定理,掌握这两个定理的关系并会用这两个定理解决有关几何问题。
2、了解线段垂直平分线的轨迹问题。
3、结合教学内容培养学生的动作思维、形象思维和抽象思维能力。
教学重点:
线段的垂直平分线性质定理及逆定理的引入证明及运用。
教学难点:
线段的垂直平分线性质定理及逆定理的关系。
教学关键:
1、垂直平分线上所有的点和线段两端点的距离相等。
2、到线段两端点的距离相等的所有点都在这条线段的垂直平分线上。
教具:投影仪及投影胶片。
教学过程:
一、提问
1、角平分线的性质定理及逆定理是什么?
2、怎样做一条线段的垂直平分线?
二、新课
1、请同学们在课堂练习本上做线段AB的垂直平分线EF(请一名同学在黑板上做)。
2、在EF上任取一点P,连结PA、PB量出PA=?,PB=?引导学生观察这两个值有什么关系?
通过学生的观察、分析得出结果PA=PB,再取一点P试一试仍然有PA=PB,引导学生猜想EF上的所有点和点A、点B的距离都相等,再请同学把这一结论叙述成命题(用幻灯展示)。
定理:线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等。
这个命题,是我们通过作图、观察、猜想得到的,还得在理论上加以证明是真命题才能做为定理。
已知:如图,直线EF⊥AB,垂足为C,且AC=CB,点P在EF上
求证:PA=PB
如何证明PA=PB学生分析得出只要证RTΔPCA≌RTΔPCB
证明:∵PC⊥AB(已知)
∴∠PCA=∠PCB(垂直的定义)
在ΔPCA和ΔPCB中
∴ΔPCA≌ΔPCB(SAS)
即:PA=PB(全等三角形的对应边相等)。
反过来,如果PA=PB,P1A=P1B,点P,P1在什么线上?
过P,P1做直线EF交AB于C,可证明ΔPAP1≌PBP1(SSS)
∴EF是等腰三角型ΔPAB的顶角平分线
∴EF是AB的垂直平分线(等腰三角形三线合一性质)
∴P,P1在AB的垂直平分线上,于是得出上述定理的逆定理(启发学生叙述)(用幻灯展示)。
逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
根据上述定理和逆定理可以知道:直线MN可以看作和两点A、B的距离相等的所有点的集合。
线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。
三、举例(用幻灯展示)
例:已知,如图ΔABC中,边AB,BC的垂直平分线相交于点P,求证:PA=PB=PC。
证明:∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴PA=PB
同理PB=PC
∴PA=PB=PC
由例题PA=PC知点P在AC的垂直平分线上,所以三角形三边的垂直平分线交于一点P,这点到三个顶点的距离相等。
四、小结
正确的运用这两个定理的关键是区别它们的条件与结论,加强证明前的分析,找出证明的途径。定理的作用是可证明两条线段相等或点在线段的垂直平分线上。
五、练习与作业
练习:第87页1、2
作业:第95页2、3、4
《教案设计说明》
线段的垂直平分线的性质定理及逆定理,都是几何中的重要定理,也是一条重要轨迹。在几何证明、计算、作图中都有重要应用。我讲授这节课是线段垂直平分线的第一节课,主要完成定理的引出、证明和初步的运用。
在设计教案时,我结合教材内容,对如何导入新课,引出定理以及证明进行了探索。在导入新课这一环节上我先让学生做一条线段AB的垂直平分线EF,在EF上取一点P,让学生量出PA、PB的长度,引导学生观察、讨论每个人量得的这两个长度之间有什么关系:得到什么结论?学生回答:PA=PB。然后再让学生取一点试一试,这两个长度也相等,由此引导学生猜想到线段垂直平分线的性质定理。在这一过程中让学生主动积极的参与到教学中来,使学生通过作图、观察、量一量再得出结论。从而把知识的形成过程转化为学生亲自参与、发现、探索的过程。在教学时,引导学生分析性质定理的题设与结论,画图写出已知、求证,通过分析由学生得出证明性质定理的方法,这个过程既是探索过程也是调动学生动脑思考的过程,只有学生动脑思考了,才能真正理解线段垂直平分线的性质定理,以及证明方法。在此基础上再提出如果有两点到线段的两端点的距离相等,这样的点应在什么样的直线上?由条件得出这样的点在线段的垂直平分线上,从而引出性质定理的逆定理,由上述两个定理使学生再进一步知道线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离的所有点的集合。这样可以帮助学生认识理论来源于实践又服务于实践的道理,也能提高他们学习的积极性,加深对所学知识的理解。在讲解例题时引导学生用所学的线段垂直平分线的性质定理以及逆定理来证,避免用三角形全等来证。最后总结点P是三角形三边垂直平分线的交点,这个点到三个顶点的距离相等。为了使学生当堂掌握两个定理的灵活运用,让学生做87页的两个练习,以达到巩固知识的目的。

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线段的垂直平分线

线段的垂直平分线（第二课时）

教学目标：

1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。

2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。

3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。

教学过程：

引入：

剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你发现了什么？当利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时，你是否也发现了同样的结论？

定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

证明：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P，连接AP、BP、CP，

∵点P在线段AB的垂直平分线上

∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）

同理：PB=PC

∴PA=PC

∴点P在AC的垂直平分线上

（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。

∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P。

议一议：1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等）

2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？（满足条件的等腰三角形可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。

做一做：

已知底边上的高，求作等腰三角形。

已知：线段a、b

求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.

]

作法：

（1）作线段BC=a（如图）；（2）作线段BC的垂直平分线L，交BC于点D，

（3）在L上作线段DA，使DA=h（4）连接AB，AC作业：6.教学后记：

《线段的垂直平分线》听课反思

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这学期，年级实行了三全同课异构，每周一个学科所有老师备同一节课，其他学科没课的老师也要去听。刚听到这个消息，高兴的同时，心里又有点小抱怨，高兴的是，同课异构对教师的专业成长有很大的帮助，我可以多向其他老师学习了，抱怨的是，感觉工作量有点大，我一个数学老师没必要去听文科的课。
第一周，便是数学老师的课，听了其他老师的课，尤其是赛赛老师的《线段的垂直平分线》，收获颇多，也改变了我对同课异构的看法。
赛赛老师的课很扎实，简明扼要，条理清晰，重点突出。
开门见山，类比以前探究几何图形（如：等腰、等边、直角三角形）的三方面，直接引入本节课也要研究线段的垂直平分线的定义、性质、判定，这样，学生对这节课的整体框架就有了了解。
这节课的学习目标如下：
1.能准确说出线段垂直平分线的定义、性质和判定条件；
2.通过小组交流合作，会用多种方法证明线段的垂直平分线的性质定理和逆定理；
3.能利用线段垂直平分线的性质定理和逆定理进行计算或证明.
赛赛老师设计的学习目标，真的写的比我的好，这是针对学生的学习目标，站在学生的角度，看了之后，就会明白，这节课我要通过哪些活动，来掌握哪些知识，我掌握了没？整节课的设计也是依据学习目标，每个活动后面都有针对某个目标的诊断练习。再想想我的学习目标，太笼统，不够具体，以后真的多学习。
这节课老师讲的不多，因为让学生预习了，并写下了自己的证明方法，上课的时候，便是学生交流，小老师上台展示讲解，不仅展示了学生的不同角度的证明方法，同时也暴露了学生书写和证明中存在的问题。感觉这样的课堂，才是素质教育应该有的课堂，把课堂还给了学生，学生自己来学习掌握知识，有漏洞的时候，老师再来补充，重要的是，老师还能发现学生身上的闪光点和不足之处，也就是了解了学情，这样上课的时候就能更好的因材施教。
还有就是在学生回答完问题的时候，赛赛老师会追问，这个问题考察了哪个或哪些知识点。我感觉这一点做的真的特别好，有时候学生回答对了，可能他并不知道为什么，教师要有刨根问底的精神，学生才能学的扎实。
另外，本节课还有很多其他的亮点。比如，赛赛老师的板书大气、清晰、重点突出；整节课老师都面带微笑，语言也是抑扬顿挫，一点都不啰嗦；课间和课尾穿插小视频来点播总结，锦上添花。
一节课听先来，感觉自己收获了很多，需要努力的地方也很多。对于三全同课异构也没了怨言，本学科的课肯定得听，并且得多听。我是一个典型的理科生，平时写个东西全是大白话，文科老师的课多听听，或欣赏，或学习，说不定也能文雅起来呢？

线段的垂直平分线教学设计

15.2线段的垂直平分线
教学目标
【知识与技能】
1.经历探究、猜想、验证的过程,进一步发展学生的推理论证能力.
2.培养学生的逻辑思维能力和数学语言表达能力.
3.已知底边及底边上的高,能应用尺规作出线段的垂直平分线.
【过程与方法】
在探究过程中,增强协作交流,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
【情感、态度及价值观】
1.积极参与数学学习活动,增强学生对数学的好奇心和求知欲.
2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
重点难点
【重点】
写出线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.
【难点】
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用上的区别和各自的应用.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使得世界非常美丽.那么大家想一想,什么样的图形是轴对称图形呢?
生:如果一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
师:什么是线段的垂直平分线呢?
学生思考抢答.
生:经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫做线段的中垂线.
师:很好!这节课我们继续学习线段的垂直平分线的有关内容(板书课题).
二、共同探究,获取新知
教师引导学生作图:作已知线段AB的垂直平分线.
学生讨论作法.
教师总结作法.
1.分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点C和D.
2.作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
学生作图.
师:你能说明为什么这样作出的直线CD就是线段AB的垂直平分线吗?
学生交流讨论.
师:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也可以用这种方法作线段的中点.线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等.怎样证明这个结论呢?
学生交流讨论,教师参与.
师:这个命题的条件是什么?
生:一个点是线段垂直平分线上的点.
师:结论呢?
生:这个点与线段两端距离相等.
师:请同学们写出已知、求证,并证明.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
已知:如图,直线MN经过线段AB的中点O,且MN⊥AB,P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
证明:∵MN⊥AB.(已知)
∴∠AOP=∠BOP=90°.(垂直定义)
在△AOP与△BOP中,
∵
∴△AOP≌△BOP.(SAS)
∴PA=PB.(全等三角形的对应边相等)
三、合作交流,深化理解
师:你能写出上面定理的逆命题吗?
生:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
师:它是真命题吗?
学生思考.
生:是.
师:你能证明这个定理吗?
学生思考证明,教师找学生板演,集体纠正.
四、乘胜追击,学以致用
教师出示课本第123页例题.
【例】已知:如图所示,△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P.
求证:点P在BC的垂直平分线上.
学生讨论证明方法,并板演,然后集体证正.
证明:连接PA、PB、PC.
∵点P在AB、AC的垂直平分线上.
∴PA=PB,PA=PC,∴PB=PC,∴点P在BC的垂直平分线上.
师:由此你能得出什么结论?
生:三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.
师:很好!这个结论很有用,请大家记一下.
学生熟记.
五、迁移巩固,解决问题
1.教材该节练习的第1题,学生口述作法,独立完成.
作AB的垂直平分线,这条线与直线l的交点即为要确定的停靠站C的位置.
2.教材该节练习的第2题,学生小组合作,集体纠正.
C、D两点的位置可分为两点在线段AB同侧、一点在AB外一点在AB上、两点在AB异侧三种情况.下面就第一种情况进行证明,其余两种情况下的证明与此类似.
(1)证明:∵C、D是线段AB的垂直平分线上的两点,
∴CA=CB,DA=DB.(线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等)
∴△ABC、△ABD是等腰三角形.
(2)∵CA=CB,DA=DB,(已证)
CD=CD,(公共边)
∴△CAD≌△CBD.(SSS)
∴∠CAD=∠CBD.(全等三角形的对应角相等).
六、课堂小结
师:今天你学习了什么知识?你有哪些收获?
生:线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.
师:你能叙述它们的内容吗?
生甲:线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等.
生乙:与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
师:你还有哪些疑问?
学生提问,教师解答.
教学反思
本节课先复习线段垂直平分线的概念,然后用尺规作图画出垂直平分线,并让学生思考为什么用这种方法画出的就是垂直平分线,可以激发学生学习数学的兴趣.由垂直平分线的作图过程可得到线段垂直平分线的性质定理,随后我带领学生对这个定理进行了严格的证明,让学生自己思考怎么写已知、求证.然后让学生说出这个命题的逆命题,并证明它是真命题,并把这个命题作为定理熟记,锻炼了学生的逻辑推理能力,培养了学生求真务实的精神.