圆周长、弧长(二)。

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教学目标：

1、应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题．

2、通过应用题的教学，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，培养用数学的意识；

3、通过应用题的教学培养学生综合运用知识、分析问题、解决问题的能力．JaB88.COm

教学重点：

运用圆周长、弧长公式，综合其它方面的知识解有关的应用题．

教学难点：

从实际问题中抽象出数学模型，综合运用其它知识解决问题．

教学过程：

一、新课引入：

上节课我们复习了圆的周长公式，学习了弧长公式，我们说圆的周长公式与弧长公式应用很广泛，并且跟其它知识联系很密切，今天我们继续学习“7．19圆周长、弧长”继续研究它的应用．

由于圆的周长和弧长公式有广泛的应用性，所以在解决实际应用问题中不仅复习了这两个公式而且学会了从中抽象数学模型的方法．由于这两个公式跟其它知识有密切的联系，所以在解决实际问题中又复习了一系列的相关知识，而且又培养了学生综合分析问题解决问题的能力．

二、新课讲解：

(复习提问)1．哪位同学回答圆的周长公式？(安排中下生回答：C=2πR)，2．如果⊙O的周长为C，它的半径R，设这个圆的半径增加a，那么它的周长增加多少？(在学生思考、计算后，安排中等生回答：2π

周长是多少？(在学生思考，计算后，安排中下生回答：内切圆周长2π，外接圆周长4π)．

(幻灯供题)：火车机车上的主动轮直径为1.2米，主动轮每分转400转，火车每小时行几公里(精确到1公里)？

哪位同学知道机车轮子转一圈，在轨道上走多远距离？(安排中上学生回答：1.2π米)你计算的依据是什么？(轮子转一圈，在轨道上的距离就是圆的一个周长．)

请同学们计算出这题的结果(约90公里)．

弧长公式中的n与中心角度数n°有什么联系和区别？(安排中上生回答：公式中的n表示1°弧长的n倍，它在数值上恰等于中心角的度数的数值．)

如果已知条件中中心角的度数不仅有度还有分，还有秒，要计算此角所对弧长应首先做什么工作，(安排中等生回答：将度、分、秒转化为度，从而得到公式中所需的n)

同学们请计算这样一道题：在半径10cm的⊙O中，圆心角为32°

幻灯供题：如图7-158，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=40m，拱形的半径R=29m，求拱形的高和拱形的弧长(保留4个有效数字．)

哪位同学知道，“有一圆弧形桥拱”这句话给我们解题提供什么信息？(找中上生回答，桥拱的弧是一个圆的一部分．)

“拱上跨度AB=40m”又为我们提供什么信息？(安排中上生回答：AB是桥拱弧所在圆的弦，其长40m)．

“拱形的半径R=29m”又为我们提供什么信息？(安排中下生回答：桥拱弧所在圆的半径29m)

哪位同学能画出解决此实际问题的几何图形？(安排一名上等生上黑板画，其余学生在练习本上画)

在这个图形中，拱形的高是哪条线段．为什么是它？(安排中上生回答：CD，概括弓形高的定义．)看到这个图，你想到了什么定理？(安排中等生回答：垂经定理．)哪位同学能叙述一下垂径定理？(安排中等生回答)请同学们研究一下拱高怎么求？(安排中下生回答：先用勾股定理求出OD，然后用半径减OD即可)．

要求拱形弧长，半径已知，还缺少什么条件？(安排中下生回答，少弧所对中心角的度数)

中心角∠AOB的度数你打算通过什么方法求出来？(中图7-159上生回答：作直角三角形AOD)．

请同学们完成这题，(安排上等生上黑板)

答：拱形的高8m，拱形弧的长约44.14m．

幻灯供题：如图7-160，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别为0.65m和0.24m．(1)求皮带长(保留三个有效数字)；(2)如果小轮每分转750转，求大轮每分约转多少转．

“两个皮带轮的中心的距离为2.1m”，给我们解决此题提供了什么数学信息？(安排中等生回答：两个圆的圆心距为2.1m)

题目中皮带长，在图形中指的是哪几部分的和？(安排中等生回答：+DC++AB)

AB、CD与⊙O1、⊙O2具有什么位置关系？AB与CD具有什么数量关系？根据是什么？(安排中下生回答：AB与CD是⊙O1与⊙O2的公切线，AB=CD，根据的是两圆外公切线长相等．)

前面单元大家已学过了公切线长的求法，哪位同学还记得计算两圆外公切线长的途经？(安排中上学生回答：构造由圆心距、半径差和切线长的平移线段组成的直角三角形，解这个三角形即可)

请同学们把切线长AB求出来，(安排一名中上生到黑板做)

解：(1)作过切点的半径O1A、O1D、O2B、O2C，作O2E⊥O1A，垂足为E

要求的长度，已具备了什么条件，还缺少什么条件？(安排中下生：已具备了半径0.325，缺少所对圆心角的度数)，观察图形，你打算通过什么途径求出所对圆心角α1？(安排中上生：α1=360°-2α，而α可通过解Rt△O1EO2解决)．

请同学们求出的长度．(安排一名中上生到黑板前完成此题)

同样要求的长度，半经0.12，∠BO2C怎么求？请同学们观察图形，哪位同学谈谈看法：(安排上等生回答：∠BO2C=2∠α=168.8°，因O1A∥O2B，O1D∥O2C所以∠BO2C=2∠α)

请同学们求出的长度，(安排一名中上生到黑板完成)

∴皮带长l=l1+l2+2AB=5.62(m)．

现在我们解决第(2)个问号，大轮与小轮的半径不同，转数不同，由于皮带传动的作用，大轮与小轮具备一个什么等量关系？(安排中上学生回答：小轮与大轮每分钟所走的路程相等)

如果设大轮每分钟转数为n，哪位同学能列出方程？(安排中等生回答，0.65·π·n=0.24·π×750)

请同学们计算出n来．(安排一中下生报答案：n≈277(转))

三、课堂小结：

本节课复习了圆的周长和弧长公式，并在做题中综合复习了正多边形、垂经定理、两圆公切线等有关知识，学习了从实际问题中抽象出数学模型的方法．

四、布置作业

教材P．178．练习1、2、3；教材P．187中6、7

扩展阅读

弧长和扇形面积

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作课类别课题24.4.1弧长和扇形面积课型新授

教学媒体多媒体

教

学

目

标知识

技能掌握弧长公式和扇形面积公式的推导过程，能运用弧长公式和扇形面积公式进行有关计算.

过程

方法通过弧长和扇形面积公式的推导过程与运用，发展学生分析问题、解决问题的能力.

情感

态度通过弧长公式和扇形面积公式的推导，发展学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力．

教学重点弧长,扇形面积公式的导出及应用．

教学难点用公式解决实际问题

教学过程设计

教学程序及教学内容师生行为设计意图

一、情境引入

课本110页引例：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这就涉及到计算弧长的问题，这节课来探究弧长求法.

二、探究新知

（一）弧长公式

1推导：

问题：①弧长属于圆周上部分，圆周长计算公式是什么？

②圆周长可以看成是多少度的圆心角所对的弧长？

③10的圆心角所对的弧长是多少？20的圆心角所对的弧长呢？④n0的圆心角所对的弧长是多少？

得到：在半径为R的圆中，

因为3600的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，

10圆心角所对弧长n0的圆心角所对弧长

弧长公式：

2.应用：

⑴解决本节课开始的问题.

⑵填空：

①.半径为3cm，120°的圆心角所对的弧长是_______cm；

②.已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______；

③.已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______．

④如图：四边形ABCD是正方形，曲线DAlBlClDl……叫做“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按A、B、C、D循环，它们依次连接．取AB=l，则曲线DAlBl…C2D2的长是______(结果保留π)

（二）扇形面积公式

1推导：

1）圆面积S=πR2；（2）圆心角为1°的扇形的面积：

（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；

（4）圆心角为n°的扇形的面积=．

归纳：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则

扇形面积公式S扇形=

2应用：

⑴扇形的半径为24，面积为240，则这个扇形的圆心角为；

⑵如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m）

（三）弧长公式与扇形面积公式的关系

问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？得到

三、课堂训练

完成课本112页练习

补充：1.扇形的弧长为，半径为3，则其面积为；

2.已知：如图，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积．

四、小结归纳

1弧长公式

2扇形面积公式

3弧长公式与扇形面积公式的关系

五、作业设计

作业：复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做.

补充：将一块边长为1的正三角形木板沿水平线翻滚，B点从开始至结束所走过的路径是多少？教师提出问题，引起学生思考，了解本节课要学习内容.

教师提出问题，学生通过复习圆周长公式，以及圆心角和其所对弧的关系自主探究弧长公式，经历猜想计算推理感性理性，加深对弧长公式的理解，小组之间进行交流，汇总，师生总结.

学生初步应用弧长公式进行计算，结合图形分析思考，了解公式的不同使用方法.从而发展学生的解决实际问题的能力和应用意识，并让学生逐渐的学会总结，教师检查知识的落实性，以便发现问题和及时解决问题。

教师引导学生类比弧长公式的推导方法尝试探究扇形面积公式

学生独立思考，尝试解题，之后师生交流思路和解法，进一步加深对扇形面积公式的认识.

学生比较两个公式，找它们的联系，明确知识之间的联系，在解题时，根据条件，选择适当的公式．

教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价，教师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律.

让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总由实际问题引出课题，激发学生的学习兴趣，感受数学来源于生活．

推导弧长公式，使学生明确公式的推导过程，知道公式的来龙去脉，让学生体会从特殊推广到一般的研究方法

让学生初步应用弧长公式，通过运用掌握公式的运用技巧，培养学生计算能力及分析解决实际问题的能力.

学生类比推导扇形面积公积公式

通过分析，引导学生将复杂问题转化为简单的问题，体现化归思想，同时，理解数学知识来源于生活实际，又用来解决实际中的问题，强化数学的应用意识．

运用所学公式迅速、正确解题，培养学生良好的学习习惯，训练学生的解题速度和综合运用知识解题的能力．

归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯

巩固深化提高

板书设计

课题

弧长公式

应用扇形面积公式关系定理应用

应用

弧长公式与扇形面积公式的关系归纳

教学反思

弧长和扇形的面积

弧长及扇形的面积

教学目标

(一)教学知识点

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；

2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．

(二)能力训练要求

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．

2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．

(三)情感与价值观要求

1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．

教学重点

1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程．

2．了解弧长及扇形面积计算公式．

3．会用公式解决问题．

教学难点

1．探索弧长及扇形面积计算公式

2．用公式解决实际问题．

教学方法

学生互相交流探索法

教具准备

2．投影片四张

第一张：(记作§3．7A)

第二张：(记作§3．7B)

第三张：(记作§3．7C)

第四张：(记作§3．7D)

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．

Ⅱ．新课讲解

一、复习

1．圆的周长如何计算？

2．圆的面积如何计算？

3．圆的圆心角是多少度？

[生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°．

二、探索弧长的计算公式

投影片(§3．7A)

如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．

(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？

(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

[师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的；转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转1°时传送距离的n倍．

[生]解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm；

(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送cm；

(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×＝cm．

[师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗？请大家互相交流．

[生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n×．

[师]表述得非常棒．

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：

l＝．

下面我们看弧长公式的运用．

三、例题讲解

投影片(§3．7B)

制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)．

分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式l＝可求得的长，其中n为圆心角，R为半径．

解：R＝40mm，n＝110．

∴的长＝πR＝×40π≈76.8mm．

因此，管道的展直长度约为76.8mm．

四、想一想

投影片(§3．7C)

在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．

(1)这只狗的最大活动区域有多大？

(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？

[师]请大家互相交流．

[生](1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π；

(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，1°的圆心角对应圆面积的，即×9π＝，n°的圆心角对应的圆面积为n×＝．

[师]请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式．

[生]如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆心角对应的扇形面积为n．因此扇形面积的计算公式为S扇形＝πR2，其中R为扇形的半径，n为圆心角．

五、弧长与扇形面积的关系

[师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流．

[生]∵l＝πR，S扇形＝πR2，

∴πR2＝RπR．∴S扇形＝lR．

六、扇形面积的应用

投影片(§3．7D)

扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)

分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．

解：的长＝π×12≈25.1cm．

S扇形＝π×122≈150.7cm2．

因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2．

Ⅲ．课堂练习

随堂练习

Ⅳ．课时小结

本节课学习了如下内容：

1．探索弧长的计算公式l＝πR，并运用公式进行计算；

2．探索扇形的面积公式S＝πR2，并运用公式进行计算；

3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．

Ⅴ．课后作业

习题3．10

Ⅵ．活动与探究

如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6πcm，的长为10πcm，又AC＝12cm，求阴影部分ABDC的面积．

分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．

解：设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根据已知条件有：

得．

∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18．

∴OC＝18＋12＝30．

∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝×10π×30－×6π×18＝96πcm2．

所以阴影部分的面积为96πcm2．

板书设计

§3．7弧长及扇形的面积

一、1．复习圆的周长和面积计算公式；

2．探索弧长的计算公式；

3．例题讲解；

4．想一想；

5．弧长及扇形面积的关系；

6．扇形面积的应用．

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

§3.7弧长及扇形面积

§3.7弧长及扇形面积
教学目标：
1．知识与技能：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题
2．过程与方法：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力；了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．
3．情感态度与价值观：经历探索弧长及扇形面积计算公式．让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．
教学重点：经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形面积计算公式；会用公式解决问题．
教学难点：探索弧长及扇形面积计算公式；用公式解决实际问题．
教学设计：
一、创设问题情境，引入新课
在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索．
二、新课讲解
1复习
（1）．圆的周长如何计算?
（2）．圆的面积如何计算?
（3）．圆的圆心角是多少度?
（若圆的半径为r，，则周长，面积，圆的圆心角是360°．）
2．探索弧长的计算公式
如右图，某传送带的一个转动轮的半径为lO．
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?
(3)转动轮转°，传送带上的物品A被传送多少厘米?
分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转l°，传送带上的物品A被传送圆周长的；转动轮转°，传送带上的物品A被传送转l°时传送距离的倍．
解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送×lO＝20cm；
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送；
(3)转动轮转。，传送带上的物品A被传送．
根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流．
根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2，那么1°的圆心角对应的弧长为，°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的倍，即．
在半径为R的圆中，°的圆心角所对的弧长的计算公式为：．
下面我们看弧长公式的运用．
3．例题讲解
例1：制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料。试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到O.1mm)．
分析：要求管道的展直长度，即求的长，根据弧长公式可求得的长，其中n为圆心角，R为半径，
解：R＝40mm，＝110．
∴的长=
因此，管道的展直长度约为76．8mm．
三、探索研究
1．想一想
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．
(1)这只狗的最大活动区域有多大?
(2)如果这只狗只能绕柱子转过°角，那么它的最大活动区域有多大?
(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即．
(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形。扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，l°的圆心角对应圆面积的，即×＝，°的圆心角对应的圆面积为×＝．
如果圆的半径为R，则圆的面积为，l°的圆心角对应的扇形面积为，°的圆心角对应的扇形面积为．
因此扇形面积的计算公式为
其中R为扇形的半径，为圆心角．
2．弧长与扇形面积的关系
我们探讨了弧长和扇形面积的公式。在半径为R的圆中，°的圆心角所对的弧长的计算公式为，°的圆心角的扇形面积公式为，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角．半径R有关系，因此和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗?请大家互相交流．
∵，
∴
∴
3．扇形面积的应用
例2：扇形AOB的半径为l2cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到O.1cm)和扇形A0B的面积(结果精确到O.1cm)．
分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了
解：的长=25.1cm．
=150.7cm．
因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm．
4．随堂练习:
四、课时小结
本节课学习了如下内容：
1．探索弧长的计算公式，并运用公式进行计算；
2．探索扇形的面积公式，并运用公式进行计算；
3．探索弧长及扇形的面积之间的关系，并能已知一方求另一方。
五、课后作业
1．复习本课的内容；
2．课本P142习题1、2、3
六、活动与探究
如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6，的长为10，又AC=12，求阴影部分ABDC的面积．
分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积，已知，则需要求两个半径0C与OA，因为OC＝OA+AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．
解：设OA=R，0C＝R十12，∠O＝°，根据已知条件有：
得
∴3（R+12）=5R
∴R=18
∴OC=18+12=30
∴S=
所以阴影部分的面积为96．