高考数学（理科）一轮复习函数的奇偶性与周期性学案附答案。
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学案6函数的奇偶性与周期性
导学目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．
自主梳理
1．函数奇偶性的定义
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有______________，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有____________，则称f(x)为偶函数．
2．奇偶函数的性质
(1)f(x)为奇函数f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝____；
f(x)为偶函数f(x)＝f(－x)＝f(|x|)f(x)－f(－x)＝____.
(2)f(x)是偶函数f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数f(x)的图象关于________
对称．
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．
3．函数的周期性
(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________________．
(2)性质：①f(x＋T)＝f(x)常常写作f(x＋T2)＝f(x－T2)．
②如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．
③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1fx或f(x＋a)＝－1fx(a是常数且a≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．
自我检测
1．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是()
A．1B．2C．3D．4
2．(2011茂名月考)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是()
A．增函数且最小值是－5
B．增函数且最大值是－5
C．减函数且最大值是－5
D．减函数且最小值是－5
3．函数y＝x－1x的图象()
A．关于原点对称
B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
4．(2009江西改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2012)＋f(2011)的值为()
A．－2B．－1C．1D．2
5．(2011开封模拟)设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.
探究点一函数奇偶性的判定
例1判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(2)f(x)＝x(12x－1＋12)；
(3)f(x)＝log2(x＋x2＋1)；(4)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0.
变式迁移1判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x2－x3；
(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；
(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.
探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用
例2函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－12)]0的解集．
变式迁移2(2011承德模拟)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)0恒成立，则x的取值范围为________．
探究点三函数性质的综合应用
例3(2009山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
变式迁移3定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)()
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
转化与化归思想的应用
例(12分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
【答题模板】
解(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.[2分]
(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝12f(1)＝0.[4分]
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．[6分]
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，[7分]
∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，
即f((3x＋1)(2x－6))≤f(64)[8分]
∵f(x)为偶函数，
∴f(|(3x＋1)(2x－6|)≤f(64)．[10分]
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D.
∴0|(3x＋1)(2x－6)|≤64.[11分]
解上式，得3x≤5或－73≤x－13或－13x3.
∴x的取值范围为{x|－73≤x－13或－13x3或3x≤5}．[12分]
【突破思维障碍】
在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f(g(x))≤f(a)的形式，但思维障碍在于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，g(x)是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f”，若能结合(2)中f(x)是偶函数的结论，则有f(g(x))＝f(|g(x)|)，又若能注意到f(x)的定义域为{x|x≠0}，这才能有|g(x)|0，从而得出0|g(x)|≤a，解之得x的范围．
【易错点剖析】
在(3)中，由f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64)脱掉“f”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0}，易出现0≤|(3x＋1)(2x－6)|≤64，导致结果错误．
1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)f(－x)±f(x)＝0f－xfx＝±1(f(x)≠0)．
3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．
4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f(x)，若有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1fx或f(x＋a)＝－1fx(a为常数且a≠0)，则f(x)的一个周期为2a
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011吉林模拟)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为()
A．－13B.13
C.12D．－12
2．(2010银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，若f(－3)＝0，则fxx0的解集为()
A．(－3,0)∪(0,3)
B．(－∞，－3)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3,0)∪(3，＋∞)
3．(2011鞍山月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－1fx，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)等于()
A．4.5B．－4.5
C．0.5D．－0.5
4．(2010山东)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于()
A．3B．1C．－1D．－3
5．设函数f(x)满足：①y＝f(x＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)与f(2)大小关系是()
A．f(－1)f(2)B．f(－1)f(2)
C．f(－1)＝f(2)D．无法确定
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010辽宁部分重点中学5月联考)若函数f(x)＝x－1，x0，a，x＝0，x＋b，x0是奇函数，则a＋b＝________.
7．(2011咸阳月考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且f(1)1，f(2)＝2m－3m＋1，则m的取值范围是________．
8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2010)的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011汕头模拟)已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x)在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的表达式．
10．(12分)设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)
(1)证明f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(4)求函数的值域．
11．(14分)(2011舟山调研)已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
答案自主梳理
1．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)
2．(1)00(2)y原点(3)相反
3．(1)f(x)周期最小正周期(2)③2a
自我检测
1．B[因为f(x)为偶函数，所以奇次项系数为0，即m－2＝0，m＝2.]
2．A[奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．]
3．A[由f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]
4．C[f(－2012)＋f(2011)＝f(2012)＋f(2011)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log2(1＋1)＝1.]
5．－1
解析∵f(－1)＝0，∴f(1)＝2(a＋1)＝0，
∴a＝－1.代入检验f(x)＝是奇函数，故a＝－1.
课堂活动区
例1解题导引判断函数奇偶性的方法．
(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．
(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数．
(3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．
解(1)定义域要求≥0且x≠－1，
∴－1x≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(－x)＝－x
＝－x＝
＝＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(3)函数定义域为R.
∵f(－x)＝log2(－x＋x2＋1)
＝log21x＋x2＋1＝－log2(x＋x2＋1)
＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x0时，－x0，则
f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；
当x0时，－x0，则
f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．
∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．
故f(x)为奇函数．
变式迁移1解(1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)由4－x2≥0|x＋3|≠3得，f(x)定义域为[－2,0)∪(0,2]．
∴定义域关于原点对称，
又f(x)＝4－x2x，f(－x)＝－4－x2x
∴f(－x)＝－f(x)
∴f(x)为奇函数．
例2解题导引本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．
在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．
解∵y＝f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，
∴y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，
且由f(1)＝0得f(－1)＝0.
若f[x(x－12)]0＝f(1)，
则xx－120xx－121即0x(x－12)1，
解得12x1＋174或1－174x0.
若f[x(x－12)]0＝f(－1)，则xx－120xx－12－1
由x(x－12)－1，解得x∈.
∴原不等式的解集是
{x|12x1＋174或1－174x0}．
变式迁移2(－2，23)
解析易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)0，等价于f(mx－2)－f(x)＝f(－x)，此时应用mx－2－x，即mx＋x－20对所有m∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx＋x－2，
此时，只需h－20h20即可，解得x∈(－2，23)．
例3解题导引解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．
－8
解析因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1x2x3x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.
变式迁移3B[∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x＋1)＝f(1－x)．
∴x＝1为函数f(x)的一条对称轴．
又f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]
＝f(－x)＝f(x)，
∴2是函数f(x)的一个周期．
根据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：
由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．]
课后练习区
1．B[依题意得a－1＝－2ab＝0，∴a＝13b＝0，
∴a＋b＝13.]
2．D
[由已知条件，可得函数f(x)的图象大致为右图，故fxx0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．]
3．D[由f(x＋2)＝－1fx，
得f(x＋4)＝－1fx＋2＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函数，则f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x≤2时，f(x)＝x－2，
∴f(1.5)＝－0.5.由上知：f(6.5)＝－0.5.]
4．D[因为奇函数f(x)在x＝0有定义，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝b＋1＝0，b＝－1.
∴f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝3，
从而f(－1)＝－f(1)＝－3.]
5．A[由y＝f(x＋1)是偶函数，得到y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．
又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，
∴f(3)f(2)，即f(－1)f(2)．]
6．1
解析∵f(x)是奇函数，且x∈R，∴f(0)＝0，即a＝0.又f(－1)＝－f(1)，∴b－1＝－(1－1)＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.
7．－1m23
解析∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)．
∵f(x)为奇函数，且f(1)1，
∴f(－1)＝－f(1)－1，∴2m－3m＋1－1.
解得：－1m23.
8．2
解析由g(x)＝f(x－1)，得g(－x)＝f(－x－1)，
又g(x)为R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
∴f(－x－1)＝－f(x－1)，
即f(x－1)＝－f(－x－1)，
用x＋1替换x，得f(x)＝－f(－x－2)．
又f(x)是R上的偶函数，∴f(x)＝－f(x＋2)．
∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期为4.
∴f(2010)＝f(4×502＋2)＝f(2)＝2.
9．解由题意，当3≤x≤6时，设f(x)＝a(x－5)2＋3，
∵f(6)＝2，∴2＝a(6－5)2＋3.∴a＝－1.
∴f(x)＝－(x－5)2＋3(3≤x≤6)．…………………………………………………………(3分)
∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1.
又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.
∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．
∴f(x)＝－13x(0≤x≤3)．…………………………………………………………………(6分)
当－3≤x≤0时，－x∈[0,3]，
∴f(－x)＝－13(－x)＝13x.
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－13x.
∴f(x)＝－13x(－3≤x≤3)．………………………………………………………………(9分)
当－6≤x≤－3时，3≤－x≤6，
∴f(－x)＝－(－x－5)2＋3＝－(x＋5)2＋3.
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝(x＋5)2－3.
∴f(x)＝x＋52－3，－6≤x≤－3，－13x－3x3，…………………………………………………………12分－x－52＋3，3≤x≤6.
10．解(1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．………………………………………………………(2分)
(2)当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝x－12－2，x≥0，x＋12－2，x0.
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．
……………………………………(6分)
(3)由(2)中函数图象可知，函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．……………(8分)
(4)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；
当x0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2；
故函数f(x)的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(12分)
11．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)
当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)，
若x＝±1时，则f(－1)＋f(1)＝2≠0；
∴f(－1)≠－f(1)，又f(－1)≠f(1)
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)
综上所述，当a＝0时，f(x)为偶函数；
当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)
(2)设2≤x1x2，
f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2
＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，………………………………………………………………(10分)
要使f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f(x1)－f(x2)0恒成立．
∵x1－x20，x1x24，即ax1x2(x1＋x2)恒成立．………………………………………(12分)
又∵x1＋x24，∴x1x2(x1＋x2)16，
∴a的取值范围为(－∞，16]．…………………………………………………………(14分)
相关知识
2015届高考数学教材知识点函数的奇偶性与周期性复习导学案
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。高中教案的内容要写些什么更好呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“2015届高考数学教材知识点函数的奇偶性与周期性复习导学案”，仅供参考，希望能为您提供参考！
【学习目标】
1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．
2.掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．
预习案
1．奇函数、偶函数、奇偶性
对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：
(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是奇函数；
(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是偶函数；
(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性．
2．证明函数奇偶性的方法步骤
(1)确定函数定义域关于对称；
(2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数．
3．奇偶函数的性质
(1)奇函数图像关于对称，偶函数图像关于对称；
(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝；
(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性；
若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性．
(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．
4．一些重要类型的奇偶函数
(1)函数f(x)＝ax＋a－x为函数，函数f(x)＝ax－a－x为函数；
(2)函数f(x)＝ax－a－xax＋a－x＝a2x－1a2x＋1(a0且a≠1)为函数；
(3)函数f(x)＝loga1－x1＋x为函数；
(4)函数f(x)＝loga(x＋x2＋1)为函数．
5．周期函数
若f(x)对于定义域中任意x均有(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．
6．函数的对称性
若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于对称．
【预习自测】
1．(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是_______．
①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝x2＋1x；④f(x)＝x3＋1.
2．下列函数为偶函数的是()
A．y＝sinxB．y＝x3C．y＝exD．y＝lnx2＋1
3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
4．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图像上的（）
A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))
5．(2013衡水调研卷)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝________．
探究案
题型一判断函数的奇偶性
例1.判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
(1)f(x)＝x2－|x|＋1x∈；(2)f(x)＝(x－1)1＋x1－xx∈(－1,1)；
(3)f(x)＝1ax－1＋12(a0，a≠1)．
探究1.判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝ln2－x2＋x；(2)g(x)＝x2＋|x－a|；(3)f(x)＝x2－2xx≥0，x2＋2xx＜0.
题型二奇偶性的应用
例2.(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为．
(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x－12)＜0的解集为．
(3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为
探究2.(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在上，只有f(1)＝f(3)＝0.
(1)证明：函数f(x)为周期函数；
(2)试求方程f(x)＝0在闭区间上的根的个数，并证明你的结论．
探究3.(1)f(x)的定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期性．
(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R均满足f(x)＝－1fx＋1，试判断函数f(x)的周期性．
例4.已知f(x)为偶函数，且f(－1－x)＝f(1－x)，当x∈时，f(x)＝－x＋1，求x∈时，f(x)的解析式．
探究4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈时，f(x)＝2x－x2．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．
我的学习总结：
（1）我对知识的总结.
（2）我对数学思想及方法的总结
高考数学（理科）一轮复习函数的图象学案附答案
学案10函数的图象
导学目标：1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．
自主梳理
1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．
2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(__________、__________、__________)；④画出函数的图象．
3．利用基本函数图象的变换作图：
(1)平移变换：函数y＝f(x＋a)的图象可由y＝f(x)的图象向____(a0)或向____(a0)平移____个单位得到；函数y＝f(x)＋a的图象可由函数y＝f(x)的图象向____(a0)或向____(a0)平移____个单位得到．
(2)伸缩变换：函数y＝f(ax)(a0)的图象可由y＝f(x)的图象沿x轴伸长(0a1)或缩短(____)到原来的1a倍得到；函数y＝af(x)(a0)的图象可由函数y＝f(x)的图象沿y轴伸长(____)或缩短(________)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)
(3)对称变换：①奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于____轴对称；
②f(x)与f(－x)的图象关于____轴对称；
③f(x)与－f(x)的图象关于____轴对称；
④f(x)与－f(－x)的图象关于________对称；
⑤f(x)与f(2a－x)的图象关于直线________对称；
⑥曲线f(x，y)＝0与曲线f(2a－x,2b－y)＝0关于点________对称；
⑦|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴________的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；
⑧f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴________的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到．
自我检测
1．(2009北京)为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点()
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．(2011烟台模拟)已知图1是函数y＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是
()
A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)
3．函数f(x)＝1x－x的图象关于()
A．y轴对称B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称D．直线y＝x对称
4．使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是()
A．(－1,0)B．[－1,0)
C．(－2,0)D．[－2,0)
5．(2011潍坊模拟)已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a0且a≠1)，若f(4)g(－4)0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是()
探究点一作图
例1(1)作函数y＝|x－x2|的图象；
(2)作函数y＝x2－|x|的图象；
(3)作函数的图象．
变式迁移1作函数y＝1|x|－1的图象．
探究点二识图
例2(1)函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图，
则函数y＝f(x)g(x)的图象可能是()
(2)已知y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(1－x)的图象为()
变式迁移2(1)(2010山东)函数y＝2x－x2的图象大致是()
(2)函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是()
A．f(x)＝x＋sinx
B．f(x)＝cosxx
C．f(x)＝xcosx
D．f(x)＝x(x－π2)(x－3π2)
探究点三图象的应用
例3若关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝x至少有三个不相等的实数根，试求实数a的取值范围．
变式迁移3(2010全国Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
数形结合思想的应用
例(5分)(2010北京东城区一模)定义在R上的函数y＝f(x)是减函数，且函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s，t满足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．则当1≤s≤4时，ts的取值范围是()
A.－14，1B.－14，1
C.－12，1D.－12，1
【答题模板】
答案D
解析因函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于(0,0)对称，所以y＝f(x)是奇函数．又y＝f(x)是R上的减函数，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
图象的对称轴为x＝1，
当1≤s≤4时，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥|t－1|，
当t≥1时，有s≥t≥1，所以14≤ts≤1；
当t1时，
即s－1≥1－t，即s＋t≥2，
问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s≤4，t1，s＋t≥2组成的不等式组的可行域.ts为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－12≤ts1.综上可知选D.
【突破思维障碍】
当s，t位于对称轴x＝1的两边时，如何由s2－2s≥t2－2t判断s，t之间的关系式，这时s，t与对称轴x＝1的距离的远近决定着不等式s2－2s≥t2－2t成立与否，通过数形结合判断出关系式s－1≥1－t，从而得出s＋t≥2，此时有一个隐含条件为t1，再结合1≤s≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s，t所在区域时，要结合ts的几何意义为点(s，t)和原点连线的斜率，确定s为横轴，t为纵轴．
【易错点剖析】
当得到不等式s2－2s≥t2－2t后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s，t都在二次函数y＝x2－2x的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s，t在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s，t在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t1及联想不起来线性规划．
1．掌握作函数图象的两种基本方法(描点法，图象变换法)，在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题．
2．合理处理识图题与用图题
(1)识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．
(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010重庆)函数f(x)＝4x＋12x的图象()
A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称D．关于y轴对称
2．(2010湖南)用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－12对称，则t的值为()
A．－2B．2
C．－1D．1
3．(2011北京海淀区模拟)在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是()
4．(2011深圳模拟)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为
()
5．设b0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为()
A．1B．－1C.－1－52D.－1＋52
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．为了得到函数y＝3×(13)x的图象，可以把函数y＝(13)x的图象向________平移________个单位长度．
7．(2011黄山月考)函数f(x)＝2x－1x＋1的图象对称中心是________．
8．(2011沈阳调研)如下图所示，向高为H的水瓶A、B、C、D同时以等速注水，注满为止．
(1)若水量V与水深h函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；
(2)若水深h与注水时间t的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________．
(3)若注水时间t与水深h的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________；
(4)若水深h与注水时间t的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；
(5)求当x∈[1,5)时函数的值域．
10．(12分)(2011三明模拟)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，求a的取值范围．
11．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x0)．
(1)若g(x)＝m有根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
答案自主梳理
2．③奇偶性单调性周期性3.(1)左右|a|上下|a|(2)a1a10a1a(3)①原点y②y③x④原点⑤x＝a⑥(a，b)⑦上方⑧右方
自我检测
1．C[A项y＝lg(x＋3)＋1＝lg[10(x＋3)]，
B项y＝lg(x－3)＋1＝lg[10(x－3)]，
C项y＝lg(x＋3)－1＝lgx＋310，
D项y＝lg(x－3)－1＝lgx－310.]
2．C
3．C[∵f(－x)＝－1x＋x＝－1x－x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，即f(x)的图象关于原点对称．]
4．A[作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象知满足条件的x∈(－1,0)．]
5．B[由f(4)g(－4)0得a2loga40，∴0a1.]
课堂活动区
例1解(1)y＝x－x2，0≤x≤1，－x－x2，x1或x0，
即y＝－x－122＋14，0≤x≤1，x－122－14，x1或x0，
其图象如图所示．
(2)y＝x－122－14，x≥0，x＋122－14，x0，其图象如图所示．
(3)
作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，加上y＝12x的图象中x0的部分关于y轴的对称部分，
即得y＝12|x|的图象．
变式迁移1解定义域是{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数．
又当x≥0且x≠1时，y＝1x－1.
先作函数y＝1x的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝1x－1(x≥0且x≠1)的图象(如图(a)所示)．
又函数是偶函数，作关于y轴对称图象，
得y＝1|x|－1的图象(如图(b)所示)．
例2解题导引对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
（1）?A?[从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B.又x0时，g(x)为增函数且为正值,f(x)也是增函数，故f(x)g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正负，注意到x→（从小于0趋向于0），f(x)g(x)→+∞，可排除C、D.］?（2）?A?［因为f(1-x)=f（-(x-1)）,故y=f(1-x)的图象可以由y=f(x)的图象按照如下变换得到：先将y=f(x)的图象关于y轴翻折，得y=f(-x)的图象，然后将y=f(-x)?的图象向右平移一个单位，即得y=f(-x+1)的图象.］
变式迁移2(1)A[考查函数y＝2x与y＝x2的图象可知：
当x0时，方程2x－x2＝0仅有一个零点，
且→－∞；
当x0时，方程2x－x2＝0有两个零点2和4，
且→＋∞.]
(2)C[由图象知f(x)为奇函数，排除D；
又0，±π2，±32π为方程f(x)＝0的根，故选C.]
例3解题导引原方程重新整理为|x2－4x＋3|＝x＋a，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a的取值范围．
方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．
解原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，设y＝|x2－4x＋3|，y＝x＋a，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y＝x＋a过点(1,0)时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由y＝x＋ay＝－x2＋4x－3，得，x2－3x＋a＋3＝0，
由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－34.
由图象知当a∈[－1，－34]时方程至少有三个根．
变式迁移3(1，54)
解析y＝x2－|x|＋a＝x－122＋a－14，x≥0，x＋122＋a－14，x0.
当其图象如图所示时满足题意．
由图知a1，a－141，解得1a54.
课后练习区
1．D[f(x)＝2x＋2－x，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)图象关于y轴对称．]
2.D[令y＝|x|，y＝|x＋t|，在同一坐标系中作出其图象，
如图，所以t＝1.]
3．D[选项A、B、C中直线方程中的a的范围与对数函数中的a的范围矛盾．]
4．C[函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)关于x轴对称，函数y＝－f(x)的图象向左平移1个单位即得到函数y＝－f(x＋1)的图象．]
5．B[∵b0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y轴右边，∴－b2a0，∴a0，又∵图象过原点，∴a2－1＝0，∴a＝－1.]
6．右1
解析∵y＝3×(13)x＝(13)x－1，
∴y＝(13)x向右平移1个单位便得到y＝(13)x－1.
7．(－1,2)
解析∵f(x)＝2x－1x＋1＝2x＋1－3x＋1＝2－3x＋1，
∴函数f(x)图象的对称中心为(－1,2)．
8．(1)A(2)D(3)B(4)C
9．解(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.…………………………………………(2分)
(2)f(x)＝x|x－4|
＝xx－4＝x－22－4，x≥4，－xx－4＝－x－22＋4，x4.………………………………………………(4分)
f(x)的图象如右图所示．
(3)由图可知，f(x)的减区间是[2,4]．……………………………………………………(8分)
(4)由图象可知f(x)0的解集为
{x|0x4或x4}．………………………………………………………………………(10分)
(5)∵f(5)＝54，
由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(12分)
10.
解设f1(x)＝(x－1)2，
f2(x)＝logax，
要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可．
当0a1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………(4分)
当a1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，……………………………………………………………(10分)
∴1a≤2.………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)方法一∵x0，∴g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，
等号成立的条件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，……………………………………………………………(4分)
因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有根．…………………………………………………(6分)
方法二作出g(x)＝x＋e2x的图象如图：
……………………………………………………………………………………………(4分)
可知若使g(x)＝m有根，则只需m≥2e.………………………………………………(6分)
方法三解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.
此方程有大于零的根，故m20Δ＝m2－4e2≥0……………………………………………(4分)
等价于m0m≥2e或m≤－2e，故m≥2e.…………………………………………………(6分)
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，
作出g(x)＝x＋e2x(x0)的图象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其对称轴为x＝e，开口向下，
最大值为m－1＋e2.……………………………………………………………………(10分)
故当m－1＋e22e，即m－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．……………………………………………(14分)
函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性
教学目标
1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法.
(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.
(2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.
(3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.
2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.
3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.
教学建议
一、知识结构
（1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.
（2）函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.
二、重点难点分析
(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性,奇偶性的本质,掌握单调性的证明.
(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.
三、教法建议
（1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.
（2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.
函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值开始,逐渐让在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.
函数的奇偶性教学设计方案
教学目标
1.使学生了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性.
2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.
3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.
教学重点,难点
重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断
难点是对概念的认识
教学用具
投影仪,计算机
教学方法
引导发现法
教学过程
一.引入新课
前面我们已经研究了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.
对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?
(学生可能会举出一些数值上的对称问题,等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如和等.)
结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于轴对称的吗?
学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个只能对一个,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.
二.讲解新课
2.函数的奇偶性(板书)
教师从刚才的图象中选出,用计算机打出,指出这是关于轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?
学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令比较得出等式,再令,得到,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在,使与不等呢?(可用课件帮助演示让动起来观察,发现结论,这样的是不存在的)
从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个,都有成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.
(1)偶函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做偶函数.(板书)
(给出定义后可让学生举几个例子,如等以检验一下对概念的初步认识)
提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出或的图象让学生观察研究)
学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.
(2)奇函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做奇函数.(板书)
(由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识)
例1.判断下列函数的奇偶性(板书)
(1);(2);
(3);;
(5);(6).
(要求学生口答,选出1-2个题说过程)
解:(1)是奇函数.(2)是偶函数.
(3),是偶函数.
前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证与之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?
学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明与不等.如即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要)
从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的=不能经受任意性的考验,当时,由于,故不存在,更谈不上与相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.
教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?
可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.
(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)
由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.
经学生思考,可找到函数.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?
例2.已知函数既是奇函数也是偶函数,求证:.(板书)(试由学生来完成)
证明:既是奇函数也是偶函数,
=,且,
=.
,即.
证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现,只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如,,,,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类
(4)函数按其是否具有奇偶性可分为四类:(板书)
例3.判断下列函数的奇偶性(板书)
(1);(2);(3).
由学生回答,不完整之处教师补充.
解:(1)当时,为奇函数,当时,既不是奇函数也不是偶函数.
(2)当时,既是奇函数也是偶函数,当时,是偶函数.
(3)当时,于是,
当时,,于是=,
综上是奇函数.
教师小结(1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当检验,并不能说明具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须均有成立,二者缺一不可.
三.小结
1.奇偶性的概念
2.判断中注意的问题
四.作业略
五.板书设计
2.函数的奇偶性例1.例3.
(1)偶函数定义
(2)奇函数定义
(3)定义域关于原点对称是函数例2.小结
具备奇偶性的必要条件
(4)函数按奇偶性分类分四类
探究活动(1)定义域为的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你能试证明之吗?
(2)判断函数在上的单调性,并加以证明.
在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题:
设为三角形的三条边,求证:.
2012届高考数学第一轮导学案复习：函数的奇偶性和单调性
高三数学理科复习4――函数的奇偶性和单调性
【高考要求】函数的基本性质(B)
【教学目标】理解函数的单调性及其几何意义,会判断一些简单函数的单调性；
理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.
【教学重难点】函数基本性质及其应用
【知识复习与自学质疑】
1.给出下列四个函数：①②③
④其中是奇函数；是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数。
2.若为奇函数，则实数
3.函数的单调递减区间为
4.函数的单调递增区间为
5.若是奇函数，且在区间（－∞，0）上单调增函数，又，则的解集是
6.若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围
7.已知函数在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是
8.若函数
【交流展示与互动探究】
例1．判断下列函数的奇偶性：
(2))(3)
例2.已知函数则当为何值时，是奇函数？
例3.试判断函数.
【矫正反馈】
1.函数是函数（填奇或偶）
2.设函数为奇函数，
3.设函数恒成立，则实数的取值范围是
4.已知是周期函数为2的奇函数，当时，设，则的大小关系为
5.设函数为奇函数，则＝
【迁移应用】
6．设函数是定义在上的偶函数，在上的是减函数，且，则使得的的取值范围是
7.设是定义在上的奇函数，且的图象关于对称，则＝
8.设为奇函数，为偶函数，若，比较的大小。
9．已知
（1）设，求的解析式。
（2）设，问：是否存在实数，使在（－∞，－1）上是减函数，并且在是增函数。
