解析几何新题型的解题技巧。

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？为满足您的需求，小编特地编辑了“解析几何新题型的解题技巧”，供您参考，希望能够帮助到大家。

【命题趋向】
解析几何例命题趋势:
1.注意考查直线的基本概念,求在不同条件下的直线方程,直线的位置关系,此类题大多都属中、低档题,以选择、填空题的形式出现,每年必考
2.考查直线与二次曲线的普通方程,属低档题,对称问题常以选择题、填空题出现
3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现,有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题,如求轨迹,与向量结合,与求最值结合,属中档题
分值一般在17---22分之间,题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题.
【考点透视】
一.直线和圆的方程
1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.
2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.
3.了解二元一次不等式表示平面区域.
4.了解线性规划的意义,并会简单的应用.
5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法.
6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程.
二.圆锥曲线方程
1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.
2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.
3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.
4.了解圆锥曲线的初步应用.
【例题解析】
考点1.求参数的值
求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.
例1.(2006年安徽卷)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为()
A.B.C.D.
考查意图:本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.
解答过程:椭圆的右焦点为(2,0),所以抛物线的焦点为(2,0),则,故选D.
考点2.求线段的长
求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.
例2.(2007年四川卷文)已知抛物线y-x23上存在关于直线xy=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于
A.3B.4C.3D.4
考查意图:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.
解:设直线的方程为,由,进而可求出的中点,又由在直线上可求出,
∴,由弦长公式可求出.
故选C

扩展阅读

数列与探索性新题型的解题技巧

【命题趋向】
1.等差(比)数列的基本知识是必考内容,这类问题既有选择题、填空题,也有解答题;难度易、中、难三类皆有.
2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.
3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试题时要注意灵活应用.
4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.
因此复习中应注意:
1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.
2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q),掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过设而不求,整体代入来简化运算.
3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.
4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外.如an与Sn的转化;将一些数列转化成等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳.
5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键.
6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果.
7.数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.
【考点透视】
1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.
2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解答简单的问题.
3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解决简单的问题.
4.数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实问题转化为数学问题来解决.
【例题解析】
考点1正确理解和运用数列的概念与通项公式
理解数列的概念,正确应用数列的定义,能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.
典型例题
例1.(2006年广东卷)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆正三棱锥形的展品,其中第1堆只有1层,就一个球;第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,则;(答案用n表示).
思路启迪:从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4,…推测出第n层的球数。
解答过程:显然.
第n堆最低层(第一层)的乒乓球数,,第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球的低层数之和,即
所以:

09年高考英语新题型阅读表达题的解题技巧

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。所以你在写教案时要注意些什么呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“09年高考英语新题型阅读表达题的解题技巧”，仅供参考，欢迎大家阅读。

高考英语新题型阅读表达题的解题技巧

阅读表达题是2007年山东省出现的新题型。该题是一种综合性的题型，既考查学生的阅读理解能力，又考查书面表达能力，真可谓"一箭双雕"！同时，这类题目不但选材新颖、时代性强，而且体裁多样、结构严谨、层次分明，是一种不错的试题。然而，同学们对这一新题型却感到束手无策，不知从何下笔。针对这一情况，我们应在平时的训练中要不断总结做题方法，探索答题规律，掌握这类题目的解题技巧。下面让我们一起对这个新题型来个"庖丁解牛"，全面剖析一下它的内部结构。

通过对近2年高考试题的研究，我们不难发现这类试题的设题题型有以下几种：主旨概括题、句子替换题、句子填空题、翻译句子题、封闭性问题和开放性问题等。为了易于掌握，我们分别进行分析。

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向量与三角函数创新题型的解题技巧

【命题趋向】
1.三角函数的性质、图像及其变换,主要是的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题或解答题形式出现,属中低档题,这些试题对三角函数单一的性质考查较少,一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上,考查的知识点来源于教材.
2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力,一般要运用和角、差角与二倍角公式,尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.以选择题或填空题或解答题形式出现,属中档题.
3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体,或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用,注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现,属中档题.
4.在一套高考试题中,三角函数一般分别有1个选择题、1个填空题和1个解答题,或选择题与填空题1个,解答题1个,分值在17分-22分之间.
5.在高考试题中,三角题多以低档或中档题目为主,一般不会出现较难题,更不会出现难题,因而三角题是高考中的得分点.
【考点透视】
1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算.
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同解三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义.
3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
4.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,会用五点法画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωxψ)的简图,理解A、ω、ψ的物理意义.
6.会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx,arcosx,arctanx表示.
7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决解三角形的计算问题.
8.掌握向量与三角函数综合题的解法.
常用解题思想方法
1.三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:特别是用1的代换,如1=cos2θsin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x2cos2x=(sin2xcos2x)cos2x=1cos2x;配凑角:α=(αβ)-β,β=-等。
(3)降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
(4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)。
(5)引入辅助角。asinθbcosθ=sin(θ),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=确定。
(6)万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。
2.证明三角等式的思路和方法。
(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。
(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的差异分析。
(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。
(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。
【例题解析】
考点1.三角函数的求值与化简
此类题目主要有以下几种题型:
⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力,以及求三角函数的值的基本方法.
⑵考查运用诱导公式、倍角公式,两角和的正弦公式,以及利用三角函数的有界性来求的值的问题.
⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法,考查三角恒等变形及求角的基本知识.

概率统计的解题技巧

【命题趋向】
概率统计命题特点:
1.在近五年高考中,新课程试卷每年都有一道概率统计解答题,并且这五年的命题趋势是一道概率统计解答题逐步增加到一道客观题和一道解答题;从分值上看,从12分提高到17分;由其是实施新课标考试的省份,增加到两道客观题和一道解答题.值得一提的是此累试题体现了考试中心提出的突出应用能力考查以及突出新增加内容的教学价值和应用功能的指导思想,在命题时,提高了分值,提高了难度,并设置了灵活的题目情境,如测试成绩、串联并联系统、计算机上网、产品合格率、温度调节等,所以在概率统计复习中要注意全面复习,加强基础,注重应用.
2.就考查内容而言,用概率定义(除法)或基本事件求事件(加法、减法、乘法)概率,常以小题形式出现;随机变量取值-取每一个值的概率-列分布列-求期望方差常以大题形式出现.概率与统计还将在选择与填空中出现,可能与实际背景及几何题材有关.
【考点透视】
1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.
2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.
3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.
4.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
5.掌握离散型随机变量的分布列.
6.掌握离散型随机变量的期望与方差.
7.掌握抽样方法与总体分布的估计.
8.掌握正态分布与线性回归.
【例题解析】
考点1.求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识:
(1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)==;
等可能事件概率的计算步骤:
①计算一次试验的基本事件总数;
②设所求事件A,并计算事件A包含的基本事件的个数;
③依公式求值;
④答,即给问题一个明确的答复.
(2)互斥事件有一个发生的概率:P(AB)=P(A)P(B);
特例:对立事件的概率:P(A)P()=P(A)=1.
(3)相互独立事件同时发生的概率:P(A·B)=P(A)·P(B);
特例:独立重复试验的概率:Pn(k)=.其中P为事件A在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)P]n展开的第k1项.
(4)解决概率问题要注意四个步骤,一个结合:
①求概率的步骤是:
第一步,确定事件性质
即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
第二步,判断事件的运算
即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.
第三步,运用公式求解
第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.
例1.(2007年上海卷文)在五个数字中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是(结果用数值表示).
[考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.
[解答过程]0.3提示:
例2.(2007年全国II卷文)一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为.
[考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式,同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.
用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.
[解答过程]提示:
例3(2007年全国I卷文)从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):
492496494495498497501502504496
497503506508507492496500501499
根据的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________.
[考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.
[解答过程]在497.5g~501.5内的数共有5个,而总数是20个,所以有
点评:首先应理解概率的定义,在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误.
例4.(2006年湖北卷)接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗,至少有3人出现发热反应的概率为__________.(精确到0.01)
[考查目的]本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.
[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为
.
故填0.94.
例5.(2006年江苏卷)右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收到信号的概率是
(A)(B)(C)(D)
[考查目的]本题主要考查运用组合、概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.
[解答提示]由题意,左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法,同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有种分法;要五个接收器能同时接收到信号,则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中,即五个接收器的一个全排列,再将排列后的第一个元素与信号源左端连接,最后一个元素与信号源右端连接,所以符合条件的连接方式共有种,所求的概率是,所以选D.
点评:本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题,并进一步求得概率问题,其中隐含着平均分组问题.
例6.(2007年全国II卷文)
从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件:取出的2件产品中至多有1件是二等品的概率.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率;
(2)若该批产品共100件,从中任意抽取2件,求事件:取出的2件产品中至少有一件二等品的概率.
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.
[解答过程](1)记表示事件取出的2件产品中无二等品,
表示事件取出的2件产品中恰有1件二等品.
则互斥,且,故
于是.
解得(舍去).
(2)记表示事件取出的2件产品中无二等品,则.
若该批产品共100件,由(1)知其中二等品有件,故.
例7.(2006年上海卷)两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷1本,共8本.将它们任意地排成一排,左边4本恰好都属于同一部小说的概率
是

(结果用分数表示).
[考查目的]本题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.
[解答提示]从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有种,左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有种.所以,将符合条件的长篇小说任意地排成一排,左边4本恰好都属于同一部小说的概率是种.所以,填.
例8.(2006年浙江卷)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球,2个白球;乙袋装有2个红球,n个白球.由甲,乙两袋中各任取2个球.
(Ⅰ)若n=3,求取到的4个球全是红球的概率;(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为,求n.
[考查目的]本题主要考查排列组合、概率等基本知识,同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.
[标准解答](I)记取到的4个球全是红球为事件.
(II)记取到的4个球至多有1个红球为事件,取到的4个球只有1个红球为事件,取到的4个球全是白球为事件.
由题意,得
所以,,
化简,得解得,或(舍去),
故.
例9.(2007年全国I卷文)
某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.
(Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;
(Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率.
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.
[解答过程](Ⅰ)记表示事件:位顾客中至少位采用一次性付款,则表示事件:位顾客中无人采用一次性付款.
,.
(Ⅱ)记表示事件:位顾客每人购买件该商品,商场获得利润不超过元.
表示事件:购买该商品的位顾客中无人采用分期付款.
表示事件:购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款.
则.
,.
.
例10.(2006年北京卷)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.
方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;
方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;
(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)
[考查目的]本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等基本知识,同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.
[标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,
则P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c.
(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率
p1=P(A·B·)P(·B·C)P(A··C)P(A·B·C)
=a×b×(1-c)(1-a)×b×ca×(1-b)×ca×b×c=abbcca-2abc.
应聘者用方案二考试通过的概率
p2=P(A·B)P(B·C)P(A·C)=×(a×bb×cc×a)=(abbcca)
(Ⅱ)p1-p2=abbcca-2abc-(abbcca)=(abbcca-3abc)
≥=.
∴p1≥p2
例11.(2007年陕西卷文)
某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率.(注:本小题结果可用分数表示)
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.
[解答过程](Ⅰ)记该选手能正确回答第轮的问题的事件为,则,,,,
该选手进入第四轮才被淘汰的概率.
(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率
.
考点2离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.
②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地,设离散型随机变量可能取的值为,,……,,……,取每一个值(1,2,……)的概率P()=,则称下表.
…
…
PP1P2…
…
为随机变量的概率分布,简称的分布列.
由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:
(1),1,2,…;(2)…=1.
②常见的离散型随机变量的分布列:
(1)二项分布
次独立重复试验中,事件A发生的次数是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,…n,并且,其中,,随机变量的分布列如下:
01…
…P
…
称这样随机变量服从二项分布,记作,其中、为参数,并记:.
(2)几何分布
在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量,表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.
随机变量的概率分布为:
123…k…
Ppqp
…
…
例12.(2007年四川卷理)
厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率;
(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望,并求出该商家拒收这批产品的概率.
(Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为,求随机变量的分布列与数学期望.
(注:本小题结果可用分数表示)
[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.
[解答过程]解法一:(Ⅰ)记该选手能正确回答第轮的问题的事件为,则,,,
该选手被淘汰的概率
.
(Ⅱ)的可能值为,,
,
.
的分布列为
123
.
解法二:(Ⅰ)记该选手能正确回答第轮的问题的事件为,则,,.
该选手被淘汰的概率.
(Ⅱ)同解法一.
考点3离散型随机变量的期望与方差
随机变量的数学期望和方差
(1)离散型随机变量的数学期望:…;期望反映随机变量取值的平均水平.
⑵离散型随机变量的方差:……;
方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.
⑶基本性质:;.
(4)若~B(n,p),则;D=npq(这里q=1-p);
如果随机变量服从几何分布,,则,D=其中q=1-p.
例14.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ε、η,ε和η的分布列如下:
ε012η012
P
P
则比较两名工人的技术水平的高低为.
思路启迪:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小.
解答过程:工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为:
,
;
工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为:
,
由Eε=Eη知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但DεDη,可见乙的技术比较稳定.
小结:期望反映随机变量取值的平均水平;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.
例15.(2007年全国I理)
某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为
12345
0.40.20.20.10.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.
(Ⅰ)求事件:购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款的概率;
(Ⅱ)求的分布列及期望.
[考查目的]本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.
[解答过程](Ⅰ)由表示事件购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款.
知表示事件购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款
,.
(Ⅱ)的可能取值为元,元,元.
,
,
.
的分布列为
(元).
小结:离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能力.
例16.某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75,后来发现有2名同学的成绩有误,甲实得80分却记为50分,乙实得70分却记为100分,更正后平均分和方差分别是
A.70,25B.70,50C.70,1.04D.65,25
解答过程:易得没有改变,=70,
而s2=[(x12x22…5021002…x482)-482]=75,
s′2=[(x12x22…802702…x482)-482]
=[(75×48482-1250011300)-482]
=75-=75-25=50.
答案:B
考点4抽样方法与总体分布的估计
抽样方法
1.简单随机抽样:设一个总体的个数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.
2.系统抽样:当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样(也称为机械抽样).
3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.
总体分布的估计
由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确.
总体分布:总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.
当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示,几何表示就是相应的条形图.
当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.
总体密度曲线:当样本容量无限增大,分组的组距

典型例题
例17.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n=.
解答过程:A种型号的总体是,则样本容量n=.
例18.一个总体中有100个个体,随机编号0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为,那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同,若,则在第7组中抽取的号码是.
解答过程:第K组的号码为,,…,,当m=6时,第k组抽取的号的个位数字为mk的个位数字,所以第7组中抽取的号码的个位数字为3,所以抽取号码为63.
例19.考查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位:cm)如下:
171163163166166168168160168165
171169167169151168170160168174
165168174159167156157164169180
176157162161158164163163167161
⑴作出频率分布表;⑵画出频率分布直方图.
思路启迪:确定组距与组数是解决总体中的个体取不同值较多这类问题的出发点.
解答过程:⑴最低身高为151,最高身高180,其差为180-151=29。确定组距为3,组数为10,列表如下:
⑵频率分布直方图如下:
小结:合理、科学地确定组距和组数,才能准确地制表及绘图,这是用样本的频率分布估计总体分布的基本功.
估计总体分布的基本功。
考点5正态分布与线性回归
1.正态分布的概念及主要性质
(1)正态分布的概念
如果连续型随机变量的概率密度函数为,x其中、为常数,并且0,则称服从正态分布,记为(,).
(2)期望E=μ,方差.
(3)正态分布的性质
正态曲线具有下列性质:
①曲线在x轴上方,并且关于直线x=μ对称.
②曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低.
③曲线的对称轴位置由μ确定;曲线的形状由确定,越大,曲线越矮胖;反之越高瘦.
(4)标准正态分布
当=0,=1时服从标准的正态分布,记作(0,1)
(5)两个重要的公式
①,②.
(6)与二者联系.
①若,则;
②若,则.
2.线性回归
简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.
变量和变量之间的关系大致可分为两种类型:确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.
具体说来,对n个样本数据(),(),…,(),其回归直线方程,或经验公式为:.其中,其中分别为||、||的平均数.
例20.如果随机变量ξ~N(μ,σ2),且Eξ=3,Dξ=1,则P(-1ξ≤1=等于()
A.2Φ(1)-1B.Φ(4)-Φ(2)
C.Φ(2)-Φ(4)D.Φ(-4)-Φ(-2)
解答过程:对正态分布,μ=Eξ=3,σ2=Dξ=1,故P(-1ξ≤1)=Φ(1-3)-Φ(-1-3)=Φ(-2)-Φ(-4)=Φ(4)-Φ(2).
答案:B
例21.将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在d℃,液体的温度ξ(单位:℃)是一个随机变量,且ξ~N(d,0.52).
(1)若d=90°,则ξ89的概率为;
(2)若要保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99,则d至少是?(其中若η~N(0,1),则Φ(2)=P(η2)=0.9772,Φ(-2.327)=P(η-2.327)=0.01).
思路启迪:(1)要求P(ξ89)=F(89),
∵ξ~N(d,0.5)不是标准正态分布,而给出的是Φ(2),Φ(-2.327),故需转化为标准正态分布的数值.
(2)转化为标准正态分布下的数值求概率p,再利用p≥0.99,解d.
解答过程:(1)P(ξ89)=F(89)=Φ()=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228.
(2)由已知d满足0.99≤P(ξ≥80),
即1-P(ξ80)≥1-0.01,∴P(ξ80)≤0.01.
∴Φ()≤0.01=Φ(-2.327).
∴≤-2.327.
∴d≤81.1635.
故d至少为81.1635.
小结:(1)若ξ~N(0,1),则η=~N(0,1).(2)标准正态分布的密度函数f(x)是偶函数,x0时,f(x)为增函数,x0时,f(x)为减函数.
例22.设,且总体密度曲线的函数表达式为:,x∈R.
(1)则μ,σ是;(2)则及的值是.
思路启迪:根据表示正态曲线函数的结构特征,对照已知函数求出μ和σ.利用一般正态总体与标准正态总体N(0,1)概率间的关系,将一般正态总体划归为标准正态总体来解决.
解答过程:⑴由于,根据一般正态分布的函数表达形式,可知μ=1,,故X~N(1,2).
.
又
.
小结:通过本例可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联.
例23.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的,如果某地成年男子的身高ε~N(173,7)(单位:cm),则车门应设计的高度是(精确到1cm)?
思路启迪:由题意可知,求的是车门的最低高度,可设其为xcm,使其总体在不低于x的概率小于1%.
解答过程:设该地区公共汽车车门的最低高度应设为xcm,由题意,需使P(ε≥x)1%.
∵ε~N(173,7),∴。查表得,解得x179.16,即公共汽车门的高度至少应设计为180cm,可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.
【专题训练与高考

一.选择题
1.下面关于离散型随机变量的期望与方差的结论错误的是()
A.期望反映随机变量取值的平均水平,方差反映随机变量取值集中与离散的程度.
B.期望与方差都是一个数值,它们不随试验的结果而变化
C.方差是一个非负数
D.期望是区间[0,1]上的一个数.
2.要了解一批产品的质量,从中抽取200个产品进行检测,则这200个产品的质量是()
A.总体B.总体的一个样本C.个体D.样本容量
01
P
3.已知的分布列为:
设则的值为()
A.5B.C.D.
4.设,,,则n,p的值分别为()
A.18,B.36,C.,36D.18,
5.已知随机变量服从二项分布,,则等于()
A.B.C.D.
6.设随机变量的分布列为,其中k=1,2,3,4,5,则等于()
A.B.C.D.
7.设15000件产品中有1000件废品,从中抽取150件进行检查,则查得废品数的数学期望为()
A.15B.10C.5D.都不对
8.某市政府在人大会上,要从农业、工业、教育系统的代表中抽查对政府工作报告的意见.为了更具有代表性,抽取应采用()
A.抽签法B.随机数表法C.系统抽样法D.分层抽样
9.一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000,有四台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是()
A.0.1536B.0.1808C.0.5632D.0.9728
10.某校高三年级195名学生已编号为1,2,3,…195,为了解高三学生的饮食情况,要按1:5的比例抽取一个样本,若采用系统抽样方法进行抽取,其中抽取3名学生的编号可能是()
A.3,24,33B.31,47,147C.133,153,193D.102,132,159
11.同时抛掷4枚均匀硬币80次,设4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上的次数为,则的数学期望是()A.20B.25C.30D.40
12.已知,且,则P()等于()
A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4
13.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是
A.分层抽样法,系统抽样法B.分层抽样法,简单随机抽样法
C.系统抽样法,分层抽样法D.简单随机抽样法,分层抽样法
14.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用下面的条形图表示,根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为()
A.0.6hB.0.9hC.1.0hD.1.5h
二.填空题
15.某工厂规定:工人只要生产出一件甲级产品发奖金50元,生产出一件乙级产品发奖金30元,若生产出一件次品则扣奖金20元,某工人生产甲级品的概率为0.6,乙级品的概率为0.3,次品的概率为0.1,则此人生产一件产品的平均奖金为元.
16.同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量表示结果中有正面向上,表示结果中没有正面向上,则.
17.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:t/hm2)
品种第1年第2年第3年第4年第5年
甲9.89.910.11010.2
乙9.410.310.89.7
(2)乙至多击中目标2次的概率;
(3)甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
【参考答案】
一、1.D2.B3.A4.D5.D6.A7.B8.C9.D10.C11.C12A13.提示:此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样;当总体中的个体差异较大时,宜采用分层抽样;当总体中个体较少时,宜采用随机抽样.
依据题意,第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法.故选B.
答案:B
14.提示:=0.9.
答案:B
二.15.37;16.;17.甲;18.5600;
19.提示:此问题总体中个体的个数较多,因此采用系统抽样.按题目中要求的规则抽取即可.
∵m=6,k=7,mk=13,∴在第7小组中抽取的号码是63.
答案:63
20.提示:不妨设在第1组中随机抽到的号码为x,则在第16组中应抽出的号码为120x.
设第1组抽出的号码为x,则第16组应抽出的号码是8×15x=126,∴x=6.
答案:6
三.21.解:分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取.
∵120∶16∶24=15∶2∶3,又共抽出20人,
∴各层抽取人数分别为20×=15人,20×=2人,20×=3人.
答案:15人、2人、3人.
22.解:(1);;;.
的概率分布如下表
0123
P
(2)乙至多击中目标2次的概率为.
(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰击中2次且乙恰击中目标0次为事件B,甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件为B,
则,、为互斥事件..
所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率