中考数学几何初步专题基础知识复习。
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中考数学总复习专题基础知识回顾三几何初步
一、单元知识网络：
二、考试目标要求：
了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及进行角的度量和计算；掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题.
具体目标：
1、图形的认识
(1)点、线、面
①认识点、线、面(如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点组成的).
②认识直线、射线、线段及性质.
③会比较线段的大小，会计算线段的和、差、倍、分，并会进行简单计算.
④了解线段的中点.
(2)角
①通过丰富的实例，进一步认识角.
②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换
算.
③了解角平分线及其性质
(3)相交线与平行线
①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.
②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义.
③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
④了解线段垂直平分线及其性质.
⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质.
⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这
条直线的平行线.
⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离.
2、尺规作图
①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直
平分线.
②了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明).
3、命题与证明
①理解证明的定义和必要性.
②通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论.
③结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.
④掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.
三、知识考点梳理
知识点一、直线的概念和性质
1．直线的定义：
代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义)
2．直线的两种表示方法：
(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字
母；
(2)用一个小写字母表示直线，如直线a.
3．直线和点的两种位置关系
(1)点在直线上(或说直线经过某点)；
(2)点在直线外(或说直线不经过某点).
4．直线的性质：
过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).
5．同一平面内两条不同直线的位置关系：
(1)两条直线无公共点，即平行；
(2)两条直线有一个公共点，即两条直线相交，这个公共点叫做两条直线的交点(两条直线相交，只有一
个交点).
知识点二、射线、线段的定义和性质
1．射线的定义：
直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.
2．射线的表示方法：
(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A是射
线上一点；
(2)用一个小写字母表示射线，如射线a.
3．线段的定义：
直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.
4．线段的表示方法：
(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；
(2)用一个小写字母表示，如线段a.
5．线段的性质：
所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短).
6．线段的中点：
线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.
7．两点的距离：
连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.
知识点三、角
1．角的概念：
(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫
做角的边.
(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面
部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.
2．角的表示方法：
(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；
(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；
(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠.
3．角的分类：
(1)按大小分类：
锐角----小于直角的角(0°＜＜90°)
直角----平角的一半或90°的角(=90°)
钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°)
(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，平角等
于180°.
(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于
360°.
(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.
(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角.
4．角的度量：
(1)度量单位：度、分、秒；
(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；
(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.
5．角的性质：
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.
6．角的平分线：
如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.
知识点四、相交线
1．对顶角
(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两
个角叫对顶角.
(2)性质：对顶角相等.
2．邻补角
(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.
(2)性质：邻补角互补.
3．垂线
(1)两条直线互相垂直的定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线
是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示
(2)垂线的定义:互相垂直的两条直线中，其中的一条叫做另一条的垂线，如直线a垂直于直线b，垂足
为O，则记为a⊥b，垂足为O.其中a是b的垂线，b也是a的垂线.
(3)垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
(4)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
4．同位角、内错角、同旁内角
(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个
角，简称三线八角，如右图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、
∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、
∠2和∠6是同旁内角.
(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个
角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线
(被截线)上.
知识点五、平行线
1．平行线定义：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.
2．平行公理及推论：
(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：
如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
3．性质：
(1)平行线永远不相交；
(2)两直线平行，同位角相等；
(3)两直线平行，内错角相等；
(4)两直线平行，同旁内角互补；
(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：
若b∥c，b⊥a，则c⊥a.
4．判定方法：
(1)定义
(2)平行公理的的推论
(3)同位角相等，两直线平行；
(4)内错角相等，两直线平行；
(5)同旁内角互补，两直线平行；
(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.
知识点六、命题、定理、证明
1．命题：
(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.
(2)命题的结构：题设+结论=命题
(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；
(4)命题的分类：真命题和假命题
(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.
2．公理、定理：
(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.
(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.
3．证明：
用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.
四、规律方法指导
1．数形结合思想
利用线段的长度、角的角度、对顶角、三线八角等基本几何图形，会求线段的长，以及角的度数，利用图形的直观性解决数的抽象性，能在一定条件下形数互化，由数构形，以形破数.
2．分类讨论思想
直线的交点个数及位置关系，角的大小等需要有分类讨论的思想，包含多种可能的情况时，应根据可能出现的所有情况来分别讨论得出各种情况下相应的结论，不重不漏.
3．化归与转化思想
在解决利用几何图形求线段长度和角的度数的问题时，常常是将需要解决的问题，通过做辅助线、求和差等转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，化繁为简、化难为易，由复杂与简单的转化.
4．注意观察、分析、总结
结合近几年中考试卷，几何基本图形中的角的计算、与线段和平行有关的实际问题是当前命题的热点，常以填空和选择形式出现，以考查基础为主；尺规作图通常结合计算和证明出现，要注意弄清概念，认真观察，总结规律，并做到灵活应用.
经典例题精析
考点一、直线、射线、线段的概念和性质
1．（1）（2010江苏宿迁）直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有__________个点.
答案：16073
（2）下列语句正确的是()
A.延长直线ABB.延长射线OA
C.延长线段AB到C，使AC=BCD.延长线段AB到C，使AC=3AB
考点：直线、射线、线段的性质.
解析：选项A中直线是向两方无限延伸的，不能延长，所以A错；选项B中射线是向一方无限延伸的，而延长射线OA就是指由O向A延长，射线只能反向延长，所以B错；选项C中AC只能大于BC，线段延长应有方向，而且要符合实际意义，所以C错.所以选D.
举一反三
【变式1】下列语句正确的是()
A．如果PA=PB，那么P是线段AB的中点B．线段有一个端点
C．直线AB大于射线ABD．反向延长射线OP(O为端点)
考点：直线、射线、线段的性质.
解析：在只用几何语言表达而没有图形的情况下，要注意图形的不同情形，象A中往往容易考虑不到P、A、B三点可能不在同一直线上，要注意线段的中点首先应为线段上一点，而误选A；线段有两个端点，所以B错；直线可以向两方无限延伸，射线可以向一方无限延伸，所以直线与射线都无法度量长度，不能比较大小，所以C错.答案选D.
2．(1)数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是()
A.a-bB.a+bC.│a-b│D.│a+b│
(2)已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为()
A.3：4B.2：3C.3：5D.1：2
考点：数轴上两点间的距离和线段的加减.
思路点拨：本类题目注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值.根据题意，画图.
解：(1)中数轴上两点间的距离公式为：│a-b│或│b-a│.
(2)如图，因为CA=3AB，所以CB=4AB，则线段CA与线段CB之比为3AB:4AB=3:4.
答案：(1)C；(2)A
总结升华：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷.
举一反三
【变式1】如图，点A、B、C在直线上，则图中共有______条线段.
答案：3
【变式2】有一段火车路线，含这段铁路的首尾两站在内共有5个车站(如图)，图中共有几条线段？在这段线路上往返行车，需印制几种车票(每种车票要印出上车站与下车站)？
解：线段有10条；车票需要2×10=20种.
总结升华：在直线上确定线段的条数公式为:(其中n为直线上点的个数).在求从一个顶点引出的n条射线所形成的小于平角的角的个数也可用此公式.
【变式3】已知线段AB=8cm，延长AB至C，使AC=2AB，D是AB中点，则线段CD=______.
思路点拨：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，本题考查延长线段的方向和线段的中点的概念.
解：如图，∵AB=8cmAC=2AB∴AC=2×8=16cm
∵D是AB中点∴AD=8×=4cm∴CD=AC-AD=16-4=12cm
考点二、角
3．下列说法正确的是()
A．角的两边可以度量.
B．角是由有公共端点的两条射线构成的图形.
C．平角的两边可以看成直线.
D．一条直线可以看成是一个平角.
考点：角的定义
解析：角的两边是射线，不能度量，所以A错；平角的两边也是射线，不能是直线，所以C错；了解直线和平角两者之间的区别，角有顶点，所以D错.故选B.
4．已知OC平分∠AOB，则下列各式:(1)∠AOC=∠AOB；(2)∠AOC=∠COB；(3)∠AOB=2∠AOC，其中正确的是()
A.只有(1)B.只有(1)(2)C.只有(2)(3)D.(1)(2)(3)
思路点拨：角平分线定义的的三种表达形式.
答案：D
5．（1）（2010山东德州）如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）
（A）30°（B）40°
（C）60°（D）70°
考点：平行线的性质、三角形外角定理.
答案：A
（2）已知∠与∠互余，且∠=40°，则∠的补角为_______度.
考点：角互余和互补定义.
思路点拨：本题考查互余、互补两角的定义，互余、互补只与两角度数和有关，与角的位置无关.
解：∵∠与∠互余，∴∠+∠=90°；∵∠=40°，
∴∠=90°-∠=90°-40°=50°.
∴∠的补角=180°-50°=130°.
举一反三
【变式1】如图，已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°，则图中互余的角有_______对，互补的角有_______对.
考点：互为余角和互为补角的定义.
思路点拨：在本题目中，当图中角比较多时，就将图形的角进行归类，找出每种相等的角，按照同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等的性质解决问题，注意要不重不漏.
解：互余的角有：∠COD和∠DOE、∠COD和∠BOC、∠AOB和∠DOE、∠AOB和∠BOC，共4对；
互补的角有：∠EOD和∠AOD、∠BOC和∠AOD、∠AOB和∠BOE、
∠COD和∠BOE、∠AOC和∠COE、∠AOC和∠BOD、∠COE和∠BOD，共7对.
【变式2】已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角.求证：∠ACD=∠B.
证明：∵AC⊥BC(已知)
∴∠ACB=90°()
∴∠BCD是∠DCA的余角()
∵∠BCD是∠B的余角(已知)
∴∠ACD=∠B()
思路点拨：会根据所给的语句写出正确的根据.会用所学的定理、公理、推论等真命题概括几何语言.
答案：垂直定义；余角定义，同角的余角相等.
6．(1)已知∠1=43°27′，则∠1的余角是_______，补角是________；
(2)18.32°=18°()′()″，216°42′=_______°.
考点：掌握角的单位之间的换算关系.1°=60′，1′=60″.
解：(1)∠1的余角=90°-43°27′=89°60′-43°27′=46°33′；
∠1的补角=180°-43°27′=179°60′-43°27′=136°33′；
(2)0.32°=0.32×60′=19.2′0.2′=0.2×60″=12″所以18.32°=18°19′12″；
42′=0.7°所以216°42′=216.7°.
举一反三
【变式1】计算.
①②
③④
考点：会计算角之间的和、差、倍、分，注意相邻单位之间是60进制的，相同单位互相加减.
解：①=68°70′=69°10′
②=62°×3+25′×3=186°+75′=187°15′
③=67°80′-37°33′=30°47′
④=69°60′÷3=23°20′
7．（1）（2010内蒙呼和浩特）8点30分时，钟表的时针与分针的夹角为__________°．
答案：75
（2）时钟在1点30分时，时针与分针的夹角为_______度.
解析：时钟上时针和分针是实际生活中常见的角，分针1小时旋转360度，1分钟旋转6度；时针1小时旋转30度，1分钟旋转0.5度.在相同时间下，分针旋转的角度是时针的12倍.钟表上1和6的夹角为150°，过了半小时，时针转了15°，所以1点30分时，时针与分针的夹角为150°-15°=135°.
举一反三
【变式1】某火车站的时钟楼上装有一个电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角内装有多少只小彩灯？
解析：9时35分20秒时，时针与分针的夹角间的小格数为个小格，中间有12个分钟刻度处，而每一个分钟刻度处有一只小彩灯，所以它们之间有12个小彩灯.
8．表示O点南偏东15°方向和北偏东25°方向的两条射线组成的角等于______度.
考点：方位角.
解析：如图，南北方向上的线与OA、OB的夹角分别为25°和15°，
所以∠AOB=180°-25°-15°=140°.
举一反三
【变式1】如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°，甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西________度.
考点：方位角在实际中的应用
思路点拨：结合图形，在求方位角时，掌握甲和乙之间方向相反的规律，甲观察乙是北偏东48°，乙观察甲就是南偏西48°.
答案：48°.
9．如图，OA⊥OB，∠BOC=40°，OD平分∠AOC，则∠BOD=_________°.
思路点拨：通过观察图形，找出各角之间的联系，关键是看清角所在的位置，结合图形进行计算.
解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+40°=130°，
∵OD平分∠AOC，∴∠COD=∠AOC=×130°=65°，
∴∠BOD=∠COD-∠BOC=65°-40°=25°.
举一反三
【变式1】用一副三角板画角，不能画出的角的度数是()
A.15°B.75°C.145°D.165°
思路点拨：了解一副三角板中各角的度数，总结规律：用一副三角板画角，能画出的角都是15°的整数倍.
答案：C
【变式2】以∠AOB的顶点O为端点作射线OC，使∠AOC:∠BOC=5:4.(1)若∠AOB=18°，求∠AOC与∠BOC的度数；(2)若∠AOB=m°，求∠AOC与∠BOC的度数.
思路点拨：当题目中包含多种可能的情况时，应根据可能出现的所有情况进行分类，要做到无遗漏、无重复.
答案：(1)第一种情形:OC在∠AOB的外部，
可设∠AOC=5x，∠BOC=4x，
则∠AOB=∠AOC-∠BOC=x，即x=18°.
∴∠AOC=90°，∠BOC=72°.
第二种情形:OC在∠AOB的内部，
可设∠AOC=5x，∠BOC=4x，
则∠AOB=∠AOC+∠BOC=9x，
∴9x=18°，即x=2°.
∴∠AOC=10°，∠BOC=8°.
(2)∠AOC=5m°，∠BOC=4m°.或∠AOC=m°，∠BOC=m°.
知识点三、尺规作图
10．只用无刻度直尺就能作出的是()
A.延长线段AB至C，使BC=AB；B.过直线上一点A作的垂线
C.作已知角的平分线；D.从点O再经过点P作射线OP
解析：A中直尺应有刻度或利用尺规作图，B、C是尺规作图，但还需要圆规.应选D.
11．已知线段MN，画一条线段AC=MN的步骤是:第一步:____________，第二步:_____________，AC就是所要画的线段.
考点：这是尺规作图作一条线段等于已知线段的步骤，必须掌握.
答案:第一步:作射线AP；第二步:在射线AP上，以A为圆心，以MN为长为半径截取AC=MN.
举一反三：
【变式1】如图所示，请把线段AB四等分，简述步骤.
考点：作线段AB的垂直平分线的方法.
作法：步骤:(1)作AB的垂直平分线MN，交AB于O1；(2)作O1A的垂直平分线EF交AB于O2；(3)作O1B的垂直平分线GH交AB于O3，则O1、O2、O3即为线段AB的四等分点.
12．如图所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC=OA，并简述步骤.
思路点拨：用尺规作图作已知角的平分线，再用圆规截取AC=OA.
作法:作法如下:
(1)作∠MON的平分线OB；
(2)以A点为圆心，以OA为半径画弧交OB于C，连结AC，则C点即为所求.
总结升华：用尺规作图中直尺只起到画线(直线、射线、线段)的作用.而不能用来量取.
举一反三：
【变式1】如图所示，已知∠AOB和两点M、N，画一点P，使得点P到∠AOB的两边距离相等，且PM=PN，简述步骤.
考点：角平分线定理和垂直平分线定理.
作法:
(1)作∠AOB的平分线OC；
(2)连结MN，并作MN的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，则P点即为所求.
知识点四、相交线、平行线
13．（1）（2010湖北襄樊）如图1，已知直线AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（）
A．150°B．130°C．120°D．100°
图1．
答案：C
（2）如图，AD∥BC，AC与BD相交于O，则图中相等的角有_________对.
思路点拨：两直线平行，内错角相等；两直线相交，所得的对顶角相等.
解析：∵AD∥BC∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
不要忽略对顶角相等：∠AOB=∠COD，∠AOD=∠BOC，故应填4对.
14．（1）如图所示，下列条件中，不能判断的是()
A.∠1=∠3B.∠2=∠3C.∠4=∠5D.∠2+∠4=180°
考点：平行线的判定.
解析：根据平行线的判定，A中∠1和∠3是内错角；C中∠4和∠5是同位角；D中∠2和∠4是同旁内角.不难得到：∠2=∠3不能判断.应选B.
（2）（2010福建宁德）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是_______°．
考点：平行线的性质.
答案：55
举一反三：
【变式1】(1)如图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是().
A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A-∠E+∠D=180°
C.∠A+∠E-∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°
(2)如图所示，∥，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=().
A.20°B.40°C.50°D.60°
考点：平行线的性质
思路点拨：通过观察图形，可作出一条辅助线，从而把问题化难为易.
(1)(2)
解析：(1)如(1)图，过E作EF∥AB，则也平行于CD，∴∠A+∠AEF=180°∠FED=∠D
∴∠A+∠AEF=∠A+∠AED-∠D=180°，故选C.
(2)如(2)图，过O作，则OB也平行于，∴∠1+∠BOC=180°，∠3=∠AOB，
∴∠BOC=180°-∠1=180°-120°=60°，∴∠3=∠AOB=∠2-∠BOC=100°-60°=40°.
15．（1）两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线()
A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交
考点：平行线的性质和判定.
思路点拨：利用平行线的性质和判定，结合角平分线的定义解决问题.如图，a∥b，所以同位角相等；所以同位角的一半也相等，即∠1=∠2，所以同位角的平分线互相平行.
答案：选B.
（2）(2010重庆市)如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥BC，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠CDB的度数等于（）
A．70°B．100°C．110°D．120°
思路点拨：由DE∥BC，得∠CDE＝∠C＝50°，所以∠CDB=∠CDE+∠BDE=110°
答案：C
举一反三：
【变式1】如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.
思路点拨：由平行线的性质和角平分线定义求出结果.
解：∵DE∥BC，∠AED=80°
∴∠ACB=∠AED=80°∠EDC=∠DCB
∵CD平分∠ACB
∴∠DCB=∠ACB=40°
∴∠EDC=∠DCB.
【变式2】如图，已知AB∥CD，∠DAB=∠DCB，AE平分∠DAB，且交BC于E，CF平分∠DCB，且交AD于F.求证:AE∥FC.
思路点拨：这类问题可由题设出发找结论，也可由结论出发找题设.
证明：∵AB∥CD∴∠ABC+∠BCD=180°
∵∠DAB=∠BCD∴∠ABC+∠DAB=180°
∴AD∥BC∴∠DAE=∠BEA
∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB
∴∠DAE=∠DAB，∠FCB=∠BCD
∴∠DAE=∠FCB∴∠BEA=∠FCB
∴AE∥FC.
【变式3】已知：如图，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，并且∠1+∠2=90°，
求证：DA⊥AB.
思路点拨：这考查学生整体考虑问题的能力，可以从已知推出结论，也可以从结论入手，找出和已知相对应的条件.
证明：∵CE平分∠BCD，DE平分∠CDA
∴∠1=∠ADC，∠2=∠BCD
∵∠1+∠2=90°
∴∠ADC+∠BCD=180°∴AD∥BC∴∠A+∠B=180°
∵CB⊥AB∴∠B=90°∴∠A=180°-∠B=180°-90°=90°∴DA⊥AB.
【变式4】求证：两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行.
思路点拨:考查学生解决这种证明题要先根据题意画出图形，再改写成已知、求证的几何语言形式的命题.
已知：如图，AB∥CD，EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线.
求证：EG∥FR.
证明：∵AB∥CD(已知)
∴∠BEF=∠EFC(两直线平行，内错角相等)
∵EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线(已知)
∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC(角平分线定义)
∴2∠1=2∠2(等量代换)
∴∠1=∠2(等式性质)
∴EG∥FR(内错角相等，两直线平行)
知识点五、命题、定理
16．（1）（2010浙江温州）下列命题中，属于假命题的是()
A．三角形三个内角的和等于l80°B．两直线平行，同位角相等
C．矩形的对角线相等D．相等的角是对顶角．
答案：D
（2）判断下列语句是不是命题
①延长线段AB()
②两条直线相交，只有一交点()
③画线段AB的中点()
④若|x|=2，则x=2()
⑤角平分线是一条射线()
思路点拨：本题考查学生理解命题的概念，判断语句是否是命题有两个关键，首先观察是不是一个完整的句子，再观察是否作出判断.
解析：①两个语句都没有作出判断.
答案：①不是②是③不是④是⑤是.
举一反三：
【变式1】下列语句不是命题的是()
A.两点之间，线段最短B.不平行的两条直线有一个交点
C.x与y的和等于0吗？D.对顶角不相等.
解析:理解命题概念，C答案虽然是句子，但没有作出判断，D答案是假命题但也是命题.故选C.
17．下列命题中真命题是()
A.两个锐角之和为钝角B.两个锐角之和为锐角
C.钝角大于它的补角D.锐角小于它的余角
思路点拨：命题分为真命题、假命题.正确的命题是真命题，错误的命题是假命题.
解析：A、B中两个锐角之和可能是锐角、直角和钝角；D中的锐角不一定小于它的余角，如50°的余角是40°.应选C
举一反三：
【变式1】命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析：③中，应掌握相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等；④中只有两平行直线被第三条直线所截，同位角才能相等.故③④是假命题.应选B.
18．分别写出下列各命题的题设和结论.
(1)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
(2)同旁内角互补，两直线平行.
思路点拨：命题分为题设和结论两部分，可以写成“如果……，那么……”的形式.
答案：(1)题设：a∥b，b∥c，结论：a∥c；
(2)题设：两条直线被第三条直线所截得的同旁内角互补，
结论：这两条直线平行.
举一反三：
【变式1】分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式.
(1)两点确定一条直线；(2)等角的补角相等；(3)内错角相等.
答案：(1)如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线
(2)如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等.
(3)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.
中考题萃
一、考试目标：
了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及角的度量和计算；掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题.
二、中考真题：
1.（2010山东威海）如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是（）
A．40°B．60°C．70°D．80°
2．(巴中市)如图，“吋”是电视机常用尺寸，1吋约为大拇指第一节的长，则7吋长相当于()
A.一支粉笔的长度B.课桌的长度
C.黑板的宽度D.数学课本的长度
3．(青海省西宁市)(3分)如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：
①；②；③；④.正确的有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
4．(湖南省湘西自治州)(3分)如图，直线AB、CD相交于O点，若，则∠2、∠3的度数分别为()
A.120°、60°B.130°、50°
C.140°、40°D.150°、30°
5．（2010四川内江）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为（）
A．45°B．50°C．60°D．75°
6．(四川乐山市)(3分)如图，直线相交于点O，OM⊥，若，则等于()
A.56°B.46°C.45°D.44°
7．(海南省)(2分)如图，AB、CD相交于点O，∠1=80°，如果DE∥AB，那么∠D的度数为()
A.80°B.90°C.100°D.110°
8．(湖北省荆州市)(3分)将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：(1)∠1=∠2；
(2)∠3=∠4；(3)∠2+∠4=90°；(4)∠4+∠5=180°，其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
9．(四川宜宾市)(3分)如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点F、E，EG是∠FED的平分线，交AB于点
G.若∠QED=40°，那么∠EGB等于()
A.80°B.100°C.110°D．120°
10．(绵阳市)(3分)已知，如图，∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数等于()
A.115°B.120°C.125°D.135°
11．(新疆自治区)(5分)如图，下列推理不正确的是()
A.∵AB∥CD∴∠ABC+∠C=180°B.∵∠1=∠2∴AD∥BC
C.∵AD∥BC∴∠3=∠4D.∵∠A+∠ADC=180°∴AB∥CD
12．（2010山东荷泽）如图，直线PQ∥MN，C是MN上一点，CE交PQ于A，CF交PQ于B，且∠ECF＝90°，
如果∠FBQ＝50°，则∠ECM的度数为（）
A．60°B．50°C．40°D．30°
13.（2010江西）一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD＝
_____________度．
14．(湖南省株洲市)(3分)已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为线段AB、BC的中点，且
AB=60，BC=40，则MN的长为___________.
15．(内蒙古)(3分)已知：，则的补角是_________度.
16．(湖南省)(3分)如图，与相交于点，，，则_____度.
17．(广州)(3分)如图，∠1=70°，若m∥n，则∠2=________.
18．(宁夏回族自治区)(3分)如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD=________度.
19．(浙江义乌)(5分)如图，若，与分别相交于点，与的平
分线相交于点，且，________度.
20．(湛江市)(4分)如图，请写出能判定CE∥AB的一个条件_________.
21．(四川省资阳市)如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时时针(短针)所指的位
置.根据图中时针与分针(长针)所指的位置，该钟面所显示的时刻是______时_______分.
22．(湖北省襄樊市)(3分)如图，在锐角内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可
得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；……照此规律，画10条不同射线，可得锐角_____个.
23．(杭州市)如图，已知，用直尺和圆规求作一个，使得.
(只须作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法)
24.（2010广东茂名）如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=70o，则∠2的度数是（）
A．80oB．110oC．120oD．140o
答案解析：
1.C2.D3.B4.D5.D6.B7.C8.D9.C10.C11.C12.C
13.270°14．10或5015．12016．36°17．70°18．2519．60
20．∠CDE=∠A、∠BCE=∠B、∠ACE+∠A=180°(不唯一)21．9，1222．66
23．作图如下，即为所求作的.
24.B
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八、仿写专题
所谓仿句题，也叫句式运用题。它用于考查学生的理解能力、品析能力、表达能力，以及对修辞知识、语法知识、句式知识的积累与运用。这种题型，一般是命题者提供一定的语境，要求考生参照规定的句式模仿写作。其实质是要求学生根据不同的语境和要求，写出与例句内容和形式相同或相近、意义上有密切关联的句子。主要考查学生：1、对修辞方法的积累与运用能力。2、对语法知识的积累与运用能力。3、对表达方式的理解与运用能力。
一、仿句题的题型
1、内容上
（1）词语型
例：结合语境，在横线上仿写恰当的词语。如果生命是水，尊严就是流动；仿写：如果生命是火，尊严就是燃烧；如果生命是鹰，尊严就是搏击。
（2）、修辞型
例：仿照例句写一句子，要求句子由两个比喻句组成，比喻要合乎情理，分句间要有联系。“历史”、“时间”仍为本体。
例句：如果历史是一条长河，那么时间就是这条长河上涌起的波涛。
仿句：如果历史是一曲乐章，那么时间就是这乐章上跳动的音符。
（3）、托物寓意型：
例：仿照示例，任选事物，用语言解释其特点并阐发一定的道理。
示例：蜡烛A、站得不端正，必然泪多命短。B、为不能照亮所有的黑暗而流泪。
仿写：粉笔A、一张智慧的犁，耕耘在神奇的黑土地上。B、粉身碎骨浑不怕，要留清白在人间。煤A、千年的期盼，只为燃烧自己的一生。B、不经受磨练，发不出生命的光辉。
（4）、名著名人名言型：
例：仿写句子，使内容句式都与前句协调。
例句：幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获。
仿句：幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适。幸福是“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”的追求。
（5）、情境型：
例：根据文句所提供的情境，将句子补充完整。书是我的精神食粮，它重塑了我的灵魂。简爱说过：“我们是平等的，我不是无感情的机器”，我懂得了作为女性的自尊。白朗宁说过，“拿走爱，世界将变成一座坟墓”，我懂得了为他人奉献爱心是多么重要。”鲁迅说过，“不在沉默中爆发，就在沉默中灭亡”，我懂得了反抗精神的可贵。每读完一本书，我就完成了一次生命的感悟。
（6）、话题型：
例：仿照下面句子，以“腐烂”为话题补写句子。
人生只有两种生活方式：腐烂或燃烧。我们选择燃烧，因为燃烧意味着给予，且在给予之时，会让自己闪光。我们屏弃腐烂，因为腐烂意味着变质，且在变质之际，会让别人恶心。
（7）、阅读型：
阅读文段，分析句式特点，在横线上写句。
我们赖以生存的地球，自古以来就进行着绿色与黄色的殊死决战。哪儿充满绿色，哪儿必然水源充足，草木茂盛，那是生命滋衍的乐园。哪儿弥漫黄色，哪儿一定水源干涸，尘沙肆虐，那是生命凋零的荒漠。在我国，沙漠正在以每年两千多平方公里的速度蔓延扩展，黄色对绿色的伤害是绝对无情的。
2、形式上
中考仿句题就题型来说，主要有以下三种情况：
（1）、仿指定格式和话题造句
这类仿句题指定的格式即句式或修辞，指定的话题可以是一个词，也可以是分句。这类仿句题格式一致，话题明确。解答时，首先应明确话题，在仿写时保持话题的统一。例题不仅在题干中有明确要求，题目中的分号又进一步暗示了话题不能变，其次，在格式上，例题要求“句式、修辞手法”与上文句子相同，分析题目提供的例句，可以看出句式相同指所仿写的每个句子要运用比喻；从分号看，所仿写的句子还要与前面的句子构成排比。
如：请在下面的横线上，紧接上文再写两个句子。要求与上文句子的话题、句式、修辞手法相同。
①没有一本书的家，是没有一朵花的花园；没有一本书的家，是没有一只鸟的树林，___________________，____________________；______________________，_________________________。
②寓言
寓言是一座奇特的桥梁，通过它，可以从复杂走向简单，又可以从单纯走向丰富。寓言像一把钥匙，这把钥匙可以打开心灵之门，启发智慧，让思想活跃。
音乐
_________________________________________________
________________________________
（2）、仿指定格式，不指定话题造句。
这类仿句题主要是仿照句式与修辞手法，自选话题造句。这类仿句题的要求比第一类要宽松，即格式上保持一致，话题不加限制。例句：
①拥有青春，就拥有了一份潇洒和风流，拥有青春，就拥有了一份灿烂和辉煌。
造句：拥有________________，就拥有___________________。
②模仿例句，填空成句，表达自己想说的意思：
(1)不论在什么地方，只要再提到它，就能马上说出。
不论_______________，只要_______________，就_______________。
(2)书，给我以广阔的天地，而其中编织我童年美丽生活花环的，竟是一本让人看不上眼的石印本《千家诗》。
朋友，_______________而_______________竟是_______________。
（3）、仿指定格式、结合文章造句
解这类题，除了仿照有关句子的形式外，还必须读懂材料，结合文意作答，做到前后照应，从而确保所写句子的内容符合题目的要求。否则，如果无视文意，或对话题另起炉灶，就只能答非所问。上题必须“战胜自己”为话题。否则只能意味着失败。
例如：
①请仿文中第5段最后一句话的句式，再写一句话：还有那些为战胜私欲而处处克己的人，为战胜暴力而时时制怒的人，为战胜怯懦而不断自勉的人，他们都是了不起的人。仿写：还有那些______________________________________________________________________。
3、仿写要注意的几个问题
仿写的要求，有显性和隐性之分。显性要求就是命题者在题干中明确提出的要求，隐性要求是指隐含在被仿句里的要求。考生只有准确把握显性要求和隐性要求，才能仿写出质量上乘的句子来。因为显性要求比较容易把握，所以这里主要谈谈隐性要求。
隐性要求大致包括以下几个方面。内容上要与题目所提供的材料一致。比如说，原句是写人物的，那么仿句也应以人物为描写对象，原句是写植物的，那么仿句也应以植物为描写对象，以此类推。
1、内容要协调一致，前后呼应
内容要协调一致，主要包含两层意思：一是仿句与被仿句（或称例句）的内容要有内在联系，要能够互相搭配，互相衔接。二是仿句与被仿句的内容和精神实质要一致。譬如，如果原句是写人物的，那么仿句也应以人物为描写对象，如果原句是写植物的，那么仿句也应以植物为描写对象；如果被仿句的内容是歌颂赞扬性的，那么仿句的内容也必须是歌颂赞扬性的；如果被仿句的内容存在正反对立关系，那么仿句的内容也必须存在正反对立关系；如果被仿句的内容是富于哲理性和启迪性的，那么仿句的内容也必须是富于哲理性和启迪性的，以此类推。当然，协调一致，是笼统的要求，没有什么具体标准。因此，怎样才算协调一致，一定要结合被仿句具体情况具体分析。前后呼应，是指如果被仿句前边的句子与后边的句子在语意上存在相互联系、相互对应的关系那么仿句在语意上也要体现这种相互联系、相互对应的关系。
2、句式要统一
句式，即句子的结构形式。句式要统一，是指仿句与被仿句的结构要一致。这就要求考生在动笔之前必须仔细观察被仿句的结构。观察要从整体到局部。首先，要弄清被仿句是单句还是复句。如果是单句，要进一步弄清是哪种类型的单句（如主动句或被动句、主谓宾句或主谓补句等）；如果是复句，也要进一步弄清是哪种类型的复句。其次，要弄清被仿句有无供用的词语或格式。再次，要弄清被仿句局部上的结构特点，譬如主语是并列短语还是偏正短语，宾语是并列短语还是偏正短语，等等。句式是否统一，是仿写能否成功的关键。仿句只有从整体到局部的结构都与被仿句吻合，才可能成为佳句。
3、修辞要相同
修辞要相同，是指仿句与被仿句所用的修辞方式要完全一样。譬如，被仿句是比喻句，那么仿句也必须是比喻句；被仿句是比喻套排比，那么仿句也必须是比喻套排比。这就要求考生动笔之前必须仔细审视被仿句，审清它用了哪种或哪几种修辞方式。
4、字数要相等或大致相等
仿句的字数与被仿句的字数应尽量相等，实在无法相等，也要大致相等，不能悬殊太大，这样仿句与被仿句的结构才可能是和谐匀称的。
二、例题解析
（1）仿照下面的句式，以“只有”开头，写一个结构与之相似的复句：
只有波涛澎湃的大海，才能创造出沙滩的光洁与柔软；而平静的湖边，只好让污泥环绕。
，；
，。
个字)
书籍好比一架梯子，它能引导我们登上知识的殿堂。书籍如同一把钥匙，它能帮助我们开启心灵的智慧之窗。
三、实战演练
1.(锦州）仿写句子，要求句式相同，语意连贯。
缺憾使荆轲赌命功亏一篑，缺憾使；缺憾使。如此才有历代英雄气短，泪流满襟的遗恨。
2.（威海）
①赠言是给别人留下的美好祝愿或真诚的希望。在这即将毕业离别之际，请你给在你心中留下过深刻印象的某位同学拟写一条富有文采的赠言（30字左右，至少使用一种修辞方法）。
②从以下选项中任选一项，写一两句赞美的话。要求使用一种修辞方法。
农民农民工解放军
选赞语
3.（大连）仿照下面这句话，用“如果……如果……如果……都……”写一句话。
如果我学得了一丝一毫的好脾气，如果我学得了一点点待人接物的和气，如果我能宽恕人，体谅人——我都得感谢我的慈母。
4.（宁德）仿照下面画波浪线的句子，再写一句，表达你对汉语美的感受。
不断发展的汉语，如一幅线条迷人的画卷，如一首旋律美妙的乐曲，___________________，令人痴迷、神往。
5.（阜新）请你恰当地运用一种修辞方法（比喻、拟人、排比、对偶、夸张等）描绘你家乡的一处美景。（不少于30字）
6.（贵港）为了从天时、地利、人和三个方面赞美我们的家乡，请你仿照画线的句子将下面句子补充完整。
我爱贵港，爱她气候宜人风雨顺，爱她土地，爱她社会。
7.（哈尔滨）根据语境，在下面横线处填入恰当的语句，使前后句式一致，语意连贯。
每个人都拥有财富。知识是财富，它能增长智慧，也能美化心灵；，， ；挫折是财富，它能积累经验，也能磨炼意志……拥有这些财富，人生就会多姿多彩。
8.（杭州）根据语意，仿照画线的句子，运用恰当的比喻，在下面的横线上填写句子，构成语意连贯的一段话。
母爱如细流，静静流淌在我们的生命中。一次次牵手，一声声叮咛，母亲的呵护似摇篮
般的安适；，，。人生拥有母爱的伴随，一路洒满温暖的阳光。
9.（十堰）根据下面句子的句式，在划线处仿写一句，使之构成连贯流畅的排比句。
有蓝天的呼唤，就不能让奋飞的翅膀在安逸中退化；
；有远方的呼唤，就不能让寻觅的信念在走不出的苦闷中消沉。生活，要有追求永支撑；人生，要有激情常相伴。
10.（黄石）将下列选项依次填入文段的空缺处，正确的选项是（）
你的话语应该是一缕饱含早春气息的柔风，；你的表白应该是田野爆裂的豆荚，；你的辩答应该是凭借原则的盾牌，；你的呐喊应该是仰仗正议的力量，。
①迎承谈判桌上的唇枪舌剑②构思并阐述金色的成熟
③弥合朋友之间人为的小隙④澎湃青春的热忱和血液
A、③④①②B、②①③④C、③②①④D、④①③②
11.（荆州）下面是《做人》这首小诗的前两节，请顺着文意续写一节。
做花一样的人/不一定艳丽娇媚/但必须芬芳四溢
做树一样的人/不一定枝繁叶茂/但务必挺拔秀颀
12.（内江）把下面的句子改写成排比句。
音乐家常常把灵感变为跳跃的音符，文学家呢，他们优美的辞章往往缘于灵感，至于画家，他们完满的构图也常常与灵感相关，而一般的人灵感则常常是霎时的喜悦。
13.（太原）仿照画线句子，选择一种传统文化形式（如锣鼓、秧歌、风筝、书法等），为横线处补写句子。
中华民族优秀的文化，积淀着久远的岁月印痕。它绽放在春节缤纷的花炮中，闪烁在京剧斑斓的脸谱中，跳动在二胡凄美的弓弦上，，传扬在诗词浪漫的意境里……
14.（泰安）仿写画线的句子。
每个人都渴望得到别人的理解，同样也应该学会理解别人。理解是一缕春风，唤醒沉寂的心田；理解是，。
15.（无锡）在下面的空格中仿写恰当的语句，要求与上下句结构一致，内容相关。
生命茁壮成长的嫩绿，载负着我美好的憧憬；追随阳光，□□□□，绽放花蕾，□□□□，回报天地。
16.（襄樊）根据语境仿写句子。
青春是美好的。青春是多彩的朝霞，映照着广阔的天地；，；青春是智慧的火花，点缀着灿烂的星空。
17.根据语境，仿照画线句，将下面的句子补充完整。
坚忍是达到成功的阶梯。春蚕忍受着茧的束缚，把纷飞的梦想留给明天；,
；海蚌忍受着沙石的打磨，把晶莹的珍珠留给明天
18．（2010重庆市綦江县）仿照画线的句子，发挥想象续写两句。
人在生命的旅途中，不能没有朋友的祝福。你的祝福如春天里的一缕清风，为我送来芬芳；如寒夜里的一团火焰，为我送来温暖。如，；如，。我将带着你的祝福，去搏击人生的风雨，拥抱绚丽的彩虹。
19．（2010江苏省南京市）仿写句子，完成诗集的寄语。
读古诗，如同拥抱美妙的世界。
你能领略山的风采：有的婀娜隽秀，有的巍峨挺拔。
你能聆听水的旋律：有的婉转低回，。
你能欣赏花的姿容：，有的灿烂盛开。
20.（2010山东省济宁市）模仿下面的诗句再写一个句子。
理想是石，敲出星星之火，点燃熄灭的灯；理想是灯，照亮夜行的路；，
。
21.（2010浙江省杭州市）根据语境，仿照画线句子，接写两句，构成语意连贯的一段话。在这个世界上，只要你有真实的付出，就会发现许多门都是虚掩着的：在商界中，你付出智慧，你会发现财富的大门是虚掩着的；_______，_______，_______；_______，_______，_______。
22.（2010湖北省襄樊市）根据语境仿写句子。
欣赏是一种领略，欣赏也是一种收获。欣赏日出，自然会在日出的喷薄中感受向上的力量；欣赏大海，自然会在大海的浩瀚中领悟博大的胸怀；，。
23.（2010湖北省宜昌市）汉字具有强大的组词功能，不同的字序组合往往表达着不同的词义。下列新诗正是利用汉字的这一功能创造出了隽永含蓄的意境，请仿照诗中几对加点词语的组词特点，另选两组同类的词语填写在下边的空格处。
我为一些词语后悔/比如年少或是少年/而我躲在另一个词后面/我又感觉羞愧/察觉和觉察/但是我喜欢蜜蜂甚于蜂蜜。——纳什《蜜蜂》
①和②和
24.（2011贵州市安顺市）美，到处存在着，重要的是要有发现的眼睛。请仿照例句，发挥想象，另写一个句子，表达你对美的感受。
例句①：老师说：“书声朗朗、专注凝神的课堂就是美，一种渴求知识的美。”例句②：旅游者说：“鸟语花香、清风吹拂的西湖就是美，一种自然的美。”
答：
25.仿写句子，要求句式相同，语意连贯。
小草，从乱石堆的缝隙里，站成蓬勃的绿洲。
＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
26．根据语境仿写句子，构成排比。
有理想，才会有追求。鲜花有理想，才会用美丽装扮大地；蜜蜂有理想，才会用辛劳酿造甜蜜；，。
27．仿照下面画线的句子，再写一个句子，要求句式相同，语意连贯。
宽容，就像一缕和煦的阳光，能融化心灵的坚冰；
宽容，就像一段舒缓的音乐，能抚慰心灵的痛伤；
宽容，，。
28．仿照例句，在横线上将句子补写完整。
例句：老师的教导就像汩汩流淌的清泉，滋润着我干涸的心田。
补写：老师的教导，。
29．仿照例句，另写一个句子
例句：没有泥石的聚积，就没有高山的巍峨。没有的聚积，就没有。
30．在下面一句话中的横线上，仿照前两个分句，续写一个分句。
如果你能使一朵花儿快乐，不用自己的手随意折毁它，那么鲜花也会使你快乐，在你苦闷烦恼时为你送上一束醉人的温馨；如果你能使一条小溪快乐，不把生活的污秽随意抛向它们，那么小溪也会使你快乐，在你口干舌燥时为你送来一捧甜蜜的甘露；
，，，。
31．仿照下面例句写一句话，要求与例句中的格式相似，修辞手法相同。
例句：我愿是一朵欢乐的浪花，为大海营造一点生机。
仿写：____________________，_________________________。
32．请参照示例，以“灯泡”“短尺”为对象，各写一句话，要求借物喻理，表达出一种人生的感悟。
示例：雨伞：总是用潮湿的身躯，彰显自身的价值。
①灯泡：
②短尺：
33．请依照下面示例的构思方式，另选一种家电，写一段讽喻人类的文字
示例：电视机——自以为拥有一切；但无论想炫耀什么，都得完全听从人的摆布。
电灯——总以为自己比别的灯更亮，其实只不过是有人给它戴了一顶帽子。
示例：
34．根据所提供的语境，在下面横线处填入恰当的语句，使前后句式一致，语意连贯。
不要慨叹时光飞逝，人生苦短。若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；，；若把人一生的情感窖藏起来，也是一壶香醇的酒。开拓一条怎样的路，，酿造一壶怎样的酒，这是一个人必须面对和思考的人生课题。
35．仿照下面画线的句子，再写一个句子，要求句式相同，语意连贯。
生命是一条绵延而去的长河。有些朋友来了，去了，淡了，远了，却是你一辈子的知己和财富。他们也许并不伟大，也不富有。但是，在你委屈的时候，他们会给你安慰；在你烦恼的时候，他们会为你排忧；，这，才是真正的朋友。
36．按照所给文段的思路，仿照相应的句式，将文段补写完整。（4分）
人生中难免有些事情不尽如人意：也许你想成为太阳，却只是一颗不起眼的星星：也许你想面为大海，；，却只是一根细弱的小草。这个时候，请不要失去人生的方向。只要珍惜自己，坦然接受自己，你会惊喜发现平凡的你也有自己美丽的风景。
37．写一个比喻句，使之与前后两句构成一组排比句。诚信好像那黑夜中的明灯，失去它你将寸步难行；，；诚信好像那夏日的微风，失去它你将难当酷暑。
38．根据语境和句式仿写。
也许，在绚丽的天空面前，你会觉得自己很苍白，你会懊恼；
也许，在浩瀚的大海面前，你会觉得自己很渺小，你会自卑；
也许，，，；然而，你却不知道，你可以有白云的飘逸，有浪花的轻快，。
39．在下面语段的横线上填入适当的语句，要求语意连贯，句式一致。
给我一次困难，让我懂得克服；，让我经受磨练：给我一次失败，;给我一次耻辱，让我学会振作；我感谢每一次带我走向成功的经历。
40．根据语境，仿照画线句子，接写两句，构成语意连贯的一段话。
世间的事情往往是一分为二的。失败虽然是人人不愿得到的结果，但有时却能激发人们坚韧的毅力； ，；，。因此，我们看问题需要用辩证的观点。
中考动态几何专题复习教案
中考复习专题（六）动态几何
教学目标：通过解决动态几何问题培养学生联系发展的动态观，用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程．
教学重、难点：将运动过程中的各个时刻的图形分类画图，由“动”变“静”；另一方面还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系以及特定的限制条件．
教学过程：
一、题型归析
动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性；就其运动对象而言有点动、线动、面动；就其运动形式而言有平动、旋转、翻折、滚动等．动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展学生空间想象能力，全面考查学生的综合分析和解决问题的能力，是近几年中考命题的热点，常常在中考中起到甄选的作用．
二、例题解析：
（一）动点型（以动点为背景，设置问题）
例1.已知直角梯形ABCD中，AD⊥CD,CD=1,AB=4,AD=4,P为AD上一动点，令
AP为x..
(1)AP为多少时，BP⊥CP?
(2)若△PBC的面积为S,求S与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
分析：（1）设P点停在AD上的某点（如图2）时，BP⊥CP,即可利用△CDP∽△PAB,求出x值.
提示：（2）=梯形ABCD-△CDP-△PAB
方法总结：不要被“动”迷惑！“动”中求“静”，“静”中求解.
（二）动线型（以线运动为背景设置问题）
例2.如图3，在直角坐标系中，点P的坐标为（2,0），⊙P经过原点0，点A、B、C的坐标分别是（-1,0），（0，b），（0,3），且0＜b＜3.当点B在线段OC上移动时，直线AB与⊙P有哪几种位置关系？请求出每种位置关系时，b的取值范围.
分析：当AB与⊙P恰好相切时（如图4），设切点为M,连接PM，得PM⊥AM,易证△ABO∽△APM,求出OB的长，问题得到解决.
方法总结：求“静”时，应找出最佳位置.
（三）动形型（以图形运动为背景设置问题）①②
例3.如图5，正三角形ABC的边长为厘米，⊙O的半径为R厘米，当圆心O从点A出发，沿着路线AB----BC----CA运动，回到A点时，⊙O随着O点运动而运动.
⑴若R=厘米，求⊙O首次与BC相切时，求AO的长.
⑵在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下，R的取值范围及相应切点的个数.
⑶设⊙O在整个移动过程中，在⊿ABC内部，⊙O未经过的部分面积为S,在S＞0时，求S关于R的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
寄后语：
1.“动中求静，以静制动”是解决动态几何最有效的方法.
2.在“动”中找到最恰当的位置“静”下来是解决问题的起点.
3.在“静”下来后，能抓住“静”时的特征，寻找解决问题的突破口，是你迈向成功的关键.
三、诊断自测
1.如图7，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图8所示，则当时，点应运动到（）A．处B．C．处D．处
2.在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.
3.在⊿ABC中∠C=,AC=4,BC=3,P为AC上一动点，作PM∥AB交BC于M,作PN∥BC交AB于N,设AP为x.（1）用含x的代数式表示PM、PN、CM长.
（2）若四边形PNBM的面积为S,求S与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
中考数学专题：动态几何问题
一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，规划教案课件的时刻悄悄来临了。在写好了教案课件计划后，这样我们接下来的工作才会更加好！你们会写多少教案课件范文呢？小编特地为您收集整理“中考数学专题：动态几何问题”，希望对您的工作和生活有所帮助。
中考数学专题3动态几何问题
第一部分真题精讲
【例1】如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．
（1）当时，求的值；
（2）试探究：为何值时，为等腰三角形．
【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
【解析】
解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形．
∵，．
∴．（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）
∴．（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）
∴．解得．
【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解
【解析】
（2）分三种情况讨论：
①当时，如图②作交于，则有即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）
∵，
②当时，如图③，过作于H．
则，
③当时，
则．
．
综上所述，当、或时，为等腰三角形．
【例2】在△ABC中，∠ACB=45．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，，CD=，求线段CP的长．（用含的式子表示）
【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。
【解析】：
（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：AB=AC，∠ACB=45，∴∠ABC=45．
由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90，
∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90．即CF⊥BD．
【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。
（2）CF⊥BD．(1)中结论成立．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90．即CF⊥BD
【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.
（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=45，可求出AQ=CQ=4．∴DQ=4-x，
易证△AQD∽△DCP，∴，∴，
．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=45，可求出AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．
过A作交CB延长线于点G，则．CF⊥BD，
△AQD∽△DCP，∴，∴，
【例3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．
（1）求证：梯形是等腰梯形；
（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；
（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．
【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢?当然是利用角度咯.于是就有了思路.
【解析】
（1）证明：∵是等边三角形
∴
∵是中点
∴
（2）解：在等边中，
∴(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)
∵∴
∴∴(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)
【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。
（3）解：为直角三角形
∵
∴当取最小值时，
∴是的中点，而
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.
【例4】已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接．
（1）直接写出线段与的数量关系；
（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，．
你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）
【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。
（1）
（2）（1）中结论没有发生变化，即．
证明：连接，过点作于，与的延长线交于点．
在与中，
∵，
∴．
∴．
在与中，
∵，
∴．
∴
在矩形中，
在与中，
∵，
∴．
∴．
∴
【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。
（3）（1）中的结论仍然成立．
【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．
（1）当=1时，CF=______cm，
（2）当=2时，求sin∠DAB′的值；
（3）当=x时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．
【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。
【解析】
（1）CF=6cm；（延长之后一眼看出，EAZY）
（2）①如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M，
∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴．
∵=2，∴CF=3．
∵AB∥CF，∴∠BAE=∠F．
又∠BAE=∠B′AE，∴∠B′AE=∠F．∴MA=MF．
设MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k．
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
k2=(9-k)2+62，解得k=MA=．∴DM=．（设元求解是这类题型中比较重要的方法）
∴sin∠DAB′=；
②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′E于点N，
同①可得NA=NE．
设NA=NE=m，则B′N=12-m．
在Rt△AB′N中，由勾股定理，得
m2=(12-m)2+62，解得m=AN=．∴B′N=．
∴sin∠DAB′=．
（3）①当点E在BC上时，y=；
（所求△AB′E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长）
②当点E在BC延长线上时，y=．
【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：
第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。
第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。
第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。
第二部分发散思考
【思考1】已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且．
（1）求证：∽；
（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：；
（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由．
【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。
【思考2】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若＜∠PBC＜180°，
且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，
（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD=°；
（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；
（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．
【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有∠PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下~
【思考3】如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．
点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．
（1）当BO=AD时，求BP的长；
（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；
（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。
【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。
【思考4】在中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)
（1）在图1中画图探究：
①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.
（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。
第三部分思考题解析
【思考1解析】
（1）证明：∵，∴．∴．
又∵，∴．
∴．∴∽．
（2）证明：如图，过点作，交于点，
∵是的中点，容易证明．
在中，∵，∴．
∴．
∴．
（3）解：的周长，．
设，则．
∵，∴．即．
∴．
由（1）知∽，
∴．
∴的周长的周长．
∴的周长与值无关．
【思考2答案】
解：（1）∠BPD=30°；
（2）如图8，连结CD．
解一：∵点D在∠PBC的平分线上，
∴∠1=∠2．
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC=AC，∠ACB=60°．
∵BP=BA，
∴BP=BC．
∵BD=BD，
∴△PBD≌△CBD．
∴∠BPD=∠3．-----------------3分
∵DB=DA，BC=AC，CD=CD，
∴△BCD≌△ACD．
∴．
∴∠BPD=30°．
解二：∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC=AC．
∵DB=DA，
∴CD垂直平分AB．
∴．
∵BP=BA，
∴BP=BC．
∵点D在∠PBC的平分线上，
∴△PBD与△CBD关于BD所在直线对称．
∴∠BPD=∠3．
∴∠BPD=30°．
（3）∠BPD=30°或150°．
图形见图9、图10．
【思考3解析】
解：（1）过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=得BE=3．
∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6，
∴AD=EC=BC－BE=3．
当BO=AD=3时，在⊙O中，过点O作OH⊥AB,则BH=HP
∵,∴BH=．
∴BP=．
（2）不存在BP=MN的情况-
假设BP=MN成立，
∵BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC.
过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB,
∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC-
设BO=x，则PO=x,由，得BH=,
∴BP=2BH=.
∴BQ=BP×cosB=，PQ=．
∴OQ=．
∵△PQO∽△DOC，∴即，得．
当时，BP==＞5=AB，与点P应在边AB上不符，
∴不存在BP=MN的情况.
（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时，0＜CN＜6；------7分
情况二：⊙O与⊙C相内切，此时，0＜CN≤.-------8分
【思考4解析】
解：（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．
证明：如图1，设直线与直线的交点为．
∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，
②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
可得．
由（1）可得四边形为正方形．
∴．
①如图2，当点在线段的延长线上时，
∵，
∴．
∴．
②如图3，当点在线段上（不与两点重合）时，
∵，
∴．
③当点与点重合时，即时，不存在．
综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或．
