不等式教案。

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。高中教案的内容具体要怎样写呢？以下是小编为大家精心整理的“不等式教案”，仅供您在工作和学习中参考。

1、(、)。
2、(、,)(当且仅当时取等号)。
3、若、、且,则(真分数的分子分母加上同一个正数,值变大)。
4、若、、且,则。
5、。
6、一个重要的均值不等式链:设,则有(当且仅当时取等号)。
7、若已知条件中含有或隐含着或这一信息,常常可以设用这种和式增量法来证明不等式、求值、或比较大小。
8、不等式证明常用的放缩方法:
(1);
(2)。
七、解析几何:
1、两条平行直线和之间的距离为。
2、直线过定点,且点在圆内,则与圆必相交。
过圆内一点的弦长,以直径为最大,垂直于(为圆心)的弦为最小。
3、直线在轴、轴上的截距相等包含有直线过原点这一特殊情况。
4、直线过定点时,根据情况有时可设其方程为(时直线)应用点斜式解题,应检验直线斜率不存在的情况。
5、已知圆的方程是和点,若点是圆上的点,则方程表示过点的圆的切线方程;若点在圆外,则方程表示过点向圆所作的两条切线的切点所在的直线方程(又称切点弦方程)。
6、过圆上一点的圆的切线方程是:
。
7、圆和相交于、两点,则直线为这两圆的根轴,其方程为(即为公共弦所在的直线方程。利用此法,可以推导圆的切点弦方程)。
8、已知一个圆的直径端点是、,则圆的方程是:
。
9、给一定点和椭圆:,、分别为左右焦点,有如下性质:
(1)若点在椭圆上,则,(由椭圆第二定义推出);
(2)若点在椭圆上,过这一点的椭圆的切线方程则可表示为:;
(3)若点在椭圆外,则这一点对应的椭圆的切点弦可表示为:;
(4)若点在椭圆内,则这一点对应的椭圆的极线可表示为:;
补充:直线与椭圆相切的充要条件是:
。
10、三种圆锥曲线的通径(通径是最短的焦点弦):
(1)椭圆的通径长为;
(2)双曲线的通径长为;
(3)抛物线的通径长为。
11、双曲线的焦半径公式:点为双曲线上任意一点,、分别为左右焦点
(1)若在右支上,则,;
(2)若在左支上,则,。
12、双曲线标准方程(焦点在轴或轴上)的统一形式为(),双曲线的渐近线方程为,也可记作。
13、过抛物线的焦点且倾斜角为的弦,时,最短弦长为,即为抛物线的通径。
14、圆锥曲线中几条特殊的垂直弦和定点弦:
(1)过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦,则弦过定点;
(2)过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦,点分别为的中点,则直线过定点;
(3)过抛物线上一点作两条互相垂直的弦,则弦过定点;
(4)过椭圆的中心作两条相互垂直的弦,则原点到弦AB的距离为定值:,且(此时弦AB最短),(此时弦AB最长);
(5)过椭圆的右顶点作两条相互垂直的弦,则弦MN过定点:;
(6)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的弦,点分别为的中点,则直线MN过定点:;
(7)过双曲线的中心作两条相互垂直的弦,则原点到弦AB的距离为定值:;
15、过抛物线上一点的焦半径;若、是过焦点弦的端点,,则:
(1),;
(2);
(3)(为直线与轴的夹角);
(4)若、在准线上的射影分别为、,则;
(5)以焦点弦为直径的圆与准线相切,切点为的中点;
(6)以焦半径为直径的圆与轴相切;
(7)以为直径的圆与焦点弦相切,切点为焦点F;
16、过抛物线的准线与对称轴的交点作抛物线的两条切线,则切点弦长等于该抛物线的通径。过抛物线的对称轴上任意一点作抛物线的切线,切点分别为、,则直线过定点。
17、由抛物线焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行抛物线的轴。
18、若双曲线的两条渐近线方程分别为,则对应双曲线方程可设为为为参数)。
19、等轴双曲线的离心率;双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长。
20、若一直线被双曲线及两条渐近线所截,则夹在双曲线与渐近线间的线段长相等。
21、点与圆锥曲线的位置关系:
(1)若点在抛物线内部,则。
若点在抛物线外部,则;
(2)若点在内部,则。
若点在外部,则;
(3)双曲线内的点(指点在双曲线弧内),满足;
双曲线外的点(指点在双曲线弧外),满足。
22、若直线与二次曲线交于、两点,则由:
,知直线与二次曲线相交所截得的弦长:
其中(涉及直线与二次曲线相交的位置关系应注意,还需要注意圆锥曲线本身的范围。若求弦所在直线的斜率常用点差法)。
23、中心在原点的椭圆、双曲线方程(焦点位置不定)可设为(其中且时为椭圆,时为双曲线)。
24、圆锥曲线的参数方程:
(1)椭圆的参数方程为(为参数);
(2)双曲线的参数方程为(为参数);
(3)抛物线的参数方程为(为参数)。
25、若为椭圆上任一点,、为焦点,为短轴的一个端点,则(证明用到椭圆定义、余弦定理)。
26、与直线平行的直线系方程为(参数);
与直线垂直的直线系方程为(为参数)。
27、共离心率的椭圆系方程为(为参数)。椭圆的离心率越接近1,椭圆越扁;椭圆的离心率越接近于0,椭圆就接近于圆。可以概括为:椭圆的离心率越大,椭圆越扁。
28、共渐近线的双曲线系方程为(为参数)。
29、设是椭圆上的任意一点(不在长轴上),、为左右焦点,则称为焦点三角形,,,,该三角形有如下性质:
(1)离心率:;
(2)面积:;
(3)旁切球:左右两个旁切球的球心都在直线上;
(4)设其内心为,连接PI并延长交长轴于点M,则有:;
(5)当且仅当点P在短轴端点时,最大,也最大。
30、设是双曲线上的任意一点(不在实轴上),、为左右焦点,,则的面积为。
31、椭圆内接三角形,四边形的面积最大问题
(1)椭圆内接三角形面积的最大值为:(当且仅当三角形的重心为椭圆的中心);
(2)椭圆内接四边形面积的最大值为:(当且仅当四边形的对角线为椭圆的一对共轭直径)
32、设M,N为椭圆上关于原点中心对称的两点,P为椭圆上异于M,N的任意一点,则。(双曲线中为:)
33、已知两点、及直线
(1)若点、在直线的同侧,则。
(2)若点、在直线的异侧,则。
34、已知点、及直线,点关于直线的对称点为,则有其中
35、在线性规划中,
(1)对形如型的目标函数,可变形为,看做直线在轴上的截距,问题转化为求纵截距范围或

(2)对形如型的目标函数,变形为的形式,将问题转化为求可行域内的点与点连线斜率的倍的范围;
(3)对形如型的目标函数,可化为的形式,将问题化归为求可行域内的点到直线距离的倍的最值。
36、在圆锥曲线中,求形如(是圆锥曲线内的一点,是圆锥曲线的一个焦点)的最值问题时,可利用圆锥曲线的第二定义将转化为圆锥曲线上的点到准线的距离。
有关线段和差关系的计算,可优先考虑圆锥曲线的第一定义。
37、凡是动点到圆上动点之间距离的最值,必过圆心时才能取得,应先求动点到圆心的最值,再加上或减去半径

扩展阅读

超越不等式

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师能够更轻松的上课教学。怎么才能让教案写的更加全面呢？下面是小编精心为您整理的“超越不等式”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

超越不等式
一,理论知识汇总
（一），分式不等式
1，注意通分合并
2，注意等价转化
f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)≥0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0

f(x)g(x)≤0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0

例:解关于x的不等式ax-1x+10.
解原不等式等价于(ax-1)(x+1)0
（1）当a=0时,原不等式为-(x+1)0解得x-1;
（2）当a0时,得1a0解得x-1或x1a
（3）当a0时,原不等式可化为(x-1a)(x+1)0
①若a=-1时,不等式无解;②若a-1时,1a-1,解得-1x1a;
③若-1a0时,1a-1解得1ax-1
综上所述：当a=0时,解集为(-∞,-1);当a0时,解集为(-∞,-1)∪(1a,+∞);
当a=-1时,解集为;当a-1时,解集为(-1,1a);当-1a0时,解集为(1a,-1).
（二），高次不等式
方法:先因式分解,再使用穿线法.
注意:(1)因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.
(2)恒正因式,可直接去掉.
(3)穿线法的使用对象及使用方法
使用对象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.
使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).
③数轴上方曲线对应区域使“”成立,下方曲线对应区域使“”成立.
例:解不等式x2-4x+13x2-7x+2≤1
解:变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0
根据穿线法如图

不等式解集为:{xx13或12≤x≤1或x2}.
（三）指数不等式?
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.?
a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);
0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x).
（四）对数不等式?
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.
a1时,logaf(x)logag(xf(x)g(x)0;
0a1时,logaf(x)logag(x)0f(x)g(x).
（五）三角不等式?
①形如:sinx≥a,sinx≤b及a≤sinx≤b的不等式,除了使用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于操作，操作程序如下：?
在同一坐标系中同时作出两个函数y1=sinx(0≤x≤2π)及y2=a(或b)(0≤x≤2π)图，得出满足x∈［0,2π］的不等式的解，然后利用函数的周期性，得出原不等式的解.?
②形如:cosx≥a,cosx≤b及a≤cosx≤b的不等式，除了使用单位圆求解之外，
还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于掌握，求解程序如下：?
在同一坐标系中同时作出两个函y1=cosx及y2=a(或y3=b),的图像，先得出满足条件x∈的不等式的解，然后利用函数的周期性得出原不等式的解.?
③形如:tanx≥a,tanx≤b及a≤tanx≤b的不等式,有直接的结论可用:?
tanx≥a的解集是:.
tanx≤b的解集是:.
a≤tanx≤b的解集是:［kπ+arctana,kπ+arctanb］,k∈Z.
练习：
1.不等式的解集是()?
?A.(,1)∪(1,10)B.(,1)∪(2,10)C.(,10)D.(1,+∞)
2.已知不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是?A.aB.a?C.0aD.a1?
3.不等式解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,-2)?
4.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)?C.(-4,2)?D.(-4,-2)?
5.若α∈(0,),则不等式的解集是()?
?A.(-1,)B.(,)?C.(-1,)D.(,1)
6.设A={x|lg(x-1)},B={x|≤lg(x-1)},则A∪B等于()?
?A.R?B.(1,+∞)?C.(1,)?D.(1,)
7.不等式1的解集为()?
?A.(0,)B.(,+∞)?C.(,1)?D.(0,)∪(1,+∞)
8.不等式的解集为()?
?A.(3,+∞)?B.(1,5)?C.(1,4)∪(4,5)?D.(3,4)∪(4,5)
9.若不等式x2-logmx0在(0,)范围内恒成立，则实数m的取值范围是()
A.?B.?C.?D.
10.不等式5x-3的解集是.
11.当0a1时,不等式:的解集为.
12.不等式sinx≤-的解集为.
13.不等式tan(x-)≥的解集为.
14，解不等式（1）(x+4)(x+5)2(2-x)30（2）x2-4x+13x2-7x+2≤1
15.解下列指数不等式:?
(1);(2)|2x-3|+4x-30.

16.解对数不等式:logx5-2logx3.?

17.解关于x的不等式:

18.解不等式:

不等式与不等关系

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助高中教师提高自己的教学质量。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“不等式与不等关系”，仅供参考，欢迎大家阅读。

§3.1不等式与不等关系（第2课时）
【学习目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【学习重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【学习难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。
一．知识归纳
1.性质：
2.请试着对上式的（6），（7）,(8)进行证明。

二．典例分析.
例1、已知求证：

例2、已知求的取值范围

例3、比较下列两个代数式值或者实数的大小。
（1）与（2）与
三．课堂检测
1.若a,b是任意实数，且ab,则（）
A．B．C．D．
2.设,则下列不等式中恒成立的是()
A．B．C．D．
3.若则的值为（）
A．大于0B．等于0C．小于0D．符号不能确定
4.设，则a与b的大小关系是（）
AabBabCa=bD与x的值有关
5.若2a3,-4b-3,则的取值范围是，的取值范围是.
6.当时，给出以下三个结论：①②③其中正确命题的序号是。
7.若则中最小的是。
8.已知2a3,-2b-1,求2a+b，3a-2b，ab，的取值范围

不等式

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？以下是小编收集整理的“不等式”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

第三章不等式
第一教时
教材：不等式、不等式的综合性质
目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。
过程：
一、引入新课
1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2．过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题
二、几个与不等式有关的名称（例略）
1．“同向不等式与异向不等式”
2．“绝对不等式与矛盾不等式”
三、不等式的一个等价关系（充要条件）
1．从实数与数轴上的点一一对应谈起
2．应用：例一比较与的大小
解：（取差）
∴
例二已知0,比较与的大小
解：（取差）
∵∴从而
小结：步骤：作差—变形—判断—结论
例三比较大小1．和
解：∵
∵
∴
2．和
解：（取差）∵
∴当时；当时=；当时
3．设且，比较与的大小
解：∴
当时≤；当时≥
四、不等式的性质
1．性质1：如果，那么；如果，那么（对称性）
证：∵∴由正数的相反数是负数
2．性质2：如果，那么（传递性）
证：∵，∴，
∵两个正数的和仍是正数∴
∴
由对称性、性质2可以表示为如果且那么
五、小结：1．不等式的概念2．一个充要条件
3．性质1、2
补充题：1．若，比较与的大小
解：=……=∴≥
2．比较2sin与sin2的大小(02)
略解：2sinsin2=2sin(1cos)
当(0,)时2sin(1cos)≥02sin≥sin2
当(,2)时2sin(1cos)02sinsin2
3．设且比较与的大小
解：
当时∴
当时∴
∴总有

均值不等式教案

教学设计
3．2均值不等式
整体设计
教学分析
均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．
本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．
鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系．

三维目标
1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．
2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．
3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．
重点难点
教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a＋b2≥ab的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．
教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a＋b2≥ab等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．
思路2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．
推进新课
新知探究
提出问题
1均值定理的内容是什么？怎样进行证明？2你能证明a2＋b2≥2ab吗？3你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？4均值不等式有哪些变形式？
活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a、b的a＋b2叫做数a、b的算术平均值，数ab叫做a、b的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．
利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：
∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，
当a≠b时，有(a－b)2＞0.
当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.
这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．
下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．
如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？
图1
(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)
这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD＝ab.或由射影定理也可得到CD＝ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长，a＋b2表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为：
a＋b2≥ab.
显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．
还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a＋b≥2ab或2ab≤a＋b等．
讨论结果：
(1)(2)略．
(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长．
(4)若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立；
若a、b∈R＋，则a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，式中等号成立；
若a、b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，式中等号成立．
应用示例
例1(教材本节例1)
活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的ba和ab相当于均值不等式中的a、b.因此必须有ba，ab∈R＋
点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.
变式训练
已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.
证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ca＞0.
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2ab2bc2ac＝8abc，
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.

例2已知(a＋b)(x＋y)＞2(ay＋bx)，求证：x－ya－b＋a－bx－y≥2.
活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意x－ya－b与a－bx－y互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x－ya－b与a－bx－y为正数开始证题．
证明：∵(a＋b)(x＋y)＞2(ay＋bx)，
∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx.
∴ax－ay＋by－bx＞0.
∴(ax－bx)－(ay－by)＞0.
∴(a－b)(x－y)＞0，
即a－b与x－y同号．
∴x－ya－b与a－bx－y均为正数．
∴x－ya－b＋a－bx－y≥2x－ya－ba－bx－y＝2(当且仅当x－ya－b＝a－bx－y时取“＝”)．
∴x－ya－b＋a－bx－y≥2.
点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断x－ya－b与a－bx－y是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．
例3若a＞b＞1，P＝lgalgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则()
A．R＜P＜QB．P＜Q＜R
C．Q＜P＜RD．P＜R＜Q
活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P、Q、R三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y＝lgx的单调性．
答案：B
解析：∵a＞b＞1，
∴lga＞lgb＞0.
∴12(lga＋lgb)＞122lgalgb，即Q＞P.
又∵a＋b2＞ab，
∴lga＋b2＞lgab＝12(lga＋lgb)．
∴R＞Q.故P＜Q＜R.
点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式．
例4(教材本节例2)
活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．
点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．
知能训练
1．“a＝18”是“对任意的正数x,2x＋ax≥1”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
答案：
1．A解析：一方面，当a＝18时，对任意的正数x，有2x＋ax＝2x＋18x≥1；另一方面，对任意正数x，都有2x＋ax≥1，只要2x＋ax≥22a≥1，即得a≥18.
2．[9，＋∞)解法一：令ab＝t(t＞0)，
由ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，得t2≥2t＋3，
解得t≥3，即ab≥3，故ab≥9.
解法二：由已知得ab－b＝a＋3，b(a－1)＝a＋3，
∴b＝a＋3a－1(a＞1)．
∴ab＝aa＋3a－1＝[(a－1)＋1]a＋3a－1＝a＋3＋a＋3a－1＝a－1＋4＋a－1＋4a－1
＝a－1＋4a－1＋5≥2a－14a－1＋5＝9.
当且仅当a－1＝4a－1时取等号，即a＝b＝3时，ab的最小值为9.
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a＋b与ab的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．
由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．
课堂小结
1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？
2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数(a＋b2)，几何平均数(ab)及它们的关系(a＋b2≥ab)．两关系式成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．
作业
习题3—2A组，4,5,6.习题3—2B组，1,2.
设计感想
1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x，y都是正数；②积xy(或和x＋y)为定值；③x与y必须能够相等．
2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)；二是均值不等式：如果a，b是正数，那么a＋b2≥ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．在这个不等式中，a＋b2为a，b的算术平均数，ab为a，b的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．
思路2.(直接导入)通过上节课a2＋b2≥2ab(a、b∈R)与a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆上节课探究的均值不等式，怎样理解均值不等式的意义？都有哪些变形？2均值不等式都有哪些方面的应用？3在应用均值不等式求最值时，应注意什么问题？
活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a2＋b2≥2ab的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与a2＋b2≥2ab都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b＝0，仍然能使a＋b2≥ab成立．
两个不等式中等号成立的条件都是a＝b，故a＝b是不等式中等号成立的充要条件．
在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．
本节课我们将进一步探究均值不等式的应用．
讨论结果：
(1)(2)略．
(3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”．
应用示例
例1(教材本节例3)
活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．
点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.
变式训练
函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则1m＋2n的最小值为________．
答案：8
解析：∵y＝loga(x＋3)－1恒过点(－2，－1)，∴A(－2，－1)．
又∵A在直线上，
∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.
又∵mn＞0，∴m＞0，n＞0.
而1m＋2n＝2m＋nm＋4m＋2nn
＝2＋nm＋2＋4mn≥4＋2×2＝8，
当n＝12，m＝14时取“＝”．
∴1m＋2n的最小值为8.

例2(1)已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；
(2)已知a、b为实数，求函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值．
活动：(1)因为4x－5＜0，所以首先要“调整”符号．又(4x－2)14x－5不是常数，所以应对4x－2进行拆(添)项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式m2＋n22≥(m＋n2)2更简捷．
解：(1)∵x＜54，∴5－4x＞0.
∴y＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．
∴当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵y＝(x－a)2＋(x－b)2＝(x－a)2＋(b－x)2
≥2[x－a＋b－x2]2＝a－b22，
当且仅当x－a＝b－x，即x＝a＋b2时，上式等号成立．
∴当x＝a＋b2时，ymin＝a－b22.
点评：若x、y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p.若p为定值，则当且仅当x＝y时，s的值最小；如果s为定值，则当且仅当x＝y时，p的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.
变式训练
已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是__________．
答案：3
解析：方法一：以CA、CB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB方程为x4＋y3＝1，设P(a，b)，则a4＋b3＝1(a＞0，b＞0)．
∴ab＝12a4b3≤12(a4＋b32)2＝3，
当且仅当“a＝4b3”时等号成立．
方法二：设P到BC的距离为a，到AC的距离为b.
由相似三角形易得a4＝PB5，b3＝PA5，
∴a4＋b3＝PB＋PA5＝1.以下解法同一．

例3当x＞－1时，求函数f(x)＝x2－3x＋1x＋1的值域．
活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)＝x2－3x＋1x＋1＝x＋12－5x＋1＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5.
这样就可以应用均值不等式了．
解：∵x＞－1，
∴x＋1＞0.
∴f(x)＝x2－3x＋1x＋1＝x＋12－5x＋1＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5≥2x＋15x＋1－5＝25－5，当且仅当(x＋1)2＝5时，即x＝5－1时取“＝”．
另一解x＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)．
点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.
变式训练
已知x1x2x3…x2006＝1，且x1、x2、x3、…、x2006都是正数，则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2006)的最小值是__________．
答案：22006
解析：∵x1＞0，则1＋x1≥2x1，
同理，1＋x2≥2x2，
……
1＋x2006≥2x2006，
各式相乘，得
(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2006)≥22006x1x2x3…x2006＝22006.
取“＝”的条件为x1＝x2＝x3＝…＝x2006＝1，
∴所求最小值为22006.

例4设0＜x＜2，求函数f(x)＝3x8－3x的最大值，并求相应的x值．试问0＜x＜43时，原函数f(x)有没有最大值？0＜x≤1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由．
活动：对本例中的函数可变形为f(x)＝24x－9x2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．
解：∵0＜x＜2，∴8－3x＞0.
∴f(x)＝3x8－3x≤3x＋8－3x22＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝43时取“＝”．
∴函数f(x)的最大值为4，此时x＝43.
又f(x)＝－9x2＋24x＝－3x－42＋16，
∴当0＜x＜43时，f(x)递增；当x＞43时，f(x)递减．
∴当0＜x＜43时，原函数f(x)没有最大值．
当0＜x≤1时，有最大值f(1)，即f(1)＝15
点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式．
知能训练
1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为()
A.25B.12C.22D．1
2．求函数y＝x＋1x(x＞0)的最小值，以及此时x的值．
3．已知x、y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
答案：
1．B解析：当x＝0时，f(x)＝0；当x＞0时，f(x)＝xx＋1＝1x＋1x≤12，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．
2．解：∵x＞0，∴x＋1x≥2x1x＝2，
当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．
∴当x＝1时，x＋1x的值最小，最小值是2.
3．解：由2x＋8y－xy＝0得y(x－8)＝2x.
∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0.
∴x＋y＝2xx－8＋x＝x－8＋16x－8＋10≥2x－816x－8＋10＝18，
当且仅当x－8＝16x－8，即x＝12时，x＋y取最小值18.
课堂小结
1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？
2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．
作业
习题3—2A组2、3、7、8、9；习题3—2B组3、4.
设计感想
1．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．
2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．
3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．
备课资料
一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)
(1)设a1，a2，a3，…，an为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即A＝a1＋a2＋…＋ann，G＝na1a2…an，即A≥G，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，A＝G.特别地，当n＝2时，a＋b2≥ab；当n＝3时，a＋b＋c3≥3abc.
(2)用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n个正数不全相等．不失一般性，设0＜a1≤a2≤…≤an，易证a1＜A＜an，且a1＜G＜an.在这n个数中去掉一个最小数a1，将a1换成A，再去掉一个最大数an，将an换成a1＋an－A，其余各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，…，an－1，a1＋an－A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A1，那么A1＝A＋a2＋a3＋…＋an－1＋a1＋an－An＝A，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为G1，则G1＝nAa2a3…an－1a1＋an－A，
∵A(a1＋an－A)－a1an＝(A－a1)(an－A)，由a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0，则A(a1＋an－A)＞a1an.∴Aa2a3…an－1(a1＋an－A)＞a1a2…an－1an，即G1＞G.
二、备用习题
1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()
A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3
2．若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝ab＋cd，Q＝ax＋cybx＋dy，则()
A．P＝QB．P＜QC．P≤QD．P≥Q
3．若函数y＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1fx的值域是()
A．[12，3]B．[2，103]
C．[52，103]D．[3，103]
4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．
5．直线l过点M(2,1)且分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，O为坐标原点，求△AOB面积最小时l的方程．
6．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝920vv2＋3v＋1600(v＞0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
参考答案：
1．C解析：对于选项C：a2＋b2＝a2＋b2＋a2＋b22≥a2＋b2＋2ab2＝a＋b22＝2.故C正确．
2．C解析：∵a、b、c、d、x、y是正实数，
∴Q＝ax＋cybx＋dy
＝ab＋cd＋adxy＋bcyx
≥ab＋cd＋2abcd
＝ab＋cd＝P.
3．B解析：令t＝f(x)，则t∈[12，3]．
∴F(x)＝G(t)＝t＋1t.该函数在t＝1处取得最小值2，在t＝3处取得最大值103.
故选B.
4．20解析：设一年总费用为y万元，则y＝4400x＋4x＝1600x＋4x≥21600x4x＝160，当且仅当1600x＝4x，即x＝20时，等号成立．
5．解：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k(k＜0)．
令x＝0，得y＝1－2k；
令y＝0，得x＝2k－1k＝2－1k.
∴S△AOB＝12(1－2k)(2－1k)＝2＋1－2k＋(－2k)．
∵k＜0，∴－2k＞0.
∴S△AOB≥2＋2＝4，当且仅当－12k＝－2k，即k＝－12时取等号．
此时l的方程为y＝－12x＋2.
6．解：(1)依题意，得y＝9203＋v＋1600v≤9203＋21600＝92083，
当且仅当v＝1600v，即v＝40时，上式等号成立，
所以ymax＝92083≈11.1(千辆/时)．
(2)由条件得920vv2＋3v＋1600＞10，
整理，得v2－89v＋1600＜0，
即(v－25)(v－64)＜0，
解得25＜v＜64.
答：当v＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．