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高中不等式教案

发表时间:2020-10-31

不等式与不等关系。

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划,作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容,帮助高中教师提高自己的教学质量。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢?考虑到您的需要,小编特地编辑了“不等式与不等关系”,仅供参考,欢迎大家阅读。

§3.1不等式与不等关系(第2课时)
【学习目标】
1.知识与技能:掌握不等式的基本性质,会用不等式的性质证明简单的不等式;
2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法;
3.情态与价值:通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【学习重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式;
【学习难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。
一.知识归纳
1.性质:
2.请试着对上式的(6),(7),(8)进行证明。

二.典例分析.
例1、已知求证:

例2、已知求的取值范围

例3、比较下列两个代数式值或者实数的大小。
(1)与(2)与
三.课堂检测
1.若a,b是任意实数,且ab,则()
A.B.C.D.
2.设,则下列不等式中恒成立的是()
A.B.C.D.
3.若则的值为()
A.大于0B.等于0C.小于0D.符号不能确定
4.设,则a与b的大小关系是()
AabBabCa=bD与x的值有关
5.若2a3,-4b-3,则的取值范围是,的取值范围是.
6.当时,给出以下三个结论:①②③其中正确命题的序号是。
7.若则中最小的是。
8.已知2a3,-2b-1,求2a+b,3a-2b,ab,的取值范围

精选阅读

《不等关系与不等式》教学反思


一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划,教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课,使教师有一个简单易懂的教学思路。教案的内容要写些什么更好呢?下面的内容是小编为大家整理的《不等关系与不等式》教学反思,仅供参考,欢迎大家阅读。

《不等关系与不等式》教学反思

十月十一日早上,第三节课我上了公开课《不等关系与不等式》第一节。由于课间操的延迟,导致本节课准备的三个内容,只完成了其中的两个。

本节课内容虽说简单,就是不等关系的表示,两个数大小的比较,以及不等式的性质。其中后两个是重点,同时也是难点。但我教的对象,是高二年级基础最差的学生,所以对他们来时。刚脱离《数列》学习的苦海,又再次进入《不等式》的火海之中,对于他们来说一样是煎熬。

不等关系的表示掌握还算凑合,课本上的内容感觉也是一知半解,由于时间(课间操耽误了十分钟)紧的缘故,原本计划中的第六题我删除了,两位数的表示怕学生一时半会还难以理解。原本的两个实数比较大小,只是简单说了下依据,具体两个代数式比较大小例题也没来得及讲,学生的练习更谈不上。另一个重点不等式的性质,学生的理解也是一知半解,懵懵懂懂。遇到具体的应用,学生把刚才的性质又抛到九霄云外,凭空想象人云亦云,似乎根本与性质又联系不起来。不等式刚才强调了同向不等式可以相加不能相减,但如ab,cb-d,遇到负号不知道转化为减去一个数等于加上这个数的相反数,几乎全班学生都在纠结之中,不知如何去做;诸如ab0,cbd同样也在纠结之中,同正同向不等式刚才强调只能相乘不能相除,但遇到不同向,不同正就又不会转化。学生的现状真是让人崩溃,

课后同仁热评,感觉存在以下几个问题

1、《不等关系与不等式》教学后的总结反思的教学,强调不够,只是轻描淡写一语而过,没有具体说明二者的区别。

2、不等关系的表示何时用“大括号”何时用“或”没有说清楚,有的同学在做第四小题时,用逗号模棱两可。

3、同一习题演板人过多,显得凌乱。

4、学生的做题格式板书强调不够,学生做的不整齐,也没指出。

通过同仁的热议和自己的反思,感觉自己在备课上还下的不够,没有吃透学生,对学生基础薄弱视而不见,淡化了本该强调的内容;同时对学生存在的问题熟视无睹,没有指出存在的问题使他们及时纠正养成书写的规范。教学不仅仅是传授知识,对于他们好的学习习惯的养成也不可忽视。

不等式证明


题目第六章不等式不等式的证明
高考要求
1.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题;
2.掌握用“分析法”证明不等式;理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围
3.搞清分析法证题的理论依据,掌握分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和具体证明方法和步骤
4通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力;能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题
知识点归纳
不等式的证明方法
(1)比较法:作差比较:
作差比较的步骤:
①作差:对要比较大小的两个数(或式)作差
②变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和
③判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号
注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小
(2)综合法:由因导果
(3)分析法:执果索因基本步骤:要证……只需证……,只需证……
①“分析法”证题的理论依据:寻找结论成立的充分条件或者是充要条件
②“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行表达
(4)反证法:正难则反
(5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
放缩法的方法有:
①添加或舍去一些项,如:;;
②将分子或分母放大(或缩小)
③利用基本不等式,
如:;
④利用常用结论:
Ⅰ、;
Ⅱ、;(程度大)
Ⅲ、;(程度小)
(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元如:
已知,可设;
已知,可设();
已知,可设;
已知,可设;
(7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;
证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.
数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究
题型讲解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖,假如再添上m克糖,糖水会变得更甜,试将这一事实用数学关系式反映出来,并证明之
分析:本例反映的事实质上是化学问题,由浓度概念(糖水加糖甜更甜)可知
解:由题意得
证法一:(比较法)
,,
证法二:(放缩法)

证法三:(数形结合法)如图,在RtABC及RtADF中,
AB=a,AC=b,BD=m,作CE∥BD

例2已知a,b∈R,且a+b=1
求证:
证法一:(比较法)
即(当且仅当时,取等号)
证法二:(分析法)
因为显然成立,所以原不等式成立
点评:分析法是基本的数学方法,使用时,要保证“后一步”是“前一步”的充分条件
证法三:(综合法)由上分析法逆推获证(略)
证法四:(反证法)假设,

由a+b=1,得,于是有
所以,
这与矛盾
所以
证法五:(放缩法)∵
∴左边=
=右边
点评:根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点,选用基本不等式
证法六:(均值换元法)∵,
所以可设,,
∴左边=
=右边
当且仅当t=0时,等号成立
点评:形如a+b=1结构式的条件,一般可以采用均值换元
证法七:(利用一元二次方程根的判别式法)
设y=(a+2)2+(b+2)2,
由a+b=1,有,
所以,
因为,所以,即

例3设实数x,y满足y+x2=0,0a1求证:
证明:(分析法)要证,
,只要证:,
又,
只需证:
∴只需证,
即证,此式显然成立
∴原不等式成立
例4设m等于,和1中最大的一个,当时,求证:
分析:本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于,和1中最大的一个”翻译为符号语言“,,”,从而知
证明:(综合法),
例5已知
的单调区间;
(2)求证:
(3)若求证:
解:(1)对已知函数进行降次分项变形,得,
(2)∵




点评:函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值
小结:
1.掌握好不等式的证明,不等式的证明内容甚广,证明不但用到不等式的性质,不等式证明的技能、技巧,还要注意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合,与“二次曲线”的结合,与“三角函数”的结合,与“一元二次方程,一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约,这些也是近年命题的重点
2在不等式证明中还要注意数学方法,如比较法(包括比差和比商)、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等,还要注意一些数学技巧,如数形结合、放缩、分类讨论等
3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时,常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法,即欲证
4基本思想、基本方法:
⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法
⑵用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法
⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”,从所证的不等式出发,不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式,直至找到显然成立的不等式,书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用,两个重要策略原则是:
正难则反原则:若从正面考虑问题比较难入手时,则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法,即我们常说的逆向思维,由结论向条件追溯
简单化原则:寻求解题思路与途径,常把较复杂的问题转化为较简单的问题,在证明较复杂的不等式时,可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化,得到一个较易证明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法
⑸换元法(主要指三角代换法)多用于条件不等式的证明,此法若运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化成简单的三角问题
⑹含有两上字母的不等式,若可化成一边为零,而另一边是关于某字母的二次式时,这时可考虑判别式法,并注意根的取值范围和题目的限制条件
⑺有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证,放缩时要看准目标,做到有的放矢,注意放缩适度
学生练习
1设,求证:
证明:
=
=
=
,则
故原不等式成立
点评:(1)三元因式分解因式,可以排列成一个元的降幂形式:
(2)用比较法证不等式,关键在于作差(或商)后结式了进行变形,常见的变形是通分、因式分解或配方
2己知都是正数,且成等比数列,
求证:
证明:
成等比数列,
都是正数,
点评:两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征,除了通分、因式分解或配方法,局部运用基本不等式,也是用比较法证不等式时的一种常用手段
3己知函数,当满足时,证明:对于任意实数都成立的充要条件是
证明:
(1)若,则
(2)当时,
故原命题成立
4.比较的大小(其中0x1)
解:-=0(比差)
5
6
证明:
7.若,求证ab与不能都大于
证明:假设ab,(1-a)(1-b)都大于
8.已知:a3+b3=2,求证:a+b
证明:假设a+b2则b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
与已知相矛盾,所以,a+b
9
10
11
13设都正数,求证:
证明:

14设且,求证:
证法1若,,
这与矛盾,
同理可证
证法2由知
15有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食,他们共购粮三次,各次的粮食价格不同,甲每次购粮10000千克,乙每次购粮10000元三次后统计,谁购的粮食平均价低?为什么?
解:设第一、二、三次的粮食价格分别为元/千克、元/千克、元/千克,,则甲三次购粮的平均价格为,乙三次购粮的平均价格为,因为
所以乙购的粮食价格低
说明“各次的粮食价格不同”,必须用字母表示,这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应该从式的特征联想到用基本不等式进行变换

课前后备注

超越不等式


一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性,教师要准备好教案,这是教师需要精心准备的。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动,帮助教师能够更轻松的上课教学。怎么才能让教案写的更加全面呢?下面是小编精心为您整理的“超越不等式”,欢迎大家阅读,希望对大家有所帮助。

超越不等式
一,理论知识汇总
(一),分式不等式
1,注意通分合并
2,注意等价转化
f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)≥0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0

f(x)g(x)≤0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0

例:解关于x的不等式ax-1x+10.
解原不等式等价于(ax-1)(x+1)0
(1)当a=0时,原不等式为-(x+1)0解得x-1;
(2)当a0时,得1a0解得x-1或x1a
(3)当a0时,原不等式可化为(x-1a)(x+1)0
①若a=-1时,不等式无解;②若a-1时,1a-1,解得-1x1a;
③若-1a0时,1a-1解得1ax-1
综上所述:当a=0时,解集为(-∞,-1);当a0时,解集为(-∞,-1)∪(1a,+∞);
当a=-1时,解集为;当a-1时,解集为(-1,1a);当-1a0时,解集为(1a,-1).
(二),高次不等式
方法:先因式分解,再使用穿线法.
注意:(1)因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.
(2)恒正因式,可直接去掉.
(3)穿线法的使用对象及使用方法
使用对象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.
使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).
③数轴上方曲线对应区域使“”成立,下方曲线对应区域使“”成立.
例:解不等式x2-4x+13x2-7x+2≤1
解:变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0
根据穿线法如图

不等式解集为:{xx13或12≤x≤1或x2}.
(三)指数不等式?
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.?
a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);
0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x).
(四)对数不等式?
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.
a1时,logaf(x)logag(xf(x)g(x)0;
0a1时,logaf(x)logag(x)0f(x)g(x).
(五)三角不等式?
①形如:sinx≥a,sinx≤b及a≤sinx≤b的不等式,除了使用单位圆求解之外,还可以用“图像法”求解,两者比较,“图像法”易于操作,操作程序如下:?
在同一坐标系中同时作出两个函数y1=sinx(0≤x≤2π)及y2=a(或b)(0≤x≤2π)图,得出满足x∈[0,2π]的不等式的解,然后利用函数的周期性,得出原不等式的解.?
②形如:cosx≥a,cosx≤b及a≤cosx≤b的不等式,除了使用单位圆求解之外,
还可以用“图像法”求解,两者比较,“图像法”易于掌握,求解程序如下:?
在同一坐标系中同时作出两个函y1=cosx及y2=a(或y3=b),的图像,先得出满足条件x∈的不等式的解,然后利用函数的周期性得出原不等式的解.?
③形如:tanx≥a,tanx≤b及a≤tanx≤b的不等式,有直接的结论可用:?
tanx≥a的解集是:.
tanx≤b的解集是:.
a≤tanx≤b的解集是:[kπ+arctana,kπ+arctanb],k∈Z.
练习:
1.不等式的解集是()?
?A.(,1)∪(1,10)B.(,1)∪(2,10)C.(,10)D.(1,+∞)
2.已知不等式对一切实数x都成立,则实数a的取值范围是?A.aB.a?C.0aD.a1?
3.不等式解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,-2)?
4.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)?C.(-4,2)?D.(-4,-2)?
5.若α∈(0,),则不等式的解集是()?
?A.(-1,)B.(,)?C.(-1,)D.(,1)
6.设A={x|lg(x-1)},B={x|≤lg(x-1)},则A∪B等于()?
?A.R?B.(1,+∞)?C.(1,)?D.(1,)
7.不等式1的解集为()?
?A.(0,)B.(,+∞)?C.(,1)?D.(0,)∪(1,+∞)
8.不等式的解集为()?
?A.(3,+∞)?B.(1,5)?C.(1,4)∪(4,5)?D.(3,4)∪(4,5)
9.若不等式x2-logmx0在(0,)范围内恒成立,则实数m的取值范围是()
A.?B.?C.?D.
10.不等式5x-3的解集是.
11.当0a1时,不等式:的解集为.
12.不等式sinx≤-的解集为.
13.不等式tan(x-)≥的解集为.
14,解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)30(2)x2-4x+13x2-7x+2≤1
15.解下列指数不等式:?
(1);(2)|2x-3|+4x-30.

16.解对数不等式:logx5-2logx3.?

17.解关于x的不等式:

18.解不等式:

不等式


一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备,高中教师在教学前就要准备好教案,做好充分的准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收,帮助高中教师能够井然有序的进行教学。你知道怎么写具体的高中教案内容吗?以下是小编收集整理的“不等式”,供大家参考,希望能帮助到有需要的朋友。

第三章不等式
第一教时
教材:不等式、不等式的综合性质
目的:首先让学生掌握不等式的一个等价关系,了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。
过程:
一、引入新课
1.世界上所有的事物不等是绝对的,相等是相对的。
2.过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题
二、几个与不等式有关的名称(例略)
1.“同向不等式与异向不等式”
2.“绝对不等式与矛盾不等式”
三、不等式的一个等价关系(充要条件)
1.从实数与数轴上的点一一对应谈起
2.应用:例一比较与的大小
解:(取差)

例二已知0,比较与的大小
解:(取差)
∵∴从而
小结:步骤:作差—变形—判断—结论
例三比较大小1.和
解:∵


2.和
解:(取差)∵
∴当时;当时=;当时
3.设且,比较与的大小
解:∴
当时≤;当时≥
四、不等式的性质
1.性质1:如果,那么;如果,那么(对称性)
证:∵∴由正数的相反数是负数
2.性质2:如果,那么(传递性)
证:∵,∴,
∵两个正数的和仍是正数∴

由对称性、性质2可以表示为如果且那么
五、小结:1.不等式的概念2.一个充要条件
3.性质1、2
补充题:1.若,比较与的大小
解:=……=∴≥
2.比较2sin与sin2的大小(02)
略解:2sinsin2=2sin(1cos)
当(0,)时2sin(1cos)≥02sin≥sin2
当(,2)时2sin(1cos)02sinsin2
3.设且比较与的大小
解:
当时∴
当时∴
∴总有