高中不等式教案

发表时间：2020-11-24

不等式的实际应用教案。

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师营造一个良好的教学氛围。那么如何写好我们的教案呢？以下是小编收集整理的“不等式的实际应用教案”，相信您能找到对自己有用的内容。

教学设计
3.4不等式的实际应用
整体设计
教学分析
生活中的许多实际问题，通过设未知数将其数学化，便可以应用不等式的知识求解．不等式有着丰富的实际背景．本节通过具体问题的分析，总结归纳解实际问题的一般程序：设未知数，分析数量关系，列方程和不等式，最后求解．注意培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．本节练习、习题都很基础，要求A组全做，B做选做．
通过本节学习，让学生进一步理解数学在实际中的应用，理解一些数学方法和数学思想，拓宽学生的数学视野．把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述刻画问题的一种数学模型．
三维目标
1．通过具体问题的探究，了解不等式(组)产生的实际背景，掌握解决实际问题的一般程序和一些典型实际问题的解法．
2．通过具体问题的分析解决，提高学生分析问题和解决问题的能力．认识不等式的优化思想．
3．通过对生活中熟悉的实际问题的解决，激发学生学习的热情．培养学生严肃认真的科学态度，同时感受数学的应用性．
重点难点
教学重点：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．掌握一些典型实际问题的解法．
教学难点：用不等式(组)表示实际问题中的数量关系．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(直接引入)许多实际问题，通过设未知数将其数学化，便可以应用不等式的知识求解．本节我们将用不等式的知识来探究一些实际问题．
思路2.(章头图引入)章头插图的人造卫星，高低不一的雄伟大楼的壮观画面，它将我们带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然中．使学生在具体情境中感受到不等关系的大量存在．那么我们怎样用不等式的知识表示实际问题呢？由此进入新课．
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆本章第一节所学，怎样利用不等式表示不等关系？2解决实际问题的一般程序是什么？3我们都学习了不等式的哪些性质？
活动：教师利用多媒体演示章头图的画面．引导学生回忆前面所学，对现实世界中普遍存在的不等关系，怎样用数学式子表示出来，并从理性的角度去思考、去分析．我们在考察事物之间的数量关系时，经常要对数量的大小进行比较，如每个家庭食品消费额的年平均增长率至多至少问题，容器的容积最大问题，商品的最高最低定价问题等．这些问题的解决都需用不等式的知识．接着教师引导学生回忆前面学过的不等式的性质，以及如何用数学知识解决实际问题．
讨论结果：
(1)(3)略．
(2)解决实际问题的一般程序是：设出未知数，分析数量间的关系，列出方程或不等式，解决这个数学问题．其中的关键是建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量之间的不等关系．
应用示例
例1(教材本节例1)
活动：教师引导学生将题目中的窗户面积和占地面积用字母a、b表示出来，再用字母m表示出窗户和占地所增加的面积．这样只要比较增加前和增加后窗户的总面积与占地面积的比值的大小，即可作出正确的判断．
点评：由本例可得出一般结论：设a＞0，b＞0，且a＜b，m＞0，则a＋mb＋m＞ab.
变式训练
某种商品原来定价为每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成(即x10，0＜x≤10)，每月卖出数量减少y成，而售货金额变成原来的z倍．若y＝23x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围．
解：依题意涨价后的售货金额为npz＝p(1＋x10)n(1－y10)．
由售货金额比原来有所增加，
则np(1＋x10)(1－y10)＞np.
∵n＞0，p＞0，y＝23x，∴(1＋x10)(1－115x)＞1.
整理得x2－5x＜0，解这个一元二次不等式，得0＜x＜5.
又∵0＜x≤10，∴0＜x＜5.故x的取值范围是{x|0＜x＜5}.

例2(教材本节例2)
活动：教师引导学生理清问题的情境，并尝试着用数学语言将其表示出来．这是所有实际问题使学生感到困惑的地方．如本例中教师引导学生分析：若桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药后再用水加满，这时桶内纯农药药液占容积的x－8x.同样第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药药液为4x－8x，此时桶内还有纯农药药液[(x－8)－4x－8x]升．这样，问题就很自然地转化为一个数学不等式问题．
点评：学生或许熟悉解决实际问题的一般步骤或者一般程序，但解决问题的重点应放在怎样选用合适的字母表示出题中给出的不等量关系，进而列出关于未知数的不等式(组)．注意文字语言和符号语言的转换.
变式训练
一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系：y＝－2x2＋220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？
活动：本例设在一星期内大约应该生产x辆摩托车，则可得一元二次不等式x2－110x＋3000＜0，解这个一元二次不等式即可．
解：设在一星期内大约应该生产x辆摩托车．根据题意，能得到－2x2＋220x＞6000.移项、整理，得x2－110x＋3000＜0.因为Δ＝100＞0，所以方程x2－110x＋3000＝0有两个实数根x1＝50，x2＝60，然后，画出二次函数y＝x2－110x＋3000，由图象得不等式的解集为{x|50＜x＜60}．因为x只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益.

例3(教材本节例3)
活动：根据上例，教师引导学生将这个实际问题转化为数学问题：(1)设出食品消费额的年平均增长率为x(x＞0)，(2)到2005年的食品消费额为0.6(1＋x)2(万元)，(3)消费支出总额为1＋2×0.3＝1.6(万元)．这样根据恩格尔系数η的计算公式η＝食品消费额消费支出总额×100%，就很容易列出不等式了．
点评：本题采用了“化整为零”的办法，即逐条分析转化．对此类问题的解决，应注意将一个大问题化成若干个小问题的思维习惯，不要被问题的表面形式所迷惑.
变式训练
国家计划以2400元/t的价格收购某种农产品mt，按规定，农民向国家纳税为每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)，为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
活动：本例是一道实际应用题，其关键是把文字语言转化为数学语言：(1)“税率降低x个百分点”，即调低后税率为(8－x)%；(2)“收购量能增加2x个百分点”，这时总收购价为2400m(1＋2x%)元；(3)“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，“税收总收入”≥2400m×8%×78%.
解：设税率调低后的“税收总收入”为y元．根据题意，得y＝2400m(1＋2x%)(8－x)%＝－1225m(x2＋42x－400)(0＜x≤8)．
∴y≥2400m×8%×78%，
即－1225m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%.
∴x2＋42x－88≤0.
解这个一元二次不等式，得－44≤x≤2.又∵0＜x≤8，∴0＜x≤2.

知能训练
某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)sm和汽车车速xkm/h有如下关系：s＝120x＋1180x2.
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01km/h)

解：设这辆汽车刹车前的车速至少为xkm/h，
根据题意，得120x＋1180x2＞39.5，
移项、整理，得x2＋9x－7110＞0.
因为Δ＞0，方程x2＋9x－7110＝0有两个实数根，即x1≈－88.94，x2≈79.94.
然后，画出二次函数y＝x2＋9x－7110，由图象得不等式的解集为{x|x＜－88.94或x＞79.94}．
在这个实际问题中x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
课堂小结
1．由学生自己理顺整合本节所学知识方法，归纳总结利用不等式解决实际问题的方法步骤，感悟突破难点的探究过程．
2．教师进一步强调，解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数．再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．然后解所列的不等式(组)，最后再结合问题的实际意义写出答案．
作业
习题3—4A组1～4；习题3—4B组1.
设计感想
1．本节设计重视了不等式与其他内容的交汇．应用不等式知识可以解决许多实际问题，在解决这些问题时，关键是把实际问题转化为不等式问题．
2．对于实际应用问题，要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物本身的主要特征与关系，建立起能够反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决问题．
3．许多实际问题可用不等式解决，这类问题涉及的范围极为广泛，本节没有纵向拓展，让学生在今后的学习中注意归纳整合．

扩展阅读

不等式教案

1、(、)。
2、(、,)(当且仅当时取等号)。
3、若、、且,则(真分数的分子分母加上同一个正数,值变大)。
4、若、、且,则。
5、。
6、一个重要的均值不等式链:设,则有(当且仅当时取等号)。
7、若已知条件中含有或隐含着或这一信息,常常可以设用这种和式增量法来证明不等式、求值、或比较大小。
8、不等式证明常用的放缩方法:
(1);
(2)。
七、解析几何:
1、两条平行直线和之间的距离为。
2、直线过定点,且点在圆内,则与圆必相交。
过圆内一点的弦长,以直径为最大,垂直于(为圆心)的弦为最小。
3、直线在轴、轴上的截距相等包含有直线过原点这一特殊情况。
4、直线过定点时,根据情况有时可设其方程为(时直线)应用点斜式解题,应检验直线斜率不存在的情况。
5、已知圆的方程是和点,若点是圆上的点,则方程表示过点的圆的切线方程;若点在圆外,则方程表示过点向圆所作的两条切线的切点所在的直线方程(又称切点弦方程)。
6、过圆上一点的圆的切线方程是:
。
7、圆和相交于、两点,则直线为这两圆的根轴,其方程为(即为公共弦所在的直线方程。利用此法,可以推导圆的切点弦方程)。
8、已知一个圆的直径端点是、,则圆的方程是:
。
9、给一定点和椭圆:,、分别为左右焦点,有如下性质:
(1)若点在椭圆上,则,(由椭圆第二定义推出);
(2)若点在椭圆上,过这一点的椭圆的切线方程则可表示为:;
(3)若点在椭圆外,则这一点对应的椭圆的切点弦可表示为:;
(4)若点在椭圆内,则这一点对应的椭圆的极线可表示为:;
补充:直线与椭圆相切的充要条件是:
。
10、三种圆锥曲线的通径(通径是最短的焦点弦):
(1)椭圆的通径长为;
(2)双曲线的通径长为;
(3)抛物线的通径长为。
11、双曲线的焦半径公式:点为双曲线上任意一点,、分别为左右焦点
(1)若在右支上,则,;
(2)若在左支上,则,。
12、双曲线标准方程(焦点在轴或轴上)的统一形式为(),双曲线的渐近线方程为,也可记作。
13、过抛物线的焦点且倾斜角为的弦,时,最短弦长为,即为抛物线的通径。
14、圆锥曲线中几条特殊的垂直弦和定点弦:
(1)过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦,则弦过定点;
(2)过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦,点分别为的中点,则直线过定点;
(3)过抛物线上一点作两条互相垂直的弦,则弦过定点;
(4)过椭圆的中心作两条相互垂直的弦,则原点到弦AB的距离为定值:,且(此时弦AB最短),(此时弦AB最长);
(5)过椭圆的右顶点作两条相互垂直的弦,则弦MN过定点:;
(6)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的弦,点分别为的中点,则直线MN过定点:;
(7)过双曲线的中心作两条相互垂直的弦,则原点到弦AB的距离为定值:;
15、过抛物线上一点的焦半径;若、是过焦点弦的端点,,则:
(1),;
(2);
(3)(为直线与轴的夹角);
(4)若、在准线上的射影分别为、,则;
(5)以焦点弦为直径的圆与准线相切,切点为的中点;
(6)以焦半径为直径的圆与轴相切;
(7)以为直径的圆与焦点弦相切,切点为焦点F;
16、过抛物线的准线与对称轴的交点作抛物线的两条切线,则切点弦长等于该抛物线的通径。过抛物线的对称轴上任意一点作抛物线的切线,切点分别为、,则直线过定点。
17、由抛物线焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行抛物线的轴。
18、若双曲线的两条渐近线方程分别为,则对应双曲线方程可设为为为参数)。
19、等轴双曲线的离心率;双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长。
20、若一直线被双曲线及两条渐近线所截,则夹在双曲线与渐近线间的线段长相等。
21、点与圆锥曲线的位置关系:
(1)若点在抛物线内部,则。
若点在抛物线外部,则;
(2)若点在内部,则。
若点在外部,则;
(3)双曲线内的点(指点在双曲线弧内),满足;
双曲线外的点(指点在双曲线弧外),满足。
22、若直线与二次曲线交于、两点,则由:
,知直线与二次曲线相交所截得的弦长:
其中(涉及直线与二次曲线相交的位置关系应注意,还需要注意圆锥曲线本身的范围。若求弦所在直线的斜率常用点差法)。
23、中心在原点的椭圆、双曲线方程(焦点位置不定)可设为(其中且时为椭圆,时为双曲线)。
24、圆锥曲线的参数方程:
(1)椭圆的参数方程为(为参数);
(2)双曲线的参数方程为(为参数);
(3)抛物线的参数方程为(为参数)。
25、若为椭圆上任一点,、为焦点,为短轴的一个端点,则(证明用到椭圆定义、余弦定理)。
26、与直线平行的直线系方程为(参数);
与直线垂直的直线系方程为(为参数)。
27、共离心率的椭圆系方程为(为参数)。椭圆的离心率越接近1,椭圆越扁;椭圆的离心率越接近于0,椭圆就接近于圆。可以概括为:椭圆的离心率越大,椭圆越扁。
28、共渐近线的双曲线系方程为(为参数)。
29、设是椭圆上的任意一点(不在长轴上),、为左右焦点,则称为焦点三角形,,,,该三角形有如下性质:
(1)离心率:;
(2)面积:;
(3)旁切球:左右两个旁切球的球心都在直线上;
(4)设其内心为,连接PI并延长交长轴于点M,则有:;
(5)当且仅当点P在短轴端点时,最大,也最大。
30、设是双曲线上的任意一点(不在实轴上),、为左右焦点,,则的面积为。
31、椭圆内接三角形,四边形的面积最大问题
(1)椭圆内接三角形面积的最大值为:(当且仅当三角形的重心为椭圆的中心);
(2)椭圆内接四边形面积的最大值为:(当且仅当四边形的对角线为椭圆的一对共轭直径)
32、设M,N为椭圆上关于原点中心对称的两点,P为椭圆上异于M,N的任意一点,则。(双曲线中为:)
33、已知两点、及直线
(1)若点、在直线的同侧,则。
(2)若点、在直线的异侧,则。
34、已知点、及直线,点关于直线的对称点为,则有其中
35、在线性规划中,
(1)对形如型的目标函数,可变形为,看做直线在轴上的截距,问题转化为求纵截距范围或

(2)对形如型的目标函数,变形为的形式,将问题转化为求可行域内的点与点连线斜率的倍的范围;
(3)对形如型的目标函数,可化为的形式,将问题化归为求可行域内的点到直线距离的倍的最值。
36、在圆锥曲线中,求形如(是圆锥曲线内的一点,是圆锥曲线的一个焦点)的最值问题时,可利用圆锥曲线的第二定义将转化为圆锥曲线上的点到准线的距离。
有关线段和差关系的计算,可优先考虑圆锥曲线的第一定义。
37、凡是动点到圆上动点之间距离的最值,必过圆心时才能取得,应先求动点到圆心的最值,再加上或减去半径

不等式的性质

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是由小编为大家整理的“不等式的性质”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

不等式的性质教学目标
1.理解不等式的性质,把握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系,并把握它们的证实方法以及功能、运用;
2.把握两个实数比较大小的一般方法;
3.通过不等式性质证实的学习,提高学生逻辑推论的能力;
4.提高本节内容的学习,;培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度;
教学建议
1.教材分析
(1)知识结构
本节首先通过数形结合,给出了比较实数大小的方法,在这个基础上,给出了不等式的性质,一共讲了五个定理和三个推论,并给出了严格的证实。
知识结构图
(2)重点、难点分析
在“不等式的性质”一节中,联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法,复习了初中学过的不等式的基本性质。
不等式的性质是穿越本章内容的一条主线,无论是算术平均数与几何平均数的定理的证实及其应用,不等式的证实和解一些简单的不等式,无不以不等式的性质作为基础。
本节的重点是比较两个实数的大小,不等式的五个定理和三个推论;难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。
①比较实数的大小
教材运用数形结合的观点,从实数与数轴上的点一一对应出发,与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。
指出比较两实数大小的方法是求差比较法:
比较两个实数a与b的大小,归结为判定它们的差a-b的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.
②理清不等式的几个性质的关系
教材中的不等式共5个定理3个推论,是从证实过程安排顺序的.从这几个性质的分类来说,可以分为三类:
(Ⅰ)不等式的理论性质:(对称性)
(传递性)
(Ⅱ)一个不等式的性质:
(n∈N,n1)
(n∈N,n1)
(Ⅲ)两个不等式的性质:
2.教法建议
本节课的核心是培养学生的变形技能,练习学生的推理能力.为今后证实不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础.
授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问(即:设疑);对教学难点,再由讲授形式解决疑问.(即:解疑).主要思路是:教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑.
教学过程可分为:发现定理、定理证实、定理应用,采用由形象思维到抽象思维的过渡,发现定理、证实定理.采用类比联想,变形转化,应用定理或应用定理的证实思路;解决一些较简单的证实题.
第一课时
教学目标
1.把握实数的运算性质与大小顺序间关系;
2.把握求差法比较两实数或代数式大小;
3.强调数形结合思想.
教学重点
比较两实数大小
教学难点
理解实数运算的符号法则
教学方法
启发式
教学过程
一、复习回顾
我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如,在右图中,点A表示实数,点B表示实数,点A在点B右边,那么.
我们再看右图,表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地:
若,则是正数;逆命题也正确.
类似地,若,则是负数;若,则.它们的逆命题都正确.
这就是说:(打出幻灯片1)
由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了,这也是我们这节课将要学习的主要内容.
二、讲授新课
1.比较两实数大小的方法——求差比较法
比较两个实数与的大小,归结为判定它们的差的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.
接下来,我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.
2.例题讲解
例1比较与的大小.
分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判定差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
解:
∴
例2已知,比较(与的大小.
分析:此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有一定的限制,应该在对差值正负判定时引起注重,对于限制条件的应用经常被学生所忽略.
由得,从而
请同学们想一想,在例2中,假如没有这个条件,那么比较的结果如何?
(学生回答:若没有这一条件,则,从而大于或等于)
为了使大家进一步把握求差比较法,我们来进行下面的练习.
三、课堂练习
1.比较的大小.
2.假如,比较的大小.
3.已知,比较与的大小.
要求:学生板演练习,老师讲评,并强调学生注重加限制条件的题目.
课堂小结
通过本节学习,大家要明确实数运算的符号法则,把握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.
课后作业
习题6.11,2,3.
板书设计
§6.1.1不等式的性质
1.求差比较法例1学生
……
例2板演

不等式证明

题目第六章不等式不等式的证明
高考要求
1．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；
2．掌握用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围
3．搞清分析法证题的理论依据，掌握分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和具体证明方法和步骤
4通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题
知识点归纳
不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较：
作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小
（2）综合法：由因导果
（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达
（4）反证法：正难则反
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
放缩法的方法有：
①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）
③利用基本不等式，
如：；
④利用常用结论：
Ⅰ、；
Ⅱ、；（程度大）
Ⅲ、；（程度小）
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：
已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
已知，可设；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究
题型讲解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之
分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由题意得
证法一：（比较法）
，，
证法二：（放缩法）
，
证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2已知a，b∈R，且a+b=1
求证：
证法一：（比较法）
即（当且仅当时，取等号）
证法二：（分析法）
因为显然成立，所以原不等式成立
点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件
证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）
证法四：（反证法）假设，
则
由a+b=1，得，于是有
所以，
这与矛盾
所以
证法五：（放缩法）∵
∴左边＝
＝右边
点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式
证法六：（均值换元法）∵，
所以可设，，
∴左边＝
＝右边
当且仅当t=0时，等号成立
点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元
证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）
设y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因为，所以，即
故
例3设实数x，y满足y+x2=0，0a1求证：
证明：（分析法）要证，
，只要证：，
又，
只需证：
∴只需证，
即证，此式显然成立
∴原不等式成立
例4设m等于，和1中最大的一个，当时，求证：
分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，，”，从而知
证明：（综合法），
例5已知
的单调区间；
(2)求证：
（3）若求证：
解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值
小结：
1．掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点
2在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等
3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证
4基本思想、基本方法：
⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法
⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法
⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：
正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯
简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法
⑸换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题
⑹含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件
⑺有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度
学生练习
1设，求证：
证明：
=
=
=
，则
故原不等式成立
点评：（1）三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：
（2）用比较法证不等式，关键在于作差（或商）后结式了进行变形，常见的变形是通分、因式分解或配方
2己知都是正数，且成等比数列，
求证：
证明：
成等比数列，
都是正数，
点评：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部运用基本不等式，也是用比较法证不等式时的一种常用手段
3己知函数，当满足时，证明：对于任意实数都成立的充要条件是
证明：
（1）若，则
(2)当时，
故原命题成立
4．比较的大小（其中0x1）
解：-=0(比差)
5
6
证明：
7．若，求证ab与不能都大于
证明：假设ab,(1－a)(1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求证：a+b
证明：假设a+b2则b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
与已知相矛盾，所以,a+b
9
10
11
13设都正数，求证：
证明：
，
14设且，求证：
证法1若，，
这与矛盾，
同理可证
证法2由知
15有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮10000元三次后统计，谁购的粮食平均价低？为什么？
解：设第一、二、三次的粮食价格分别为元/千克、元/千克、元/千克，，则甲三次购粮的平均价格为，乙三次购粮的平均价格为，因为
所以乙购的粮食价格低
说明“各次的粮食价格不同”，必须用字母表示，这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应该从式的特征联想到用基本不等式进行变换

课前后备注

超越不等式

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师能够更轻松的上课教学。怎么才能让教案写的更加全面呢？下面是小编精心为您整理的“超越不等式”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

超越不等式
一,理论知识汇总
（一），分式不等式
1，注意通分合并
2，注意等价转化
f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)≥0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0

f(x)g(x)≤0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0

例:解关于x的不等式ax-1x+10.
解原不等式等价于(ax-1)(x+1)0
（1）当a=0时,原不等式为-(x+1)0解得x-1;
（2）当a0时,得1a0解得x-1或x1a
（3）当a0时,原不等式可化为(x-1a)(x+1)0
①若a=-1时,不等式无解;②若a-1时,1a-1,解得-1x1a;
③若-1a0时,1a-1解得1ax-1
综上所述：当a=0时,解集为(-∞,-1);当a0时,解集为(-∞,-1)∪(1a,+∞);
当a=-1时,解集为;当a-1时,解集为(-1,1a);当-1a0时,解集为(1a,-1).
（二），高次不等式
方法:先因式分解,再使用穿线法.
注意:(1)因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.
(2)恒正因式,可直接去掉.
(3)穿线法的使用对象及使用方法
使用对象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.
使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).
③数轴上方曲线对应区域使“”成立,下方曲线对应区域使“”成立.
例:解不等式x2-4x+13x2-7x+2≤1
解:变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0
根据穿线法如图

不等式解集为:{xx13或12≤x≤1或x2}.
（三）指数不等式?
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.?
a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);
0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x).
（四）对数不等式?
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.
a1时,logaf(x)logag(xf(x)g(x)0;
0a1时,logaf(x)logag(x)0f(x)g(x).
（五）三角不等式?
①形如:sinx≥a,sinx≤b及a≤sinx≤b的不等式,除了使用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于操作，操作程序如下：?
在同一坐标系中同时作出两个函数y1=sinx(0≤x≤2π)及y2=a(或b)(0≤x≤2π)图，得出满足x∈［0,2π］的不等式的解，然后利用函数的周期性，得出原不等式的解.?
②形如:cosx≥a,cosx≤b及a≤cosx≤b的不等式，除了使用单位圆求解之外，
还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于掌握，求解程序如下：?
在同一坐标系中同时作出两个函y1=cosx及y2=a(或y3=b),的图像，先得出满足条件x∈的不等式的解，然后利用函数的周期性得出原不等式的解.?
③形如:tanx≥a,tanx≤b及a≤tanx≤b的不等式,有直接的结论可用:?
tanx≥a的解集是:.
tanx≤b的解集是:.
a≤tanx≤b的解集是:［kπ+arctana,kπ+arctanb］,k∈Z.
练习：
1.不等式的解集是()?
?A.(,1)∪(1,10)B.(,1)∪(2,10)C.(,10)D.(1,+∞)
2.已知不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是?A.aB.a?C.0aD.a1?
3.不等式解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,-2)?
4.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)?C.(-4,2)?D.(-4,-2)?
5.若α∈(0,),则不等式的解集是()?
?A.(-1,)B.(,)?C.(-1,)D.(,1)
6.设A={x|lg(x-1)},B={x|≤lg(x-1)},则A∪B等于()?
?A.R?B.(1,+∞)?C.(1,)?D.(1,)
7.不等式1的解集为()?
?A.(0,)B.(,+∞)?C.(,1)?D.(0,)∪(1,+∞)
8.不等式的解集为()?
?A.(3,+∞)?B.(1,5)?C.(1,4)∪(4,5)?D.(3,4)∪(4,5)
9.若不等式x2-logmx0在(0,)范围内恒成立，则实数m的取值范围是()
A.?B.?C.?D.
10.不等式5x-3的解集是.
11.当0a1时,不等式:的解集为.
12.不等式sinx≤-的解集为.
13.不等式tan(x-)≥的解集为.
14，解不等式（1）(x+4)(x+5)2(2-x)30（2）x2-4x+13x2-7x+2≤1
15.解下列指数不等式:?
(1);(2)|2x-3|+4x-30.