高二数学必修四《平面向量的线性运算》名师教案。

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，让教师能够快速的解决各种教学问题。那么如何写好我们的教案呢？以下是小编为大家收集的“高二数学必修四《平面向量的线性运算》名师教案”欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

高中数学必修四《平面向量的线性运算》教学设计

【教学目标】

知识与能力；过程与方法；情感、态度、价值观；

1.掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义；

2.掌握向量数乘向量的运算及其几何意义，理解向量共线的充要条件；

了解向量共线的含义，理解向量共线判定和性质定理。

【教学重点、难点】

重点：理解并掌握向量的线性运算及向量共线的充要条件；难点：向量的线性运算及向量共线的充要条件的应用。【教具准备】

多媒体课件【教学方法】

启发引导式；讲练结合【教学设计】．复习导入

问题：前面我们已经复习了的向量的有关概念，知道了

向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？学生：速度，加速度，位移，力

力可以合成也可以分解，那么向量怎么运算

那么我们今天一起回顾向量的线性运算——板书课题知识要点1.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；加法求两个向量和的运算(2)结合律：(a＋b)＋c减法求两个向量差的运算数乘求实数λ与向量a的(1)|λa|＝|λ||a|；1

＝a＋(b＋c)a－b＝a＋(－b)(1)λ(μa)＝(λμ)a；积的运算(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb2.向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ.，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．3.【知识拓展】

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终→→→——→→

点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．→1→→

2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．

2→→→

＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，点A，B，C共线λ＋μ＝1.

题型一平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算

→→→→→

例2(1)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于()＋c－c33

－b＋c33

→→

(2)(20XX·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，若BC＝3CD，则()1→4→→

＝－AB＋AC

33→4→1→

＝AB＋AC

33答案(1)A(2)A

2

→1→4→＝AB－AC

33→4→1→

＝AB－AC

33

→→→→→→解析(1)∵BD＝2DC，∴AD－AB＝BD＝2DC→→＝2(AC－AD)，→→→∴3AD＝2AC＋AB，→2→1→21∴AD＝AC＋AB＝b＋c.

3333

→→→→→→

(2)∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，1→4→→→→→

即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC.

33题型二

根据向量线性运算求参数

12→→

例2(1)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB

23→

＋λ2AC(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

→→

(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，→→→

D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是()10，A.21

－，0C.21

答案(1)(2)D

2

→→→1→2→

解析(1)DE＝DB＋BE＝AB＋BC

231→2→→1→2→

＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC，2363121∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.

632→→

(2)设CO＝yBC，→→→∵AO＝AC＋CO

→→→→→＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)

10，B.31

－，0D.3

3

→→＝－yAB＋(1＋y)AC.

→→

∵BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，10，，∴y∈3

→→→∵AO＝xAB＋(1－x)AC，1

－，0.∴x＝－y，∴x∈3

思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．

如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两

→2→→1→→→

点，且交对角线AC于点K，其中，AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，则λ的值为()

52

2222

A.B.C.D.9753答案A

→2→→1→解析∵AE＝AB，AF＝AD。

52→5→→→

∴AB＝AE，AD＝2AF.

2

向量加法的平行四边形法则可知，→→→AC＝AB＋AD，→→→→∴AK＝λAC＝λ(AB＋AD)5→→AE＋2AF＝λ24

5→→＝λAE＋2λAF，2

2

E，F，K三点共线，可得λ＝。

9故选A.

思想方法感悟提高

1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则

与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；

向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素

是“起点重合”．

→→

2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB∥CD且AB与CD不共线，则

→→

AB∥CD；若AB∥BC，则A、B、C三点共线

作业布置练出高分

1.步步高P241-242

2.预习平面向量基本定理及坐标表示

课后反思

本节课按课前预设完成了教学任务，但教学理念陈旧，课堂上没有充分发挥学生的主动性和积极性，教师不能大胆放手让学生去探索，造成了课堂上教师讲的多。

相关知识

平面向量的线性运算考点解读

考点解读：平面向量的线性运算
向量的线性运算是向量的基础部分，考查主要在选择题、填空题形式出现，侧重于对向量的基本概念、向量运算的关系的考查；在解答题中侧重于向量与其他章节的综合考查，预计高考中向量的内容所占的比重还会较大.
下面对平面向量的线性运算的考点作简单的探究：
考点一、平面向量基本概念的考查：
例1、给出下列命题：
⑴两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
⑵若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四各顶点；
⑶若，则；
⑷若，则
其中所有正确命题的序号为.
解析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点与终点的位置无关，故⑴不正确；当时，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故⑵不正确；由，则，且与的方向相同；由，则，且与的方向相同，则与的长度相等且方向相同，故，⑶是正确的；对于⑷，当时，与不一定平行，故⑷是不正确的.
所以正确命题的序号为⑶.

考点二、向量加法、加法的考查：
例2、下列命题：
①如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与之一方向相同；
②在中，必有；
③若，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
④若均为非零向量，则与一定相等.
其中真命题的个数为（）
A、0B、1C、2D、3
解析：①假命题，当时，命题不成立.②真命题.③假命题，当A、B、C三点共线时，也可以有.④假命题，只有当与同向时相等，其他情况均为.
点评：对于①②③，关于向量的加法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量，共线向量等，对于④，要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模等于这两个向量的模的和，因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量.

例3、已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为，则向量等于（）
A、B、C、D、
解析：如图所示，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为，
结合图形有：
故答案：B
点评：掌握向量加法、减法的三角形法则的灵活应用，相等向量是指长度相等方向相同的向量，与它的位置没有关系.

考点三、平面向量的共线定理的考查：
例4、如图所示，在的边上分别有一点M、N，已知、，连结AN，在AN上取一点R，满足.
⑴用向量表示向量；⑵证明：R在线段BM上.
解析：⑴∵，∴
∵，∴
∵，∴
又
∴，
∴.
⑵证明：∵
∴，∴R在线段BM上.
点评：利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题，但是向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括重合情况.

《平面向量的概念及线性运算》教学反思

《平面向量的概念及线性运算》教学反思

本节课主要是要让学生理解平面向量的基本概念：向量、有向线段、零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量；掌握基本方法：向量加法的三角形法则、平行四边形法则、向量的减法法则、数乘向量的运算法则。因为向量知识比较抽象，就像学生说的有点“横空出世”，很难想到，学生容易产生厌烦的情绪。

建议：1、借助图形帮助学生理解，把抽象的问题转化为形象具体的问题；2、向量有两种表示方法：即有向线段和字母法，但是书写时必须加箭头，必须强调这一点。

7.2平面向量的坐标表示

反思：本节课主要是要让学生理解向量坐标化的意义，并且能熟练掌握平面向量的坐标运算。向量的坐标表示比较好理解，所以课上没有太多问题。只是课上和学生的交流太少，几乎都是自己在讲，而且学生的呼应不够，有时候问他们，并没有多少人会回答。

建议：1.在表示向量时要注意与表示点的坐标的区别，前者有等号连接，后者无等号，这点要向学生强调；2.必须强化“数形结合”的思想；3.多和学生进行眼神交流。4.讲解速度可以放慢一点。

7.3平面向量的内积

反思：本节课主要是①通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②理解平面向量夹角的定义和内积运算公式；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。由于公式比较多，学生有点消化良；学生对数量积的性质、运算律不够灵活应用。

建议：1、讲课速度放慢点，花多点时间放在练习上。让学生熟练数量积的性质、运算律的应用，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。2、鼓励学生积极参与到课堂中来。

第七章反思和体会

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于平面向量理论性强，内容抽象，解题方法独特。用学生的话说：有些解法真有点“横空出世”，很难想到，所以学生就可能会有畏难情绪，针对前一段的教学做了简单的总结：

一、向量的三类运算

（一）几何运算：数形结合是求解向量问题的基本方法。向量加法重点讲解了三角形法则、平行四边形法则，减法讲解了三角形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，充分体现了数形结合的数学思想。

（二）代数运算：1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。

（三）坐标运算：平面向量的坐标运算是联结几何运算与数量运算的桥梁，在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用解析法来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。

二、教学要求：1、掌握相关概念、性质、运算公式、法则以及基本运算技能；2、明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐标公式与坐标公式进行有机结合，注意数与形的相互转化；3、能把向量知识与其他知识如曲线、函数、三角等知识进行横向联系，体现向量的工具性。

三、本章的特点：1、运用类比思想分析概念。首先通过物理中位移、力的概念引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，建立学习向量的认知基础；为了使学生更好的理解向量的概念，课本采用了与数量概念比较的方法使学生在区分相似概念的过程中更深刻的把握向量概念。2、利用向量法解决实际问题。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法--向量法；向量法能将技巧性解题化成算法性解题，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。4、强化数学能力。指导学生综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。

四、教学体会1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高向量法的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。4、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养和提高引导学生理解本章向量垂直与平行的判断或证明与直线垂直与平行的联系和区别；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。

高二数学平面向量

第二章平面向量复习课（一）
一、教学目标
1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2.了解平面向量基本定理.
3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4.了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.
5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6.向量的坐标概念和坐标表示法
7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8.数量积（点乘或内积）的概念，=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、教学过程
（一）重点知识：
1.实数与向量的积的运算律：
2.平面向量数量积的运算律:
3.向量运算及平行与垂直的判定:
则
4.两点间的距离:
5.夹角公式:
6.求模：
（二）习题讲解：《习案》P167面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题，
P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
（三）典型例题
例1．已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，
且||=2，||=1，||=3，用与表示
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中,是单位正交基底向量,则B（0，1），C（-3，0），
设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是=－,=，=-3所以-3=3+|即=3－3
（四）基础练习：
《习案》P178面6题、P180面3题。
（五）、小结：掌握向量的相关知识。

（六）作业：《习案》作业二十七。

第二章平面向量复习课（二）
一、教学过程
（一）习题讲解：《习案》P173面6题。
（二）典型例题
例1．已知圆C：及点A（1，1），M是圆上任意一点，点N在线段MA的延长线上，且，求点N的轨迹方程。
练习：1.已知O为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x,y=（x，y∈R）求点P（x，y）的轨迹方程；
2.已知常数a0，向量，经过定点A（0，－a）以为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中.求点P的轨迹C的方程；
例2.设平面内的向量,,，点P是直线OM上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及APB的余弦值．
解设．∵点P在直线OM上，
∴与共线，而，∴x－2y=0即x=2y，
有．∵，，
∴
=5y2－20y+12
=5(y－2)2－8．
从而，当且仅当y=2，x=4时，取得最小值－8，
此时，，．
于是，，，
∴
小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。

作业：〈习案〉作业二十八。

高二数学平面向量数量积的运算律25

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助高中教师提高自己的教学质量。关于好的高中教案要怎么样去写呢？以下是小编为大家收集的“高二数学平面向量数量积的运算律25”供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

第8课时
二、平面向量数量积的运算律
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.?
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1ea=ae=|a|cos；2abab=0
3当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或
4cos=；5|ab|≤|a||b|
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：ab=ba
证：设a，b夹角为，则ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos
∴ab=ba
2．数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)
证：若0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，
若0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，
a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.
3．分配律：(a+b)c=ac+bc
在平面内取一点O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2
∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc
说明：（1）一般地，(ａｂ)с≠ａ（ｂс）
（2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２
三、讲解范例：
例1已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.
解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①
(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②
两式相减：2ab=b2
代入①或②得：a2=b2
设a、b的夹角为，则cos=∴=60
例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解：如图：平行四边形ABCD中，，，=
∴||2=
而=，
∴||2=
∴||2+||2=2=
例3四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａｂ＝ｂс＝сｄ＝ｄａ，试问四边形ABCD是什么图形?
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２сｄ＋｜ｄ｜２
由于ａｂ＝сｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由ａｂ＝ｂс，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ(2ａ)＝０，即ａｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
四、课堂练习：
1.下列叙述不正确的是（）
A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律D.ab是一个实数
2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)(a-3b)等于（）
A.72B.-72C.36D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（）
A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝.
5.已知|a|=2，|b|=5，ab=-3，则|a+b|=______，|a-b|=.
6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：