平面几何中的向量方法。

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，帮助教师提前熟悉所教学的内容。那么如何写好我们的教案呢？小编收集并整理了“平面几何中的向量方法”，希望对您的工作和生活有所帮助。

2.5.1平面几何中的向量方法
教学目的：
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”.
教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.
教学过程：
一、复习引入：
1.两个向量的数量积：
2.平面两向量数量积的坐标表示:
3.向量平行与垂直的判定:
4.平面内两点间的距离公式：
5.求模：
练习
教材P.106练习第1、2、3题.；教材P.107练习第1、2题.
二、讲解新课：
例1.已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90o.
证明：设

例2.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高.求证：AD，BE，CF相交于一点.

例3.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，
你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

思考1：
如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？

思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
例4．如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
课堂小结
用向量方法解决平面几何的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
课后作业
1.阅读教材P.109到P.111;2.《习案》作业二十五.

精选阅读

立体几何中的向量方法第5课时

§3.2.5综合问题
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经运用向量解决了一些立体几何问题，本节课是进一步通过坐标与向量来解决立体几何的一些综合问题。由此我们可以继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性。
【教学目标】：
（1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：
坐标法与向量法结合.
【教学难点】：
适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入
教师引导学生结合前面的例题从整体上归纳解题过程，留给学生一定时间，使其通过思考能明确认识“三步曲”各阶段的主要任务，并能简明地叙述出来，为对本节后续内容的整体把握作准备坐标法。
立体几何中的向量方法可以归纳为三步：(l）把几何问题转化为向量问题；(2）进行向量运算；〔3）由向量运算解释几何问题。有助于加强学生对解题通法的整体认识．
二、问题与探究
一、问题探究
问题1：阅读课本上的例4，请你找出其中的已知条件和求解问题．这些求解问题能用向量方法解决吗？
学生独立阅读并分析题意，教师引导学生认识到本题具有一定的综合性，需要证明直线与平面平行、垂直和计算二面角，而这些问题都可以利用向量解决．

问题2：从例4的已知条件和求解问题看，你认为应怎样把问题向量化？如果建立坐标系，应怎样建立？
教师引导学生关注己知条件中有“三条线段两两垂直且彼此相等”这一条件，使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、以线段长（正方形边长）为单位长度建立空间直角坐标系，并意识到这是适合本题的坐标化方法．教师要求学生写出点P,A，Ｂ，Ｃ,D,E的坐标．并进一步写出等的坐标．

问题3：考虑例4(1)，要证ＰＡ∥平面ＥＤＢ，应如何入手？
教师从“ＰＡ∥平面ＥＤＢ”出发，启发学生考虑直线与平面平行的判定条件，引导学生通过讨论发现PA与ＥＧ有平行关系，从而自然地想到写出的坐标，并由＝k证出ＰＡ∥ＥＧ，进而证出ＰＡ∥平面ＥＤＢ。

问题4：考虑例4(2)，要证ＰＢ⊥平面ＥＦＤ，应如何人手？
教师从“ＰＢ⊥平面ＥＦＤ出发”，启发学生考虑直线与平而垂直的判定条件，让学生讨论：应证明PB与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？
在讨论的基础上，由学生自己写出主要证明过程，即ＰＢ⊥ＥＦ（已知）
＝０，⊥，
ＰＢ⊥ＤＥＰＢ⊥平面ＥＦＤ

问题5：考虑例4(3)，求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小，应如何人手？
教师从“计算二面角C一PB一D的大小”出发，启发学生如何找出相应的平面角，让学生讨论：哪个角是二面角C一PB一D的平面角，用向量方法怎样计算它的大小？
教师引导学生考虑：点F的坐标对计算是否垂要？怎样利用题中条件确定点F的坐标？
让学生通过讨论写出确定点F坐标的过程，再进一步考虑并表达通过cos∠EFD＝计算∠EFＤ的过程

问题6：考虑例4后的思考题．
学生结合刚讨论过的例题，对思考题进行思考和讨沦，教师适当点拨引导．注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法．

二、问题解答
解：如课本图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
三、小结立体几何中的不同方法．
教师引导学生进行归纳，了解各种方法的特点及联系，认识到应根据问题的条件选择合适的方法，而不是生搬硬套．通过阅读题目，使学生明确题中所给出的条件和求解的问题，从需要完成的任务理出本题可以用向最解决的大体思路．

初步建立已知条件与求解内容两者间的联系，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题中条件建立适当坐标系的能力．

找出这条直线的过程可以锻炼直觉观察能力；证明两线平行可以巩固对直线的方向向量、共线向量等概念的理解．
找出这两条直线的过程可以锻炼分析已知条件以及看图能力；证明直线间的垂直关系的过程可以巩固对两非零向量的“数量积为0”的几何意义的认识。

计算二面角的大小，首先要找出其平面角，转而计算平面角的大小．计算角的大小时，向量是非常有力的工具．解决这个问题可以巩固对运用向量方法求角度的掌握．

思考题1可以使学生进一步体会向量方法中坐标化对简化计算所起的作用．思考题2可以加强不同方法之间的联系．
加深对不同方法（综合法、向量法、坐标法）的特点和联系的认识．
三、训练与提高1，练习题3。
（解略）
2，如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值。
解：（I）略
（II）以O为原点，如图建立
空间直角坐标系，则
异面直线AB与CD所成角的余弦值为。
学生进行提高训练应用.

四、小结解决立体几何问题的三种方法：
1，综合方法；
2，向量方法；
3，坐标方法。反思归纳
五、作业习题3.２A组9、10、12题。

练习与测试：
（基础题）
1，过正方形的顶点，引⊥平面，若，
则平面和平面所成的二面角的大小是（）
A．B．C．D．
答：B
2，设P是的二面角内一点，AB为垂足，则AB的长为（）
A．B．C．D．
答：C
3，如下图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的定比为2，现用基向量、、表示向量，设=x+y+z，则x、y、z的值分别为

A.x=,y=,z=
B.x=,y=,z=
C.x=,y=,z=
D.x=,y=,z=
解析：=－,=－,
=(+)=+－,
=－=+－,
==－++,
=+=++.
答案：D
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是

A.相交B.平行
C.垂直D.不能确定
解析：因为正方体的棱长为a,故面对角线A1B=AC=a.而A1M=AN=a，所以M、N分别是A1B和AC上的三等分点.在B1B、BC上各取点E、F，使得B1E=BF=a.
则=++.
但=－=－=(－)=，
=－=－=(－)=，
∴+=+=+=0，
∴=，即MN∥EF，
∴MN∥平面BB1C1C.
答案：B

（中等题）
5，如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1，.求直线EC1与FD1所成的余弦值.
解：以分别为轴建立坐标系，则E（3，3，0）、C1（0，4，2）、
D1（0，0，2）、F（2，4，0）.从而＝（－3，1，2）、＝
（－2，－4，2）
所以直线EC1与FD1所成的余弦值为
＝＝

6，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是，与的中点，点在平面上的射影是的重心，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．
解：建立如图的空间直角坐标系，设，
则，，，，
∵分别是，与的中点，
∴，∵是的重心，
，∴，，
，∵平面，
得，且与平面所成角，，
，，
（2）是的中点，到平面的距离等于到平面的距离的两倍，
∵平面，到平面的距离等于．
小结：根据线段和平面的关系，求点到平面的距离可转化为求到平面的距离的两倍．

（难题）
7，如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H为C1G的中点，应用空间向量的运算方法解决下列问题.

(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成的角的余弦；
(3)求FH的长.
分析：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度.

解：如图建立空间直角坐标系O－xyz,D为坐标原点O，依据已知有E(0，0，)，F(，，0)，
C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，，0)
(1)证明：=(，，0)－(0，0，)=(，，－)，
=(0，1，0)－(1，1，1)=(－1，0，－1)，
由
=×(－1)+×0+(－)×(－1)=0，
得⊥，
∴EF⊥B1C.
(2)解：=(0，，0)－(0，1，1)=(0，－，－1)，||==，
由(1)得||==，
且=×0+×(－)+(－)×(－1)=，
∴cos〈,〉==.
(3)解：∵H是C1G的中点,
∴H(,,),即(0,,).
又F(，，0),
∴FH=||==.

8，已知正四棱柱,点为的中点，点为的中点，
（1）证明:为异面直线的公垂线；
（2）求点到平面的距离．
解：（1）以分别为轴建立坐标系，
则，，，，
，，，
∴，
∴为异面直线的公垂线．
（2）设是平面的法向量，∵，
∴，，，
点到平面的距离

平面向量

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，减轻高中教师们在教学时的教学压力。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？下面是小编精心为您整理的“平面向量”，仅供您在工作和学习中参考。

第七教时
教材：5.3实数与向量的积综合练习
目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：一、复习：1．实数与向量的积(强调：“模”与“方向”两点)
2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）
1．当λZ时，验证：λ(+)=λ+λ
证：当λ=0时，左边=0(+)=右边=0+0=分配律成立
当λ为正整数时，令λ=n,则有：
n(+)=(+)+(+)+…+(+)
=++…+++++…+=n+n
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有
n(+)=n[(+)]=n[()+()]=n()+n()=n+(n)=nn
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ(+)=λ+λ恒成立。
2．如图，在△ABC中，=,=AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
解一：∵=,=则==
∴=+=+而=
∴=+
解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC
====
==
∴=+=+
3．在ABCD中，设对角线=，=试用,表示，
解一：====
∴=+==
=+=+=+
解二：设=，=
则+=+=∴=()
===(+)
即：=()=(+)
4．设,是两个不共线向量，已知=2+k,=+3,=2,若三点A,B,D共线，求k的值。
解：==(2)(+3)=4
∵A,B,D共线∴,共线∴存在λ使=λ
即2+k=λ(4)∴∴k=8
5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M,N分别是DC,AB中点，设=,=，试以,为基底表示,,
解：==连ND则DC╩ND
∴===
又：==
∴===
=(+)=
6．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30,60角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
=1(kg)P1OP=60P2OP=30
∴=cos60=1=0.5(kg)
=cos30=1=0.87(kg)
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kg

平面向量的应用

课时12平面向量的应用
一、学习目标：
1．经历用向量的方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是某一种数学工具。
2．发展学生的运算能力和解决实际问题的能力
二、重点与难点：
1．利用向量数量积的相关知识解决平面几何、物理学中的垂直、夹角、模长和质点运动等相关问题。
2．用向量的共线定理解决三点共线、动点的轨迹问题。
3．提高学生对所学知识和方法的迁移（转化）能力。
三、基础训练：
1、已知向量，若点C在函数的图象上，实数的值为
2、平面向量=（x，y），=（x2，y2），=（1，1），=（2，2），若==1，则这样的向量有
3、如果向量与的夹角为，那么我们称为向量与的“向量积”，是一个向量，它的长度为，如果，则的值为
4．在平行四边形ABCD中，,则=______________
5．设中，，且，判断的形状。
6、=(cosθ，－sinθ)，=（－2－sinθ，－2+cosθ），其中θ∈[0，π2]，则||的最大值为
7、有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在、处，则当时，秒．
四、例题研究
例1．已知向量满足条件，且，求证是正三角形。

例2、已知，.求证：

思考：能否画一个几何图形来解释例2

变题：用向量方法证明梯形中位线定理。

例3、已知在△ABC中BC，CA，AB的长分别为a，b，c，试用向量方法证明：
（1）（2）

五、课后作业：
1．设=（1，3），A、B两点的坐标分别为（1，3）、（2，0），则与的大小关系为
2．当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是
3．下面有五个命题，①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|。其中正确的命题序号为
4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于
5．下面有五个命题，①|a|2＝a2；②；③（ab）2＝a2b2；④（a－b）2＝a2－2ab＋b2；⑤若ab＝0，则a＝0或b＝0其中正确命题的序号是
6．已知m，n是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角是
7．如图，平面内有三个向量，其中的夹角是120°，的夹角为30°，，若，
则=。
8．已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.

9．设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，证明△ABC是直角三角形，并求它的面积.

10．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0）C（c，0）
（1）若c=5，求sinA的值;（2）若A为钝角，求c的取值范围。

11．已知向量，，
（1）向量、是否共线？并说明理由;（2）求函数的最大值

12．在平面直角坐标系中，已知向量又点A（8，0），，（1）若，且，求向量；
（2）向量与共线，当，且取最大值4，求

问题统计与分析

平面向量的坐标

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，减轻教师们在教学时的教学压力。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“平面向量的坐标”，仅供参考，大家一起来看看吧。

平面向量的坐标
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.
（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.
（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.过程与方法
教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力.
3.情感态度价值观
通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想；培养学生勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点:平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
难点:平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【创设情境】
（回忆）平面向量的基本定理（基底）=λ1+λ2
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
【探究新知】
（一）、平面向量的坐标表示
1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示
思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
取轴、轴上两个单位向量,作基底，则平面内作一向量
记作：=(x,y)称作向量的坐标

如：===(2,2)===(2,1)
===(1,5)=(1,0)=(0,1)=(0,0)

由以上例子让学生讨论：
①向量的坐标与什么点的坐标有关？
②每一平面向量的坐标表示是否唯一的？
③两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等）
[展示投影]思考与交流：
直接由学生讨论回答：
思考1．（1）已知(x1,y1)(x2,y2)求+，的坐标
(2)已知(x,y)和实数λ,求λ的坐标
解：+=(x1+y1)+(x2+y2)=(x1+x2)+(y1+y2)
即：+=(x1+x2,y1+y2)
同理：=(x1x2,y1y2)
λ=λ(x+y)=λx+λy
∴λ=(λx,λy)
结论：①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
思考2.已知你觉得的坐标与A、B点的坐标有什么关系？
∵==(x2,y2)(x1,y1)
=(x2x1,y2y1)
结论：③.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.已知三个力(3,4),(2,5),(x,y)的合力++=
求的坐标.
解：由题设++=得：(3,4)+(2,5)+(x,y)=(0,0)
即：∴∴(5,1)
例4.已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
解：当平行四边形为ABCD时，
仿例2得：D1=(2,2)
当平行四边形为ACDB时，
仿例2得：D2=(4,6)
当平行四边形为DACB时，
仿例2得：D3=(6,0)
【巩固深化，发展思维】
1．若M(3,-2)N(-5,-1)且,求P点的坐标；
解：设P(x,y)则(x-3,y+2)=(-8,1)=(-4,)
∴∴P点坐标为(-1,-)
2．若A(0,1),B(1,2),C(3,4)则2=(-3,-3)
3．已知：四点A(5,1),B(3,4),C(1,3),D(5,-3)求证：四边形ABCD是梯形。
解：∵=(-2,3)=(-4,6)∴=2
∴∥且||||∴四边形ABCD是梯形
【探究新知】
[展示投影]思考与交流：
思考：共线向量的条件是有且只有一个实数λ使得=λ，那么这个条件如何用坐标来表示呢？
设其中
由得
消去λ：∵∴中至少有一个不为0
结论：∥()用坐标表示为
注意：
①消去λ时不能两式相除∵y1,y2有可能为0.

②这个条件不能写成∵有可能为0.
③向量共线的两种判定方法：∥()
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例5.如果向量
向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线
解法1.利用可得于是得
解法2.易得
故当时，三点共线
例6.若向量=(-1,x)与=(-x,2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1,x)与=(-x,2)共线∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵与方向相同∴x=
[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
【巩固深化，发展思维】
1.教材P89练习2--4
2.已知
3．已知点A(0,1)B(1,0)C(1,2)D(2,1)求证：AB∥CD
4．证明下列各组点共线：①A(1,2)，B(-3,4)，C(2,3.5)
②P(-1,2)，Q(0.5,0)，R(5,-6)
5．已知向量=(-1,3)=(x,-1)且∥求x.
[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
①向量加法运算的坐标表示.
②向量减法运算的坐标表示.
③实数与向量的积的坐标表示.
④向量共线的条件.
五、评价设计
1．作业：习题2--4A组第1，2，3，7，8题．
2．（备选题）：已知A(-1,-1)B(1,3)C(1,5)D(2,7)向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4)=(2-1,7-5)=(1,2)
又∵2×2-4-1=0∴∥
又∵=(1-(-1),5-(-1))=(2,6)=(2,4)
2×4-2×60∴与不平行
∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD
六、课后反思：