平面向量。

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，减轻高中教师们在教学时的教学压力。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？下面是小编精心为您整理的“平面向量”，仅供您在工作和学习中参考。

第七教时
教材：5.3实数与向量的积综合练习
目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：一、复习：1．实数与向量的积(强调：“模”与“方向”两点)
2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）
1．当λZ时，验证：λ(+)=λ+λ
证：当λ=0时，左边=0(+)=右边=0+0=分配律成立
当λ为正整数时，令λ=n,则有：
n(+)=(+)+(+)+…+(+)
=++…+++++…+=n+n
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有
n(+)=n[(+)]=n[()+()]=n()+n()=n+(n)=nn
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ(+)=λ+λ恒成立。
2．如图，在△ABC中，=,=AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
解一：∵=,=则==
∴=+=+而=
∴=+
解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC
====
==
∴=+=+
3．在ABCD中，设对角线=，=试用,表示，
解一：====
∴=+==
=+=+=+
解二：设=，=
则+=+=∴=()
===(+)
即：=()=(+)
4．设,是两个不共线向量，已知=2+k,=+3,=2,若三点A,B,D共线，求k的值。
解：==(2)(+3)=4
∵A,B,D共线∴,共线∴存在λ使=λ
即2+k=λ(4)∴∴k=8
5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M,N分别是DC,AB中点，设=,=，试以,为基底表示,,
解：==连ND则DC╩ND
∴===
又：==
∴===
=(+)=
6．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30,60角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
=1(kg)P1OP=60P2OP=30
∴=cos60=1=0.5(kg)
=cos30=1=0.87(kg)
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kg

延伸阅读

平面向量的应用

课时12平面向量的应用
一、学习目标：
1．经历用向量的方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是某一种数学工具。
2．发展学生的运算能力和解决实际问题的能力
二、重点与难点：
1．利用向量数量积的相关知识解决平面几何、物理学中的垂直、夹角、模长和质点运动等相关问题。
2．用向量的共线定理解决三点共线、动点的轨迹问题。
3．提高学生对所学知识和方法的迁移（转化）能力。
三、基础训练：
1、已知向量，若点C在函数的图象上，实数的值为
2、平面向量=（x，y），=（x2，y2），=（1，1），=（2，2），若==1，则这样的向量有
3、如果向量与的夹角为，那么我们称为向量与的“向量积”，是一个向量，它的长度为，如果，则的值为
4．在平行四边形ABCD中，,则=______________
5．设中，，且，判断的形状。
6、=(cosθ，－sinθ)，=（－2－sinθ，－2+cosθ），其中θ∈[0，π2]，则||的最大值为
7、有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在、处，则当时，秒．
四、例题研究
例1．已知向量满足条件，且，求证是正三角形。

例2、已知，.求证：

思考：能否画一个几何图形来解释例2

变题：用向量方法证明梯形中位线定理。

例3、已知在△ABC中BC，CA，AB的长分别为a，b，c，试用向量方法证明：
（1）（2）

五、课后作业：
1．设=（1，3），A、B两点的坐标分别为（1，3）、（2，0），则与的大小关系为
2．当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是
3．下面有五个命题，①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|。其中正确的命题序号为
4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于
5．下面有五个命题，①|a|2＝a2；②；③（ab）2＝a2b2；④（a－b）2＝a2－2ab＋b2；⑤若ab＝0，则a＝0或b＝0其中正确命题的序号是
6．已知m，n是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角是
7．如图，平面内有三个向量，其中的夹角是120°，的夹角为30°，，若，
则=。
8．已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.

9．设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，证明△ABC是直角三角形，并求它的面积.

10．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0）C（c，0）
（1）若c=5，求sinA的值;（2）若A为钝角，求c的取值范围。

11．已知向量，，
（1）向量、是否共线？并说明理由;（2）求函数的最大值

12．在平面直角坐标系中，已知向量又点A（8，0），，（1）若，且，求向量；
（2）向量与共线，当，且取最大值4，求

问题统计与分析

平面向量坐标表示

平面向量坐标表示
年级高一学科数学课题平面向量坐标表示
授课时间撰写人
学习重点平面向量的坐标运算．

学习难点对平面向量坐标运算的理解
学习目标
1.会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；
2.能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；

教学过程
一自主学习
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设=(x1,y1)=(x2,y2)则＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？
＋＝
－＝
λ＝
思考2：根据向量的坐标表示，向量＋，－，λ的坐标分别如何？
＋＝();－＝();
λ＝().
两个向量和与差的坐标运算法则：
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
思考3：已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐标如何？

二师生互动
例1已知，，求和.

例2已知平行四边形的顶点，，，试求顶点的坐标.

变式：若与的交点为，试求点的坐标.

练1.已知向量的坐标，求，的坐标.
⑴
⑵
⑶
⑷
练2.已知、两点的坐标，求，的坐标.
⑴
⑵
⑶
⑷

三巩固练习
1.若向量与向量相等，则（）
A.B.
C.D.
2.已知，点的坐标为，则的坐标为（）
A.B.
C.D.
3.已知，，则等于（）
A.B.C.D.
4.设点，，且
，则点的坐标为.
5.作用于原点的两力，，为使它们平衡，则需加力.
6.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，则点B的坐标为__________。
A．(7,4)B．(5,4)C．(7,14)D．(5,14)
7．已知点，及，，，求点、、的坐标。

四课后反思

五课后巩固练习
1.若点、、，且，，则点的坐标为多少？点的坐标为多少？向量的坐标为多少？

2.已知向量，，，试用来表示.

平面向量教案2

1、三角形中的特殊位置(四心)所满足的向量方程:
(1)重心满足的向量方程:;
(2)内心满足的向量方程:或;
(3)外心满足的向量方程:;
(4)垂心满足的向量方程:;(斜三角形中)
2、已知是所在平面上的一点,若,则是的垂心。
3、若为的外心,若为的重心,若H为的垂心,则O,G,H三点共线,且,,若O为坐标原点,则重心和外心的坐标分别为:
,。
4、已知是所在平面上的一点,若,则是的外心。
5、点为三角形的重心的充要条件是对平面上的任意一点,。
6、为方向上与同向的单位向量。
7、设、是直线上两点,点是上不同于、的任意一点,且,则。
特别地,当时,(向量的中点公式)。
8、若、、三点不共线,已知,则、、三点共线的充要条件是。
9、若、不共线,且,则必有。
10、向量平移后与原向量相等,即向量平移后坐标是不变的。
11、若直线的方向向量为,则直线的斜率与该向量的关系为。
12、若、、分别为、、的中点,则。
13、若向量、、满足条件,且,则为正三角形。
14、若为的重心,且,则为正三角形。
15、三角形中一些特殊直线的向量表示:
(1)是的中线;
(2)是的高线;
(3)是的内角平分线;
(4)是的外角平分线。
16、两向量的夹角为锐角不是两向量数量积为正的充要条件,因为要排除夹角为0的情形;
两向量的夹角为钝角也不是两向量数量积为负的充要条件,因为要排除夹角为的情形。
17、设是与的夹角,则称作为在方向上的投影。
。夹角
18、在平行四边形中,若则平行四边形是菱形;
在平行四边形中,若,则平行四边形是矩形;
在平行四边形中,(变形即中线定理)。

高二数学平面向量

第二章平面向量复习课（一）
一、教学目标
1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2.了解平面向量基本定理.
3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4.了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.
5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6.向量的坐标概念和坐标表示法
7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8.数量积（点乘或内积）的概念，=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、教学过程
（一）重点知识：
1.实数与向量的积的运算律：
2.平面向量数量积的运算律:
3.向量运算及平行与垂直的判定:
则
4.两点间的距离:
5.夹角公式:
6.求模：
（二）习题讲解：《习案》P167面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题，
P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
（三）典型例题
例1．已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，
且||=2，||=1，||=3，用与表示
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中,是单位正交基底向量,则B（0，1），C（-3，0），
设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是=－,=，=-3所以-3=3+|即=3－3
（四）基础练习：
《习案》P178面6题、P180面3题。
（五）、小结：掌握向量的相关知识。

（六）作业：《习案》作业二十七。

第二章平面向量复习课（二）
一、教学过程
（一）习题讲解：《习案》P173面6题。
（二）典型例题
例1．已知圆C：及点A（1，1），M是圆上任意一点，点N在线段MA的延长线上，且，求点N的轨迹方程。
练习：1.已知O为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x,y=（x，y∈R）求点P（x，y）的轨迹方程；
2.已知常数a0，向量，经过定点A（0，－a）以为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中.求点P的轨迹C的方程；
例2.设平面内的向量,,，点P是直线OM上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及APB的余弦值．
解设．∵点P在直线OM上，
∴与共线，而，∴x－2y=0即x=2y，
有．∵，，
∴
=5y2－20y+12
=5(y－2)2－8．
从而，当且仅当y=2，x=4时，取得最小值－8，
此时，，．
于是，，，
∴
小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。

作业：〈习案〉作业二十八。