立体几何中的向量方法第5课时。

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§3.2.5综合问题
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经运用向量解决了一些立体几何问题，本节课是进一步通过坐标与向量来解决立体几何的一些综合问题。由此我们可以继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性。
【教学目标】：
（1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：
坐标法与向量法结合.
【教学难点】：
适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入
教师引导学生结合前面的例题从整体上归纳解题过程，留给学生一定时间，使其通过思考能明确认识“三步曲”各阶段的主要任务，并能简明地叙述出来，为对本节后续内容的整体把握作准备坐标法。
立体几何中的向量方法可以归纳为三步：(l）把几何问题转化为向量问题；(2）进行向量运算；〔3）由向量运算解释几何问题。有助于加强学生对解题通法的整体认识．
二、问题与探究
一、问题探究
问题1：阅读课本上的例4，请你找出其中的已知条件和求解问题．这些求解问题能用向量方法解决吗？
学生独立阅读并分析题意，教师引导学生认识到本题具有一定的综合性，需要证明直线与平面平行、垂直和计算二面角，而这些问题都可以利用向量解决．

问题2：从例4的已知条件和求解问题看，你认为应怎样把问题向量化？如果建立坐标系，应怎样建立？
教师引导学生关注己知条件中有“三条线段两两垂直且彼此相等”这一条件，使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、以线段长（正方形边长）为单位长度建立空间直角坐标系，并意识到这是适合本题的坐标化方法．教师要求学生写出点P,A，Ｂ，Ｃ,D,E的坐标．并进一步写出等的坐标．jAb88.COm

问题3：考虑例4(1)，要证ＰＡ∥平面ＥＤＢ，应如何入手？
教师从“ＰＡ∥平面ＥＤＢ”出发，启发学生考虑直线与平面平行的判定条件，引导学生通过讨论发现PA与ＥＧ有平行关系，从而自然地想到写出的坐标，并由＝k证出ＰＡ∥ＥＧ，进而证出ＰＡ∥平面ＥＤＢ。

问题4：考虑例4(2)，要证ＰＢ⊥平面ＥＦＤ，应如何人手？
教师从“ＰＢ⊥平面ＥＦＤ出发”，启发学生考虑直线与平而垂直的判定条件，让学生讨论：应证明PB与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？
在讨论的基础上，由学生自己写出主要证明过程，即ＰＢ⊥ＥＦ（已知）
＝０，⊥，
ＰＢ⊥ＤＥＰＢ⊥平面ＥＦＤ

问题5：考虑例4(3)，求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小，应如何人手？
教师从“计算二面角C一PB一D的大小”出发，启发学生如何找出相应的平面角，让学生讨论：哪个角是二面角C一PB一D的平面角，用向量方法怎样计算它的大小？
教师引导学生考虑：点F的坐标对计算是否垂要？怎样利用题中条件确定点F的坐标？
让学生通过讨论写出确定点F坐标的过程，再进一步考虑并表达通过cos∠EFD＝计算∠EFＤ的过程

问题6：考虑例4后的思考题．
学生结合刚讨论过的例题，对思考题进行思考和讨沦，教师适当点拨引导．注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法．

二、问题解答
解：如课本图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
三、小结立体几何中的不同方法．
教师引导学生进行归纳，了解各种方法的特点及联系，认识到应根据问题的条件选择合适的方法，而不是生搬硬套．通过阅读题目，使学生明确题中所给出的条件和求解的问题，从需要完成的任务理出本题可以用向最解决的大体思路．

初步建立已知条件与求解内容两者间的联系，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题中条件建立适当坐标系的能力．

找出这条直线的过程可以锻炼直觉观察能力；证明两线平行可以巩固对直线的方向向量、共线向量等概念的理解．
找出这两条直线的过程可以锻炼分析已知条件以及看图能力；证明直线间的垂直关系的过程可以巩固对两非零向量的“数量积为0”的几何意义的认识。

计算二面角的大小，首先要找出其平面角，转而计算平面角的大小．计算角的大小时，向量是非常有力的工具．解决这个问题可以巩固对运用向量方法求角度的掌握．

思考题1可以使学生进一步体会向量方法中坐标化对简化计算所起的作用．思考题2可以加强不同方法之间的联系．
加深对不同方法（综合法、向量法、坐标法）的特点和联系的认识．
三、训练与提高1，练习题3。
（解略）
2，如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值。
解：（I）略
（II）以O为原点，如图建立
空间直角坐标系，则
异面直线AB与CD所成角的余弦值为。
学生进行提高训练应用.

四、小结解决立体几何问题的三种方法：
1，综合方法；
2，向量方法；
3，坐标方法。反思归纳
五、作业习题3.２A组9、10、12题。

练习与测试：
（基础题）
1，过正方形的顶点，引⊥平面，若，
则平面和平面所成的二面角的大小是（）
A．B．C．D．
答：B
2，设P是的二面角内一点，AB为垂足，则AB的长为（）
A．B．C．D．
答：C
3，如下图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的定比为2，现用基向量、、表示向量，设=x+y+z，则x、y、z的值分别为

A.x=,y=,z=
B.x=,y=,z=
C.x=,y=,z=
D.x=,y=,z=
解析：=－,=－,
=(+)=+－,
=－=+－,
==－++,
=+=++.
答案：D
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是

A.相交B.平行
C.垂直D.不能确定
解析：因为正方体的棱长为a,故面对角线A1B=AC=a.而A1M=AN=a，所以M、N分别是A1B和AC上的三等分点.在B1B、BC上各取点E、F，使得B1E=BF=a.
则=++.
但=－=－=(－)=，
=－=－=(－)=，
∴+=+=+=0，
∴=，即MN∥EF，
∴MN∥平面BB1C1C.
答案：B

（中等题）
5，如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1，.求直线EC1与FD1所成的余弦值.
解：以分别为轴建立坐标系，则E（3，3，0）、C1（0，4，2）、
D1（0，0，2）、F（2，4，0）.从而＝（－3，1，2）、＝
（－2，－4，2）
所以直线EC1与FD1所成的余弦值为
＝＝

6，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是，与的中点，点在平面上的射影是的重心，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．
解：建立如图的空间直角坐标系，设，
则，，，，
∵分别是，与的中点，
∴，∵是的重心，
，∴，，
，∵平面，
得，且与平面所成角，，
，，
（2）是的中点，到平面的距离等于到平面的距离的两倍，
∵平面，到平面的距离等于．
小结：根据线段和平面的关系，求点到平面的距离可转化为求到平面的距离的两倍．

（难题）
7，如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H为C1G的中点，应用空间向量的运算方法解决下列问题.

(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成的角的余弦；
(3)求FH的长.
分析：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度.

解：如图建立空间直角坐标系O－xyz,D为坐标原点O，依据已知有E(0，0，)，F(，，0)，
C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，，0)
(1)证明：=(，，0)－(0，0，)=(，，－)，
=(0，1，0)－(1，1，1)=(－1，0，－1)，
由
=×(－1)+×0+(－)×(－1)=0，
得⊥，
∴EF⊥B1C.
(2)解：=(0，，0)－(0，1，1)=(0，－，－1)，||==，
由(1)得||==，
且=×0+×(－)+(－)×(－1)=，
∴cos〈,〉==.
(3)解：∵H是C1G的中点,
∴H(,,),即(0,,).
又F(，，0),
∴FH=||==.

8，已知正四棱柱,点为的中点，点为的中点，
（1）证明:为异面直线的公垂线；
（2）求点到平面的距离．
解：（1）以分别为轴建立坐标系，
则，，，，
，，，
∴，
∴为异面直线的公垂线．
（2）设是平面的法向量，∵，
∴，，，
点到平面的距离

相关知识

立体几何

一、平行关系与垂直
[基础自测]
1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为B
A．3B．1或3C．1或2D．2或3
2．若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是D
A．相交B．异面C．平行D．异面或相交
3．下面表述正确的是（C）
A、空间任意三点确定一个平面B、分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面
C、直线上的两点和直线外的一点确定一个平面D、不共线的四点确定一个平面
4.直线与垂直，又垂直于平面，则与的位置关系是（D）
A、B、C、D、或
5．若表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（C）
①；②；③；④
A、1个B、2个C、3个D、4个
6．若a，b是异面直线，P是a，b外的一点，有以下四个命题：
①过P点可作直线k与a，b都相交;②过P点可作平面与a，b都平行;
③过P点可作直线与a，b都垂直;④过P点可作直线k与a，b所成角都等于50.
这四个命题中正确命题的序号是（D）
A．①、②、③B．②、③、④C．②D．③、④
7．直线，直线，且,则a与b的位置关系为平行或异面。
8.设α、β、γ为平面，给出下列条件：
（1）a,b为异面直线，aα,bβ,a∥β,b∥α；
（2）α内距离为d的平行直线在β内的射线仍为两条距离为d的平行线；
（3）α内不共线的三点到β的距离相等；
（4）α⊥γ,β⊥γ
其中，能使α∥β成立的条件个数为：A
A．1个B.2个C.3个D.0个
9.直线是异面直线是指⑴且与不平行；⑵面，面，且；⑶面，面且；⑷不存在平面能使面且面成立。上述结论正确的有（C）
、⑶⑷、⑴⑶、⑴⑷、⑵⑷
10、已知直线⊥平面，直线，有下列四个命题：
①∥⊥,⊥∥,③∥⊥,④⊥∥,
其中正确命题的序号为__1.3______。
[典例分析]
例1：.已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：MN⊥CD；

例2、已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥AB；
（2）设平面PDC与平面ABCD所成的二面角为锐角θ，问能否确定θ使直线MN是异
面直线AB与PC的公垂线？若能，求出相应θ的值；若不能，说明理由.

.例3（12分）如图，正方形ABCD所在平面外一点Ｐ，底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F.
（1）证明平面；
（2）证明平面EFD；

例4在几何体中，△是等腰直角三角形，，和都垂直于平面，且，点是的中点。
（1）求证：∥平面；
（2）求与平面所成角的大小。

[巩固练习]
1．）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，CB与CB1交于点F.
（I）求证：A1C⊥平BDC1；
（II）求二面角B—EF—C的大小（结果用反三角函数值表示）.

2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.
（1）求证：AB1⊥平面CED；
（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；
（3）求二面角B1—AC—B的平面角.

3.如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC
都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为
EB和AB的中点.
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
(3)求二面角B—FC—G的正切值.

4．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
AB=，AF=1，M是线段EF的中点.
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；
二、空间角与距离
1、一条直线与平面所成的角为30°，则它和平面内所有直线所成的角中最大的角是B
、30°、90°、150°、180°
2.在正方体中，面对角线与（B）．
A.１０条B.８条C.６条D.４条
3、将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是（D）
A．B．C．D．
4.已知二面角为锐角，点，到的距离，到棱的距离，则到的距离是（A）
、、、、
5．在正方体A1B1C1D1—ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为（D）
A．B．C．D．
6.正三棱锥的相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围B。
A．(,π)B.(,π)C.(,)D.(,)
7、在棱长为在正方体中，过的平面与底面的交线为，则直线与的距离为。
8.在三棱锥P—ABC中，∠APB=∠APC=∠BPC=60°，则侧棱PA与侧面PBC所成的角的大小是arccos.
9.如图，矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线ＢＤ将⊿ＡＢＤ折起，使Ａ点在内的
射影落在BC边上,若二面角C—AB—D的平面角大小为，
则sin的值等于（A）.
A.B.C.D.
10.如图，AO⊥平面α，点O为垂足，BC平面α，
BC⊥OB；若，则cos的值是。
[典型例题]
例1、如图1，设ABC-ABC是直三棱柱，F是AB的中点，且
(1)求证：AF⊥AC；(2)求二面角C-AF-B的大小．

2.(2007全国Ⅰ文)四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．

3.(2007安徽文)如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．
（I）求证：平面平面；
（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．
4.四棱锥的底面是边长为1的正方形，图（1）
SD垂直于底面ABCD，SB=√3。
（I）求证；
（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。
(Ⅳ)求SD与面SAB所成角的大小。

[巩固练习]
1.（文）正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.
（1）求证：PB⊥平面MNB1；
（2）设二面角M—B1N—B为α，求cosα的值.

2．（本小题满分14分）如图,在长方体ABCD─A1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.
（1）求证:MN∥面ADD1A1;
（2）求二面角P─AE─D的大小;
（3）求三棱锥P─DEN的体积.

3.(2006年湖南卷）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

4.（2004福建卷）在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

三、体积面积与球
1.一个四面体共一个顶点的三条棱两两相互垂直，其长分别为，且四面体的四个顶点在一个球面上．则这个球的表面积为（A）．
Ａ．１６Ｂ．３２Ｃ．３６Ｄ．６４
2.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（D）
（A）（B）（C）（D）
3.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为B
（A）（B）（C）（D）
4．设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B—APQC的体积为（C）
A．B．C．D．
5.(2007全国Ⅱ文)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm
6、设地球半径为，在北纬圈上有、两地，它们的纬度圈上的弧长等于，则、两地的球面距离为（B）
、、、、
7、(2007江西文)四面体的外接球球心在上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是（C）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
8、在半径为的一个半球内有一个内接正方体，则这个正方体的棱长为。
9.(2007全国Ⅰ文)正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．
10.把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为（C）
(A)(B)(C)(D)

立体几何教案

1、空间一点位于不共线三点、、所确定的平面内的充要条件是存在有序实数组、、、,对于空间任一点,有且(时常表述为:若且,则空间一点位于不共线三点、、所确定的平面内。)
2、若多边形的面积为,它在一个平面上的射影面积为,若多边形所在的平面与这个平面所成的二面角为,则有。(射影面积公式,解答题用此须作简要说明)
3、经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
4、过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条;过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个。
5、经过两条异面直线中的一条,只有一个平面与另一条直线平行。
6、三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
7、对角线相等的平行六面体是长方体。
8、线段垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等。
9、经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,设它和已知角两边的夹角为锐角且相等,则这条斜射线在这个平面内的射影是这个角的平分线。(斜射线上任一点在这个平面上的射影在这个角的平分线上)
10、如果一个角所在平面外一点到这个角两边的距离相等,那么这点在平面上的射影,在这个角的平分线上。(解答题用此须作简要证明)
11、若三棱锥的三条侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
(1)当底面三角形为直角三角形时,射影落在斜边中点上。
(2)当底面三角形为锐角三角形时,射影落在底面三角形内。
(3)当底面三角形为钝角三角形时,射影落在底面三角形外。
12、如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等或三棱锥的顶点到底面三条边距离都相等(顶点在底面上的射影在底面三角形内),那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心。
13、如果三棱锥的三条侧棱两两垂直,或有两组对棱垂直,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。
14、若平面、平面、平面两两互相垂直,那么顶点在平面内的射影是三角形的垂心。
15、棱长为的正四面体的对棱互相垂直,对棱间的距离为。(该间距为小棱切球之直径)
16、设正四面体的棱长为,高为,外接球半径为,内切球半径为,棱切球(与各条棱都相切的球,正四面体中存在两个这样的球)半径为,体积为,则:
,,,或,
17、设正方体的棱长为,正方体的内切球、棱切球(与各条棱都相切的球)、外接球的半径分别为、、,则,,。
18、若二面角的平面角为,其两个面的法向量分别为、,且夹角为,则或()。
19、点到平面的距离:(其中为垂足,为斜足,为平面的法向量)。
20、证明两平面平行:
(1)若平面、的法向量、共线,则;
(2)若平面、有相同的法向量,则。
21、若直线与平面的法向量共线,则可推出。
22、设为空间直角坐标系内一点,平面的方程为:,则点到平面的距离为。
23、证明两平面垂直:
(1)确定两个平面、的法向量、,若,则;
(2)在平面内找出向量,若与的法向量共线,则;
24、向量与轴垂直竖坐标(对轴、轴同理)。
25、等积变换、割形与补形是解决立体几何问题常用方法。有关正四面体中的计算有时可造正方体模型,使正方体的面对角线恰好构成正四面体。
三条侧棱两两垂直的正三棱锥中的有关计算有时可以补成正方体。
题型:四面体ABCD中,共顶点A的三条棱两两相互垂直,且其长分别为1、、3,若四面体的四个顶点同在一个球面上,则这个球的表面积为()。该题型解法:可构造球内接长方体,长方体的体对角线长为球直径。
补充:三棱锥能够构造长方体的几种基本情形
(1)三条侧棱两两垂直的三棱锥可以构造长方体;
(2)三个侧面两两垂直的三棱锥可以构造长方体;
(3)三组对棱两两相等的三棱锥可以构造长方体。

平面几何中的向量方法

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，帮助教师提前熟悉所教学的内容。那么如何写好我们的教案呢？小编收集并整理了“平面几何中的向量方法”，希望对您的工作和生活有所帮助。

2.5.1平面几何中的向量方法
教学目的：
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”.
教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.
教学过程：
一、复习引入：
1.两个向量的数量积：
2.平面两向量数量积的坐标表示:
3.向量平行与垂直的判定:
4.平面内两点间的距离公式：
5.求模：
练习
教材P.106练习第1、2、3题.；教材P.107练习第1、2题.
二、讲解新课：
例1.已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90o.
证明：设

例2.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高.求证：AD，BE，CF相交于一点.

例3.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，
你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

思考1：
如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？

思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
例4．如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
课堂小结
用向量方法解决平面几何的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
课后作业
1.阅读教材P.109到P.111;2.《习案》作业二十五.

立体几何备考指导

立体几何备考指导
立体几何是高考的重点内容之一.从近几年高考试卷来看，题量最少的也要有一大一小两道题.一道大题是整套试卷得分高低的关键，一般考查线面的平行与垂直，角度和距离的计算.本文就通过对六例高考题的分析，对立体几何的备考谈一些粗浅的建议，供大家参考.
一、线线，线面，面面位置关系问题
立体几何知识建立在四个公理的体系之上，因此，在复习时应先整理归纳，把空间线面位置关系一体化，理解和掌握线线，线面，面面平行和垂直的判定与性质，形成熟练的转化推理能力.具体来说，可分为四大块：①平面的基本性质（四个公理）；②线线，线面，面面的平行与垂直；③夹角；④常见的几何体和球.根据每部分内容，先理解记熟，明确条件和结论，掌握用法和用途，再通过典型例题总结解题方法，并进行强化训练.高*考*资+源-网
例1（天津文）是空间两条不同直线，是空间两个不同平面，下面有四个命题：
①；
②；
③；
④.
其中真命题的编号是_____.（写出所有真命题的编号）

解：如图1，，过A在平面内作，
∵，从而m⊥n，故①对.
②错，如图1，n可能会平移至内.
③错，如图2，n可能会在内.
④对，两条平行直线中的一条垂直两平行平面的一个，则另一条也垂直于另一个平面.
其中真命题的编号是①④.
点评：线线，线面，面面垂直与平行的判定和性质定理，是解决此类问题的依据，实物的演示，构造特例法是常用方法！
二、空间角与空间距离问题
空间角与距离问题，难度可大可小，主观，客观题都有，是高考的必考内容，复习过程中要多加训练，熟练掌握，达到炉火纯青的程度.
例2（安徽文）平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：①1；②2；③3；④4.
以上结论正确的为_____.（写出所有正确结论的编号）
（安徽理）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相
邻的.如图3，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在
的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为
1，2和4.Ｐ是正方体的其余四个顶点的一个，则Ｐ到平面的
距离可能是：
①3；②4；③5；④6；⑤7.
以上结论正确的为_____.（写出所有正确结论的编号）
解：（文）①③.如果已知两点与顶点A相邻，则剩下的一个顶点（平行四边形的与A在一条对角线上的顶点）到平面的距离必定是3；如果已知两点有一个与顶点A不相邻，则剩下的一个顶点到平面的距离只能是1.
（理）①③④⑤.在2－A－1，1－A－4，2－A－4分别对应距离为3，5，6，在3－A－4中对应距离是7，所以选①③④⑤.
点评：从上面解答看，文科试题涉及两类问题（借用理科试题中的定义，与顶点A相邻或不相邻），需要分类讨论，如果已知两顶点与顶点A相邻时，平行四边形的两条对角线都不与平面平行，所求距离必定是3；如果已知两顶点有一个与顶点A不相邻，则平行四边形的一条对角线与平面平行，所求距离只能是1.解决了文科试题将平行四边形特殊化为正方形，再分别使已知两顶点与顶点A相邻，可得到2－A－1，1－A－4，2－A－4，3－A－4组合，对应距离可轻而易举地写出来.
三、简单几何体的组合问题
高考题中，常出现将两种简单几何体组合起来进行考查的题型.如正方体，长方体或棱锥内接于一个球；一个球内切于正方体，正四面体；几个球堆垒在一起等.解答这类题，有时直观图是很难画的，我们可以通过思考加工后画出对我们解题有帮助的，容易画出来的立体图或者截面图即可.
例3（湖南卷）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图4所示，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）.
（A）（B）（C）（D）

解：先画出立体图形如图5所示，注意到截面有两点在大圆上，所以截面过四面体的一条棱（不妨设为AB），又截面过球心，于是，截面过棱CD的中点.从而可知，截面为等腰三角形，该三角形底边是四面体的棱，长为2，两腰是四面体表面三角形的高，长为.故答案为（C）.
点评：本题以截面形式考查空间能力.求解关键是要理清截面图形与原几何体的位置关系，然后利用面积公式求解.如果没有抓住图形特征，一味地设法求球的半径容易陷入困境.
四、折叠与展开问题
平面图形的折叠问题是高考的老话题，解答这类题应抓住折叠前后两个图形中相关元素之间的大小或者位置关系.对折叠前后未发生变化的量应放在折叠前的图形中进行计算，这样做显得直观易懂.求解空间几何体两个或几个侧面上的折线长之和的最小值，其方法是将侧面展开成平面图形.
1.折叠问题
例4（山东卷）如图6，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，则三棱锥
P－DCE的外接球的体积为（）.
（A）（B）（C）（D）
解：折叠后形成棱长为1的正四面体，将正四面体的棱作为正方体的面对角线，则该正四面体的外接球就是正方体的外接球，正方体的棱长为，其体对角线长为，外接球的半径为，体积是，选（C）.

点评：折叠以后成为正四面体需要足够的想象能力和推理能力，再把正四面体转化到正方体内，从外接球处理，则是“奇思妙想”！计算自然简单，“转化”功不可没！
2.展开问题
例5（江西卷）如图8，已知正三棱柱
的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面
绕行两周到达点的最短路线的长为_____.
解：将正三棱柱的两个底面剪开，把侧面沿侧棱剪开，
将侧面展开成平面图形，如图9所示.质点绕侧面两周的行程应是
折线与的长度之和，欲求与的长度之和的最小值，可在展开图的右边补一个与之全等的展开图，如图10所示.由对称性可知，当处在对角线位置的两条折线与在同一条直线上时，折线与的长度之和最小.最小值为.

点评：本题考查空间中求最短路线问题，解这类问题的关键是化空间问题为平面问题.
五，定义型问题
例6（江西文）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）.
（A）等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
（B）等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
（C）等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
（D）等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
解：由等腰四棱锥的定义可知，（A），（C），（D）正确，而等腰四棱锥的底面未确定，所以侧面底边上的高不能确定，从而侧面与底面所成的角不能确定.故选（B）.
点评：本题考查四棱锥的概念.读懂题中提供的信息，即“等腰四棱锥”的定义是解题的关键.