双曲线的几何性质。
俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。高中教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？以下是小编为大家精心整理的“双曲线的几何性质”，相信能对大家有所帮助。
1.1.2双曲线的几何性质
一、课前预习目标
理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．
二、预习内容
1、双曲线的几何性质及初步运用．
类比椭圆的几何性质．
2．双曲线的渐近线方程的导出和论证．
观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
课内探究
1、椭圆与双曲线的几何性质异同点分析
2、描述双曲线的渐进线的作用及特征
3、描述双曲线的离心率的作用及特征
4、例、练习尝试训练：
例1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解：
解：
5、双曲线的第二定义
1）．定义(由学生归纳给出)JAb88.cOm
2）．说明
(七)小结(由学生课后完成)
将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．
作业：
1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．
(1)16x2-9y2=144；
(2)16x2-9y2=-144．
2．求双曲线的标准方程：
(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；
曲线的方程．
点到两准线及右焦点的距离．
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高二数学双曲线的几何性质学案练习题
§2.3.2双曲线的几何性质(1)
一、知识要点
双曲线的几何性质：
①范围：；
②对称轴：，对称中心；
③顶点坐标：；
④实轴长，实半轴长；
虚轴长，虚半轴长；
⑤渐近线；
等轴双曲线：；
⑥离心率=；
离心率的几何意义：，且随着的增大，双曲线的开口就越(填“大”、“小”)。
二、典型例题
例1.求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程。
例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程
⑴焦点在轴上，焦距为16，离心率为；⑵等轴双曲线，焦距为。
⑶与双曲线有相同的渐近线，一个焦点为；
例3.已知双曲线方程为，焦距为6，求离心率。
三、巩固练习
1.双曲线的实轴长，虚轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率是，渐近线方程为。
2.若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标为。
3.若双曲线经过点，且它的两条渐近方程是，求双曲线的方程。
四、小结
五、课后反思
六、课后作业
1.顶点为，焦距为12的双曲线的标准方程是；
2.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率是；
3.双曲线的两条渐近线的夹角为；
4.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的虚轴长为；
5.若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率=；
6.求以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程为。
7.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
⑴等轴双曲线的中心在原点，一个焦点为；
⑵渐近线方程为，焦点坐标为；
⑶双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点到渐近线的距离为。
8.过双曲线的一个焦点作一条渐近线的平行线，与双曲线交于一点，求点与双曲线的两个顶点所构成的三角形的面积。
高二上册《双曲线的简单几何性质》说课设计
高二上册《双曲线的简单几何性质》说课设计
一、教材分析
1.教材中的地位及作用
本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
2.教学目标的确定及依据
平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。
（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；
②掌握双曲线标准方程中
的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明；
③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。
（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；
②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。
（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。
3.重点、难点的确定及依据
对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。
4.教学方法
这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。
渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。
例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。
二、教学程序
（一）.设计思路
（二）.教学流程
1.复习引入
我们已经学习过椭圆的标准方程和双曲线的标准方程，以及椭圆的简单的几何性质，请同学们来回顾这些知识点，对学习的旧知识加以复习巩固，同时为新知识的学习做准备，利用多媒体工具的先进性，结合图像来演示。
2．观察、类比
这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，首先观察双曲线的形状，试着按照椭圆的几何性质，归纳总结出双曲线的几何性质。一般学生能用类似于推导椭圆的几何性质的方法得出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，对知识的理解不能浮于表面只会看图，也要会从方程的角度来解释，抓住方程的本质。用多媒体演示，加强学生对双曲线的简单几何性质范围、对称性、顶点（实轴、虚轴）、离心率（不深入的讲解）的巩固。之后，比较双曲线的这四个性质和椭圆的性质有何联系及区别，这样可以加强新旧知识的联系，借助于类比方法，引起学生学习的兴趣，激发求知欲。
3.双曲线的渐近线的发现、证明
（1）发现
由椭圆的几何性质，我们能较准确地画出椭圆的图形。那么，由双曲线的几何性质，能否较准确地画出双曲线
的图形为引例，让学生动笔实践，通过列表描点，就能把双曲线的顶点及附近的点较准确地画出来，但双曲线向远处如何伸展就不是很清楚。从而说明想要准确的画出双曲线的图形只有那四个性质是不行的。
从学生曾经学习过的反比例函数入手，而且可以比较精确的画出反比例函数
的图像，它的图像是双曲线，当双曲线伸向远处时，它与x、y轴无限接近，此时x、y轴是
的渐近线，为后面引出渐近线的概念埋下伏笔。从而让学生猜想双曲线
有何特征？有没有渐近线？由于双曲线的对称性，我们只须研究它的图形在第一象限的情况即可。在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程
，可解出
，
，当x无限增大时，y也随之增大，不容易发现它们之间的微妙关系。但是如果将式子变形为
，我们就会发现：当x无限增大，
逐渐减小、无限接近于0，而
就逐渐增大、无限接近于1(
)；若将
变形为
，即说明此时双曲线在第一象限，当x无限增大时，其上的点与坐标原点之间连线的斜率比1小，但与斜率为1的直线无限接近，且此点永远在直线
的下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势就可以利用对称性得到，从而可知双曲线
的图形在远处与直线
无限接近，此时我们就称直线
叫做双曲线
的渐近线。这样从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。
利用由特殊到一般的规律，就可以引导学生探寻双曲线
(a0，b0)的渐近线，让学生同样利用类比的方法，将其变形为
，
，由于双曲线的对称性，我们可以只研究第一象限向远处的变化趋势，继续变形为
，
，可发现当x无限增大时，
逐渐减小、无限接近于0，
逐渐增大、无限接近于
，即说明对于双曲线在第一象限远处的点与坐标原点之间连线的斜率比
小，与斜率为
的直线无限接近，且此点永远在直线
下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势可以利用对称性得到，从而可知双曲线
(a0，b0)的图形在远处与直线
无限接近，直线
叫做双曲线
(a0，b0)的渐近线。我就是这样将渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。
（2）证明
如何证明直线
是双曲线
(a0，b0)的渐近线呢？
启发思考①：首先，逐步接近，转换成什么样的数学语言？（x→∞,d→0）
启发思考②：显然有四处逐步接近，是否每一处都进行证明？
启发思考③：锁定第一象限后，具体地怎样利用x表示d
（工具是什么：点到直线的距离公式）
启发思考④：让学生设点，而d的表达式较复杂，能否将问题进行转化？
分析：要证明直线
是双曲线
(a0，b0)的渐近线，即要证明随着x的增大，直线和曲线越来越靠拢。也即要证曲线上的点到直线的距离
｜MQ｜越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ｜。但因｜MQ｜不好直接求得，因此又可以把问题转化为求｜MN｜。
启发思考⑤：这样证明后，还须交代什么？
（在其他象限，同理可证，或由对称性可知有相似情况）
引导学生层层深入的进行探究，从而更深刻的理解双曲线的渐近线的发现及证明过程。
（3）深化
再来研究实轴在y轴上的双曲线
(a0，b0)的渐近线方程就会变得容易很多，此时可利用类比的方法或者利用对称性得到焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程即为
。
这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精确的画出双曲线。但是如果仔细观察渐近线实质就是双曲线过实轴端点、虚轴端点，作平行与坐标轴的直线
所成的矩形的两条对角线，数形结合，来加强对双曲线的渐近线的理解。
4.离心率的几何意义
椭圆的离心率反映椭圆的扁平程度，双曲线离心率有何几何意义呢？不难得到：
，这是刚刚学生在类比椭圆的几何性质时就可以得到的简单结论。通过对离心率的研究，同样也可以使学生进一步加深对渐近线的理解。
由等式
，可得：
，不难发现：e越小（越接近于1），
就越接近于0，双曲线开口越小；e越大，
就越大，双曲线开口越大。所以，双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。
5.例题分析
为突出本节内容，使学生尽快掌握刚才所学的知识。我选配了这样的例题：
例1.求双曲线9x2－16y2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。选题目的在于拿到一个双曲线的方程之后若不是标准式，要先将所给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量。本题求渐近线的方程的方法：（1）直接根据渐近线方程写出；（2）利用双曲线的图形中的矩形框架的对角线得到。加强对于双曲线的渐近线的应用和理解。
变1：求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。选题目的：和上题相同先将所给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量；但求渐近线时可直接求出，也可以利用对称性来求解。
关键在于对比：双曲线的形状不变，但在坐标系中的位置改变，它的那些性质改变，那些性质不变？试归纳双曲线的几何性质。（小结列表）
变2：已知双曲线的渐近线方程是
，且经过点(
,3),求双曲线的标准方程。选题目的
：在已知双曲线的渐近线的前提下，如何利用已知信息求解双曲线的方程。方法1：分焦点在x轴，焦点在y轴分别求解；方法2：确定点所在的区域，定方程的形式，然后求a、b。深化知识，加强应用，使知识系统化。
例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。
6.课堂练习
课本P113练习1.2，让学生自己练习，熟悉并运用双曲线的几何性质解题，加强应用性。
7.课堂小结
（1）通过本节学习，要求学生熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质；
（2）双曲线的几何性质总结(学生填表归纳)。
8.课后作业
课本P113习题1.2.3，巩固并掌握课上所学的知识。
思考：双曲线与其渐近线的方程之间有何内在的变化规律？
以上就是我对于《双曲线的简单几何性质》的教学设计，希望老师们给与批评与指正！我会不断努力，力争开拓创新，不断进步。
《双曲线的简单性质》导学案
作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。关于好的高中教案要怎么样去写呢？下面是由小编为大家整理的“《双曲线的简单性质》导学案”，欢迎大家与身边的朋友分享吧！
3.2双曲线的简单性质（1）
授课
时间第周星期第节课型讲授新课主备课人冯莉
学习
目标掌握双曲线的对称性，范围，顶点坐标，离心率，渐进线
重点难点重点：类比椭圆的学习方式学习双曲线的简单性质
难点：运用性质解决数学问题
学习
过程
与方
法自主学习：
①双曲线的对称性
②与的范围
③定点，实轴，虚轴
④离心率
⑤渐近线
精讲互动
（1）课本80页例3
（2）已知双曲线的离心率为，求的范围
（3）若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，求双曲线的标准方程
达标训练
(1)课本82页练习1
（2）课本82页练习2
（3）经过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是
A．；B．；
C．；D．
作业
布置
学习小结/教学
反思
3.2双曲线的简单性质(2)
授课
时间第周星期第节课型复习课主备课人冯莉
学习
目标1.掌握椭圆和双曲线的定义方程及性质
2.类比学习椭圆﹑双曲线方程和性质
重点难点重点:椭圆双曲线的简单性质的类比
难点:椭圆双曲线的简单性质的应用
学习
过程
与方
法椭圆双曲线
方程
关系
图形
范围
对称性
顶点
自主学习：
精讲互动
(1)求双曲线的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程
(2)求与双曲线共渐近线,且经过点的双曲线的方程及离心率
(3)求以椭圆焦点为顶点,而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程.
达标训练
(1)已知双曲线过点（3，－2），且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的方程
(2)已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
作业
布置已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，求双曲线的方程
学习小结/教学
反思
高中数学选修1-12.2.2双曲线的几何性质学案(苏教版)
一名优秀的教师就要对每一课堂负责，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“高中数学选修1-12.2.2双曲线的几何性质学案(苏教版)”，欢迎您参考，希望对您有所助益！
年级高二学科数学选修1-1/2-1
总课题2.3双曲线总课时第课时
分课题2.3.2双曲线的几何性质分课时第1课时
主备人梁靓审核人朱兵上课时间
预习导读(文)阅读选修1-1第40--43页，然后做教学案，完成前三项。
(理)阅读选修2-1第43--47页，然后做教学案，完成前三项。
学习目标1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质
2.掌握标准方程中的几何意义
3.能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题
一、预习检查
1、焦点在x轴上,虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程为.
2、顶点间的距离为6，渐近线方程为的双曲线的标准方程为．
3、双曲线的渐进线方程为．
4、设分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离是．
二、问题探究
探究1、类比椭圆的几何性质写出双曲线的几何性质，画出草图并，说出它们的不同.
探究2、双曲线与其渐近线具有怎样的关系.
练习：已知双曲线经过，且与另一双曲线，有共同的渐近线，则此双曲线的标准方程是．
例1根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．
(1)过点，离心率．
(2)、是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且，，离心率为．
例2已知双曲线，直线过点，左焦点到直线的距离等于该双曲线的虚轴长的，求双曲线的离心率.
例3(理)求离心率为，且过点的双曲线标准方程.
三、思维训练
1、已知双曲线方程为，经过它的右焦点，作一条直线，使直线与双曲线恰好有一个交点，则设直线的斜率是．
2、椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为．
3、双曲线的渐进线方程是，则双曲线的离心率等于=．
4、(理)设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、分别是双曲线的左、右焦点，若，则．
四、知识巩固
1、已知双曲线方程为，过一点(0，1)，作一直线，使与双曲线无交点，则直线的斜率的集合是．
2、设双曲线的一条准线与两条渐近线交于两点，相应的焦点为，若以为直径的圆恰好过点，则离心率为．
3、已知双曲线的左，右焦点分别为,点在双曲线的右支上，且,则双曲线的离心率的最大值为．
4、设双曲线的半焦距为，直线过、两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率．
5、(理)双曲线的焦距为,直线过点和,且点(1,0)到直线的距离与点(－1,0)到直线的距离之和.求双曲线的离心率的取值范围．
