函数的极值与最值。
一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，高中教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，有效的提高课堂的教学效率。那么怎么才能写出优秀的高中教案呢？以下是小编收集整理的“函数的极值与最值”，仅供参考，大家一起来看看吧。
23.函数的极值与最值
一、课前准备：
【自主梳理】
1．若函数f(x)在点x0的附近恒有(或)，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）．
2．求可导函数极值的步骤：
①求导数；
②求方程的根；
③检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极值．
3．求可导函数最大值与最小值的步骤：
①求y=f(x)在[a,b]内的极值；
②将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
【自我检测】
1．函数的极大值为．
2．函数在上的最大值为．
3．若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围为．
4．已知函数，若对任意都有，则的取值范围是．
（说明：以上内容学生自主完成，原则上教师课堂不讲）
二、课堂活动：
【例1】填空题：
（1）函数的极小值是__________．
（2）函数在区间上的最小值是________；最大值是__________．
（3）若函数在处取极值，则实数=_．
（4）已知函数在时有极值0，则=_．
【例2】设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
【例3】如图6所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积．
（1）求的表达式；
（2）当为何值时，取得最大值？
课堂小结
三、课后作业
1．若没有极值，则的取值范围为.?
2．如图是导数的图象，对于下列四个判断：?
①在［-2，-1］上是增函数；?
②是的极小值点；?
③在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；?
④是的极小值点.?
其中判断正确的是.?
3．若函数在（0，1）内有极小值，则的取值范围为．
4．函数,在x=1时有极值10，则的值为．
5．下列关于函数的判断正确的是．
①f(x)0的解集是{x|0x2};?
②f(-)是极小值，f()是极大值；?
③f(x)没有最小值，也没有最大值.?
6．设函数在处取得极值，则的值为．
7．已知函数（为常数且）有极值9，则的值为．
8．若函数在上的最大值为，则的值为．
9．设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
10．已知函数,求函数在［1，2］上的最大值.
四、纠错分析
错题卡题号错题原因分析
参考答案：
【自我检测】
1．72．3．4．
例1：（1）0（2）1，（3）3（4）11
例2：解：（Ⅰ），
当时，取最小值，
即．
（Ⅱ）令，
由得，（不合题意，舍去）．
当变化时，的变化情况如下表：
Www.JAb88.coM
递增极大值
递减
在内有最大值．
在内恒成立等价于在内恒成立，
即等价于，
所以的取值范围为．
例3：解：（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，，
V(x)=（）
（2），所以时，，V(x)单调递增；时，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；
课后作业
1．［-1，2］2．②③3．0b14．a=-4,b=11
5．?①②6．17．28．
9．解：（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以，
解得或，
因此的取值范围为．
10．解：∵，∴
令,即,得.?
∴f(x)在（-∞,0),上是减函数，在上是增函数.?
①当,即时,在（1，2）上是减函数,?∴.
②当,即时,在上是减函数,
?∴.
③当,即时,在上是增函数,?
∴.
综上所述，当时，的最大值为,?
当时，的最大值为,
当时，的最大值为．
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2012届高考数学第二轮备考复习：函数的单调性、最值、极值问题
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助授课经验少的高中教师教学。那么，你知道高中教案要怎么写呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“2012届高考数学第二轮备考复习：函数的单调性、最值、极值问题”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！
题型九函数的单调性、最值、极值问题
(推荐时间：30分钟)
1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值5，其导函数的图象经过(1,0)，(2,0)，如图所示，求：
(1)x0的值；
(2)a，b，c的值；
(3)f(x)的极大值．
2．已知函数f(x)＝xlnx.
(1)求f(x)的最小值；
(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．
答案
1．解f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
(1)观察图象，我们可发现当x∈(－∞，1)时，f′(x)0，此时f(x)为增函数；
当x∈(1,2)时，f′(x)0，此时f(x)为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，此时f(x)为增函数，
因此在x＝2处函数取得极小值．
结合已知，可得x0＝2.
(2)由(1)知f(2)＝5，即8a＋4b＋2c＝5.
再结合f′(x)的图象可知，方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根分别为1,2，
那么1＋2＝－2b3a，1×2＝c3a即2b＝－9a，c＝6a.
联立8a＋4b＋2c＝5，得a＝52，b＝－454，c＝15.
(3)由(1)知f(x)在x＝1处函数取得极大值，
∴f(x)极大值＝f(1)＝a＋b＋c＝52－454＋15＝254.
2．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，
令f′(x)＝0，得x＝1e，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x0，1e
1e
1e，＋∞
f′(x)－0＋
f(x)?
极小值?
所以，f(x)在(0，＋∞)上的最小值是f1e＝－1e.
(2)当x∈0，1e时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是－1e，0；
当x∈1e，＋∞时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是－1e，＋∞，
下面讨论f(x)－m＝0的解，
当m－1e时，原方程无解；
当m＝－1e或m≥0，原方程有唯一解；
当－1em0时，原方程有两解．
函数的极值与导数
一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢？下面是由小编为大家整理的“函数的极值与导数”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！
§3.3.2函数的极值与导数
一、教学目标
知识与技能：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤；
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点难点
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.
三、教学过程：
函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．
四、学情分析
我们的学生属于平行分班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。
五、教学方法
发现式、启发式
新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1．学生的学习准备：
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
提问
（二）情景导入、展示目标。
设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
1、有关概念
(1).极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
(2).极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
(3).极大值与极小值统称为极值
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小；并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间
无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如上图所示，是极大值点，是极小值点，而
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
2.判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
3.求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的驻点（一阶导数为0的x的值）
(3)检查f′(x)=0的驻点左右的符号；如果左正右负，那么f(x)在这个驻点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个驻点处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个驻点处无极值
（三）合作探究、精讲点拨。
例1．（课本例4）求的极值
解：因为，所以。
令，得
下面分两种情况讨论：
（1）当0,即，或时；（2）当0,即时.
当x变化时，，的变化情况如下表：
—2(-2,2)2
+0－0+
↗极大值
↘极小值
↗
因此，=；
=。
函数的图像如图所示。
例2求y=(x2－1)3+1的极值
解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2,令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
-1(-1,0)0(0,1)1
－0－0+0+
↘无极值↘极小值0↗无极值↗
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
例3设，在和处有极值，且=－1,求，，的值，并求出相应的值。
解：，∵是函数的极值点，则－1,1是方程的根，即有，又，则有，由上述三个方程可知，，，此时，函数的表达式为，∴，令，得，当变化时，，的变化情况表：
-1(-1,1)1
+0－0+
↗极大值1↘极小值
－1↗
由上表可知，，
（学生上黑板解答）
多媒体展示探究思考题。
在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。(课堂实录)
（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
极大值:
极大值点:
极小值:
极小值点：
极值：
十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!
十一、学案设计(见下页)
2015届高考数学教材知识点复习导数的应用极值与最值导学案
【学习目标】
理解极值的概念，会用导数求多项式函数的极大值、极小值及闭区间上的最大值、最小值或以极值、最值为载体求参数的范围.
预习案
1．函数的极值
(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．
(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：
如果xx0有f′(x)0，xx0有f′(x)0，那么f(x0)是极大值；
如果xx0有f′(x)0，xx0有f′(x)0，那么f(x0)是极小值．
2．求可导函数f(x)极值的步骤
(1)；(2)；
(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得．
3．函数的最值的概念
设函数y＝f(x)在上连续，在内可导，函数f(x)在上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．
4．求函数最值的步骤
设函数y＝f(x)在上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在上的最值，可分两步进行：
(1)；
(2)．
【预习自测】
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()
A．x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
2．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围()
A．m0B．m0C．m1D．m1
3．函数y＝ln2xx的极小值为________．
4．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＝________，n＝________.
5．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．
探究案
题型一利用导数求函数极值
例1.设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
探究1：已知a∈R，求函数f(x)＝x2eax的单调区间与极值．
题型二利用极值求参数值
例2：(1)函数f(x)＝x3＋3ax2＋3有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．
(2)已知f(x)＝ax5－bx3＋c(a0)．若f(x)在x＝±1处有极值，且极大值为4，极小值为1，则a=，b=，c=
（3）已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.
①设a＝2，求f(x)的单调区间；
②设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围
题型三利用导数求函数最值:
例3：已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在上的最小值．
题型四利用最值求参数值
例4：设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.
(1)若f(x)在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)当0a2时，f(x)在上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值．
我的学习总结：
（1）我对知识的总结.
（2）我对数学思想及方法的总结
函数的极值
俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师更好的完成实现教学目标。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？小编收集并整理了“函数的极值”，仅供参考，欢迎大家阅读。
3.1.2函数的极值
一、复习引入：
1.常见函数的导数公式：
；；；；；；；
2.法则1
法则2,
法则3
3.复合函数的导数：(理科)
4.函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数
5.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间
二、讲解新课：
1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
4.判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
5.求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数
(2)求方程=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
三、讲解范例：
例1求y=x3－4x+的极值
解：y′=(x3－4x+)′=x2－4=(x+2)(x－2)令y′=0，解得x1=－2，x2=2
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
-2(-2,2)2
+0－0+
↗极大值
↘极小值
↗
∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=当x=2时，y有极小值且y极小值=－5
例2求y=(x2－1)3+1的极值
解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
-1(-1,0)0(0,1)1
－0－0+0+
↘无极值↘极小值0↗无极值↗
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
求极值的具体步骤：第一，求导数.第二，令=0求方程的根，第三，列表，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值.
如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点
四、课堂练习：
1．求下列函数的极值.
(1)y=x2－7x+6(2)y=x3－27x
(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表.
－0+
↘极小值
↗
∴当x=时，y有极小值，且y极小值=－
(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)令y′=0，解得x1=－3，x2=3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
-3(-3,3)3
+0－0+
↗极大值54↘极小值-54↗
∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54
五、小结：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点
