§3.1.3空间向量的数量积运算。
俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助教师营造一个良好的教学氛围。教案的内容具体要怎样写呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《§3.1.3空间向量的数量积运算》，供大家借鉴和使用，希望大家分享！
§3.1.3空间向量的数量积运算
【学情分析】：
本小节首先把平面向量数量积运算推广到空间向量数量积运算学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，要让学生在空间上一步步地验证向量的数量积运算这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念
【教学目标】：
（1）知识与技能：掌握掌握空间向量的夹角的概念，空间向量数量积的定义和运算律
（2）过程与方法：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习和使用，掌握立体几何中的三垂线定理及其逆定理的证明
（3）情感态度与价值观：进一步学习向量法在证明立体几何中的应用，培养学生的开拓创新能力和举一反三的能力。
【教学重点】：
空间向量的数量积运算
【教学难点】：
空间向量的数量积运算在解决立体几何中的应用
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一．温故知新1、平面向量的数量积
（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝
（2）夹角：．
（3）运算律
；；
复习旧知识，为新知识做铺垫，让学生可以非常容易的接收空间向量的数量积概念。
二．新课讲授1、夹角
定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作
规定：
注意夹角的表示方法和意义，垂直的表示。
特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。
2、数量积
（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝
（2）夹角：．
（3）运算律
；
；
思考：
1、若，是否有成立？
2、若，是否有，或成立？
3、向量数量积是否有结合律成立？
注意向量运算和代数运算的差别。
三．典例讲练例1．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：PO，PA分别是平面的垂线，斜线，AO是PA在平面内的射影，且，
求证：
证明：取直线的方向向量，同时取向量，。
因为，所以。
因为，且，所以
因此。
注重向量在垂直、共面中的使用的意识的培养。
又因为，
所以
这个命题叫做三垂线定理，思考其逆定理如何证明
三垂线定理的逆定理：在平面内德一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
例2．，是平面内的两条相交直线，如果，，求证：
证明：在内作任一直线个，分别在，，，，上取非零向量，，，。
因为与相交，所以向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对，
使
将上式两边与向量作数量积，
得
因为，，
所以
所以，即
这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，
所以
四．练习1．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1
中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（）
（A）（B）
（C）（D）
注意的使用
2、如图，在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，AB=4，AD=3，AA’=5，BAD=，BAA’=DAA’=，求A’C的
长。
巩固
3、如图，线段AB，BD在平
面内，BDAB，线段AC，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D间的距离。
五．小结（1）夹角、空间向量数量积、运算律
（2）三垂线定理及其逆定理
（3）夹角、距离的求法回顾方法
六．作业课本P97，习题3.1A组，第3题、第4题、第5题
练习与测试：
（基础题）
1．已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点。求证OG⊥BC
分析：要证OG⊥BC，只需证明。
把OG、BC用基向量OA、OB、OC表示
略解：
（中等题）
２．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60
（1）证明CC1⊥BD
（2）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？并证明
分析：取为运算的基向量，则。
注意向量间的方向对夹角的影响
略证（2）设，菱形边长为a，则
，解得
当时，
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向量的数量积
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。优秀有创意的教案要怎样写呢？小编经过搜集和处理，为您提供向量的数量积，仅供参考，希望能为您提供参考！
2.4向量的数量积（3）
一、课题：向量数量积（3）
二、教学目标：
要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
三、教学重、难点：1．平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；
2．向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．两平面向量垂直的充要条件；
2．两向量共线的坐标表示；
3．轴上单位向量，轴上单位向量，则：，，．
（二）新课讲解：
1．向量数量积的坐标表示：设，则，
∴.
从而得向量数量积的坐标表示公式：．
2．长度、夹角、垂直的坐标表示：
①长度：；
②两点间的距离公式：若，则；
③夹角：；
④垂直的充要条件：∵，即
（注意与向量共线的坐标表示的区别）
3．例题分析：
例1设，求．
解：．
例2已知，求证是直角三角形。
证明：∵，
∴∴
所以，是直角三角形。
说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
例3如图，以原点和为顶点作等腰直角，使，
求点和向量的坐标。
解：设，则，，
∵，∴，
即：，
又∵，∴，即：，
由或，
∴，或，．
例4在中，，，求值。
解：当时，，∴∴，
当时，，，
∴∴，
当时，，∴∴．
五、课堂练习课本练习1，2．
六、小结：两向量数量积的坐标表示：长度、夹角、垂直的坐标表示。
七、作业：课本习题
补充：已知，，
（1）求证：（2）若与的模相等，且，求的值。
平面向量的数量积及运算律（2）
一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，高中教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？以下是小编为大家收集的“平面向量的数量积及运算律（2）”欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！
平面向量的数量积及运算律（2）教学目的：
1掌握平面向量数量积运算规律；
2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题
教学重点：平面向量数量积及运算规律
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质?
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有=||||cos，
（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0
3．“投影”的概念：作图
定义：||cos叫做向量在方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为||；当=180时投影为||
4．向量的数量积的几何意义：
数量积等于的长度与在方向上投影||cos的乘积
5．两个向量的数量积的性质：
设、为两个非零向量，是与同向的单位向量
1==||cos；2=0
3当与同向时，=||||；当与反向时，=||||
特别的=||2或
4cos=；5||≤||||
6．判断下列各题正确与否：
1若=，则对任一向量，有=0(√)
2若，则对任一非零向量，有0(×)
3若，=0，则=(×)
4若=0，则、至少有一个为零(×)
5若，=，则=(×)
6若=，则=当且仅当时成立(×)
7对任意向量、、，有()()(×)
8对任意向量，有2=||2(√)
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：=
证：设，夹角为，则=||||cos，=||||cos
∴=
2．数乘结合律：()=()=()
证：若0，()=||||cos，()=||||cos，()=||||cos，
若0，()=||||cos()=||||(cos)=||||cos，
()=||||cos，
()=||||cos()=||||(cos)=||||cos
3．分配律：(+)=c+
在平面内取一点O，作=,=，=，
∵+（即）在方向上的投影等于、在方向上的投影和，
即|+|cos=||cos1+||cos2
∴|||+|cos=||||cos1+||||cos2
∴(+)=+即：(+)=+
说明：（1）一般地，()≠（）
（2）＝，≠＝
（3）有如下常用性质：２＝｜｜２，
（＋）（＋）＝＋＋＋
(＋)２＝２＋２＋２
三、讲解范例：
例1已知、都是非零向量，且+3与75垂直，4与72垂直，求与的夹角
解：由(+3)(75)=072+16152=0①
(4)(72)=07230+82=0②
两式相减：2=2
代入①或②得：2=2
设、的夹角为，则cos=∴=60
例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
解：如图：ABCD中，，，=
∴||2=
而=
∴||2=
∴||2+||2=2=
例3四边形ABCD中，＝，＝，＝，＝，且＝＝＝，试问四边形ABCD是什么图形?
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵＋＋＋＝0，
∴＋＝－（＋），∴(＋)２＝（＋）２
即｜｜２＋２＋｜｜２＝｜｜２＋２＋｜｜２
由于＝，
∴｜｜２＋｜｜２＝｜｜２＋｜｜２①
同理有｜｜２＋｜｜２＝｜｜２＋｜｜２②
由①②可得｜｜＝｜｜，且｜｜＝｜｜即四边形ABCD两组对边分别相等
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由＝，有（－）＝０，而由平行四边形ABCD可得＝－，代入上式得(2)＝０
即＝０，∴⊥也即AB⊥BC
综上所述，四边形ABCD是矩形
评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即＋＋＋＝，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系
四、课堂练习：
1下列叙述不正确的是（）
A向量的数量积满足交换律?B向量的数量积满足分配律?
C向量的数量积满足结合律?D是一个实数
2已知||=6,||=4,与的夹角为６０°，则(+2)(-3)等于（）
A72B-72?C36?D-36
3||=3,||=4,向量+与-的位置关系为（）
A平行B垂直?C夹角为?D不平行也不垂直
4已知||=3,||=4,且与的夹角为150°，则(+)２＝
5已知||=2,||=5,=-3,则|+|=______,|-|=
6设||=3,||=5,且+λ与－λ垂直，则λ＝
参考答案：1C2B3B4２５－１+256±
五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题
六、课后作业
1已知||=1,||=,且(-)与垂直，则与的夹角是（）
?A60°?B30°?C135°?D４５°
2已知||=2,||=1,与之间的夹角为，那么向量＝-4的模为（）
?A2?B2?C6?D12
3已知、是非零向量，则||=||是(+)与(-)垂直的（）
?A充分但不必要条件?B必要但不充分条件?
C充要条件D既不充分也不必要条件
4已知向量、的夹角为，||=2,||=1,则|+||-|=
5已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么=
6已知⊥、与、的夹角均为60°，且||=1,||=2,||=3,则(+2-)２＝______
7已知||=1,||=,(1)若∥,求;(2)若、的夹角为６０°，求|+|；?(3)若-与垂直，求与的夹角
8设、是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量=2+与=2-3的夹角???
9对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角
参考答案：1D2B3C45–63611
7(1)-(2)(3)45°?8120°990°?
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛
即(＋)２＝２＋２＋２，（－）２＝２－２＋２
上述两公式以及(＋)(－)＝２－２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用
2应用举例
例1已知｜｜＝２，｜｜＝５，＝－３，求｜＋｜，｜－｜
解：∵｜＋｜２＝（＋）２＝２＋２＋２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３
∴｜＋｜＝，∵（｜－｜）２＝（－）２＝２－2＋２＝2２－2×（－3）×５２＝35，
∴｜－｜＝．
例2已知｜｜＝8，｜｜＝10，｜＋｜＝16，求与的夹角θ(精确到１°)
解：∵（｜＋｜）２＝（＋）２＝２＋2＋２＝｜｜２＋2｜｜｜｜ｃｏｓθ＋｜｜２
∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，
∴ｃｏｓθ＝，∴θ≈５５°
平面向量的数量积及运算律（1）
平面向量的数量积及运算律（1）
教学目的：
1掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4掌握向量垂直的条件
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律
教学过程：
一、复习引入：
1．向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ
2．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
3．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
4．平面向量的坐标运算
若，，
则，，
若，，则
5．∥()的充要条件是x1y2-x2y1=0
6．线段的定比分点及λ
P1,P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1,P2的任一点，存在实数λ，
使=λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：
λ0(内分)(外分)λ0(λ-1)(外分)λ0(-1λ0)
7定比分点坐标公式：
若点P１(x1,y1)，Ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比
8点P的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点
②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点P为的外分点
9线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点O，设＝，＝，
可得=
10．力做的功：W=||||cos，是与的夹角
二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角
说明：（1）当θ＝０时，与同向；
（2）当θ＝π时，与反向；
（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有=||||cos，
（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积×，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=因为其中cos有可能为0
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c
但是==
如右图：=||||cos=|||OA|，=||||cos=|||OA|
=但
(5)在实数中，有(aa)c=a(ac)，但是()()
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线
3．“投影”的概念：作图
定义：||cos叫做向量在方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为||；当=180时投影为||
4．向量的数量积的几何意义：
数量积等于的长度与在方向上投影||os的乘积
5．两个向量的数量积的性质：
设、为两个非零向量，是与同向的单位向量
1==||cos
2=0
3当与同向时，=||||；当与反向时，=||||
特别的=||2或
4os=
5||≤||||
三、讲解范例：
例1判断正误，并简要说明理由
①＝；②0＝０；③－＝；④｜｜＝｜｜｜｜；⑤若≠，则对任一非零有≠０；⑥＝０，则与中至少有一个为；⑦对任意向量，，都有（）＝（）；⑧与是两个单位向量，则２＝２
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有＝０；
对于②：应有０＝；
对于④：由数量积定义有｜｜＝｜｜｜｜｜cosθ｜≤｜｜｜｜，这里θ是与的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜｜＝｜｜｜｜；
对于⑤：若非零向量、垂直，有＝０；
对于⑥：由＝０可知⊥可以都非零；
对于⑦：若与共线，记＝λ
则＝（λ）＝λ（）＝λ（），
∴（）＝λ（）＝（）λ＝（）
若与不共线，则()≠（）
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律
例2已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求
解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴＝｜｜｜｜cos0°＝3×6×1＝18；
若与反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，
∴＝０；
③当与的夹角是60°时，有
＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当∥时，有0°或180°两种可能
四、课堂练习：
五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1概念辨析：正确理解向量夹角定义
对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：
1已知△ABC中，＝５，＝８，Ｃ＝６０°，求
对此题，有同学求解如下：
解：如图，∵｜｜＝＝５，｜｜＝＝８，Ｃ＝６０°，
∴＝｜｜｜｜cosＣ＝5×8cos60°＝20
分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，Ｃ并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°
2向量的数量积不满足结合律
分析：若有（）＝（），设、夹角为，、夹角为β，则()＝｜｜｜｜cosα，
()＝｜｜｜｜cosβ
∴若＝，α＝β，则｜｜＝｜｜，进而有：（）＝()
这是一种特殊情形，一般情况则不成立举反例如下：
已知｜｜＝１，｜｜＝１，｜｜＝，与夹角是60°，与夹角是45°，则：
()＝（｜｜｜｜cos60°）＝，
()＝（｜｜｜｜cos45°）＝
而≠，故（）≠（）
平面向量的数量积
俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，减轻高中教师们在教学时的教学压力。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？下面是小编精心为您整理的“平面向量的数量积”，仅供您在工作和学习中参考。
课题:2.4平面向量的数量积（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、掌握平面向量数量积的坐标表示；
2、掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。
【课前预习】
1、（1）已知向量和的夹角是，||=2，||=1，则(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，则|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为
2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。
3、推导坐标公式：=。
4、（1）=，则||=___________；，则||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，则||=，||=，=，
=；=。
【课堂研讨】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，与的夹角。
例2、已知||=1，||=，+=，试求：
（1）|－|（2）+与－的夹角
例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。
【学后反思】
1、平面向量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简单应用。
课题:2.4平面向量的数量积检测案（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、求下列各组中两个向量与的夹角：
（1）=，=（2）=，=
2、设，，，求证：是直角三角形。
3、若=，=，当为何值时：
（1）（2）（3）与的夹角为锐角
【课后巩固】
1、设，，是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不与垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若为非零向量，=，且≠，则⊥（－）
2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。
3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。
4、已知若=，=，则+与－垂直的条件是
5、的三个顶点的坐标分别为，，，判断三角形的形状。
6、已知向量=，||=2，求满足下列条件的的坐标。
（1）⊥（2）
7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）为何值时，向量+与－3垂直？
（3）为何值时，向量+与－3平行？
8、已知向量，，，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
（1）若能构成三角形，求实数应满足的条件；
（2）是直角三角形，求实数的值。
课题:2.4平面向量的数量积（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
3、掌握平面向量数量积的坐标表示；
4、掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。
【课前预习】
1、（1）已知向量和的夹角是，||=2，||=1，则(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，则|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为
2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。
3、推导坐标公式：=。
4、（1）=，则||=___________；，则||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，则||=，||=，=，
=；=。
【课堂研讨】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，与的夹角。
例2、已知||=1，||=，+=，试求：
（1）|－|（2）+与－的夹角
例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。
【学后反思】
1、平面向量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简单应用。
课题:2.4平面向量的数量积检测案（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、求下列各组中两个向量与的夹角：
（1）=，=（2）=，=
2、设，，，求证：是直角三角形。
3、若=，=，当为何值时：
（1）（2）（3）与的夹角为锐角
【课后巩固】
1、设，，是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不与垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若为非零向量，=，且≠，则⊥（－）
2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。
3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。
4、已知若=，=，则+与－垂直的条件是
5、的三个顶点的坐标分别为，，，判断三角形的形状。
6、已知向量=，||=2，求满足下列条件的的坐标。
（1）⊥（2）
7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）为何值时，向量+与－3垂直？
（3）为何值时，向量+与－3平行？
8、已知向量，，，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
（1）若能构成三角形，求实数应满足的条件；
（2）是直角三角形，求实数的值。
