空间向量及其运算。

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生更好的消化课堂内容，使教师有一个简单易懂的教学思路。所以你在写教案时要注意些什么呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《空间向量及其运算》，供您参考，希望能够帮助到大家。

空间向量及其运算

●考试目标主词填空
1.空间向量基本定理及应用
空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=xa+yb+zc.
2.向量的直角坐标运算：
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).
则a+b=.
a-b=.
ab=.
若a、b为两非零向量，则a⊥bab=0=0.
?
●题型示例点津归纳
【例1】已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=
∠AOC,且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是
MN的中点.
求证：OG⊥BC.
【解前点津】要证OG⊥BC，只须证明即可.
而要证,必须把、用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可选为已知的基向量.
【规范解答】连ON由线段中点公式得：
又,
所以)
=().
因为.
且，∠AOB=∠AOC.
所以=0,即OG⊥BC.
【解后归纳】本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.

【例2】在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.
【解前点津】利用，求出向量与的夹角〈,〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.
【规范解答】因为,
所以
=
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，例2图
所以=0,
=-a2.
所以=-a2.
又
所以〈〉=120°.
所以异面直线BA1与AC所成的角为60°．
【解后归纳】求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.
【例3】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分
别是BB1、DC的中点.
(1)求AE与D1F所成的角；
(2)证明AE⊥平面A1D1F.
【解前点津】设已知正方体的棱长为1，且=e1，
=e2，=e3，以e1，e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系D—xyz,
则：(1)A(1，0，0)，E(1，1，)，F(0，，0)，D1(0，0，1)，
所以=(0,1,),=(0,,-1).
所以=(0,1),(0,,-1)=0.
所以⊥，即AE与D1F所成的角为90°．
(2)又=(1,0,0)=，
且=(1,0,0)(0,1,)=0.
所以AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1.
所以AE⊥平面A1D1F.
【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法.
【例4】证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).
【规范解答】∵E,G分别为AB,AC的中点,
∴EG,同理HF，∴EGHF.
从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF,
GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ.
只要能证明向量=-就可以说明P,O,Q三点共线且O
为PQ的中点,事实上,,而O为GH的中点,例4图
∴CD,QHCD,
∴
∴==0.
∴=,∴PQ经过O点,且O为PQ的中点.
【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明两向量共线,从而说明P、O、Q三点共线进而说明PQ直线过O点.

●对应训练分阶提升
一、基础夯实
1.在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是()
A.B.
C.D.
2.与向量a=(12,5)平行的单位向量是()
A.B.
C.D.
3.若向量｛a，b，c｝是空间的一个基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是()?
A.aB.b?C.cD.2a?
4.a、b是非零向量，则〈a，b〉的范围是()?
A.(0，)B.［0，］?C.(0，π)?D.［0，π］?
5.若a与b是垂直的，则ab的值是()?
A.大于0B.等于零??C.小于0D.不能确定
6.向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，则a与b()
A.相交B.垂直?C.平行?D.以上都不对
7.A(1，1，-2)、B(1，1，1)，则线段AB的长度是()?
?A.1?B.2?C.3?D.4
8.m＝｛8，3，a｝，n＝｛2b,6,5｝，若m∥n，则a+b的值为()
?A.0?B.C.D.8
9.a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，则m的值为()?
?A.0?B.6?C.-6?D.±6
10.A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a＝，b＝，则a+b对应的点为()
?A.(5，-9，2)B.(-5，9，-2)?C.(5，9，-2)D.(5，-9，2)
11.a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角为()
?A.arccos?B.?C.D.90°
12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y２，z2｝,则是a与b同向或反向的()
?A.充分不必要条件B.必要非充分条件?
?C.充要条件D.不充分不必要条件

二、思维激活
13.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4.则ab+bc+ca=.?
14.已知|a|＝2，|b|＝，ab＝-，则a、b所夹的角为.
15.已知空间三点A、B、C坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，则P点坐标为.
16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为.

三、能力提高
17.已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之间的距离.

18.长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若AB＝BC＝2，AA1＝4，试用向量法求：
(1)的夹角的大小.
(2)直线A1E与FC所夹角的大小.

19.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DC的中点，求证：D1F⊥平面ADE.

20.如图所示,已知ABCD,O是平面AC外的一点,,求证:A1,B1,C1,D1四点共面.

空间向量及其运算习题解答

1.C由向量共线定义知.?
2.C设此向量为(x,y),∴，?∴
3.C
4.D根据两向量所成的角的定义知选D.
5.B当a⊥b时，ab=0(cos〈a,b〉=0)?
6.Ca=(1,2,-2)=-b∴a∥b.
7.C|AB|==3.?
8.C∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，?∴8=2bk,3=6k,a=5k，?
∴k=故a=,b=8,∴a+b=+8=
9.B∵a⊥b∴1m+52-2(m+2)=0.∴m=6.
10.B=(-1,0,-2),=(-4,9,0)，∴a+b=(-5,9,-2).
11.Ccos(ab)==-.
12.A?若，则a与b同向或反向，反之不成立.
13.-13∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,?
∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)=-(9+1+16)=-13.
14.?cos〈a,b〉=.∴a,b所夹的角为.
15.(-8,6,0)由向量的数量的积求得.
16.9S=|a||b|sin〈a,b〉求得.
17.如图，由AC⊥α，知AC⊥AB.?
过D作DD′⊥α，D′为垂足，则∠DBD′＝30°，
〈〉＝１２０°，
∴|CD|2=
＝
＝b2+a2+b2+2b2cos120°＝a2+b2.
∴CD＝
点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算.
18.如图，建立空间坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)
、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).
由题设可知E(2，1，0)，F(1，2，4).
(1)令的夹角为θ，?
则cosθ＝.
∴的夹角为π-arccos.
(2)∴直线A1E与FC的夹角为arccos
19.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设＝i，＝j，＝k，
以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz，
则＝（－１，0，０），＝(0,,-1)，?
＝(-1，0，0)(0，，-1)＝0，∴AD⊥D1F.
又＝(0，1，)，＝(0，，-1)，
∴＝(0，1，)(0，，-1)＝-＝0.
∴AE⊥D1F，又AE∩AD＝A，∴D1F⊥平面ADE.
点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系.
20.证明：∵
=2
=
∴A1,B1,C1,D1四点共面.

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§3.1.1空间向量及加减其运算

§3.1.1空间向量及加减其运算
【学情分析】：
向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法
（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法
（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。
【教学重点】：
空间向量的概念和加减运算
【教学难点】：
空间向量的应用
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一．情景引入
（1）一块均匀的正三角形的钢板所受重力为500N，在它的顶点处分别受力F，F，F，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60，且|F|=|F|=|F|=200N，这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？
（2）八抬大轿中每个轿夫对轿子的支持力具有怎样的特点？？从实际生活的例子出发，使学生对不共面的向量有一个更深刻的认识。说明不同在一个平面内的向量是随处可见的。
二．新旧知识比较让我们将以前学过的向量的概念和运算回顾一下，看它们是只限于平面上呢？还是本来就适用于空间中。
请学生自行阅读空间向量的相关概念：空间向量定义、模长、零向量、单位向量、相反向量、相等向量。
请学生比较与平面向量的异同。
向量概念的关键词是大小和方向，所以它应既适用于平面上的向量，也适合于空间中的向量，二者的区别仅仅在于：在空间中比平面上有更多的不同的方向。因此平面几何中的向量概念和知识就可以迁移到空间图形中。
（1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。通过比较，既复习了平面向量的基本概念，又加强了对空间向量的认识，注重类比学习，提高学生举一反三的能力。
三．类比推广、探求新知如图，对于空间任何两个向量，可以从空间任意一点O出发作，即用同一平面内的两条有向线段来表示
（2）在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四边形法则，同样对于空间任意两个向量都看作同一平面内的向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下：
让学生知道，数学中研究的向量是自由向量，与向量的起点无关，这是数学中向量与物理中矢量的最大区别。
如图，可以从空间任意一点O出发作，并且从出发作，则.

探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？
探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？
（3）思考《选2-1》课本P85探究题
归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。空间三个或更多的向量相加，不能同时将这些向量都用同一个平面上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到它们的和。比如：三个向量的和,一般地,空间中多个依次用首尾相接的有向线段相加的结果等于起点和终点相连的有向线段。我们常常把向量的这种性质简称为“封口向量”。

四．练习巩固1．课本P86练习1-3
2．如图，在三棱柱中，M是的中点，
化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1）;
（2）;
（3）
解：（1）
（2）
（3）
巩固知识，注意区别加减法的不同处.
五．小结1．空间向量的概念：
2．空间向量的加减运算反思归纳
六．作业课本P97习题3.1，A组第1题（1）、（2）

练习与测试：
（基础题）
1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。
2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。
答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。
3．三个向量a,b,c互相平行，标出a+b+c.
‘解：分同向与反向讨论（略）。
4．如图，在三棱柱中，M是的中点，
化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1）;
（2）;
（3）
解：（1）
（2）
（3）
（中等题）
5．如图，在长方体中，，点E,F分别是的中点，试用向量表示和
解：
。

6．在上题图中，试用向量表示和
解：==，

§3.1.2空间向量的数乘运算

§3.1.2空间向量的数乘运算
【学情分析】：
本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题
【教学目标】：
（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算
（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题
（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题
【教学重点】：
空间向量的数乘运算及运算律
【教学难点】：
用向量解决立几问题
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一．温故知新1、空间向量的数乘运算，其模长是的倍
（1）当时，与同向
（2）当时，与反向
2、空间向量的数乘分配律和结合律
（1）分配律：
（2）结合律：
3、共线向量或平形向量
类似于平面向量共线，对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使
以数乘向量及其运算律为突破口，与平面向量进行比较学习，为下面引出共面向量作铺垫。
二．新课讲授1、方向向量
如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式．其中向量叫做直线的方向向量.
在上取，则上式可化为
证明：对于空间内任意一点O，三点共线
由此可见，可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线是一样的。
回顾平面向量的基本定理：
共面向量定理如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得，这就是说，向量可以由不共线的两个向量线性表示。
由此可以得到空间向量共面的证明方法
2、空间平面ABC的向量表示式
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：。

方向向量的引入是为了更好的说明三点共线的向量充要条件，作为特色班，可以根据实际情况补充证明过程。

回顾平面向量的基本定理可以发现，平面中的基底理论成了空间向量关系的一种特殊情况——共面的证明方法，这正是由特殊到一般，由简单到复杂的一种推广，对今后理解空间向量的基底理论也是有一定辐射作用的。

推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则点P与点A，B，C共面的充要条件是
证明：略本探究可以在老师的启发下，给学生自己证明，不同层次可以酌情考虑是否证明。
三．典例讲练例1．一直平行四边形ABCD，过平面AC外一点O做射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且使，
求证：E，F，G，H四点共面
分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明，，共面。下面我们利用，，共面来证明。
证明：因为，所以
，，，，由于四边形ABCD是平行四边形，所以，因此，
由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面
进一步：请学生思考如何证明：面AC//面EG
四．练习巩固1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量。
（1）
（2）
（3）
巩固知识，注意向量运算律的使用.3、略解：（1）
（2）

2、课本P89练习2-3
3、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、H四点共面（2）AC∥平面EFGH
得EF∥AC，AC平面EFGH，则AC∥平面EFGH
五．小结1．空间向量的数乘运算
2．空间向量的运算意义和运算律解决立几问题
3．平面的向量表达式解决共面问题归纳知识反思方法，特点。
六．作业课本P97习题3.1，A组第1题（3）、（4），第2题
练习与测试：
（基础题）
1．已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：
（1）；AD
（2）；AG
（3）．MG
（中等题）
2、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）
A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量
3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若（）
A．B．C．D．

§3.1.3空间向量的数量积运算

§3.1.3空间向量的数量积运算
【学情分析】：
本小节首先把平面向量数量积运算推广到空间向量数量积运算学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，要让学生在空间上一步步地验证向量的数量积运算这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念
【教学目标】：
（1）知识与技能：掌握掌握空间向量的夹角的概念，空间向量数量积的定义和运算律
（2）过程与方法：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习和使用，掌握立体几何中的三垂线定理及其逆定理的证明
（3）情感态度与价值观：进一步学习向量法在证明立体几何中的应用，培养学生的开拓创新能力和举一反三的能力。
【教学重点】：
空间向量的数量积运算
【教学难点】：
空间向量的数量积运算在解决立体几何中的应用
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一．温故知新1、平面向量的数量积
（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝
（2）夹角：．
（3）运算律
；；
复习旧知识，为新知识做铺垫，让学生可以非常容易的接收空间向量的数量积概念。
二．新课讲授1、夹角
定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作
规定：
注意夹角的表示方法和意义，垂直的表示。

特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。
2、数量积
（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝
（2）夹角：．
（3）运算律
；
；
思考：
1、若，是否有成立？
2、若，是否有，或成立？
3、向量数量积是否有结合律成立？
注意向量运算和代数运算的差别。
三．典例讲练例1．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：PO，PA分别是平面的垂线，斜线，AO是PA在平面内的射影，且，
求证：
证明：取直线的方向向量，同时取向量，。
因为，所以。
因为，且，所以
因此。
注重向量在垂直、共面中的使用的意识的培养。
又因为，
所以
这个命题叫做三垂线定理，思考其逆定理如何证明
三垂线定理的逆定理：在平面内德一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

例2．，是平面内的两条相交直线，如果，，求证：
证明：在内作任一直线个，分别在，，，，上取非零向量，，，。
因为与相交，所以向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对，
使
将上式两边与向量作数量积，
得
因为，，
所以
所以，即
这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，
所以

四．练习1．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1
中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（）
（A）（B）
（C）（D）
注意的使用

2、如图，在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，AB=4，AD=3，AA’=5，BAD=，BAA’=DAA’=，求A’C的
长。

巩固
3、如图，线段AB，BD在平
面内，BDAB，线段AC，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D间的距离。

五．小结（1）夹角、空间向量数量积、运算律
（2）三垂线定理及其逆定理
（3）夹角、距离的求法回顾方法
六．作业课本P97，习题3.1A组，第3题、第4题、第5题

练习与测试：
（基础题）
1．已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点。求证OG⊥BC
分析：要证OG⊥BC，只需证明。
把OG、BC用基向量OA、OB、OC表示
略解：
（中等题）
２．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60
（1）证明CC1⊥BD
（2）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？并证明
分析：取为运算的基向量，则。
注意向量间的方向对夹角的影响
略证（2）设，菱形边长为a，则
，解得
当时，

§3.1.5空间向量运算的坐标表示

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助教师能够更轻松的上课教学。怎么才能让教案写的更加全面呢？下面是由小编为大家整理的“§3.1.5空间向量运算的坐标表示”，相信您能找到对自己有用的内容。

§3.1.5空间向量运算的坐标表示
【学情分析】：
平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。
【教学目标】：
（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量
（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算
（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。
【教学重点】：
空间向量的坐标运算
【教学难点】：
空间向量的坐标运算
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一．温故知新平面向量的坐标运算
二．新课讲授1．空间向量的直角坐标运算律
（1）若，，则，
，
，
（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。注重类比学习，举一反三，在平面向量中有坐标运算，空间向量中也有，运
2．数量积：即=
3．夹角：．
4．模长公式：若，
则．
5．平行与垂直：
6．距离公式：若，，
则，
或．
算规律和结论的本质是一样的。
三．典例例1．如图，在正方体中，，分别是，的一个四等分点，求与所成的角的余弦值。
解：不妨设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，
，，
将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单。
讲练所以，
因此，与所成角的余弦值是
例2．如图，正方体中，，分别是，的中点，求证：
证明：不妨设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则，所以，又，，所以，
所以，
因此，即

四．练习巩固课本P97练习1，2，3
五．拓展与提高1．如图在正方体AC1中，M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与D1N所成的角。

学习注意触类旁通，举一反三，引进向量的坐标运算式把定性的向量定量化的有效办法。这样可以把向量问题转化为代数问
2．已知三角形的顶点A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2），这个三角形的面积是（）
A.B.C.2D.
题。
六．小结1．空间向量的直角坐标运算律
2．数量积与夹角
3．模长与距离
4．平行于垂直
七．作业课本P98习题3.1，A组第8、9、11题

练习与测试：
（基础题）
1．已知向量的夹角为（）
A．0°B．45°C．90°D．180°
2．已知（）
A．B．5，2C．D．-5，-2

（中等题）
3.已知，，求：
（1）线段的中点坐标和长度；
（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件
解：（1）设是线段的中点，则．
∴的中点坐标是，
．
（2）∵点到两点的距离相等，
则,
化简得：,
所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是．
点评：到两点的距离相等的点构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点的坐标满足的条件的系数构成一个向量，发现与共线。
4,已知三角形的顶点是，，，试求这个三角形的面积。
分析：可用公式来求面积
解：∵，，
∴，，
，
∴，
∴所以．
5．已知，则向量与的夹角是（）
A．90°B．60°C．30°D．0°
6．已知，则的最小值是（）
A．B．C．D．
7．已知，则的取值范围是（）
A.B.C.D.