2019年选修2-2数学第3章数系的扩充与复数全册学案（人教B版）。

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，使教师有一个简单易懂的教学思路。所以你在写教案时要注意些什么呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“2019年选修2-2数学第3章数系的扩充与复数全册学案（人教B版）”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

3.1.2复数的概念
1．了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程：自然数集(N)―整数集(Z)―有理数集(Q)―实数集(R)―复数集(C)．
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念，例如：虚数单位、复数、虚数、纯虚数等，掌握复数相等的充要条件．
1．实数系
实数就是小数，它包括____________________________和________________________．
实数的性质有：①实数对四则运算是封闭的，即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数；②0与1的性质为0＋a＝a＋0＝a，1a＝a1＝a；③加法和乘法都适合交换律、结合律，乘法对加法满足分配律．实数系和数轴上的点可以建立________关系．
【做一做1】数系扩充的脉络是：________________________，用集合符号表示为________?________?________．
2．虚数单位的性质
i2＝______.
显然i是－1的一个平方根，即i是方程x2＝－1的一个解．
【做一做2】关于x的方程x2＋1＝0的解是()．
A．1B．iC．iD．无解
3．复数的概念
(1)设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做______，复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，bR)，其中a叫做复数z的______，b叫做复数z的______，i称作虚数单位．
当b＝0时，复数就成为实数；除了实数以外的数，即当b0时，a＋bi叫做______．而当b0且a＝0时，bi叫做______．
(2)全体复数所构成的集合叫做______．复数集通常用大写字母C表示，即C＝{z|z＝a＋bi，aR，bR}．
显然，实数集R是复数集C的______，即RC.
【做一做3－1】设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下面结论正确的是()．
A．AB＝CB．?UA＝B
C．A?UB＝D．B?UB＝C
【做一做3－2】若z＝a＋bi(a，bR)，则下列结论中正确的是()．
A．若a＝0，则z是纯虚数
B．若b＝0，则z是实数
C．若a＋(b－2)i＝5＋3i，则a＝5，b＝2i
D．z的平方不可能为－1
4．复数相等
如果两个复数a＋bi与c＋di的实部与虚部分别对应相等，我们就说这两个复数______，记作a＋bi＝c＋di.
这就是说，如果a，b，c，d都是实数，那么
a＋bi＝c＋di____________；
a＋bi＝0____________.
【做一做4－1】实数x，y满足方程(x＋y)＋(2x－y)i＝5＋4i，则x＝________，y＝________.
【做一做4－2】若复数(m2－5m－6)＋(m2＋4m＋3)i等于零，则实数m的值是()．
A．－3或－1B．6或－1
C．－3D．－1
如何理解两个复数(不全为实数)只能说相等或不相等，不能比较大小？
剖析：(1)根据复数相等的定义，知在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么a＋bic＋di.
(2)若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必都是实数(即虚部均为0)．
(3)若两个复数不全是实数，则不能比较大小．不能比较大小的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质：
①对于任意实数a，b来说，a＜b，a＝b，b＜a这三种情况有且只有一种成立；
②若a＜b，b＜c，则a＜c；
③若a＜b，则a＋c＜b＋c；
④若a＜b，c＞0，则ac＜bc.
题型一复数的分类
【例题1】实数k为何值时，复数(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i分别是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？
分析：根据定义求解．
题型二复数相等
【例题2】已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y.
分析：因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(bR，b0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值．
反思：一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数．复数相等是实现复数向实数转化的桥梁．
题型三复数与实数之间的关系
【例题3】已知z1＝m2－(m2－3m)i，z2＝(m2－4m＋3)i＋10，(mR)
若z1＜z2，求实数m的取值范围．
分析：由z1＜z2，可知z1，z2R，故虚部为0.
反思：两个复数，只有当它们全是实数时才能比较大小．
题型四易错辨析
易错点：本节常出现的错误是混淆复数中的有关概念，忽视复数集与实数集中有关性质的不同而导致做题错误，避免错误发生的关键是弄清虚数、纯虚数、实数、复数相等等有关概念的区别与联系．
【例题4】下列命题中：
①两个复数不能比较大小；
②若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b0时z为纯虚数；
③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
④x＋yi＝1＋ix＝y＝1；
⑤若实数a与ai对应，则数集与纯虚数集一一对应．
其中正确命题的个数是()．
A．0B．1
C．2D．3
错解：B
1若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()．
A．1B．2C．1或2D．－1
2若z1＝sin2＋icos，z2＝cos＋i

扩展阅读

2019年选修1-2数学第3章数系的扩充与复数的引入学案（苏教版）

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《2019年选修1-2数学第3章数系的扩充与复数的引入学案（苏教版）》，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

3.1数系的扩充
问题1：方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？
提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和.
问题2：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
提示：没有解．
问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
提示：有解，x＝i.
问题4：实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi，这一新数集形式如何表示？
提示：C＝{a＋bi|a，bR}．
1．虚数单位i
我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
(1)i2＝－1．
(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
2．复数的概念
形如a＋bi(a，bR)的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.
3．复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，bR)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
问题1：复数z＝a＋bi(a，bR)，当b＝0时，z是什么数？
提示：当b＝0时，z＝a为实数．
问题2：复数z＝a＋bi(a，bR)，当a＝0时，z是什么数？
提示：当a＝b＝0时，z＝0为实数；当a＝0，b0，z＝bi为纯虚数．
1．复数z＝a＋bi
2．两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，bR这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．
2．复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小．在复数集里，一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．
[例1]实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[思路点拨]分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．
[精解详析](1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－10，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－30，且有意义，即m－10，解得m1且m－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－30，解得m＝0或m＝－2.
[一点通]z＝a＋bi(a，bR)是复数的基本定义，由a，b的取值来确定z是实数、虚数、纯虚数还是零．在解题时，关键是确定复数的实部和虚部．
1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
解析：∵z＝(x2－1)＋(x－1)i是纯虚数，
x＝－1.
答案：－1
2．已知复数2＋，i，0i，5i＋8，i(1－)，i2，其中纯虚数的个数为________．
解析：∵0i＝0，i2＝－1，
纯虚数有i，i.
答案：2
3．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：(1)当
即m＝2时，
复数z是实数；
(2)当m2－2m0，
即m0.
且m2时，
复数z是虚数；
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
[例2]已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若MP＝P，求实数m的值．
[思路点拨]因为MP＝P，所以M?P，从而可建立关于m的关系式，进而求得m的值．
[精解详析]∵M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，
P＝{－1，1，4i}，且MP＝P.
M?P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
或
m＝1或m＝2.
[一点通](1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．
(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．
(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．
4．当关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝________．
解析：设实根为x0，则x＋x0＋2x0i＋3m＋i＝0.
即x＋x0＋3m＋(2x0＋1)i＝0.
m＝.
答案：
5．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x、y的值．
解：∵x，y为实数，
2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，由复数相等的定义，
知
6．已知m是实数，n是纯虚数，且2m＋n＝4＋(3－m)i，求m，n的值．
解：设n＝bi(bR且b0)
由2m＋n＝4＋(3－m)i得2m＋bi＝4＋(3－m)i，
m的值为2，n的值为i.
[例3]若不等式m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[思路点拨].
[精解详析]∵m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10，
解上式得：m＝3.
[一点通]不全为实数的两个复数没有大小的关系，只有相等或不等．由两个复数可以比较大小，知两个数必全为实数，进而根据复数的分类法列实数m的方程(组)求解．
7．已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋2＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．
解：∵x2－1＋(y＋1)i2x＋2＋(y2－1)i，(x，yR)，
8．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(kR)，且z0，求实数k.
解：∵z0，zR.
k2－5k＋6＝0.
k＝2或k＝3.但当k＝3时，z＝0不符合题意．
k＝2时，z＝－20符合题意．
k＝2.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b0，bR)不要只记形式，要注意b0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．即a＋bi0(a，bR).
一、填空题
1．下列命题中，
①若aR，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，bR且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝1；
④两个虚数不能比较大小．
其中正确的命题是________．
解析：①若a＝－1，则(a＋1)i＝0，①错；②复数中的虚数只能说相等或不相等，不能比较大小．②错；③中x＝－1则x2＋3x＋2＝0，x＝－1不适合，③错；④是正确的．
答案：④
2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
解析：由复数相等的充要条件可知
解得a＝－4.
答案：－4
3．复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(aR)是纯虚数，则a的取值为________．
解析：∵复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i是纯虚数，
解之得a＝－1.
答案：－1
4．已知M＝{1，2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1，3}，MN＝{3}，则实数a＝________．
解析：∵MN＝{3}，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，即解之得a＝－1.
答案：－1
5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中aR，z1z2，则a的值为________．
解析：∵z1z2，
即
故a＝0.
答案：0
二、解答题
6．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i，实部小于零，虚部大于零，求实数k的取值范围．
解：由题意得即
即解得－k0或1k2.
7．求适合方程xy－(x2＋y2)i＝2－5i的实数x，y的值．
解：由复数相等的条件可知：
解得或或或
8．设复数z＝lg(m2－2m－14)＋(m2＋4m＋3)i，试求实数m的值，使(1)z是实数；(2)z是纯虚数．
解：(1)∵z为实数，
虚部m2＋4m＋3＝0，
则m＝－1或m＝－3.
而当m＝－1时，m2－2m－14＝1＋2－140(舍去)；
当m＝－3时，m2－2m－14＝10.
当m＝－3时z为实数．
(2)∵z为纯虚数，
实部lg(m2－2m－14)＝0，
且m2＋4m＋30，即解得m＝5.
当m＝5时z为纯虚数．

【人教B版】2019年高中选修2-2数学：第1章-导数及其应用-全册学案（7份，含答案）

1.1导数
1．理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此平均变化率．
2．理解运动物体在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．
3．理解导数的几何意义，并会求曲线在某点处的切线方程．
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记x＝x1－x0，y＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋x)－f(x0)，则当x0时，商________________称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋x](或[x0＋x，x0])的平均变化率．
x，y的值可正、可负，但x的值不能为0，y的值可以为0.若函数f(x)为常数函数，则y＝0.
【做一做1－1】已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，x＝0.1时，y的值为()．
A．0.40B．0.41
C．0.43D．0.44
【做一做1－2】在x＝1附近，取x＝0.3，在四个函数：①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝1x中，平均变化率最大的是()．
A．④B．③C．②D．①
2．瞬时变化率与导数
(1)设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为x时，函数值相应地改变y＝f(x0＋x)－f(x0)．
如果当x趋近于0时，平均变化率yx＝f(x0＋x)－f(x0)x趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的__________．
(2)当x趋近于0时，f(x0＋x)－f(x0)x趋近于常数l可以用符号记作当x0时，f(x0＋x)－f(x0)xl，或记作f(x0＋x)－f(x0)x＝l，符号读作趋近于．函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x0处的______，并记作f(x0)．
这时又称f(x)在点x0处是可导的．于是上述变化过程，可以记作当x0时，f(x0＋x)－f(x0)x________或f(x0＋x)－f(x0)x＝________．
(3)如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)______．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)．于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的______，记为f(x)或y(或yx)．
导函数通常简称为______．
(1)x是自变量x在x0处的改变量，x0，而y是函数值的改变量，可以是零．
(2)对于导函数的定义的几种形式表示如下：
y＝f(x＋x)－f(x)x；
y＝f(x)－f(x＋x)－x；
y＝f(x－x)－f(x)－x；
y＝f(x)－f(x0)x－x0.
【做一做2－1】若质点按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()．
A．6B．18C．54D．81
【做一做2－2】已知函数f(x)在x＝x0处可导，则limx0f(x0＋x)－f(x0)x()．
A．与x，x0都有关
B．仅与x0有关而与x无关
C．仅与x有关而与x0无关
D．与x0，x均无关
3．导数的几何意义
设函数y=f(x)的图象如图所示．AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0+x，f(x0+x))的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线．于是，当x0时，割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率，即f(x0＋x)－f(x0)x＝切线AD的斜率．
由导数意义可知，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于________．
【做一做3－1】曲线y＝－3x2＋2在点(0,2)处的切线的斜率为()．
A．－6B．6C．0D．不存在
【做一做3－2】下面说法正确的是()．
A．若f(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f(x0)必存在
C．若f(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f(x0)有可能存在
1．函数f(x)在点x＝x0处的导数导函数导数三者有何关系？
剖析：(1)函数在点x＝x0处的导数f(x0)是一个数值，不是变量．
(2)导函数也简称导数，所以
(3)函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x＝x0处的函数值．所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算导函数在这点的函数值．
2．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？
剖析：回答是否定的．这就是我们为什么要用割线的极值位置来定义切线，而不说与曲线只有一个公共点的直线叫切线，其理由如下：
在初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的定义推广为一般曲线的切线的定义：直线和曲线有唯一公共点时，该直线叫做曲线在该点的切线，显然这种推广是不妥当的．
观察图中的曲线C，直线l1虽然与曲线C有唯一的公共点M，但我们不能说直线l1与曲线C相切；而直线l2尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线．因此，对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义．
一般地，过曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)作曲线的割线PQ，当点Q沿着曲线无限趋近于点P时，若割线PQ趋近于某一确定的位置，则称这一确定位置的直线为曲线y＝f(x)在点P处的切线．
在这里，要注意，曲线y＝f(x)在点P处的切线：(1)与点P的位置有关；(2)要依据割线PQ是否存在极限位置来判定与求解．如有极限，则在此点处有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线．
题型一求瞬时速度
【例题1】已知物体的运动方程如下：求此物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度．(位移的单位：m，时间的单位：s)
分析：先求平均变化率，即平均速度，再取极限(注意定义域的限制)．
反思：质点运动的瞬时速度不同于质点在某段时间内运动的平均速度．
题型二导数定义的应用
【例题2】过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋x,1＋y)作曲线的割线，求出当x＝0.1时割线的斜率．
分析：割线PQ的斜率即为函数f(x)在x＝1到x＝1＋x之间的平均变化率yx.
反思：一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线上的定点，点Q(x0＋x，y0＋y)是C上与点P邻近的点，有
y0＝f(x0)，y0＋y＝f(x0＋x)，
y＝f(x0＋x)－f(x0)，
割线PQ的斜率为
tan＝yx＝f(x0＋x)－f(x0)x，
曲线C在点P处的斜率为
tan＝＝.
题型三求切线方程
【例题3】已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他公共点？
分析：求切线方程可先求出切线的斜率，再应用点斜式写出切线方程；判断直线与曲线的交点个数，可联立方程组求其解的个数．
反思：(1)求曲线的切线的斜率的步骤：
①求函数值的增量y＝f(x0＋x)－f(x0)；
②求割线的斜率tan＝yx；
③求极限＝；
④若极限存在，则切线的斜率.
(2)由导数的几何意义得出求切线方程的步骤：
①先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f(x0)；
②根据点斜式得切线方程为y－y0＝f(x0)(x－x0)．
题型四易错辨析
易错点：在求曲线过某点的切线方程时，不注意判断该点是否在曲线上，而直接把点当成在曲线上求切线方程，导致方程求错，避免错误的方法是看到此类题目先判断该点是否在曲线上，然后根据不同情况求解．
【例题4】试求过点M(1,1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程．
错解：yx＝(x＋x)3＋1－x3－1x＝3x(x)2＋3x2x＋(x)3x＝3xx＋3x2＋(x)2，yx＝3x2，因此y＝3x2，所以切线在x＝1处的斜率k＝3.故切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
1一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在时间[1,1＋t]内的平均速度为()．
A．3t＋6B．－3t＋6
C．3t－6D．－3t－6
2设函数f(x)＝ax3＋2，若f(－1)＝3，则a＝()．
A．－1B．12C．1D．13
3设f(x)为可导函数且满足,则过曲线y＝f(x)上的点(1，f(1))的切线的斜率为()．
A．2B．－1
C．1D．－2
4一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s(m)与时间t(s)之间的函数关系为s＝18t2，则t＝2s时，此木块在水平方向的瞬时速度为______m/s.
5已知函数f(x)＝x－1x，则它与x轴交点处的切线方程为____________________．
答案：
基础知识梳理
【做一做1－1】B∵x＝2，x＝0.1，y＝f(x＋x)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝0.41.
【做一做1－2】B根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99，－1013.
2．(1)瞬时变化率(2)导数f(x0)f(x0)
(3)可导导函数导数
【做一做2－1】B瞬时速度v＝limt0st＝limt0s?3＋t?－s?3?t＝limt0(3t＋18)＝18.
【做一做2－2】B由导数的定义，对给定的可导函数f(x)有f?x0＋x?－f?x0?x＝f(x0)．显然，f(x0)仅与x0有关而与x无关．
3．f(x0)
【做一做3－1】Cf(0)＝－3?0＋x?2＋2－?0＋2?x＝(－3x)＝0.
【做一做3－2】C函数f(x)在一点x＝x0处的导数f(x0)的几何意义是y＝f(x)在这一点处切线的斜率，但f(x0)不存在，并不能说明这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线的斜率不存在，即若在这一点处的切线的斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线．所以函数f(x)在某点可导，是相应曲线上过该点存在切线的充分不必要条件．
典型例题领悟
【例题1】解：当t＝1时，s＝3t2＋1，
v＝st＝s?t＋t?－s?t?t
＝3?1＋t?2＋1－312－1t
＝6t＋3?t?2t＝6(m/s)．
当t＝3时，s＝2＋3(t－3)2，
v＝s?t＋t?－s?t?t＝2＋3?3＋t－3?2－2－3?3－3?2t
＝3?t?2t＝3t＝0(m/s)．
物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度分别为6m/s和0m/s.
【例题2】解：∵y＝f(1＋x)－f(1)＝(1＋x)3－1＝3x＋3(x)2＋(x)3.
割线PQ的斜率
yx＝?x?3＋3?x?2＋3xx＝(x)2＋3x＋3.
当x＝0.1时，设割线PQ的斜率为k，
则k＝yx＝(0.1)2＋30.1＋3＝3.31.
【例题3】解：(1)将x＝1代入曲线C的方程，
得y＝1，所以切点为P(1,1)．
因为y＝yx＝?x＋x?3－x3x＝3x2x＋3x?x?2＋?x?3x＝[3x2＋3xx＋(x)2]＝3x2，
所以.
所以过点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)由y－1＝3?x－1?，y＝x3，可得(x－1)2(x＋2)＝0，
解得x1＝x2＝1，x3＝－2.从而求得公共点为P(1,1)或P(－2，－8)，说明切线与曲线C有除切点外的公共点．
【例题4】错因分析：错解中将点M(1,1)当成了曲线y＝x3＋1上的点．因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再根据不同情况求解．
正解：由错解可知y＝3x2，因为点M(1,1)不在曲线y＝x2＋1上，所以设过点M(1,1)的切线与y＝x3＋1相切于点P(x0，x30＋1)，依据导数的几何意义，函数在点P处的切线的斜率为k＝3x20①，过点M(1,1)的切线的斜率k＝x30＋1－1x0－1②，由①＝②得，3x20＝x30x0－1，解之得x0＝0或x0＝32，所以k＝0或k＝274，因此曲线y＝x3＋1过点M(1,1)的切线方程有两条，分别为y－1＝274(x－1)和y＝1，即27x－4y－23＝0和y＝1.
随堂练习巩固
1．Dv＝5－3?1＋t?2－?5－312?t＝－3t－6.
2．C∵f(－1)＝f?－1＋x?－f?－1?x＝[a(x)2－3ax＋3a]＝3a＝3，a＝1.
3．Bf?1?－f?1－2x?2x＝f?1－2x?－f?1?－2x＝f[1＋?－2x?]－f?1?－2x＝f(1)＝－1.
4．12t＝2s时瞬时速度为limt018?2＋t?2－1822t＝limt018(4＋t)＝12.
5．2x－y＋2＝0和2x－y－2＝0令x－1x＝0，得x＝1，曲线与x轴的交点坐标为(1,0)，又f(x)＝1＋1x2，f(1)＝2，所求切线方程为y＝2(x1)，即2x－y2＝0.

《数系的扩充》高中数学选修2—2教案

《数系的扩充》高中数学选修2—2教案
【目标】
1.了解实数系扩充的原因和过程，理解虚单位i的概念，理解复数代数形式、实部、虚部、纯虚数、虚数等概念；
2.理解复数相等概念，了解复数系与实数系的关系；
3.感受数系的扩充和复数的诞生都是人类思想的创新和大解放，每次都引发对自然界更深层次的认识，推动了科学的进步.
【重点】复数的诞生及其概念.复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等.
【难点】．虚单位i的的概念.虚单位i的第二条性质.
【程序】
▲1.问题情境
问题1自然数集N、整数集Z、有理数集Q.实数集R之间有怎样的包含关系呢？
Key:NZ，ZQ，QR,总之NZQR,（数系扩充之意自见）.
接着问：这些数是怎样产生的？
Key:为了计数产生了自然数，
为了表示各种具有相反意义的量产生了负数；
为了测量等产生了分数
为了度量正方形对角线的长产生了无理数.
发现1：数集在按照某种“规则”不断扩充，（实践的需要、解决数学体系内部矛盾的推动）
数系与运算联系紧密，（数集无运算，犹无弓之箭；运算离开数系，犹如无米之炊）.
人们总希望数系中的运算能够在本数系中畅通无阻.
数系的每一次扩充的效果，是解决了在原有数集中某种运算受阻的矛盾，
负数解决了在正数集（如N）中不够减的矛盾，
分数解决了在整数中不能整除的矛盾，
无理数解决了开方开不尽的矛盾.

接着问：数系一般按照什么样的“规则”扩充？
Key:“规则”就是
在原有数系的基础上“添加”新的数.
▲2.实数系也面临着问题（内部矛盾）
数系扩到实数系R以后，因为没有一个实数的平方等于－1.
问题：这表明什么运算在实数系R中不能畅通无阻？（答：开方运算）
从方程的观点看，像x2=－1这样的方程在实数系R还是无解的.
让我们尝试来克服这个矛盾.
▲3.大胆类比、解放思想

评：自然数N中“添加”新数-1，就“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”.
在实数中引入了一个新数，也能取到这种效果吗？

▲4.严格定义、理清思路
我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定
(1)它的平方等于-1，即;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

这就规定了虚数单位i的两条本质属性.

▲5.“添加”虚数单位，诞生新的数系
（1）i与实数相乘，得形如bi的数，当b≠0时，称bi为纯虚数.这就“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”
（2）形如bi的数与实数相加，得形如的数叫复数.
复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示
复数通常用字母z表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式
▲6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系
对于复数，
当且仅当b=0时，复数是实数；
当b≠0时，复数叫做虚数；
当b≠0且=0时，叫做纯虚数；
当且仅当=b=0时，z=+bi就是实数0.

▲7.例题解析
例1请说出复数4，0，，6的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
由学生回答：
例2实数m取什么数值时，复数z=m（m-1）+(m－1)i是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
【分析】因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.
解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；
(3)当m（m-1）=0，且m－1≠0时，即m=0时，复数z是纯虚数.
▲8.复数相等的定义
（2）相等的复数定义：设a，b，c，d∈R，a＋bi＝c＋di.
若,.
例3.已知(x+y)+(x－2y)i=(2x－5)+(3x+y)i，其中x，y∈R，求x与y的值.
解：根据复数相等的定义，得，所以x=3，y=－2
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
▲9.小结
通过在实数中引入虚单位,我们将实数集扩张成了复数集.
1.认识了虚单位i，i具有两条本质属性.
2.理解了实数集扩充到复数集的原因和过程.
3.知道了a＋bi成为实数、虚数、纯虚数的条件.
简单地说：
b＝0a＋bi为实数；
b≠0a＋bi为虚数；
b≠0，a＝0a＋bi是纯虚数．
｛复数｝＝｛实数｝∪｛虚数｝
4.理解复数相等的定义.
▲10.作业
1.设计数集的文氏图，用它来表示实数、虚数、纯虚数等数集的包含关系.下面正确的是（）

2.a=0是复数z=a+bi为纯虚数的什么条件?
答：必要非充分条件
3.与－1的关系:就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－!
4.复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？
答：实部是3.14，虚部是－2.
易错为：实部是－2，虚部是3.14！
5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.

数系的扩充与复数的概念

3.1.1数系的扩充与复数的概念
【教学目标】
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
（3）了解复数的代数表示方法
【教学重难点】
重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念
难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解
【教学过程】
一、创设情景、提出问题
问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢？

问题3：把实数和新引进的数i像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？
二、学生活动
1.复数的概念：
⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：
①＿＿＿＿＿＿＿＿＿
②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．
⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．
(4)对于复数a+bi(a,b∈R),
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;
当＿＿＿＿＿＿＿时,叫做虚数;
当＿＿＿＿＿＿＿时,叫做纯虚数;
2.学生分组讨论
⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?

⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?

⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？
3.练习：
(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？
2+2i,0.618,2i/7,0,
5i+8,3-9i
(2)、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数
三、归纳总结、提升拓展
例1实数m分别取什么值时，复数
z＝m+1＋(m-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：

归纳总结：
确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：练习：实数m分别取什么值时，复数
z＝m2+m-2＋(m2-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是
a+bi=c+di_______________________（a、b、c、d为实数）
由此容易出：a+bi=0_______________________
例2已知x+2y+(2x+6)i=3x-2,其中，x,y为实数，求x与y．

四、反馈训练、巩固落实
1、若x,y为实数，且2x-2y+(x+y)i=x-2i
求x与y.

2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.