高一数学下册《直线与圆的位置关系》知识点整理。
教案课件是老师工作中的一部分，大家在着手准备教案课件了。将教案课件的工作计划制定好，这样我们接下来的工作才会更加好！你们知道适合教案课件的范文有哪些呢？下面的内容是小编为大家整理的高一数学下册《直线与圆的位置关系》知识点整理，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！
高一数学下册《直线与圆的位置关系》知识点整理
一、教学目标
1、知识与技能
(1)理解直线与圆的位置的种类;
(2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离;
(3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
2、过程与方法
设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
(1)当时，直线与圆相离;
(2)当时，直线与圆相切;
(3)当时，直线与圆相交;
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.
二、教学重点、难点：
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
难点：用坐标法判直线与圆的位置关系.
三、教学设想问题设计意图
师生活动
1.初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类?
启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课.
师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课.
生：看图，并说出自己的看法.
2.直线与圆的位置关系有哪几种呢?得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类.
师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化数形结合的数学思想.问题设计意图
师生活动
生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系.
3.在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢?
使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力.
师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程.
生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程.
4.你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗?
抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法.
师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法.
生：利用图形，寻找两种方法的数学思想.
5.你能两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗?
体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系.
师：指导学生阅读教科书上的例1.
生：新闻记者教科书上的例1，并完成教科书第136页的练习题2.
6.通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗?
使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤.
生：阅读例1.
师;分析例1，并展示解答过程;启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间.
生：交流自己总结的步骤.
师：展示解题步骤.
7.通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗?
进一步深化数形结合的数学思想.
师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用数形结合的数学思想解决问题.
生：阅读教科书上的例2，并完成第137页的练习题.问题设计意图
师生活动
8.通过例2的学习，你发现了什么?
明确弦长的运算方法.
师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法.
生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法.
9.完成书上练习
巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系.
师：引导学生完成练习题.
生：互相讨论、交流，完成练习题.
10.课堂小结：
教师提出下列问题让学生思考：
(1)通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么?
(2)判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么?
(3)如何求出直线与圆的相交弦长?
延伸阅读
高一数学下册《直线与圆的位置关系》学案人教版
一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师能够井然有序的进行教学。你知道怎么写具体的教案内容吗？小编为此仔细地整理了以下内容《高一数学下册《直线与圆的位置关系》学案人教版》，相信您能找到对自己有用的内容。
高一数学下册《直线与圆的位置关系》学案人教版
《直线与圆的位置关系》是在学生掌握了直线与圆的方程表达形式的基础上，引导学生用解方程组的办法来学习该节内容。该方法在解决直线与圆的位置关系时，有时也不太方便(因为计算量大)，而初中平面几何中的几何法却显得简单而易掌握，所以在安排该节例题时，我特意进行了教学设计，让学生去感受、体会何种情况下用代数法，何种情况下用几何法解题更为简捷。本节课主要针对学习过的圆的标准方程，一般方程的运用，讨论直线和圆的位置关系。
设计思想
通过探究式教学方法(即以问题的发现、解决、应用为主线;以观察、分析、讨论为手段;以强化能力、创新、发展为目的;以教师“导”，学生“动”，围绕“疑”字做文章)在探究疑难问题中学习和创新，使课堂教学从过去的“传授知识”转变为“探究知识”，从过去的“教师唱主角”变为“学生演大戏”，充分发挥学生的主体作用，让学生在获取知识的同时，体验科学探究的过程，增强学生学习的兴趣。《直线与圆的位置关系》在初中《平面几何》里学生已经学过从几何图形角度去判断的，即看圆心到直线的距离与圆半径大小比较，而高中《解析几何》中安排这一内容，还可以从代数中方程的观点去破解，即看直线方程与圆方程所联立方程组解的个数，来确定直线和圆的位置关系。该节内容充分体现了数学中“数形结合”这一重要思想。我本着新课程理念，以人为本，关注人的全面而有个性的发展，在本节内容设计的，创设情境环节，我在黑板上写了一个成语，“旭日东升”，激发学生头脑中浮现着一个生动的画面——晴朗的早晨，一轮红日从东方的地平线下冉冉升起，又通过我的演示，使学生从想象和视觉两个角度去感受直线和圆的位置关系的动态变化。激发学生的兴趣，陶冶学生的情操。接着，让学生回忆初中平面几何中直线与圆的位置关系及判定方法，并告诉学生这些都是从“形”的观点来研究的。提醒学生能否从“数”的观点来研究?什么样的一门数学学科解决了把“形”的问题转化为“数”的问题来解决?让学生体会并感受到运用《平面解析几何》中联立方程组等知识可以解决这一问题，其具体指导思想为：引入平面直角坐标系，把点用坐标来表示，曲线(直线)用方程来表示，从而把“形”的问题转化为“数”的问题来解决，体现数形结合这一个重要的数学思想和方法。
平面直角坐标系中，直线用二元一次方程Ax+By+C=0来表示，圆用特殊的二元二次方程或来表示，自然而然地想到类比于处理两条直线位置关系的方法(即联立方程组)，根据方程组解的个数来判断直线与圆的关系。
教学目标
1.知识目标：掌握通过联立方程组解的个数讨论来研究直线与圆的位置关系;掌握利用圆心到直线的距离与半径大小关系来判断直线与圆的位置关系;能够熟练运用几何法，代数法判断直线与圆的位置关系，并理解待定系数法解题的思路。
2.能力目标：学生通过经历观察，分析，总结，实践等数学活动，理解并能用几何法，代数法判断直线与圆相交，相切，相离。应用待定系数法解决直线与圆的位置关系，培养学生的分析问题和解决问题的能力。运用数形结合、分类讨论、类比等数学思想和方法的能力。
3.过程目标：
①学生通过学习直线与圆的位置关系，体会数形结合的数学思想，培养学生观察，分析问题的能力。
②通过问题的引入，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生积极参与学习，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，树立学习数学的自信心。
4.情感目标：让学生从运动的角度观察直线与圆相交，相切，相离的关系，关注知识的生成，发展与变化的过程，主动探索，勇于发现，从而领悟世界上的一切物体都是运动变化的辩证唯物主义观点。增强学生对数学美的认识和追求;增强学生互助合作的能力，深刻认识“生存与共存”的关系。
教学重点与难点
教学重点：判断直线与圆的位置关系。
教学难点：运用几何法，代数法判断直线与圆的位置关系的理论依据及法则的得出。
教学方法和学法指导
1.教学方法：引导探究法、讲练结合。
2.学法指导：通过对平面几何相关问题的观察，分析，总结，借助数形结合思想解决问题。
教学手段：教学多媒体电脑、教学光盘、圆规、直尺、圆纸板
教学程序设计：
[媒体演示，引入生境]
老师在黑板上写上“旭日东升”的成语，让一学生解释该成语的意思，老师叙述情景：晴朗的早晨，一轮红日从东方地平线上升起，那么在太阳升起的过程中，太阳与地平线的相对位置关系是动态变化着的。
(媒体动画演示)：如果把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，那么太阳升起的画面，就展现了平面内一个圆与一条直线的相对位置关系的变化过程!
这节课，我们就来一起探讨同一平面内直线和圆的位置关系。(板书：直线与圆的位置关系)
[复习回顾]
师：我们学过了直线和圆的方程，请问：(学生回答)
问题一：直线的一般方程是什么?学生1：Ax+By+C=0
圆的标准方程是什么?学生2：
圆的一般方程是什么?学生3：
问题二：平面几何中，我们是如何判断直线和圆的位置关系?(学生作答，媒体展示图形。)
问题三：平面几何中解决直线与圆的位置关系方法是从图形本身出发，即从“形”的角度来研究的，那么我们能否从数的观点来研究呢?
学生讨论：发现《平面解析几何》这门数学学科能解决这一问题。平面直角坐标系中直线用二元一次方程Ax+By+C=0来表示，圆用二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)来表示。
问题四：从方程观点如何刻画直线和圆的关系?
学生讨论：联立方程组从解的个数去判断(类比于处理两条直线位置关系)。
师：我们在初中平面几何中学过的直线和圆有几种位置关系，那麽直线和圆有几种位置关系呢?
生：直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相交。
师：在平面几何中这些位置关系用数量特征如何表示出来的?(学生独立把三种位置关系画出来)
师：直线与圆的位置关系如何判断?
生：直线与圆的位置关系的数量特征：
直线与圆相离dr
直线与圆相交d=r
直线与圆相切d
[探索发现，尝试解决](媒体展示)观察发现。
师：在平面几何中判断直线与圆的位置关系的关键是比较d与r的大小关系，即把直线和圆的位置关系转化为圆心到直线的距离和圆的半径大小的比较，在初中因为已知线段的长度，我们经常通过勾股定理计算d，现在没有线段的长，已知直线和圆的方程由该如何比较呢?
生：d是圆心到直线的距离，可以用点到直线的距离。
师：那点到直线的距离公式是?
生：d=
师：用点到直线的距离公式的关键是?
生：找对圆心的坐标。
师：圆的那个方程容易找到圆心的坐标?
生：圆的标准方程。
师：这种利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系的方法叫做几何法。
[知识应用·典例剖析]
例1：判断直线x-y+2=0与圆(x-2)2+(y-2)2=1的位置关系。
解法1：(几何法)圆心C(2,2)到直线x-y+2=0的距离为
故直线与圆相离。
例2：判断直线x+y+1=0与圆x2+y2-2y-3=0的位置关系。
分析：如果题目已知圆的标准方程，可以很方便的利用几何法判断直线与圆的位置关系。若已知圆的一般方程，先将圆的一般方程变化成标准方程，再利用几何法判断直线与圆的位置关系。
解法1：圆的标准方程为：x2+(y-1)2=22
故圆心(0，1)到x+y+1=0的距离为
故直线与圆相交。
师：在平面几何中直线与圆的位置关系是如何定义的?
生：(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.
(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.
(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.
师：观察一下几何图形，从代数的角度考虑看看有没有新的发现?
生：直线与圆的交点个数不同呀!
师：很棒!已知直线和圆的方程，直线与圆的交点个数如何转化为代数形式，和方程如何联系起来呢?把几何形式的问题转化为代数形式是解析几何的解题思想，即就是把曲线有无交点转化为方程有无实根的问题，把曲线的交点个数转化为方程组的根的个数的问题，一般通过联立方程研究一元二次方程根的问题。
师：如何运用数学语言描述一元二次方程的根?
生：常用判别式研究一元二次方程根的个数。
师：非常好!我们可以从代数的角度利用一元二次方程的判别式判断直线与圆的位置关系，这种方法叫做代数法。
[知识应用·典例剖析]
例1：判断直线x-y+2=0与圆(x-2)2+(y-2)2=1的位置关系。
分析：用几何法判断关键是找对圆心，利用点到直线距离公式，求解此题也可用代数法
来解决。
解法2：(代数法)联立
得2x2-4x+3=0
由△=(-4)2-4×2×3=-80
故直线与圆相离。
总结：消去变量y得关于x的一元二次方程,根据判别式，判断一元二次方程根的情况，从而得出结论。
例2：判断直线x+y+1=0与圆x2+y2-2y-3=0的位置关系。
分析：从直线与圆的交点个数来考查，利用代数法求解。将圆的一般方程化为标准方程用几何法求解。
解法1：联立
得y2-1=0
由△=02-4×(-1)=40
故直线与圆相交。
[反思总结]圆的相关问题可以从几何图形去考虑，并归结为圆心及半径的问题，进行相关计算求解，比较d与r的大小，即几何法。也可联立方程，利用方程组解决，消去一个变量将方程组化为一个一元二次方程，再利用一元二次方程的判别式判断直线与圆的位置关系，直线与圆相离方程没有实数解△0，直线与圆相切方程有一个实数解△=0，直线与圆相交方程有两个实数解△0，即代数法。请同学们独立完成以下小结。
[小结]直线与圆的位置关系
几何法：直线：Ax+By+C=0
圆：
d=
直线与圆相离dr
直线与圆相交d=r
直线与圆相切d
代数法：直线：Ax+By+C=0
圆：
联立：
削去y，得ax2+bx+c=0
且判别式△=b2-4ac
直线与圆相离方程没有实数解△0
直线与圆相切方程有一个实数解△=0
直线与圆相交方程有两个实数解△0
例3：已知圆的方程是x2+y2=2，当b为何值时，直线y=-x+b与圆有两个交点;有一个
交点;没有交点?
分析：直线与圆的位置关系问题，可利用二次方程根的判别式的知识，采用待定系数法来确定圆的切线方程，此方法还可以扩展到求其他圆锥曲线的切线及相交问题。
解法1：联立
得2x2-2bx+b2-2=0
△=(-2b)2-4×2(b2-2)=-4b2+16
当△0，即-2
当△=0，即b=2或-2时，直线与圆相切，直线与圆有一个交点。
当△0，即b-2或b2时，直线与圆相离，直线与圆没有交点。
解法2：圆心C(0,0)到x+y-b=0的距离为：
当d
当d=r，即b=2或-2时，直线与圆相切，直线与圆有一个交点。
当dr，即b-2或b2时，直线与圆相离，直线与圆没有交点。
[练习]判断以下直线与圆的位置关系。
1.x-2y+5=0与(x-2)2+(y-2)2=1
2.y=-2x与x2+y2-4x-2y=0
3.y=-x-1与x2+y2-2y-24=0
答案：1.相离2.相切3.相交
[学生回顾]
1、本节课你学会了什么?
2、本节课运用了哪些数学思想和方法?
[布置作业]
1.课本P1072、4
2.直线x=a(a0)与圆(x-1)2+y2=4相切，求a的取值范围。
3.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，求a的取值范围。
[课堂小结]1.判断直线与圆的位置关系：几何法、代数法
2.能用待定系数法解决直线与圆的位置关系。
[板书设计]略
高一数学《直线与圆的位置关系》学案分析
一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。高中教案的内容具体要怎样写呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“高一数学《直线与圆的位置关系》学案分析”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。
高一数学《直线与圆的位置关系》学案分析
一、教材
《直线与圆的位置关系》是高中人教版必修2第四章第二节的内容，直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆与圆的位置关系的基础。从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。
二、学情
学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定;且在上节的学习过程中掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式;掌握利用方程组的方法来求直线的交点;具有用坐标法研究点与圆的位置关系的基础;具有一定的数形结合解题思想的基础。
三、教学目标
(一)知识与技能目标
能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系;可以利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法简单判断出直线与圆的关系。
(二)过程与方法目标
经历操作、观察、探索、总结直线与圆的位置关系的判断方法，从而锻炼观察、比较、概括的逻辑思维能力。
(三)情感态度价值观目标
激发求知欲和学习兴趣，锻炼积极探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯。
四、教学重难点
(一)重点
用解析法研究直线与圆的位置关系。
(二)难点
体会用解析法解决问题的数学思想。
五、教学方法
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持.在教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。
六、教学过程
(一)导入新课
教师借助多媒体创设泰坦尼克号的情景，并从中抽象出数学模型：已知冰山的分布是一个半径为r的圆形区域，圆心位于轮船正西的l处，问，轮船如何航行能够避免撞到冰山呢?如何行驶便又会撞到冰山呢?
教师引导学生回顾初中已经学习的直线与圆的位置关系，将所想到的航行路线转化成数学简图，即相交、相切、相离。
设计意图：在已有的知识基础上，提出新的问题，有利于保持学生知识结构的连续性，同时开阔视野，激发学生的学习兴趣。
(二)新课教学——探究新知
教师提问如何判断直线与圆的位置关系，学生先独立思考几分钟，然后同桌两人为一组交流，并整理出本组同学所想到的思路。在整个交流讨论中，教师既要有对正确认识的赞赏，又要有对错误见解的分析及对该学生的鼓励。
判断方法：
(1)定义法：看直线与圆公共点个数
即研究方程组解的个数，具体做法是联立两个方程，消去x(或y)后所得一元二次方程，判断△和0的大小关系。
(2)比较法：圆心到直线的距离d与圆的半径r做比较，
(三)合作探究——深化新知
教师进一步抛出疑问，对比两种方法，由学生观察实践发现，两种方法本质相同，但比较法只适合于直线与圆，而定义法适用范围更广。教师展示较为基础的题目，学生解答，总结思路。
已知直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1,判断它们的位置关系?
让学生自主探索,讨论交流，并阐述自己的解题思路。
当已知了直线与圆的方程之后，圆心坐标和半径r易得到，问题的关键是如何得到圆心到直线的距离d，他的本质是点到直线的距离，便可以直接利用点到直线的距离公式求d。类比前面所学利用直线方程求两直线交点的方法，联立直线与圆的方程，组成方程组，通过方程组解得个数确定直线与圆的交点个数，进一步确定他们的位置关系。最后明确解题步骤。
(四)归纳总结——巩固新知
为了将结论由特殊推广到一般引导学生思考：
可由方程组的解的不同情况来判断：
当方程组有两组实数解时，直线l与圆C相交;
当方程组有一组实数解时，直线l与圆C相切;
当方程组没有实数解时，直线l与圆C相离。
活动：我将抽取两位同学在黑板上扮演，并在巡视过程中对部分学生加以指导。最后对黑板上的两名学生的解题过程加以分析完善。通过对基础题的练习，巩固两种判断直线与圆的位置关系判断方法，并使每一个学生获得后续学习的信心。
(五)小结作业
在小结环节，我会以口头提问的方式：
(1)这节课学习的主要内容是什么?
(2)在数学问题的解决过程中运用了哪些数学思想?
设计意图：启发式的课堂小结方式能让学生主动回顾本节课所学的知识点。也促使学生对知识网络进行主动建构。
作业：在学生回顾本堂学习内容明确两种解题思路后，教师让学生对比两种解法，那种更简捷，明确本节课主要用比较d与r的关系来解决这类问题，对用方程组解的个数的判断方法，要求学生课外做进一步的探究，下一节课汇报。
七、板书设计
我的板书本着简介、直观、清晰的原则，这就是我的板书设计。
人教版高一数学下册《直线圆的位置关系》知识点复习
古人云，工欲善其事，必先利其器。作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师营造一个良好的教学氛围。优秀有创意的教案要怎样写呢？下面是由小编为大家整理的“人教版高一数学下册《直线圆的位置关系》知识点复习”，希望能为您提供更多的参考。
人教版高一数学下册《直线圆的位置关系》知识点复习
由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系：
（1）相交：直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点．
（3）相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离．
直线与圆的位置关系的数量特征
1、迁移：点与圆的位置关系
（1）点P在⊙O内dr．
2、归纳概括：
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么
(1)直线l和⊙O相交dr．
练习题：
1．直线L上的一点到圆心的距离等于⊙O的半径，则L与⊙O的位置关系是（）
A．相离
B．相切
C．相交
D．相切或相交
2．圆的最大的弦长为12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么（）
A．d6cm
B．6cmd12cm
C．d≥6cm
D．d12cm
3．P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，Q是优弧AB上的一点，设∠APB=α，∠AQB=β，则α与β的关系是（）
A．α=β
B．α+β=90°
C．α+2β=180°
D．2α+β=180°
4．在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA=4，PB=7，CD=12，则以PC、PD的长为根的一元二次方程为（）
A．x2+12x+28=0
B．x2－12x+28=0
C．x2－11x+12=0
D．x2+11x+12=0
高一数学下册《点、线、面之间的位置关系》知识点整理
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。教案的内容具体要怎样写呢？下面是由小编为大家整理的“高一数学下册《点、线、面之间的位置关系》知识点整理”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
高一数学下册《点、线、面之间的位置关系》知识点整理
1.直线在平面内的判定
(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.
(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.
(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.
(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.
(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.
2.存在性和唯一性定理
(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条;
(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条;
(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个;
(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条;
(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个;
(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个;
(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个;
(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.
3.射影及有关性质
(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.
(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.
和射影面垂直的直线的射影是一个点;不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.
(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.
当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段;
当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.
(4)射影的有关性质
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长;
(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长;
(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.
4.空间中的各种角
等角定理及其推论
定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.
推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
异面直线所成的角
(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围：0°θ≤90°.
(3)求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ;
②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
5.直线和平面所成的角
(1)定义和平面所成的角有三种：
(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.
(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)取值范围0°≤θ≤90°
(3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.
②解含θ的三角形，求出其大小.
③最小角定理
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.
6.二面角及二面角的平面角
(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.
若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.
二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是
0°θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.
②二面角的平面角具有下列性质：
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.
(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.
(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定义法
(ii)垂面法
(iii)三垂线法
(Ⅳ)根据特殊图形的性质
(4)求二面角大小的常见方法
①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.
②利用面积射影定理
S′=S·cosα
其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.
③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.
7.空间的各种距离
点到平面的距离
(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
(2)求点面距离常用的方法：
1)直接利用定义求
①找到(或作出)表示距离的线段;
②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.
2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.
3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S;③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.
4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.
8.直线和平面的距离
(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.
(2)求线面距离常用的方法
①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.
②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.
③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.
9.平行平面的距离
(1)定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.
(2)求平行平面距离常用的方法
①直接利用定义求
证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.
②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.
10.异面直线的距离
(1)定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.
任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.
(2)求两条异面直线的距离常用的方法
①定义法题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.
此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.
②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离
③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法
