高一数学下册《点、线、面之间的位置关系》知识点整理。

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。教案的内容具体要怎样写呢？下面是由小编为大家整理的“高一数学下册《点、线、面之间的位置关系》知识点整理”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

高一数学下册《点、线、面之间的位置关系》知识点整理

1.直线在平面内的判定

(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.

(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.

(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.

(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.

(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.

2.存在性和唯一性定理

(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条;

(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条;

(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个;

(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条;

(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个;

(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个;

(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个;

(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.

3.射影及有关性质

(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.

(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.

和射影面垂直的直线的射影是一个点;不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.

(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.

当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段;

当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.

(4)射影的有关性质

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：

(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长;

(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长;

(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.

4.空间中的各种角

等角定理及其推论

定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.

推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.

异面直线所成的角

(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.

(2)取值范围：0°θ≤90°.

(3)求解方法

①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ;

②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.

5.直线和平面所成的角

(1)定义和平面所成的角有三种：

(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.

(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.

(2)取值范围0°≤θ≤90°

(3)求解方法

①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.

②解含θ的三角形，求出其大小.

③最小角定理

斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.

6.二面角及二面角的平面角

(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.

(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.

若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.

二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是

0°θ≤180°

(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.

如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.

②二面角的平面角具有下列性质：

(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.

(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.

(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.

③找(或作)二面角的平面角的主要方法.

(i)定义法

(ii)垂面法

(iii)三垂线法

(Ⅳ)根据特殊图形的性质

(4)求二面角大小的常见方法

①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.

②利用面积射影定理

S′=S·cosα

其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.

③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.

7.空间的各种距离

点到平面的距离

(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

(2)求点面距离常用的方法：

1)直接利用定义求

①找到(或作出)表示距离的线段;

②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.

2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.

3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S;③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.

4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.

8.直线和平面的距离

(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.

(2)求线面距离常用的方法

①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.

②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.

③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.

9.平行平面的距离

(1)定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.

(2)求平行平面距离常用的方法

①直接利用定义求

证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.

②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.

10.异面直线的距离

(1)定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.

任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.

(2)求两条异面直线的距离常用的方法

①定义法题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.

此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.

②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离

③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法

扩展阅读

高一数学下册《直线与圆的位置关系》知识点整理

教案课件是老师工作中的一部分，大家在着手准备教案课件了。将教案课件的工作计划制定好，这样我们接下来的工作才会更加好！你们知道适合教案课件的范文有哪些呢？下面的内容是小编为大家整理的高一数学下册《直线与圆的位置关系》知识点整理，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

高一数学下册《直线与圆的位置关系》知识点整理

一、教学目标

1、知识与技能

(1)理解直线与圆的位置的种类;

(2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离;

(3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.

2、过程与方法

设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

(1)当时，直线与圆相离;

(2)当时，直线与圆相切;

(3)当时，直线与圆相交;

3、情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.

二、教学重点、难点：

重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.

难点：用坐标法判直线与圆的位置关系.

三、教学设想问题设计意图

师生活动

1.初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类?

启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课.

师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课.

生：看图，并说出自己的看法.

2.直线与圆的位置关系有哪几种呢?得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类.

师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化数形结合的数学思想.问题设计意图

师生活动

生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系.

3.在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢?

使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力.

师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程.

生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程.

4.你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗?

抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法.

师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法.

生：利用图形，寻找两种方法的数学思想.

5.你能两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗?

体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系.

师：指导学生阅读教科书上的例1.

生：新闻记者教科书上的例1，并完成教科书第136页的练习题2.
6.通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗?

使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤.

生：阅读例1.

师;分析例1，并展示解答过程;启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间.

生：交流自己总结的步骤.

师：展示解题步骤.

7.通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗?

进一步深化数形结合的数学思想.

师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用数形结合的数学思想解决问题.

生：阅读教科书上的例2，并完成第137页的练习题.问题设计意图

师生活动

8.通过例2的学习，你发现了什么?

明确弦长的运算方法.

师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法.

生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法.

9.完成书上练习

巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系.

师：引导学生完成练习题.

生：互相讨论、交流，完成练习题.

10.课堂小结：

教师提出下列问题让学生思考：

(1)通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么?

(2)判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么?

(3)如何求出直线与圆的相交弦长?

高一数学下册《空间点直线平面之间的位置关系》知识点人教版

俗话说，凡事预则立，不预则废。作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是由小编为大家整理的“高一数学下册《空间点直线平面之间的位置关系》知识点人教版”，希望能对您有所帮助，请收藏。

高一数学下册《空间点直线平面之间的位置关系》知识点人教版

1.平面

(1)平面概念的理解

直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分。

抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄。

(2)平面的表示法

①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面。

②字母表示：常用等希腊字母表示平面。

(3)涉及本部分内容的符号表示有：

①点A在直线l内，记作；

②点A不在直线l内，记作；

③点A在平面内，记作；

④点A不在平面内，记作；

⑤直线l在平面内，记作；

⑥直线l不在平面内，记作；

注意：符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系。

(4)平面的基本性质

公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

符号表示为：．

注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：直线AB存在唯一的平面，使得。

注意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”来代替．此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

注意：两个平面有一条公共直线，我们说这两个平面相交，这条公共直线就叫作两个平面的交线．若平面、平面相交于直线l，记作。

公理的推论：

推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

2．空间直线

(1)空间两条直线的位置关系

①相交直线：有且仅有一个公共点，可表示为;

②平行直线：在同一个平面内，没有公共点，可表示为a//b;

③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

(2)平行直线

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线。

定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

(3)两条异面直线所成的角

注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]。

②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出。

③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法：

(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点。

(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现。

(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围。

3．空间直线与平面

直线与平面位置关系有且只有三种：

(1)直线在平面内：有无数个公共点；

(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点；

(3)直线与平面平行：没有公共点。

4．平面与平面

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

(1)两个平面平行：没有公共点；

(2)两个平面相交：有一条公共直线。

练习题：

1．在下列命题中，不是公理的是()

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

解析：B、C、D都是公理，只有A不是．

答案：A

2．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()

①P∈a，P∈αaα

②a∩b＝P，bβαβ

③a∥b，aα，P∈b，P∈αbα

④α∩β＝b，P∈α，P∈βP∈b

A．①②

B．②③

C．①④D．③④

解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但aα，∴①错；a∩β＝P时，②错；

∵a∥b，P∈b，∴Pa，

∴由直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴bα，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．

答案：D

高考数学（理科）一轮复习空间点、线、面之间的位置关系学案

学案42空间点、线、面之间的位置关系

导学目标：1.理解空间直线、平面位置关系的含义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
自主梳理
1．平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过______________的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
共面直线异面直线：不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．
②范围：______________.
3．直线与平面的位置关系有________、______、________三种情况．
4．平面与平面的位置关系有______、______两种情况．
5．平行公理
平行于______________的两条直线互相平行．
6．定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．
自我检测
1．(2011•泉州月考)若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是()
A．相交B．相交或异面
C．平行或异面D．平行、相交或异面
2．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b()
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
3．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()
4．(2010•全国Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()
A．30°B．45°
C．60°D．90°
5．下列命题：
①空间不同三点确定一个平面；
②有三个公共点的两个平面必重合；
③空间两两相交的三条直线确定一个平面；
④三角形是平面图形；
⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；
⑥垂直于同一直线的两直线平行；
⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；
⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是________．(填序号)
探究点一平面的基本性质
例1
如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.
(1)求AH∶HD；
(2)求证：EH、FG、BD三线共点．

变式迁移1
如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.
求证：B、D、O三点共线．

探究点二异面直线所成的角
例2(2009•全国Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()
A.34B.54C.74D.34
变式迁移2(2011•淮南月考)在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝3，且AD⊥BC，对角线BD＝132，AC＝32，求AC和BD所成的角．
转化与化归思想的应用
例
(12分)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．
多角度审题对(1)只需求出高PO，易得体积；对(2)可利用定义，过E点作PA的平行线，构造三角形再求解．
【答题模板】
解(1)在四棱锥P—ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，
∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，[2分]
在Rt△AOB中，∵BO＝AB•sin30°＝1，又PO⊥OB，∴PO＝BO•tan60°＝3，
∵底面菱形的面积S＝2×12×2×2×32＝23，
∴四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD＝13×23×3＝2.[6分]
(2)
取AB的中点F，连接EF，DF，
∵E为PB中点，∴EF∥PA，
∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．[8分]
在Rt△AOB中，
AO＝AB•cos30°＝3，
∴在Rt△POA中，PA＝6，∴EF＝62.
在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝3，
由余弦定理得cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22DE•EF[10分]
＝32＋622－322×3×62＝6432＝24.
所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为24.[12分]
【突破思维障碍】
求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点．总之，顶点的选择要与已知量有关，以便于计算，具体步骤如下：
(1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；(2)证明作出的角即为所求角；(3)利用三角形来求解，异面直线所成角的范围是(0°，90°]．
【易错点剖析】
1．求异面直线所成的角时，仅指明哪个角，而不进行证明．
2．忘记异面直线所成角的范围，余弦值回答为负值．
1．利用平面基本性质证明“线共点”或“点共线”问题：
(1)证明共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上，有时也可将问题转化为证明三点共线．
(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
2．异面直线的判定方法：
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
(2)反证法：用此方法可以证明两直线是异面直线．
3．求异面直线所成的角的步骤：
(1)一般是用平移法(可以借助三角形的中位线、平行四边形等)作出异面直线的夹角；
(2)证明作出的角就是所求的角；
(3)利用条件求出这个角；
(4)如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()
A．异面B．相交
C．平行D．异面或相交
2．给出下列命题：
①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；③一定存在平面α同时和异面直线a、b都平行．其中正确的命题为()
A．①B．②C．③D．①③
3．(2011•宁德月考)
如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为()
A．90°B．60°C．45°D．0°
4．(2009•全国Ⅱ)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()
A.1010B.15C.31010D.35
5．(2011•三明模拟)正四棱锥S—ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为()
A．30°B．45°C．60°D．90°
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.则正确结论的序号是______．
7．(2009•四川)如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
8．如图所示，正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011•温州月考)
如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．
求证：(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．

10．(12分)
在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱CC1，A1D1，A1B1的中点，画出过这三点的截面，并求这个截面的周长．

11．(14分)(2011•舟山模拟)
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E为AB的中点．
(1)求证：AC⊥平面BDD1；
(2)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值．
(3)求点B到平面A1EC的距离．

学案42空间点、线、面之间的位置关系
自主梳理
1．两点不在一条直线上一条2.(1)平行相交
(2)①锐角或直角②0，π23.平行相交在平面内
4．平行相交5.同一条直线6.相等或互补
自我检测
1．D[a，c都与直线b异面，并不能确定直线a，c的关系．]
2．C[a，b是异面直线，直线c∥直线a.
因而cDb，
否则，若c∥b，则a∥b与已知矛盾，
因而cDb.]
3．C[A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；
D中RS和PQ相交．]
4．C[
将直三棱柱ABC—A1B1C1补成如图所示的几何体．
由已知易知：该几何体为正方体．
连接C1D，则C1D∥BA1.
∴异面直线BA1与AC1所成的角为∠AC1D(或补角)，
在等边△AC1D中，∠AC1D＝60°.]
5．④
课堂活动区
例1解题导引证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证．
(1)解∵AEEB＝CFFB＝2，∴EF∥AC.
∴EF∥平面ACD.而EF⊂平面EFGH，
且平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH.
而EF∥AC，∴AC∥GH.
∴AHHD＝CGGD＝3，即AH∶HD＝3∶1.
(2)证明∵EF∥GH，且EFAC＝13，GHAC＝14，
∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．
令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，
P∈FG，FG⊂平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．
变式迁移1证明∵E∈AB，H∈AD，
∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.
∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.
同理可证O∈平面BCD，
∴O∈平面ABD∩平面BCD，
即O∈BD，∴B、D、O三点共线．
例2解题导引高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，求异面直线所成角的一般步骤为：
(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点．
(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
D[
如图，A1D⊥平面ABC，且D为BC的中点，设三棱柱的各棱长为1，则AD＝32，由A1D⊥平面ABC知A1D＝12，Rt△A1BD中，易求A1B＝14＋14＝22.
∵CC1∥AA1，∴AB与AA1所成的角即为AB与CC1所成的角．在△A1BA中，由余弦定理可知cos∠A1AB＝1＋1－122×1×1＝34.∴AB与CC1所成的角的余弦值为34.]
变式迁移2解
如图所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.
由三角形的中位线定理知，EF∥AC，且EF＝34，GE∥BD，且GE＝134.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角．
同理，GH∥AD，HF∥BC.GH＝12，HF＝32，
又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，∴GF2＝GH2＋HF2＝1.
在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，
∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.
课后练习区
1．D
2．C[①错，c可与a、b都相交；
②错，因为a、c可能相交也可能平行；
③正确，例如过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件．]
3．B[
将三角形折成三棱锥，如图所示，HG与IJ为一对异面直线，过D分别作HG与IJ的平行线，
因GH∥DF，
IJ∥AD，
所以∠ADF为所求，
因此HG与IJ所成角为60°.]
4．C[
如图所示，连接A1B，则A1B∥CD1故异面直线BE与CD1所成的角即为BE与A1B所成的角．设AB＝a，则A1E＝a，A1B＝5a，
BE＝2a.
△A1BE中，由余弦定理得
cos∠A1BE＝BE2＋A1B2－A1E22BE•A1B
＝2a2＋5a2－a22×2a×5a＝31010.]
5．C[设AC中点为O，则OE∥SC，连接BO，则∠BEO(或其补角)即为异面直线BE和SC所成的角，
EO＝12SC＝22，BO＝12BD＝62，
在△SAB中，cosA＝12ABSA＝322＝64
＝AB2＋AE2－BE22AB•AE，∴BE＝2.
在△BEO中，cos∠BEO＝BE2＋EO2－BO22BE•EO＝12，
∴∠BEO＝60°.
]
6．①③

解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，易知AB⊥EF，AB∥CM，EF与MN异面，MN⊥CD，故①③正确．
7．90°
解析延长A1B1至D，使A1B1＝B1D，则AB1∥BD，
∠MBD就是直线AB1和BM所成的角．设三棱柱的各条棱长为2，
则BM＝5，BD＝22，
C1D2＝A1D2＋A1C21－2A1D•A1C1cos60°
＝16＋4－2×4＝12.
DM2＝C1D2＋C1M2＝13，
∴cos∠DBM＝BM2＋BD2－DM22•BM•BD＝0，∴∠DBM＝90°.
8.36
解析如图，取PB中点N，连接CN、MN.
∠CMN为PA与CM所成的角(或补角)，
设PA＝2，则CM＝3，
MN＝1，CN＝3.
∴cos∠CMN＝MN2＋CM2－CN22MN•CM＝36.
9．证明(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，
∵E、F分别是AB和AA1的中点，
∴EF∥A1B，且EF＝12A1B，(2分)
又∵A1D1綊BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，
∴EF与CD1确定一个平面α，
∴E，F，C，D1∈α，
即E，C，D1，F四点共面．(6分)
(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝12CD1，
∴四边形CD1FE是梯形，
∴CE与D1F必相交，设交点为P，(8分)
则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.(10分)
又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．(12分)
10．解如图所示，连接QR并延长，分别与C1B1，C1D1的延长线交于E，F两点．
连接EP交BB1于M点，
连接FP交DD1于N点．
再连接RM，QN，则五边形PMRQN为过三点P，Q，R的截面．(3分)
由Q，R分别是边A1D1，A1B1的中点，知△QRA1≌△ERB1，(6分)
∴B1E＝QA1＝12a，
由△EB1M∽△EC1P，
知EM∶EP＝EB1∶EC1＝1∶3，(9分)
PM＝23EP＝2312a2＋32a2＝103a，
同理PN＝PM＝103a，
易求RM＝QN＝106a，QR＝22a，
∴五边形PMRQN的周长为10＋22a.
(12分)
11．(1)证明由已知有D1D⊥平面ABCD
得AC⊥D1D，又由ABCD是正方形，
得AC⊥BD，∵D1D与BD相交，∴AC⊥平面BDD1.(4分)
(2)解延长DC至G，使CG＝EB，连接BG、D1G，
∵CG綊EB，∴四边形EBGC是平行四边形．
∴BG∥EC.
∴∠D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角．(6分)
在△D1BG中，D1B＝23，
BG＝5，D1G＝22＋32＝13.
∴cos∠D1BG＝D1B2＋BG2－D1G22D1B•BG
＝12＋5－132×23×5＝1515.
∴异面直线BD1与CE所成角的余弦值是1515.(8分)
(3)解连接A1B，
∵△A1AE≌△CBE，∴A1E＝CE＝5.
又∵A1C＝23，
∴点E到A1C的距离d＝5－3＝2.
∴S△A1EC＝12A1C•d＝6，
S△A1EB＝12EB•A1A＝1.(11分)
又∵VB—A1EC＝VC—A1EB，
设点B到平面A1EC的距离为h，
∴13S△A1EC•h＝13S△A1EB•CB，∴6•h＝2，h＝63.
∴点B到平面A1EC的距离为63.(14分)

人教版高一数学下册《直线圆的位置关系》知识点复习

古人云，工欲善其事，必先利其器。作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师营造一个良好的教学氛围。优秀有创意的教案要怎样写呢？下面是由小编为大家整理的“人教版高一数学下册《直线圆的位置关系》知识点复习”，希望能为您提供更多的参考。

人教版高一数学下册《直线圆的位置关系》知识点复习

由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系：

（1）相交：直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点．

（3）相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离．

直线与圆的位置关系的数量特征

1、迁移：点与圆的位置关系

（1）点P在⊙O内dr．

2、归纳概括：

如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么

(1)直线l和⊙O相交dr．

练习题：

1．直线L上的一点到圆心的距离等于⊙O的半径，则L与⊙O的位置关系是（）

A．相离

B．相切

C．相交

D．相切或相交

2．圆的最大的弦长为12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么（）

A．d6cm

B．6cmd12cm

C．d≥6cm

D．d12cm

3．P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，Q是优弧AB上的一点，设∠APB=α，∠AQB=β，则α与β的关系是（）

A．α=β

B．α+β=90°

C．α+2β=180°

D．2α+β=180°

4．在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA=4，PB=7，CD=12，则以PC、PD的长为根的一元二次方程为（）

A．x2+12x+28=0

B．x2－12x+28=0

C．x2－11x+12=0

D．x2+11x+12=0