高二数学抛物线及其几何性质学案练习题。

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§2.4.2抛物线及其几何性质(2)
一、知识要点
1.了解抛物线过焦点弦的简单性质；
2.在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。
二、典型例题
例1.⑴设是抛物线上一点，为焦点，求的长；
⑵已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的两个交点，求证：。

例2.已知定点，抛物线上的动点到焦点的距离为，求的最小值，并确定取最小值时点的坐标。

例3.设过抛物线的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为，求证：。

例4.已知直线为抛物线相交于点，求证：。

三、巩固练习
1.已知动圆的圆心在抛物线上，且与抛物线的准线相切，求证：圆必经过定点，并求出这个定点。

2.若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标是2，求线段的长。

3.已知抛物线的焦点在轴上，点是抛物线上的一点，到焦点的距离是5，求的值及抛物线的标准方程、准线方程。

四、小结

五、课后作业
1.焦点为的抛物线的标准方程是；
2.顶点在原点，焦点在轴上的抛物线上有一点到焦点的距离为5，则=；
3.已知抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是；
4.已知抛物线的弦垂直于轴，若，则焦点到直线的距离为；
5.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，求线段的长。
6.已知是抛物线上三点，且它们到焦点的距离成等差数列，求证：。

7.直角三角形的三个顶点都在抛物线上，其中直角顶点为原点，所在直线的方程为，的面积为，求该抛物线的方程。

8.是抛物线上两点，且满足，其中为抛物线顶点，
求证：⑴两点的纵坐标乘积为定值；⑵直线恒过一定点。

订正栏：

相关知识

抛物线的简单几何性质（2）导学案

抛物线的简单几何性质（2）导学案
教学目标
1、掌握抛物线的几何性质；2、抛物线与直线的关系。
学习过程
一、课前准备复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程为（）
A、B、或
C、D、或
复习2：已知抛物线的焦点恰好是椭圆的左焦点，则
二、新课导学
★学习探究
探究：抛物线上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：
（1）这点到准线的距离为；
（2）焦点到准线的距离为；
（3）抛物线方程；
（4）这点的坐标是；
（5）此抛物线过焦点的最短的弦长为；
★典型例题
例1过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。

例2（理）已知抛物线的方程，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
小结：（1）直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切；（2）直线与抛物线只有一个公共点时，它们可能相切，也可能相交。
★动手试一试
练习1直线与抛物线相较于A、B两点，求证：
练习2垂直于轴的直线交抛物线于A、B两点，且，求直线AB的方程。

三、总结提升
★学习小结
1、抛物线的几何性质；
2、抛物线与直线的关系。
★知识拓展
过抛物线的焦点F的直线交抛物线于M、N两点，则为
定值，其值为。
四、巩固练习
A组
1、过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|的最小值为（）
A．B．C．D．无法确定
2、抛物线的焦点到准线的距离是（）
A．B．5C．D．10
3、过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）
A．1条B．2条C．3条D．0条
4、若直线与抛物线交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是
B组
1、求过，且与抛物线有一个公共点的直线方程。

2、在抛物线上求一点P，使得点P到直线的距离最短。

3、已知抛物线，过上一点，且与处的切线垂直的直线称为在点的法线。若在点的法线的斜率为，求点的坐标。

五、课后作业
1、已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线与直线交于两点，，求抛物线的方程。
2、从抛物线上各点向轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

高二数学抛物线的性质教案7

8．6抛物线的简单几何性质
我们根据抛物线的标准方程
y2＝2px(p＞0)①
来研究它的几何性质．
1．范围
因为p＞0，由方程①可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y代y，方程①不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程①中，当y=0时，x=0，因此抛物线①的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
例1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，
y2=2px(p＞0)．
因为点M在抛物线上，所以
即
p=2．
因此所求方程是
y2=4x．
的范围内几个点的坐标，得
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分(图8－23)．
在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．
这就是标准方程中2p的一种几何意义(图8－24)．利用抛物线的几何性
抛物线基本特征的草图．
例2探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分(图8－25(1))，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置．
解：如图8－25(2)，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)．由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得
302=2p×40，

练习
1．求适合下列条件的抛物线方程：
(1)顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(5，－4)；
(2)顶点在原点，焦点是F(0，5)；
(3)顶点在原点，准线是x=4；
(4)焦点是F(0，－8)，准线是y=8．
小结：
1、抛物线的几何性质
2、在解题过程中要注意利用数形结合的数学思想

作业：
课本P1231、2、3

§2.3.2抛物线的几何性质（１）

§2.3.2抛物线的几何性质（１）
【学情分析】：
由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。
【教学目标】：
（1）知识与技能：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。
（2）过程与方法：
重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。
（3）情感、态度与价值观：
培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。
【教学重点】：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。
【教学难点】：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质及其应用。
【课前准备】：
Powerpoint或投影片
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图

一、复习引入

1．已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．
解：焦点在x轴负半轴上，=2，所以所求抛物线的标准方程是
2.填空：动点M与定点F的距离和它到定直线的距离的比等于e，则当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．
3.复习椭圆、双曲线几何性质的主要内容：

通过离心率的填空引出抛物线。引起学生的兴趣。
二、抛物线的几何性质类比研究归纳抛物线的几何性质：
引导学生填写表格。通过对比，让学生掌握抛物线的四种图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程。
三、例题讲解例1已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A（4,2），求这条抛物线的准线方程。
解：⑴若抛物线开口向右，
设抛物线的标准方程为
∵
∴
∴抛物线的标准方程为
⑵若抛物线开口向上，
设抛物线的标准方程为
∵
∴
∴抛物线的标准方程为

例2汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少？
让学生运用抛物线的几何性质，写出符合条件的抛物线的准线方程。

三、例题讲解分析：依标准方程特点和几何性质建系，由待定系数法求解，强调方程的完备性。
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．
抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，
所以所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是.

例3过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，
求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则
｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，
因而圆E和准线相切．

运用抛物线的几何性质解决现实生活中的问题，提高学生学习数学的兴趣和综合解题能力。

四、巩固练习1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（B）
（A）10（B）8（C）6（D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（B）
（A）3（B）4（C）5（D）6
3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（C）
（A）（B）（C）（D）
4．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是
5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标
（答案：,M到轴距离的最小值为）

6.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方
因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离
得p=4．
因此，所求抛物线方程为y2=-8x．
又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．
解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由题意
在抛物线上且|MF|=5，故
分层训练，让学生牢牢掌握抛物线的几何性质。

由学生演板．
五、课后练习1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．

2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于

3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．

4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．

5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？

6．已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,其上一点M(2,m)到焦点的距离等于3,求抛物线方程及m值。

习题答案：
1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y
2．90°3．x2＝±16y4．
5．米6．y2=4x,m=或
课后练习注意分层训练，让学生牢牢掌握抛物线的几何性质。

练习与测试：
1.求适合下列条件的抛物线的方程：
（1）顶点在原点，焦点为（0，5）；
（2）对称轴为x轴，顶点在原点，且过点（-3，4）。
2.若P（x0，y0）是抛物线y2=-32x上一点，F为抛物线的焦点，则PF=（）。
（A）x0+8（B）x0-8（C）8-x0（D）x0+16
3.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，求水面宽度。
4.已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．
解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，
所以，即
因此，所求的抛物线方程为．

5.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程是(p＞0)．
由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得，
即
所求的抛物线标准方程为．

§2.3.２抛物线的几何性质（２）

§2.3.２抛物线的几何性质（２）
【学情分析】：
由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。
【教学目标】：
（1）知识与技能：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。
（2）过程与方法：
重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。
（3）情感、态度与价值观：
培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。
【教学重点】：
抛物线的几何性质及其运用。
【教学难点】：
抛物线几何性质的运用。
【课前准备】：
Powerpoint或投影片
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入
回顾抛物线的几何性质：
将基本公式用填空的形式巩固。
二、知识准备设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：
或

二、例题讲解例1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．
分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．
解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为、，则，
又|OA|＝|OB|，所以
即
∵，∴．
由此可得，即线段AB关于x轴对称．
因为x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°，所以
所以，

例2．过抛物线y＝的焦点作倾斜角为α的直线l与抛物线交于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角α．
解：抛物线标准方程为x2＝－4y，则焦点F（0,-1）
⑴当α＝90°时，则直线l：x＝0（不合题意，舍去）
⑵当α≠90°时，设k＝tanα，则直线l：y+1＝kx；即y=kx-1．与x2＝－4y联立，消去y得：x2＋4kx-4=0
则x1+x2=－4k；x1x2=－4；
∴＝
∴=＝4（1+k2）＝8
∴k＝±1
∴α＝45°或135°

圆锥曲线的弦长求法

二、例题讲解例3．已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．
解：设与抛物线交于
由弦长公式
|AB|===3
则有
由
从而由于p0，解得
圆锥曲线的中点弦问题
三、巩固练习1．若正三角形一顶点在原点，另外两点在抛物线y2=4x上，求此正三角形的边长。
（答案：边长为8）
2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程
分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点，
故可设圆的方程为：，
又∵圆过点，
∴所求圆的方程为
3．已知抛物线,过点(4,1)引一弦,使它恰在这点被平分,则此弦所在直线方程为
解析:设直线与抛物线交点为则
,
4．已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为原点）且，求抛物线的方程
（答案：）

5．顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程
（答案：或）
四、课后练习1．斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．
解：如图，由抛物线的标准方程可知，
抛物线焦点的坐标为F(1，0)，
所以直线AB的方程为y=x-1①
与y2=4x②联立，解得：
将x1、x2的值代入方程①中，得
即A、B的坐标分别为
、

2．已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程
（答案：）

3.已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程
（答案：）

4．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程
答案：（1）；；
（2）直线过定点
（3）点的轨迹方程为
5．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程（答案：）

练习与测试：
1．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（）
(A)x2＝8y(B)x2＝4y(C)x2＝2y(D)
2．抛物线y2＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A)（2，4）(B)（2，±4）(C)（1，）(D)（1，±）
3．直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则()
A.4B.2C.D.
4．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为
5．抛物线y2＝－6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是
6．以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求△OAB的面积．

7．已知抛物线与直线相交于A、B两点,
①求证;;
②当的面积等于时,求的值.

测试题答案：
1．A2．D3．A4．x2＝±8y5．6．
7．解析(证明):设;
,由A,N,B共线
,又
--------------------------------------------------------------③
②由得