圆锥曲线与方程导学案。
俗话说，凡事预则立，不预则废。作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。教案的内容要写些什么更好呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“圆锥曲线与方程导学案”，仅供参考，大家一起来看看吧。
§2.2.1椭圆及其标准方程(1)
学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P61~P63，文P32~P34找出疑惑之处）
复习1：过两点,的直线方程．
复习2：方程表示以为圆心,为半径的．
二、新课导学
※学习探究
取一条定长的细绳，
把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数．
新知１：我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
反思：若将常数记为，为什么？
当时，其轨迹为；
当时，其轨迹为．
试试：
已知，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是．
小结：应用椭圆的定义注意两点：
①分清动点和定点；
②看是否满足常数．
新知２：焦点在轴上的椭圆的标准方程
其中
若焦点在轴上，两个焦点坐标，
则椭圆的标准方程是．
※典型例题
例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴，焦点在轴上；
⑵，焦点在轴上；
⑶．
变式：方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围．
小结：椭圆标准方程中：；．
例2已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．
变式：椭圆过点，，，求它的标准方程．
小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程．
※动手试试
练1.已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（）．
A．B．6C．D．12
练2．方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的范围．
三、总结提升
※学习小结
1.椭圆的定义：
2.椭圆的标准方程：
※知识拓展
1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）．
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．平面内一动点到两定点、距离之和为常数，则点的轨迹为（）．
A．椭圆B．圆
C．无轨迹D．椭圆或线段或无轨迹
2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）．
A．B．
C．D．
3．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是（）．
A．4B．14C．12D．8
4．椭圆两焦点间的距离为，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于和，则椭圆的标准方程
是．
5．如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是，它的方程是．
课后作业
1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在轴上，焦距等于，并且经过点；
⑵焦点坐标分别为，；
⑶．
2.椭圆的焦距为，求的值．
§2.2.1椭圆及其标准方程(2)
学习目标
1．掌握点的轨迹的求法；
2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．
学习过程
一、课前准备
复习1：椭圆上一点到椭圆的左焦点的距离为，则到椭圆右焦点的距离
是．
复习2：在椭圆的标准方程中,,,则椭
圆的标准方程是
二、新课导学
※学习探究
问题：圆的圆心和半径分别是什么?
问题：圆上的所有点到(圆心)的距离都等于(半径)；
反之,到点的距离等于的所有点都在
圆上．
※典型例题
例1在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
变式：若点在的延长线上，且，则点的轨迹又是什么？
小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．
例2设点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程．
变式：点的坐标是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是，点的轨迹是什么？
※动手试试
练1．求到定点与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程．
练2．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．
三、总结提升
※学习小结
1.①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；
②相关点法：寻求点的坐标与中间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程．
※知识拓展
椭圆的第二定义：
到定点与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹．
定点是椭圆的焦点；
定直线是椭圆的准线；
常数是椭圆的离心率．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．若关于的方程所表示的曲线是椭圆，则在（）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．若的个顶点坐标、，的周长为，则顶点C的轨迹方程为（）．
A．B．C．D．
3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（）．
A．椭圆B．线段
C．不存在D．椭圆或线段
4．与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是．
5.设为定点，||=，动点满足，则动点的轨迹是．
课后作业
1．已知三角形的一边长为，周长为，求顶点的轨迹方程．
2．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．
§2.2.2椭圆及其简单几何性质（1）
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P43~P46，文P37~P40找出疑惑之处）
复习1：椭圆上一点到左焦点的距离是，那么它到右焦点的距离是．
复习2：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是．
※学习探究
问题1：椭圆的标准方程，它有哪些几何性质呢？
范围：：：
对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；
顶点：（），（），（），（）；
长轴，其长为；短轴，其长为；
离心率：刻画椭圆程度．
椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，
记，且．
试试：椭圆的几何性质呢？
图形：
范围：：：
对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；
顶点：（），（），（），（）；
长轴，其长为；短轴，其长为；
离心率：=．
反思：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？
※典型例题
例1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
变式：若椭圆是呢？
小结：①先化为标准方程，找出，求出；
②注意焦点所在坐标轴．
例2点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹．
小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．
※动手试试
练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在轴上，，；
⑵焦点在轴上，，；
⑶经过点，；
⑷长轴长等到于，离心率等于．
三、总结提升
※学习小结
1．椭圆的几何性质：
图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；
2．理解椭圆的离心率．
※知识拓展
（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．若椭圆的离心率，则的值是（）．
A．B．或C．D．或
2．若椭圆经过原点，且焦点分别为，，则其离心率为（）．
A．B．C．D．
3．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为（）．
A．B．C．D．
4．已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于，则点的坐标是．
5．某椭圆中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．
课后作业
1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？
⑴与；
⑵与．
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴经过点，；
⑵长轴长是短轴长的倍，且经过点；
⑶焦距是，离心率等于．
§2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；
2．椭圆与直线的关系．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P46~P48，文P40~P41找出疑惑之处）
复习1：椭圆的焦点坐标是（）（）；长轴长、短轴长；离心率．
复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？
二、新课导学
学习探究
问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？
问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？
反思：点与椭圆的位置如何判定？
典型例题
例1已知椭圆，直线：
。椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？
变式：最大距离是多少？
动手试试
练1已知地球运行的轨道是长半轴长
，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．
练2．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长．
三、总结提升
学习小结
1．椭圆在生活中的运用；
2．椭圆与直线的位置关系：
相交、相切、相离（用判定）．
※知识拓展直线与椭圆相交，得到弦，
弦长
其中为直线的斜率，是两交点坐标．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．设是椭圆，到两焦点的距离之差为，则是（）．
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
2．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）．
A.B.C.D.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（）．
A.B.3C.D.
4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为．
5．椭圆的焦点分别是和，过原点作直线与椭圆相交于两点，若的面积是，则直线的方程式是．
课后作业
1．求下列直线与椭圆的交点坐标．2．若椭圆，一组平行直线的斜率是
⑴这组直线何时与椭圆相交？
⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？
§2.3.1双曲线及其标准方程
学习目标
1．掌握双曲线的定义；
2．掌握双曲线的标准方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P52~P55，文P45~P48找出疑惑之处）
复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
复习2：在椭圆的标准方程中，有何关系？若，则写出符合条件的椭圆方程．
二、新课导学
※学习探究
问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？
如图2-23，定点是两个按钉，是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点移动时，
是常数，这样就画出一条曲线；
由是同一常数，可以画出另一支．
新知1：双曲线的定义：
平面内与两定点的距离的差的等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点叫做双曲线的，
两焦点间的距离叫做双曲线的．
反思：设常数为，为什么？
时，轨迹是；
时，轨迹．
试试：点，，若，则点的轨迹是．
新知2：双曲线的标准方程：
（焦点在轴）
其焦点坐标为，．
思考：若焦点在轴，标准方程又如何？
※典型例题
例1已知双曲线的两焦点为，，双曲线上任意点到的距离的差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．
变式：已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为．
例2已知两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
变式：如果两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．
动手试试
练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在轴上，，；
（2）焦点为，且经过点．
练2．点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们斜率之积是，试求点的轨迹方程式，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状．
三、总结提升
※学习小结
1．双曲线的定义；
2．双曲线的标准方程．
※知识拓展
GPS(全球定位系统)：双曲线的一个重要应用．
在例2中，再增设一个观察点，利用，两处测得的点发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点的准确位置．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（）．
A.双曲线B.双曲线的一支
C.两条射线D.一条射线
2．双曲线的一个焦点是，那么实数的值为（）．
A．B．C．D．
3．双曲线的两焦点分别为，若，则（）．
A.5B.13C.D.
4．已知点，动点满足条件.则动点的轨迹方程为．
5．已知方程表示双曲线，则的取值范围．
课后作业
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在轴上，，经过点；
（2）经过两点，．
2．相距两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差，已知声速是，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
学习目标
1．理解并掌握双曲线的几何性质．
学习过程
一、课前准备：
（预习教材理P56~P58，文P49~P51找出疑惑之处）
复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
①，焦点在轴上；
②焦点在轴上，焦距为8，．
复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
二、新课导学：
※学习探究
问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线的几何性质?
范围：：：
对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．
顶点：（），（）．
实轴，其长为；虚轴，其长为．
离心率：．
渐近线：
双曲线的渐近线方程为：．
问题2：双曲线的几何性质?
图形：
范围：：：
对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．
顶点：（），（）
实轴，其长为；虚轴，其长为．
离心率：．
渐近线：
双曲线的渐近线方程为：．
新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．
典型例题
例1求双曲线的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．
变式：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
例2求双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
⑵离心率，经过点；
⑶渐近线方程为，经过点．
※动手试试
练1．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．
练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是，求它的标准方程和渐近线方程．
三、总结提升：
※学习小结
双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．
※知识拓展
与双曲线有相同的渐近线的双曲线系方程式为
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．双曲线实轴和虚轴长分别是（）．
A．、B．、
C．4、D．4、
2．双曲线的顶点坐标是（）．
A．B．C．D．（）
3．双曲线的离心率为（）．
A．1B．C．D．2
4．双曲线的渐近线方程是．
5．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是．
课后作业
1．求焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程．
2．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．
§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)
学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P58~P60，文P51~P53找出疑惑之处）
复习1：说出双曲线的几何性质?
复习2：双曲线的方程为，
其顶点坐标是()，()；
渐近线方程．
二、新课导学
※学习探究
探究1：椭圆的焦点是？
探究2：双曲线的一条渐近线方程是，则可设双曲线方程为？
问题：若双曲线与有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则双曲线的方程是？
※典型例题
例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．
例2点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹．
（理）例3过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求两点的坐标．
变式：求？
思考：的周长？
※动手试试
练1．若椭圆与双曲线的焦点相同，则=____.
练2．若双曲线的渐近线方程为，求双曲线的焦点坐标．
三、总结提升
※学习小结
1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；
2．双曲线的另一定义；
3．（理）直线与双曲线的位置关系．
※知识拓展
双曲线的第二定义：
到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则的值为（）．
A．B．C．D．
2．以椭圆的焦点为顶点，离心率为的双曲线的方程（）．
A.B.
C.或D.以上都不对
3．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于、，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（）．
A.B.C.D.
4．双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________.
5．方程表示焦点在x轴上的双曲线，则的取值范围．
课后作业
1．已知双曲线的焦点在轴上，方程为，两顶点的距离为，一渐近线上有点，试求此双曲线的方程．
§2.4.1抛物线及其标准方程
学习目标
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P64~P67，文P56~P59找出疑惑之处）
复习1：函数的图象是，它的顶点坐标是（），对称轴是．
复习2：点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则点的轨迹是什么图形？
二、新课导学
※学习探究
探究1：若一个动点到一个定点和一条定直线的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？
新知1：抛物线
平面内与一个定点和一条定直线的
距离的点的轨迹叫做抛物线．
点叫做抛物线的；
直线叫做抛物线的．
新知2：抛物线的标准方程
定点到定直线的距离为（）．
建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：
图形标准方程焦点坐标准线方程
试试：
抛物线的焦点坐标是（），
准线方程是；
抛物线的焦点坐标是（），
准线方程是．
※典型例题
例1（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程．
变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程：
⑴焦点坐标是(0,4)；
⑵准线方程是；
⑶焦点到准线的距离是．
例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为，深度为，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
※动手试试
练1．求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)焦点坐标是；
(2)焦点在直线上．
练2．抛物线上一点到焦点距离是，则点到准线的距离是，点的横坐标是．
三、总结提升
※学习小结
1．抛物线的定义；
2．抛物线的标准方程、几何图形．
※知识拓展
焦半径公式：
设是抛物线上一点，焦点为，则线段叫做抛物线的焦半径．
若在抛物线上，则
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．对抛物线，下列描述正确的是（）．
A．开口向上，焦点为
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为
D．开口向右，焦点为
2．抛物线的准线方程式是（）．
A．B．
C．D．
3．抛物线的焦点到准线的距离是（）．
A.B.C.D.
4．抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标是．
5．抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为．
课后作业
1．点到的距离比它到直线的距离大1，求点的轨迹方程．
2．抛物线上一点到焦点的距离，求点的坐标．
§2.4.2抛物线的简单几何性质（1）
学习目标
1．掌握抛物线的几何性质；
2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．
学习过程
一、课前准备
复习1：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是．
复习2：双曲线有哪些几何性质？
二、新课导学
※学习探究
探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？
新知：抛物线的几何性质
图形
试试：画出抛物线的图形，
顶点坐标（）、焦点坐标（）、
准线方程、对称轴、
离心率．
※典型例题
例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．
变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出它们的标准方程．
小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．
例2斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长．
变式：过点作斜率为的直线，交抛物线于，两点，求．
小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解．
※动手试试
练1.求适合下列条件的抛物线的标准方程：
⑴顶点在原点，关于轴对称，并且经过点
，；
⑵顶点在原点，焦点是；
⑶焦点是，准线是．
三、总结提升
※学习小结
1．抛物线的几何性质；
2．求过一点的抛物线方程；
3．求抛物线的弦长．
※知识拓展
抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．
其长为．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．下列抛物线中，开口最大的是（）．
A．B．
C．D．
2．顶点在原点，焦点是的抛物线方程（）．
A．B．
C．D．
3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于（）．
A．B．C．D．
4．抛物线的准线方程是．
5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，则=．
课后作业
1．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出
图形：
⑴顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等到于；
⑵顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点．
2是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，求．
§2.4.2抛物线的简单几何性质（2）
学习目标
1．掌握抛物线的几何性质；
2．抛物线与直线的关系．
学习过程
一、课前准备
复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程为（）．
A．B.或
C.D.或
复习2：已知抛物线的焦点恰好是椭圆的左焦点，则=．
二、新课导学
※学习探究
探究1：抛物线上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：
①这点到准线的距离为；
②焦点到准线的距离为；
③抛物线方程；
④这点的坐标是；
⑤此抛物线过焦点的最短的弦长为．
※典型例题
例1过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．
（理）例2已知抛物线的方程，直线过定点，斜率为为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
小结：
①直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切；
②直线与抛物线只有一个公共点时，
它们可能相切，也可能相交．
※动手试试
练1.直线与抛物线相交于，两点，求证：．
2．垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程．
三、总结提升
※学习小结
1．抛物线的几何性质；
2．抛物线与直线的关系．
※知识拓展
过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则为定值，其值为．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（）．
A.B.C.D.无法确定
2．抛物线的焦点到准线的距离是（）．
A.B.C.D.
3．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．
A．条B．条C．条D．条
4．若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______．
5．抛物线上一点到焦点的距离是，则抛物线的标准方程是．
课后作业
1．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线与直线交于，两点，=，求抛物线的方程．
2．从抛物线上各点向轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
第二章圆锥曲线与方程（复习）
学习目标
1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P78~P81，文P66~P69找出疑惑之处）
复习1：完成下列表格：
椭圆双曲线抛物线
定义
图形
标准方程
顶点坐标
对称轴
焦点坐标
离心率
（以上每类选取一种情形填写）
复习2：
①若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为__________；
②双曲线的渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为；
③以椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程为．
二、新课导学
※典型例题
例1当从到变化时，方程
表示的曲线的形状怎样变化？
变式：若曲线表示椭圆，则的取值范围是．
小结：掌握好每类标准方程的形式．
例2设，分别为椭圆C：=1
的左、右两个焦点．
⑴若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
⑵设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．
变式：双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程．
※动手试试
练1．已知的两个顶点，坐标分别是，，且，所在直线的斜率之积等于，试探求顶点的轨迹．
练2．斜率为的直线与双曲线交于，两点，且，求直线的方程．
三、总结提升
※学习小结
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．直线与圆锥曲线．
※知识拓展
圆锥曲线具有统一性：
⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线；
⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线；
⑶它们的方程都是关于，的二次方程．
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．曲线与曲线
的（）．
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
2．与圆及圆都外切的圆的圆心在（）．
A．一个椭圆上B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上D．一个圆上
3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于（）．
A．B．C．D．
4．直线与双曲线没有公共点，则的取值范围．
5．到直线的距离最短的抛物线上的点的坐标是．
课后作业
1．就的不同取值，指出方程所表示的曲线的形状．
2．抛物线与过点的直线相交于，两点，为原点，若和的斜率之和为，求直线的方程．
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第二章圆锥曲线与方程(曲线方程、椭圆)教学设计
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以更好的帮助学生们打好基础，让教师能够快速的解决各种教学问题。你知道如何去写好一份优秀的教案呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“第二章圆锥曲线与方程(曲线方程、椭圆)教学设计”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。
2.1曲线与方程
2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．
(三)学科渗透点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．
二、教材分析
1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．
(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．
(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
三、教学过程
学生探究过程：
(一)复习引入
大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：
(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2)通过方程，研究平面曲线的性质．
我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．
(二)几种常见求轨迹方程的方法
1．直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；
(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．
对(1)分析：
动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．
解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．
即x2+y2=4R2或x2+y2=0．
故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．
对(2)分析：
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：
设弦的中点为M(x，y)，连结OM，
则OM⊥AM．
∵kOMkAM=-1，
其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．
2．定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．
分析：
∵点P在AQ的垂直平分线上，
∴|PQ|=|PA|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．
故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义
写出P点的轨迹方程．
解：连接PA∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=2．
由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．
3．相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．
例3已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．
分析：
P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．
解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)
∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．
4．待定系数法
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．
例4已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲
曲线方程．
分析：
因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方
ax2-4b2x+a2b2=0
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．
∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．
(以下由学生完成)
由弦长公式得：
即a2b2=4b2-a2．
(三)巩固练习
用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．
1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的
2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？
3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．
答案：
义法)
由中点坐标公式得：
(四)、教学反思
求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．
五、布置作业
1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．
2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．
3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案：
1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4
2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线
六、板书设计
几何圆锥曲线
第十章圆锥曲线
★知识网络★
第1讲椭圆
★知识梳理★
1.椭圆定义：
（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.
当时,的轨迹为椭圆;;
当时,的轨迹不存在;
当时,的轨迹为以为端点的线段
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.
2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程
性
质参数关系
焦点
焦距
范围
顶点
对称性关于x轴、y轴和原点对称
离心率
准线
3.点与椭圆的位置关系:
当时,点在椭圆外;当时,点在椭圆内;当时,点在椭圆上;
4.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离
★重难点突破★
重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用
难点:椭圆的几何元素与参数的转换
重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数的关系
1.要有用定义的意识
问题1已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。
[解析]的周长为，=8
2.求标准方程要注意焦点的定位
问题2椭圆的离心率为，则
[解析]当焦点在轴上时，；
当焦点在轴上时，，
综上或3
★热点考点题型探析★
考点1椭圆定义及标准方程
题型1:椭圆定义的运用
[例1](湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是
A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能
[解析]按小球的运行路径分三种情况:
(1),此时小球经过的路程为2(a－c);
(2),此时小球经过的路程为2(a+c);
(3)此时小球经过的路程为4a,故选D
【名师指引】考虑小球的运行路径要全面
【新题导练】
1.（2007佛山南海）短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（）
A.3B.6C.12D.24
[解析]C.长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12
2.(广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（）
A．5B．7C．13D．15
[解析]B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7
题型2求椭圆的标准方程
[例2]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.
【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来
[解析]设椭圆的方程为或，
则，
解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.
【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．
［警示］易漏焦点在y轴上的情况．
【新题导练】
3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
[解析](0,1).椭圆方程化为+=1.焦点在y轴上，则2，即k1.
又k0，∴0k1.
4.已知方程,讨论方程表示的曲线的形状
[解析]当时，，方程表示焦点在y轴上的椭圆，
当时，，方程表示圆心在原点的圆，
当时，，方程表示焦点在x轴上的椭圆
5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.
[解析]，，所求方程为+=1或+=1.
考点2椭圆的几何性质
题型1:求椭圆的离心率（或范围）
[例3]在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．
【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率
[解析]，
，
【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定
（2）只要列出的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）
（3）“焦点三角形”应给予足够关注
【新题导练】
6.(执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为
....
[解析]选
7.（江苏盐城市三星级高中2009届第一协作片联考）已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为
[解析]由，椭圆的离心率为
8.(山东济宁2007—2008学年度高三第一阶段质量检测)
我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（）
A．不变B.变小C.变大D.无法确定
[解析]，，选A
题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
[例4]已知实数满足,求的最大值与最小值
【解题思路】把看作的函数
[解析]由得,
当时,取得最小值,当时,取得最大值6
【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错
【新题导练】
9.已知点是椭圆（，）上两点,且,则=
[解析]由知点共线,因椭圆关于原点对称,
10.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点
则________________
［解析］由椭圆的对称性知：．
考点3椭圆的最值问题
题型:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值
[例5]椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．
【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数
[解析]在椭圆上任取一点P,设P().那么点P到直线l的距离为：
【名师指引】也可以直接设点，用表示后，把动点到直线的距离表示为的函数，关键是要具有“函数思想”
【新题导练】
11.椭圆的内接矩形的面积的最大值为
[解析]设内接矩形的一个顶点为，
矩形的面积
12.是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值
[解析]
当时，取得最大值，
当时，取得最小值
13.（2007惠州）已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，
是原点，则四边形的面积的最大值是_________．
[解析]设，则
考点4椭圆的综合应用
题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题
[例6]已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围．
【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式
[解析]（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设
由条件知且，又有，解得
故椭圆的离心率为，其标准方程为：
（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
y＝kx＋m2x2＋y2＝1得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）0（*）
x1＋x2＝－2kmk2＋2，x1x2＝m2－1k2＋2
∵AP＝3PB∴－x1＝3x2∴x1＋x2＝－2x2x1x2＝－3x22
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0
m2＝14时，上式不成立；m2≠14时，k2＝2－2m24m2－1，
因λ＝3∴k≠0∴k2＝2－2m24m2－10，∴－1m－12或12m1
容易验证k22m2－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）
【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能
【新题导练】
14.(2007广州四校联考)设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）
A.B.
C.D.
[解析]，选A.
15.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。
解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）
由题设可得
∴动点P的轨迹方程为，
则
∴曲线E方程为
（2）直线MN的方程为
由
∴方程有两个不等的实数根
∵∠MBN是钝角
即
解得：
又M、B、N三点不共线
综上所述，k的取值范围是
★～～抢分频道★
基础巩固训练
1.如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为()
ABCD
[解析]B.
2.（广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，的值为
A、0B、1C、2D、3
[解析]A.，P的纵坐标为，从而P的坐标为，0，
3.(广东广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是
A．B．C．D．
[解析]D.,,两式相减得：，，
4.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．
[解析]
5.已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若,则此椭圆的离心率为_________.
[解析][三角形三边的比是]
6.(2008江苏)在平面直角坐标系中，椭圆1(0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=．
[解析]
综合提高训练
7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．求椭圆方程
[解析]直线l的方程为：
由已知①
由得：
∴，即②
由①②得：
故椭圆E方程为
8.(广东省汕头市金山中学2008－2009学年高三第一次月考)
已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。
[解析]（1）∵点是线段的中点
∴是△的中位线
又∴
∴
∴椭圆的标准方程为=1
（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点
∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2
在△ABC中，由正弦定理，
∴＝
9.(海珠区2009届高三综合测试二)已知长方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
圆锥曲线学案练习题
§2.1圆锥曲线
一、知识要点
1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆；抛物线模型的过程；
2.椭圆的定义：
3.双曲线的定义：
4.抛物线的定义：
5.圆锥曲线的概念：
二、例题
例1.试用适当的方法作出以两个定点为焦点的一个椭圆。
例2.已知：
⑴到两点距离之和为9的点的轨迹是什么图形？
⑵到两点距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是什么图形？
⑶到点的距离和直线的距离相等的点的轨迹是什么图形？
例3.(参选)在等腰直角三角形中，，，以为焦点的椭圆过点，过点的直线与该椭圆交于两点，求的周长。
三、课堂检测
1.课本P262
2.课本P263
3.已知中，且成等差数列。
⑴求证：点在一个椭圆上运动；
⑵写出这个椭圆的焦点坐标。
四、归纳小结
五、课后作业
1.已知是以为焦点，直线为准线的抛物线上一点，若点M到直线的距离为，则=
。
2.已知点，动点满足，则点的轨迹是。
3.已知点，动点满足(为正常数)。若点的轨迹是以为焦点的双曲线，则常数的取值范围是。
4.已知点，动点满足，则动点的轨迹是。
5.若动圆与圆外切，对直线相切，则动圆圆心的轨迹是。
6.已知中，，且成等差数列。
⑴求证：点在一个椭圆上运动；⑵写出这个椭圆的焦点坐标。
7.已知中，长为6，周长为16，那么顶点在怎样的曲线上运动？
8.如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点上。把笔尖放在点处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线是双曲线的一支，试说明理由。
9.若一个动点到两个定点的距离之差的绝对值为定值，试确定动点的轨迹。
10.动点的坐标满足，试确定的轨迹。
六、预习作业
1.方程表示椭圆则的取值范围。
2.方程表示焦点在轴上。
3.方程的焦点坐标为。
2012届高三理科数学圆锥曲线与方程总复习
俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。关于好的高中教案要怎么样去写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“2012届高三理科数学圆锥曲线与方程总复习”，仅供参考，大家一起来看看吧。
第九章圆锥曲线与方程
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考试要求重难点击命题展望
1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；
3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；
4.了解圆锥曲线的简单应用；
5.理解数形结合的思想；
6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.求曲线的方程或曲线的轨迹；4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.
本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.曲线与方程的对应关系.圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用；解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.
知识网络
9.1椭圆
典例精析
题型一求椭圆的标准方程
【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和
253，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.
【解析】由椭圆的定义知，2a＝453＋253＝25，故a＝5，
由勾股定理得，(453)2－(253)2＝4c2，所以c2＝53，b2＝a2－c2＝103，
故所求方程为x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.
【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；
(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.
【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：
据此，可推断椭圆C1的方程为.
【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(－2,2)，B(－2，0)，C(0，6)，D(2，－22)，E(22，2)，F(3，－23).
通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.
显然半焦距b＝6，则不妨设椭圆的方程是x2m＋y26＝1，则将点
A(－2,2)代入可得m＝12，故该椭圆的方程是x212＋y26＝1.
方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.
不妨设有两点y21＝2px1，①y22＝2px2，②y21y22＝x1x2，
则可知B(－2，0)，C(0，6)不是抛物线上的点.
而D(2，－22)，F(3，－23)正好符合.
又因为椭圆的交点在x轴上，故B(－2，0)，C(0，6)不可能同时出现.故选用A(－2,2)，E(22，2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x212＋y26＝1.
题型二椭圆的几何性质的运用
【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，
由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos60°，
因为m＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，
所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤(m＋n2)2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，
所以4a2－4c2≤3a2，所以c2a2≥14，
即e≥12，所以e的取值范围是[12，1).
(2)由(1)知mn＝43b2，所以＝12mnsin60°＝33b2，
即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1||PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2)2，|PF1|≥a－c.
【变式训练2】已知P是椭圆x225＋y29＝1上的一点，Q，R分别是圆(x＋4)2＋y2＝14和圆
(x－4)2＋y2＝14上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是.
【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，
则|PQ|＋|PR|≥(|PF1|－12)＋(|PF2|－12)＝|PF1|＋|PF2|－1＝9.
所以|PQ|＋|PR|的最小值为9.
题型三有关椭圆的综合问题
【例3】(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.
【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a.
l的方程为y＝x＋c，其中c＝a2－b2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组
化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
则x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2(c2－b2)a2＋b2.
因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]，
即43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，
所以E的离心率e＝ca＝a2－b2a＝22.
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3.
由|PA|＝|PB|kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1c＝3.
从而a＝32，b＝3，故E的方程为x218＋y29＝1.
【变式训练3】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1||PF2|＝e，则e的值是()
A.32B.33C.22D.63
【解析】设F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，则椭圆左准线x＝－a2c，抛物线准线为x＝
－3c，x0－(－a2c)＝x0－(－3c)c2a2＝13e＝33.故选B.
总结提高
1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.
2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.
3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.
9.2双曲线
典例精析
题型一双曲线的定义与标准方程
【例1】已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心E的轨迹方程.
【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|＝r＋2，|BE|＝r－2，
所以|AE|－|BE|＝22，又A(－4,0)，B(4,0)，所以|AB|＝8,22＜|AB|.
根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.
因为a＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，
故点E的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2).
【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.
【变式训练1】P为双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和
(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()
A.6B.7C.8D.9
【解析】选D.
题型二双曲线几何性质的运用
【例2】双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使＝0，求此双曲线离心率的取值范围.
【解析】设P(x，y)，则由＝0，得AP⊥PQ，则P在以AQ为直径的圆上，
即(x－3a2)2＋y2＝(a2)2，①
又P在双曲线上，得x2a2－y2b2＝1，②
由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0，
当x＝a时，P与A重合，不符合题意，舍去；
当x＝2a3－ab2a2＋b2时，满足题意的点P存在，需x＝2a3－ab2a2＋b2＞a，
化简得a2＞2b2，即3a2＞2c2，ca＜62，
所以离心率的取值范围是(1，62).
【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.
【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()
A.k2－e2＞1B.k2－e2＜1
C.e2－k2＞1D.e2－k2＜1
【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足－ba＜k＜ba，即k2＜b2a2＝c2－a2a2＝e2－1，故选C.
题型三有关双曲线的综合问题
【例3】(2010广东)已知双曲线x22－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点.
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.
【解析】(1)由题意知|x1|＞2，A1(－2，0)，A2(2，0)，则有
直线A1P的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，①
直线A2Q的方程为y＝－y1x1－2(x－2).②
方法一：联立①②解得交点坐标为x＝2x1，y＝2y1x1，即x1＝2x，y1＝2yx，③
则x≠0，|x|＜2.
而点P(x1，y1)在双曲线x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①×②得y2＝－y21x21－2(x2－2).③
又点P(x1，y1)在双曲线上，因此x212－y21＝1，即y21＝x212－1.
代入③式整理得x22＋y2＝1.
因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(2，0)的直线l的方程为x＋2y－2＝0.
解方程组得x＝2，y＝0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.
故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0，－1).
综上分析，轨迹E的方程为x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h＞1)，
联立x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0，
解得k1＝h2－12，k2＝－h2－12.
由于l1⊥l2，则k1k2＝－h2－12＝－1，故h＝3.
过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由h2×(－h2)＝－1，得h＝2.
此时，l1，l2的方程分别为y＝x＋2与y＝－x＋2，
它们与轨迹E分别仅有一个交点(－23，223)与(23，223).
所以，符合条件的h的值为3或2.
【变式训练3】双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于()
A.1＋22B.3＋22
C.4－22D.5－22
【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.
据题意设|AF1|＝x，则|AB|＝x，|BF1|＝2x.
由双曲线定义有|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a
(|AF1|＋|BF1|)－(|AF2|＋|BF2|)＝(2＋1)x－x＝4a，即x＝22a＝|AF1|.
故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|＝|F1F2|2－|AF1|2＝4c2－8a2.
又由定义可得|AF2|＝|AF1|－2a＝22a－2a，即4c2－8a2＝22－2a，
两边平方整理得c2＝a2(5－22)c2a2＝e2＝5－22，故选D.
总结提高
1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.
2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|时，P的轨迹是双曲线；当||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线；当
||PF1|－|PF2||＝2a＞|F1F2|时，P无轨迹.
3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；
(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y＝±bax，可将双曲线方程设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.
9.3抛物线
典例精析
题型一抛物线定义的运用
【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.
(1)抛物线过点P(2，－4)；
(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
【解析】(1)设方程为y2＝mx或x2＝ny.
将点P坐标代入得y2＝8x或x2＝－y.
(2)设A(m，－3)，所求焦点在x轴上的抛物线为y2＝2px(p≠0)，
由定义得5＝|AF|＝|m＋p2|，又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或±9，
所求方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
【变式训练1】已知P是抛物线y2＝2x上的一点，另一点A(a,0)(a＞0)满足|PA|＝d，试求d的最小值.
【解析】设P(x0，y0)(x0≥0)，则y20＝2x0，
所以d＝|PA|＝(x0－a)2＋y20＝(x0－a)2＋2x0＝[x0＋(1－a)]2＋2a－1.
因为a＞0，x0≥0，
所以当0＜a＜1时，此时有x0＝0，dmin＝(1－a)2＋2a－1＝a；
当a≥1时，此时有x0＝a－1，dmin＝2a－1.
题型二直线与抛物线位置讨论
【例2】(2010湖北)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：
(x－1)2＋y2－x＝1(x＞0).
化简得y2＝4x(x＞0).
(2)设过点M(m,0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2).
＜0(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②
又x＝y24，于是不等式②等价于y214y224＋y1y2－(y214＋y224)＋1＜0
(y1y2)216＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④
对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－22＜m＜3＋22.
由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0，且m的取值范围是(3－22，3＋22).
【变式训练2】已知抛物线y2＝4x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则1y1＋1y2＝.
【解析】y2－4my＋8m＝0，
所以1y1＋1y2＝y1＋y2y1y2＝12.
题型三有关抛物线的综合问题
【例3】已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.
(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
(2)是否存在实数k使＝0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.
【解析】(1)证明：如图，设A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由韦达定理得x1＋x2＝k2，x1x2＝－1，
所以xN＝xM＝x1＋x22＝k4，所以点N的坐标为(k4，k28).
设抛物线在点N处的切线l的方程为y－k28＝m(x－k4)，
将y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋mk4－k28＝0，
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝m2－8(mk4－k28)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，
所以m＝k，即l∥AB.
(2)假设存在实数k，使＝0，则NA⊥NB，
又因为M是AB的中点，所以|MN|＝|AB|.
由(1)知yM＝12(y1＋y2)＝12(kx1＋2＋kx2＋2)＝12[k(x1＋x2)＋4]＝12(k22＋4)＝k24＋2.
因为MN⊥x轴，所以|MN|＝|yM－yN|＝k24＋2－k28＝k2＋168.
又|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2
＝1＋k2(k2)2－4×(－1)＝12k2＋1k2＋16.
所以k2＋168＝14k2＋1k2＋16，解得k＝±2.
即存在k＝±2，使＝0.
【点拨】直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须使用一般弦长公式.
【变式训练3】已知P是抛物线y2＝2x上的一个动点，过点P作圆(x－3)2＋y2＝1的切线，切点分别为M、N，则|MN|的最小值是.
【解析】455.
总结提高
1.在抛物线定义中，焦点F不在准线l上，这是一个重要的隐含条件，若F在l上，则抛物线退化为一条直线.
2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上；(2)准线垂直于对称轴；(3)焦点到准线的距离为p；(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p.
3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.
4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α为AB的倾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等.
9.4直线与圆锥曲线的位置关系
典例精析
题型一直线与圆锥曲线交点问题
【例1】若曲线y2＝ax与直线y＝(a＋1)x－1恰有一个公共点，求实数a的值.
【解析】联立方程组
(1)当a＝0时，方程组恰有一组解为
(2)当a≠0时，消去x得a＋1ay2－y－1＝0，
①若a＋1a＝0，即a＝－1，方程变为一元一次方程－y－1＝0，
方程组恰有一组解
②若a＋1a≠0，即a≠－1，令Δ＝0，即1＋4(a＋1)a＝0，解得a＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.
综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－45.
【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数＝0，即a＝－1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a＝0时，曲线y2＝ax，即直线y＝0，此时与已知直线y＝x－1恰有交点(1,0)；②当a＝－1时，直线y＝－1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；③当a＝－45时直线与抛物线相切.
【变式训练1】若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为()
A.{1，－1，52，－52}B.(－∞，－52]∪[52，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1)∪[52，＋∞)
【解析】由(1－k2)x2－2kx－5＝0，
k＝±52，结合直线过定点(0，－1)，且渐近线斜率为±1，可知答案为A.
题型二直线与圆锥曲线的相交弦问题
【例2】(2010辽宁)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)如果|AB|＝154，求椭圆C的方程.
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.
(1)直线l的方程为y＝3(x－c)，其中c＝a2－b2.
联立
得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0.
解得y1＝－3b2(c＋2a)3a2＋b2，y2＝－3b2(c－2a)3a2＋b2.
因为＝2，所以－y1＝2y2，即3b2(c＋2a)3a2＋b2＝2－3b2(c－2a)3a2＋b2.
解得离心率e＝ca＝23.
(2)因为|AB|＝1＋13|y2－y1|，所以2343ab23a2＋b2＝154.
由ca＝23得b＝53a，所以54a＝154，即a＝3，b＝5.
所以椭圆的方程为x29＋y25＝1.
【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.
【变式训练2】椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为.
【解析】设直线与椭圆交于A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点坐标为(x0，y0)，代入椭圆方程两式相减得a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0
2ax0＋2by0y1－y2x1－x2＝0ax0－by0＝0.
故ab＝y0x0＝32.
题型三对称问题
【例3】在抛物线y2＝4x上存在两个不同的点关于直线l：y＝kx＋3对称，求k的取值范围.
【解析】设A(x1，y1)、B(x2、y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，由题意知k≠0.
设直线AB的方程为y＝－1kx＋b，
联立消去x，得14ky2＋y－b＝0，
由题意有Δ＝12＋414kb＞0，即bk＋1＞0.(*)
且y1＋y2＝－4k.又y1＋y22＝－1kx1＋x22＋b.所以x1＋x22＝k(2k＋b).
故AB的中点为E(k(2k＋b)，－2k).
因为l过E，所以－2k＝k2(2k＋b)＋3，即b＝－2k－3k2－2k.
代入(*)式，得－2k－3k3－2＋1＞0k3＋2k＋3k3＜0
k(k＋1)(k2－k＋3)＜0－1＜k＜0，故k的取值范围为(－1,0).
【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线l对称，则满足直线l与AB垂直，且线段AB的中点坐标满足l的方程；
(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解；或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围.
【变式训练3】已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于x＋y＝0对称的两点A，B，则|AB|等于()
A.3B.4C.32D.42
【解析】设AB方程：y＝x＋b，代入y＝－x2＋3，得x2＋x＋b－3＝0，
所以xA＋xB＝－1，故AB中点为(－12，－12＋b).
它又在x＋y＝0上，所以b＝1，所以|AB|＝32，故选C.
总结提高
1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.
2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组
通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋bx＋c＝0进行讨论.这时要注意考虑a＝0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a≠0，Δ＝0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.
3.弦中点问题的处理既可以用判别式法，也可以用点差法；使用点差法时，要特别注意验证“相交”的情形.
9.5圆锥曲线综合问题
典例精析
题型一求轨迹方程
【例1】已知抛物线的方程为x2＝2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2交于点M.
(1)求证：l1⊥l2；
(2)求点M的轨迹方程.
【解析】(1)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋12.
联立消去y整理得x2－2kx－1＝0.设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x2，y2)，则有x1x2＝－1，将抛物线方程改写为y＝12x2，求导得y′＝x.
所以过点A的切线l1的斜率是k1＝x1，过点B的切线l2的斜率是k2＝x2.
因为k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.
(2)直线l1的方程为y－y1＝k1(x－x1)，即y－x212＝x1(x－x1).
同理直线l2的方程为y－x222＝x2(x－x2).
联立这两个方程消去y得x212－x222＝x2(x－x2)－x1(x－x1)，
整理得(x1－x2)(x－x1＋x22)＝0，
注意到x1≠x2，所以x＝x1＋x22.
此时y＝x212＋x1(x－x1)＝x212＋x1(x1＋x22－x1)＝x1x22＝－12.
由(1)知x1＋x2＝2k，所以x＝x1＋x22＝k∈R.
所以点M的轨迹方程是y＝－12.
【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.
【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()
A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1
C.x29－y216＝1(x＞3)D.x216－y29＝1(x＞4)
【解析】如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6，
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x＞3)，故选C.
题型二圆锥曲线的有关最值
【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1.当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值.
【解析】因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.
由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.
因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－433＜n＜433.
设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝3n2，x1x2＝3n2－44，
y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝n2.
因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.
所以菱形ABCD的面积S＝32|AC|2.
又|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝－3n2＋162，所以S＝34(－3n2＋16)(－433＜n＜433).
所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值43.
【点拨】建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.
【变式训练2】已知抛物线y＝x2－1上有一定点B(－1,0)和两个动点P、Q，若BP⊥PQ，则点Q横坐标的取值范围是.
【解析】如图，B(－1,0)，设P(xP，x2P－1)，Q(xQ，x2Q－1)，
由kBPkPQ＝－1，得x2P－1xP＋1x2Q－x2PxQ－xP＝－1.
所以xQ＝－xP－1xP－1＝－(xP－1)－1xP－1－1.
因为|xP－1＋1xP－1|≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3.
题型三求参数的取值范围及最值的综合题
【例3】(2010浙江)已知m＞1，直线l：x－my－m22＝0，椭圆C：x2m2＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.
(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为直线l：x－my－m22＝0经过F2(m2－1，0)，
所以m2－1＝m22，解得m2＝2，
又因为m＞1，所以m＝2.
故直线l的方程为x－2y－1＝0.
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得2y2＋my＋m24－1＝0，
则由Δ＝m2－8(m24－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8，
且有y1＋y2＝－m2，y1y2＝m28－12.
由于F1(－c,0)，F2(c,0)，故O为F1F2的中点，
由＝2，＝2，得G(x13，y13)，H(x23，y23)，
|GH|2＝(x1－x2)29＋(y1－y2)29.
设M是GH的中点，则M(x1＋x26，y1＋y26)，
由题意可知，2|MO|＜|GH|，即4[(x1＋x26)2＋(y1＋y26)2]＜(x1－x2)29＋(y1－y2)29，
即x1x2＋y1y2＜0.
而x1x2＋y1y2＝(my1＋m22)(my2＋m22)＋y1y2＝(m2＋1)(m28－12).
所以m28－12＜0，即m2＜4.
又因为m＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2.
所以m的取值范围是(1,2).
【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
【变式训练3】若双曲线x2－ay2＝1的右支上存在三点A、B、C使△ABC为正三角形，其中一个顶点A与双曲线右顶点重合，则a的取值范围为.
【解析】设B(m，m2－1a)，则C(m，－m2－1a)(m＞1)，
又A(1,0)，由AB＝BC得(m－1)2＋m2－1a＝(2m2－1a)2，
所以a＝3m＋1m－1＝3(1＋2m－1)＞3，即a的取值范围为(3，＋∞).
总结提高
1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标法”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法.
2.最值问题的代数解法，是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容，其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中，自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定.
3.范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.
