高一数学抛物线的性质知识点。
一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助授课经验少的教师教学。那么如何写好我们的教案呢？下面是小编为大家整理的“高一数学抛物线的性质知识点”，相信能对大家有所帮助。
高一数学抛物线的性质知识点
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)wWw.JaB88.COm
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
精选阅读
高二数学抛物线的性质教案7
8．6抛物线的简单几何性质
我们根据抛物线的标准方程
y2＝2px(p＞0)①
来研究它的几何性质．
1．范围
因为p＞0，由方程①可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y代y，方程①不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程①中，当y=0时，x=0，因此抛物线①的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
例1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，
y2=2px(p＞0)．
因为点M在抛物线上，所以
即
p=2．
因此所求方程是
y2=4x．
的范围内几个点的坐标，得
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分(图8－23)．
在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．
这就是标准方程中2p的一种几何意义(图8－24)．利用抛物线的几何性
抛物线基本特征的草图．
例2探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分(图8－25(1))，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置．
解：如图8－25(2)，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)．由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得
302=2p×40，
练习
1．求适合下列条件的抛物线方程：
(1)顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(5，－4)；
(2)顶点在原点，焦点是F(0，5)；
(3)顶点在原点，准线是x=4；
(4)焦点是F(0，－8)，准线是y=8．
小结：
1、抛物线的几何性质
2、在解题过程中要注意利用数形结合的数学思想
作业：
课本P1231、2、3
高二数学下册《抛物线》知识点总结
高二数学下册《抛物线》知识点总结
抛物线的性质：
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
焦半径：
焦半径：抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Fè÷
p2，0的距离|PF|＝x0＋p2.
求抛物线方程的方法：
(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程．
(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x轴的，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴的，设为x2＝by(b≠0)．
练习题：
设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点.∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程。
【解析】因为以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,
所以△BFD为等腰直角三角形,故斜边|BD|=2p,
又点A到准线l的距离d=|FA|=|FB|=p,
所以S△ABD=4=|BD|×d=×2p×p,
所以p=2.
所以圆F的圆心为(0,1),半径r=|FA|=2,
圆F的方程为x2+(y-1)2=8.
§2.3.2抛物线的几何性质（１）
§2.3.2抛物线的几何性质（１）
【学情分析】：
由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。
【教学目标】：
（1）知识与技能：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。
（2）过程与方法：
重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。
（3）情感、态度与价值观：
培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。
【教学重点】：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。
【教学难点】：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质及其应用。
【课前准备】：
Powerpoint或投影片
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入
1．已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．
解：焦点在x轴负半轴上，=2，所以所求抛物线的标准方程是
2.填空：动点M与定点F的距离和它到定直线的距离的比等于e，则当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．
3.复习椭圆、双曲线几何性质的主要内容：
通过离心率的填空引出抛物线。引起学生的兴趣。
二、抛物线的几何性质类比研究归纳抛物线的几何性质：
引导学生填写表格。通过对比，让学生掌握抛物线的四种图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程。
三、例题讲解例1已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A（4,2），求这条抛物线的准线方程。
解：⑴若抛物线开口向右，
设抛物线的标准方程为
∵
∴
∴抛物线的标准方程为
⑵若抛物线开口向上，
设抛物线的标准方程为
∵
∴
∴抛物线的标准方程为
例2汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少？
让学生运用抛物线的几何性质，写出符合条件的抛物线的准线方程。
三、例题讲解分析：依标准方程特点和几何性质建系，由待定系数法求解，强调方程的完备性。
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．
抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，
所以所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是.
例3过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，
求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则
｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，
因而圆E和准线相切．
运用抛物线的几何性质解决现实生活中的问题，提高学生学习数学的兴趣和综合解题能力。
四、巩固练习1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（B）
（A）10（B）8（C）6（D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（B）
（A）3（B）4（C）5（D）6
3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（C）
（A）（B）（C）（D）
4．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是
5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标
（答案：,M到轴距离的最小值为）
6.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方
因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离
得p=4．
因此，所求抛物线方程为y2=-8x．
又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．
解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由题意
在抛物线上且|MF|=5，故
分层训练，让学生牢牢掌握抛物线的几何性质。
由学生演板．
五、课后练习1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
6．已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,其上一点M(2,m)到焦点的距离等于3,求抛物线方程及m值。
习题答案：
1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y
2．90°3．x2＝±16y4．
5．米6．y2=4x,m=或
课后练习注意分层训练，让学生牢牢掌握抛物线的几何性质。
练习与测试：
1.求适合下列条件的抛物线的方程：
（1）顶点在原点，焦点为（0，5）；
（2）对称轴为x轴，顶点在原点，且过点（-3，4）。
2.若P（x0，y0）是抛物线y2=-32x上一点，F为抛物线的焦点，则PF=（）。
（A）x0+8（B）x0-8（C）8-x0（D）x0+16
3.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，求水面宽度。
4.已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．
解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，
所以，即
因此，所求的抛物线方程为．
5.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程是(p＞0)．
由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得，
即
所求的抛物线标准方程为．
《抛物线的简单性质》导学案
古人云，工欲善其事，必先利其器。作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师掌握上课时的教学节奏。写好一份优质的教案要怎么做呢？小编特地为大家精心收集和整理了“《抛物线的简单性质》导学案”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。
2.2抛物线的简单性质
授课
时间第周星期第节课型讲授新课主备课人张梅
学习
目标依据抛物线图形及标准方程，概括出抛物线的简单性质.掌握性质与图形的对应关系，能依据性质画抛物线简图
重点难点重点是由图形和方程观察概括出性质，离心率的意义及转化是难点
学习
过程
与方
法自主学习
【回顾】抛物线的标准方程有：
阅读课本P74至75例5前，回答：标准方程中
①抛物线关于对称，其对称轴叫作抛物线的轴，抛物线只有对称轴
②抛物线的范围为
③抛物线的顶点
④抛物线的离心率是指，即e=
⑤抛物线的通径
2．阅读例5，完成表格：
抛物线方程焦点顶点
精讲互动：
⑴阅读P75《思考交流》自主完成
⑵自主完成课本P75练习
达标训练：
⑴抛物线上到直线的距离最小的点的坐标是（）
⑵抛物线的顶点是椭圆的中心，而焦点是椭圆的左焦点，求抛物线的方程
布置1求顶点在原点，对称轴是坐标轴，焦点在直线上的抛物线方程
2过抛物线的焦点F作垂直于轴的直线，交抛物线于A、B两点，求以F为圆心，AB为直径的圆的方程
学习小结/教学
反思
