北师大七年级下册数学《第3章变量之间的关系》全章教案。
教案课件是老师上课中很重要的一个课件，大家应该要写教案课件了。只有制定教案课件工作计划，新的工作才会如鱼得水！你们会写适合教案课件的范文吗？小编特地为您收集整理“北师大七年级下册数学《第3章变量之间的关系》全章教案”，仅供您在工作和学习中参考。
wwW.JaB88.cOm第三章变量之间的关系教材简析
本章的主要内容有：(1)两个变量之间关系的表示方法及变量、自变量、因变量的意义；(2)根据表格、图象、关系式获取信息并解决一些实际问题．
本章从常量的世界进入变量的世界，开始接触新的思维方式．经历探究具体情境中的两个变量之间关系的过程，感受变量的思想，培养学生的符号意识；从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，感受几何直观的作用，并用自己的语言大致描述表格、关系式、图象所表示的变量间关系，发展学生有条理的思考和表达能力；从运动变化的角度认识数学对象的过程，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；同时在本单元的学习中注意数形结合思想的运用，善于由图象获取信息，由图索数、由数导形，将抽象的数与直观的形有机结合起来．本章内容是中考的必考内容，主要考查变量间关系的三种表示方式(表格法、关系式法和图象法)以及从图象中获取信息，多以选择题、填空题形式出现，有时也会出现在解答题中，难度适中．
教学指导
【本章重点】
自变量、因变量的理解，图象的认识．
【本章难点】
根据具体问题，选取用表格、关系式或图象来表示某些变量间的关系，并结合对某些变量之间关系的分析，尝试对某些变化趋势进行预测．
【本章思想方法】
1．体会和掌握由特殊到一般的思想方法，如通过一些具体、特殊的实例，找出一般的规律，再用这个规律指导实践，得出所需要的具体的数据．
2．体会数形结合的思想方法，如利用图象确定变量之间关系以及预测变化趋势等，其关键是明确横轴、纵轴所表示的实际意义．
3．体会分类讨论的思想方法，如根据题目给出的不同条件进行判断，然后分类讨论，找出合适的等量关系，列出方程并求解．
课时计划
1用表格表示的变量间关系1课时
2用关系式表示的变量间关系1课时
3用图象表示的变量间关系2课时
1用表格表示的变量间关系
教学目标
一、基本目标
1．理解变量、自变量和因变量的意义，明确可以列表格表示两个变量之间的关系．
2．能从表格中读取信息，并解决相关问题．
二、重难点目标
【教学重点】
能从表格的数据中分清什么是变量、自变量、因变量，以及因变量随自变量的变化情况．
【教学难点】
对表格所表达的两个变量关系的理解．
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P62～P63的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．完成教材P62引入问题：
解：(1)1.59s.
(2)随着h逐渐变大，t逐渐变小．
(3)不相同．
(4)根据(3)中的发现进行估计，可以是1.35s到1.29s中的任意一值．
(5)小车下滑时间t及下滑速度v等量发生变化，小车质量始终不发生变化．
归纳总结：(1)在教材P62的表1中，支撑物高度h和小车下滑时间t都在变化，它们都是变量.其中t随h的变化而变化，h是自变量，t是因变量；
(2)在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；取值始终保持不变的量，叫做常量．
2．完成教材P62议一议：
解：(1)随着x的增大，y逐渐增大．
(2)答案不唯一，如：从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口分别增加1.3亿、1.35亿、1.68亿、1.32亿、1.52亿、0.76亿．
3．世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x(单位：千瓦时)时，收取电费为y(单位：元)．在这个问题中，下列说法正确的是(D)
A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量
B．y是自变量，x是因变量
C．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量
D．x是自变量，y是因变量
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】写出下列各题关系式中的常量与变量．
(1)分针旋转一周内，旋转的角度n(度)与旋转所需要的时间t(分)之间的关系式为n＝6t；
(2)一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程s(千米)与行驶时间t(时)之间的关系式为s＝40t.
【互动探索】(引发学生思考)什么是常量？什么是变量？各有什么特点？
【解答】(1)常量：6；变量：n、t.
(2)常量：40；变量：s、t.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先确定在某过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的，再根据数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量解决问题．
【例2】某电动车厂2018年各月生产电动车的数量情况如下表：
时间x/月123456
月产量y/万辆88.59101112
时间x/月789101112
月产量y/万辆109.59101010.5
(1)为什么称电动车的月产量y为因变量？它是谁的因变量？
(2)哪个月电动车的产量最高？哪个月电动车的产量最低？
(3)哪两个月之间产量相差最大？根据这两个月的产量，电动车厂的厂长应该怎么做？
【互动探索】(引发学生思考)(1)从表中可以看出电动车的月产量y随时间x的变化而变化，所以自变量是时间x，因变量是电动车的月产量y；(2)(3)根据表中信息答题即可．
【解答】(1)电动车的月产量y为随着时间x的变化而变化，一个时间x就有唯一一个y与之对应，因而月产量y是时间x的因变量．
(2)6月电动车的产量最高，1月电动车的产量最低．
(3)6月和1月产量相差最大．厂长应在1月份安排工人加紧生产，实现产量的增值．
【互动总结】(学生总结，老师点评)观察因变量随自变量变化而变化的趋势，实质是观察自变量增大时，因变量是随之增大还是减小．
活动2巩固练习(学生独学)
1．要画一个面积为20cm2的长方形，其长为xcm，宽为ycm.在这一变化过程中，常量与变量分别为(A)
A．常量为20，变量为x、yB．常量为20、y，变量为x
C．常量为20、x，变量为yD．常量为x、y，变量为20
2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)间有下面的关系：
x(kg)012345
y(cm)1010.51111.51212.5
下列说法不正确的是(C)
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm
D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
3．A、B两地相距50千米，明明以每小时5千米的速度由A地到B地，若他距B地的距离为y千米，到达时用时x小时．请你写出在这个变化过程中的自变量和因变量．
解：在这个变化过程中，自变量是时间x，因变量是他距B地的距离y.
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
变量
表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情况，还能帮助我们对变化趋势进行初步的预测．
练习设计
请完成本课时对应练习！
2用关系式表示的变量间关系
教学目标
一、基本目标
1．能根据具体情境用关系式表示某些变量之间的关系．
2．能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系．
二、重难点目标
【教学重点】
找出题中的自变量和因变量．
【教学难点】
根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P66～P67的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．(教材P66引入问题)如图，三角形ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是底边BC长，因变量是△ABC的面积；
(2)如果三角形的底边长为x(cm)，那么三角形的面积y(cm2)可以表示为y＝3x；
(3)当底边长从12cm变化到3cm时，三角形的面积从36cm2变化到9cm2.
2．(教材P67议一议)低碳生活是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式．如下表：
排碳计算公式
家居用电的二氧化碳排放量(kg)＝耗电量(kWh)0.785
开私家车的二氧化碳排放量(kg)＝耗油量(L)2.7
家用天然气二氧化碳排放量(kg)＝天然气使用量(m3)0.19
家用自来水二氧化碳排放量(kg)＝自来水使用量(t)0.91
(1)用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为y＝0.785x，其中的字母表示y表示家居用电的二氧化碳排放量，x表示耗电量；
(2)在上述关系式中，耗电量每增加1kWh，二氧化碳排放量增加0.875kg.当耗电量从1kWh增加到100kWh时，二氧化碳排放量从0.875kg增加到87.5kg；
(3)小明家本月用电大约110kWh、天然气20m3、自来水5t、耗油75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．
解：1100.785＋752.7＋200.19＋50.91＝297.2(kg)．
即小明家这几项的二氧化碳排放量是297.2kg.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：
时间t(s)1234
距离s(m)281832
写出用t表示s的关系式为________.
【互动探索】(引发学生思考)观察表中给出的t与s的对应值分析数据归纳得出关系式．
【分析】t＝1时，s＝212；
t＝2时，s＝222；
t＝3时，s＝232；
t＝4时，s＝242，
所以s与t的关系式为s＝2t2，其中t0.
【答案】s＝2t2(t0)
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)关系式一般是用含有自变量的代数式表示因变量的等式；(2)关系式通常把因变量写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等号的右边；(3)利用关系式可以根据任何一个符合条件的自变量的值求出因变量的值，但已知一个变量的值求另一个变量的值时，一定要分清已知的是自变量还是因变量，不要代错了．
【例2】一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)的关系如下表所示：
行驶时间t(h)01234
油箱中剩余油量Q(L)5446.53931.524
根据表格中的信息，解答下列问题：
(1)请直接写出Q与t的关系式，并求出这辆汽车在连续行驶6h后，油箱中的剩余油量；
(2)这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是多少？
【互动探索】(引发学生思考)(1)分析表中数据可知，每行驶1h耗油量为7.5L，由此可写出油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的关系式；(2)由(1)知，汽车每小时耗油7.5L，油箱原有汽油54L，用后者除以前者即可求出油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时．
【解答】(1)Q＝54－7.5t.
把t＝6代入，得Q＝54－7.56＝9.
即这辆汽车在连续行驶6h后，油箱中剩余油量为9L.
(2)547.5＝7.2(h)．
即这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶7.2h.
【互动总结】(学生总结，老师点评)观察表中的数据，发现其中的变化规律，然后根据其增减趋势写出自变量与因变量之间的关系式．
活动2巩固练习(学生独学)
1．变量x与y之间的关系式是y＝x2－3，当自变量x＝2时，因变量y的值是(C)
A．－2B．－1
C．1D．2
2．图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的，设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是(B)
A．y＝4n－4B．y＝4n
C．y＝4n＋4D．y＝n2
3．如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为1时，则输出的数值为2.
―――
4．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．
(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的关系式；
(2)6小时后池中还有多少水？
(3)几小时后，池中还有200立方米的水？
解：(1)Q＝800－50t(0t16)．
(2)当t＝6时，Q＝800－506＝500.
即6小时后池中还剩500立方米水．
(3)当Q＝200时，800－50t＝200，解得t＝12.
即12小时后，池中还有200立方米的水．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
求变量之间关系式的三途径：
(1)根据表格中所列的数据，归纳、总结两个变量的关系式；
(2)利用公式写出两个变量之间的关系式；
(3)结合实际问题写出两个变量之间的关系式．
练习设计
请完成本课时对应练习！
3用图象表示的变量间关系
第1课时曲线型图象
教学目标
一、基本目标
1．结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义；能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述．
2．经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系．
二、重难点目标
【教学重点】
理解图象上的点所表示的意义．
【教学难点】
能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P69～P71的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．完成教材P69引入问题：
解：(1)上午9时的温度是27℃，12时的温度是31℃.
(2)这一天的最高温度是37℃，是在15时达到的；最低温度是23℃，是在3时达到的．
(3)这一天的温差是37－23＝14(℃)．从最低温度到最高温度经过了15－3＝12(小时)．
(4)3时到15时温度在上升，0时到到3时、15时到24时温度在下降．
(5)A点表示21时的温度为31℃，B点表示0时的温度为26℃.
(6)次日凌晨1时温度约是24℃.理由略．
规律总结：(1)图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观；
(2)在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量，用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量.
2．二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．如图，在下列选项中指出白昼时长低于11小时的节气(D)
A．惊蛰B．小满
C．立秋D．大寒
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】水滴进玻璃容器如图所示(设单位时间内进水量相同)，那么水的高度是如何随时间变化的，请选择分别与A、B、C、D匹配的图象()
A．(3)(2)(4)(1)B．(2)(3)(1)(4)
C．(2)(3)(4)(1)D．(3)(2)(1)(4)
【互动探索】(引发学生思考)A容器的直径小，水上升的速度最快，故A应是图(3)；B容器直径大，上升速度慢，故B应是图(2)；C容器下面大，上升速度慢，上面较小，上升速度变快，故C应是图(4)；D先最快，再速度放慢，然后速度又变快，最后速度不变，故D应是图(1)．故选A．
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)对于题目中有不规则容器，图象多为不规则变化，要确定这种变化关系，可以从容器横截面的变化情况进行判断．
【例2】如图所示是某市夏天的温度随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是()
A．这天15时温度最高
B．这天3时温度最低
C．这天最高温度与最低温度的差是13℃
D．这天0～3时，15～24时温度在下降
【互动探索】(引发学生思考)横轴表示时间，纵轴表示温度．温度最高应找到图象的最高点所对应的x值，即15时，A正确；温度最低应找到图象的最低点所正确应的x值，即3时，B正确；这天最高温度与最低温度的差应让前面的两个y值相减，即38－22＝16(℃)，C错误；从图象看出，这天0～3时，15～24时温度在下降，D正确．故选C．
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)认真观察图象，明确时间是自变量，温度是因变量，然后由图象上的点确定自变量及因变量的对应值．
活动2巩固练习(学生独学)
1．某市一周平均气温(℃)如图所示，下列说法不正确的是(C)
A．星期二的平均气温最高
B．星期四到星期日天气逐渐转暖
C．这一周最高气温与最低气温相差4℃
D．星期四的平均气温最低
2．如图所示是某市2018年6月份某一天的气温随时间变化的情况．
观察此图回答下列问题：
(1)这天的最高气温是38_℃；
(2)这天在3时至15时范围内温度在上升；
(3)请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是25℃.
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观．
2．曲线型图象能够反映出数据的变化趋势，通过结合横、纵坐标轴表示的意义，我们能够很直观的感受到数据的意义．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时折线型图形
教学目标
一、基本目标
1．学会从折线型图形中提取信息，作出判断．
2．经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系；能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述．
二、重难点目标
【教学重点】
通过速度随时间变化的实际情境，分析出变量之间关系．
【教学难点】
根据现实中变量的变化关系，判断变化的可能图象．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P73～P74的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．变量之间的关系的表示方法有：表格法、关系式法、图象法.
2．(教材P73引入问题)每一辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度．你知道现在汽车的速度是多少吗？
解：现在汽车的速度是50km/h.
3．完成教材P74引入问题：
解：(1)汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，它的最高时速是90km/h.
(2)汽车在2至6分和18至22分的时段里保持匀速行驶，时速分别为30km/h和90km/h.
(3)答案不唯一，如：发生故障、停止不动．
(4)略
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】小明放学后从学校乘轻轨回家，他从学校出发，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，小明搭轻轨回到家．下面能反映在此过程中小明与家的距离y与时间x的关系的大致图象是()
【互动探索】(引发学生思考)根据从学校回家，可得与家的距离是越来越近；根据步行的速度慢，可得离家的距离变化小；根据搭轻轨的速度快，可得离家的距离变化大．
【分析】A．随着时间的变化，离家的距离越来越远，故A、B错误；
C．随着时间的变化，步行离家的距离变化快，搭轻轨的距离变化慢，不符合题意，故C错误；
D．随着时间的变化，步行离家的距离变化慢，搭轻轨的距离变化快，符合题意，故选D．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)路程问题中，在不同的时间内，速度可以发生变化，解决此类问题时，要对图象中各个线段的意义正确理解．
【例2】端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的图象如图所示．
根据图象，回答下列问题：
(1)这次龙舟赛的全程是多少米？哪队先到达终点？
(2)求乙与甲相遇时乙的速度．
【互动探索】(引发学生思考)明确横轴、纵轴分别表示什么，再分段提取相关信息解题．
【解答】(1)由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是1000米；由横坐标看出，乙队先到达终点．
(2)由图象看出，相遇是在乙加速后，加速后行的路程是1000－400＝600(米)，加速后用的时间是3.8－2.2＝1.6(分钟)，所以乙与甲相遇时乙的速度是6001.6＝375(米/分钟)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决双图象问题时，正确识别图象，弄清楚两图象所代表的意义，从中挖掘有用信息，明确实际意义．
活动2巩固练习(学生独学)
1．用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OAB为折线)，这个容器的形状是(C)
2．如果OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的路程s和时间t的关系，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快(C)
A．2.5mB．2m
C．1.5mD．1m
3．星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示．
请根据图象回答下列问题：
(1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)她何时开始第一次休息？休息了多长时间？
(3)她骑车速度最快是在什么时候？车速是多少？
(4)玲玲全程骑车的平均速度是多少？
解：(1)玲玲到达离家最远的地方是12时，此时离家30千米．
(2)她10：30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：9时～10时，速度为10(10－9)＝10(千米/时)；10时～10时30分，速度约为(17.5－10)(10.5－10)＝15(千米/时)；10时30分～11时，速度约为0；11时～12时，速度为(30－17.5)(12－11)＝12.5(千米/时)；12时～13时，速度为0；13时～15时，在返回的途中，速度为30(15－13)＝15(千米/时)．由此可知，骑行最快有两段时间：10时～10时30分；13时～15时，两段时间的速度都是15千米/时．
(4)玲玲全程骑车的平均速度为(30＋30)(15－9)＝10(千米/时)．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．在表示两变量间关系时，图象法是关系式法和表格法的几何表现形式．
2．图象法能直观反映变量间的整体变化情况及变化规律，是表格法、关系式法所无法代替的．
练习设计
请完成本课时对应练习！
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北师大版七年级数学下册第三章知识点：变量之间的关系
一、变量、自变量、因变量
1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
3、自变量与因变量的确定：
（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。
二、表格
1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。
（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；
（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；
（3）结合实际情境理解它们之间的关系。
2、绘制表格表示两个变量之间关系
（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；
（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；
（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；
（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。
三、关系式
1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。
2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
3、求两个变量之间关系式的途径：
（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。
（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；
（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；
（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
4、关系式的应用：
（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；
（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；
（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。
四、图象
1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。
2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。
3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。
4、图象上的点：
（1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；
（2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。
（3）由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。
（4）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。
5、图象理解
（1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；
（2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；
（3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。
五、速度图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；
（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；
（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。
六、路程图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；
（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；
（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。
七年级数学下册第四章变量之间的关系导学案（新版北师大版）
教案课件是老师不可缺少的课件，大家应该要写教案课件了。在写好了教案课件计划后，这样接下来工作才会更上一层楼！你们到底知道多少优秀的教案课件呢？以下是小编为大家收集的“七年级数学下册第四章变量之间的关系导学案（新版北师大版）”希望对您的工作和生活有所帮助。
第四章变量之间的关系
第一节用表格表示的变量间的关系
【学习目标】
1．经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。
2．在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。
3．能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测。
【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．
【学习重难点】重点：能从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况。
难点：对表格所表达的两个变量关系的理解。
【学习过程】
模块一预习反馈
一、学习准备
1.我们生活在一个变化的世界中,很多东西都在悄悄地发生变化.
你能从生活中举出一些发生变化的例子吗？
教材精读
1.请同学们观察思考，逐一回答下面的问题：
根据上表回答下列问题：
（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？
（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？
（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？
（4）估计当h=110厘米时，t的值是多少，你是怎样估计的？
(5)随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？
在“小车下滑的过程”中：
支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是。其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化。支撑物的高度h是，小车下滑的时间t是。
在这一变化过程中，小车下滑的距离（木板的长度）一直变化。像这种在变化过程中的量叫做。
我国从1949年到1999年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：
(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？
(2)X和y哪个是自变量?哪个是因变量?
(3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样的变化？
(4)你能根据此表格预测2009年时我国人口将会是多少？
在“人口统计数据”中：
时间和人口数都在变化，它们都是。其中人口数随时间的变化而变化。时间是，人口数是。
归纳：借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况
模块二合作探究
1.研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？
(3)据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由。
(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响。
模块三形成提升
某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)第5排、第6排各有多少个座位？
(3)第n排有多少个座位？请说明你的理由。
模块四小结反思
一、本课知识
1．变量、自变量、因变量：在某一变化过程中不断变化的量，叫做；如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做，y叫做。即先发生变化的量叫做，后发生变化或者随自变量的变化而变化的量叫做。
2．常量：。
二、我的困惑;
第二节用关系式表示的变量间关系
【学习目标】
1、经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。
2、能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系。
3、能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系。
【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．
【学习重难点】重点：1、找问题中的自变量和因变量。
2、根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。
难点：根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。
【学习过程】
模块一预习反馈
一、学习准备
（1）如果△ABC的底边长为a，高为h，那么面积S△ABC=________.
（2）如果梯形的上底、下底长分别为a、b,高为h,那么面积S梯形=_________
（3）圆柱的底面半径为r,高为h,面积S圆柱=_____________V圆柱=__________;
二、教材精读
1.如图所示,△ABC底边BC上的高是6厘米.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时,三角形的面积发生了变化.
在这个变化过程中,自变量是________,因变量是_______.
如果三角形的底边长为x(厘米),那么三角形的面积y(厘米2)可以表示为__________，当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积
从________厘米2变化到_______厘米2.
归纳：表示变量之间关系的另一种方法：利用。我们可以根据任何一个的值求出相应的应变量的。
2.如图所示，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之而发生了变化。
（1）在这个变化过程中，自变量是____________,
因变量是______________.
（2）如果圆锥底面半径为r(厘米),那么圆锥的体积V(厘米3)与r的关系式是_____________
（3）当底面半径由1厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由______厘米3变化到______厘米3.
模块二合作探究
3.如图所示,长方形的长为12,宽为x,则
（1）若设长方形的面积S,则面积S与宽x之间有什么关系?
（2）若用C表示长方形的周长,则周长C与宽x之间有什么关系?
（3）当x增加一倍时,长方形的面积S是如何变化的?周长C又是如何变化的?说一说你为什么会这样认为?
模块三形成提升
1、某种长途电话收费方式为按时收费,前3分钟收费1.8元,
以后每加一分钟收费1元,求：
（1）当时间t3分钟时的电话费y(元)与t(分)
之间的关系.
（2）计算当时间分别为5分、10分、30分、50分的电话费。
2.（1）家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为_____________，其中的字母表示________________。
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1KW·h，二氧化碳排放量增加___________。当耗电量从1KW·h增加到100KW·h时，二氧化碳排放量从_______增加到_____________。
模块四小结反思
本课知识
1.会用关系式表示两个变量之间的关系；
2.能利用关系式求值。
二、我的困惑：
第三节用图象表示的变量间关系（1）
【学习目标】
1.经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系。
2.结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义。
3.能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述。
【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．
【学习重难点】重点：结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义。
并能从图象中获取变量之间关系的信息，
难点：能从图象中获取变量间关系的信息，并能用语言进行描述。
【学习过程】
模块一预习反馈
一、学习准备
1.收集一个图像
二、教材精读
1.温度的变化，是人们经常谈论的问题，请根据图形，回答下列各题：
（1）上午9时的温度是多少？12时呢？
______________________________________________________________________
（2）这一天最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？
______________________________________________________________________
（3）这一天的温差是多大？从最低温到最高温度经历了多长时间？______________________________________________________________________
（4）在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？
______________________________________________________________________
（5）图中的A点表示是什么？B点呢？
______________________________________________________________________
（6）你能预测次日凌晨1时的温度吗？说说你的理由。
______________________________________________________________________
归纳：表示变量之间关系的又一种方法：.这一方法的特点：
注意事项：在用图象表示变量之间的关系时：通常用方向的数轴（称为横轴）上的点表示。用竖直方向的数轴（称为）上的点表示。
模块二合作探究
沙漠之舟——骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化。
（1）一天中，骆驼的体温的变化范围是？体温从最低上升到最高需要多少时间？
______________________________________________________________________
（2）从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？
（3）在什么时间范围内骆驼的体温在上升？什么时间范围内骆驼的体温在下降？
______________________________________________________________________
（4）你能看出第二天8时骆驼的体温与第一天8时有什么关系吗？其他时刻呢？
______________________________________________________________________
（5）A点表示的是什么？还有几时的温度与A点所表示的温度相同？
______________________________________________________________________
（6）你还知道哪些关于骆驼的趣事？与同伴进行交流。
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
模块三形成提升
1.某温度下，向一定质量的水中不断加盐粉末同时加以搅拌，能正确加入的食盐量W与所得溶液质量分数（质量分数是指溶质质量与溶液质量之比）关系的图像是图中的（）
2.如图，向高为H的圆柱形空水瓶中注入水，表示注水量y与水深x的关系的图像是图中的（）
3.某农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了些零用钱备用，如用y表示该农民身上的总钱数（元），x表示所售出的土豆的重量（千克），如图所示，结合图形，回答下列问题：
（1）农民自带的零钱是_______元；
（2）降价前他每千克土豆的出售价是_______元；
（3）降价后他按每千克0.4元将剩余的土豆售完，
这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了________千克土豆。
模块四小结反思
本课知识
1.会用关系式表示两个变量之间的关系；
2.能利用关系式求值。
二、我的困惑：
第三节用图象表示的变量间关系（2）
【学习目标】
1.通过速度随时间变化的实际情境，进一步经历从图中分析变量之间关系的过程，加深对图象表示的理解。
2.给出实际情境，能大致描绘出它的关系图。
3.进一步培养从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力。
【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．
【学习重难点】重点：通过速度随时间变化的实际情境，能分析出变量之间关系。
难点：现实中变量的变化关系，判断变化的可能图象。
【学习过程】
模块一预习反馈
一、学习准备
1.设路程为s,速度为v,时间为t,则s=______,v=______,t=_______。
2．表示变量之间关系的方法：、、。
方法的特点：、、。
二、教材精读
1.下面四幅图象表示某汽车在行驶过程中，速度与时间之间的关系在不同状况下的表现。请把图象的序号填在相应语句后的横线上。
（1）汽车启动速度越来越快_______；
（2）汽车在行驶过程中遇到一坑地速度逐步降下来，越过坑地起速度加大_______；
（3）行驶过程中速度保持不变_______；
（4）汽车到达目的地，速度逐步减小最后停下来_______。
2.汽车在行驶过程中，速度往往是变化的。下面的图像表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况。
（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？
（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？
（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。
模块二合作探究
李小勇的爸爸让他去商店买一瓶酱油，下图近似地描述了李小勇和家之间的距离与他离家后的时间之间的关系，则：
（1）李小勇去买酱油共花了_______min,他走路的平均速度是________.
（2）李小勇在买酱油的过程中有_____次停顿，其中第______次是因为买酱油付钱而停顿的。
（3）李小勇在途中另外一处停顿的原因________________________________
____________________________________________________(只要写的合理都对)
模块三形成提升
1.假定甲，乙俩人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，看图填空：
（1）这是一次________赛跑。
（2）甲，乙俩人中先到达终点的是__________.
（3）乙在这次比赛中的平均速度是________m/s
龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远甩在了后面，于是兔子便得意洋洋地躺在大树下睡觉。乌龟一直在坚持不懈，持之以恒的向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快到终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟。图中能大致反映龟兔赛跑的路程s随时间t变化情况的是（）
模块四小结反思
一、本课知识
1.设路程为s,速度为v,时间为t,则s=______,v=______,t=_______。
2．表示变量之间关系的方法：、、。
方法的特点：、、。
二、我的困惑：
第四节变量之间的关系问题探究
1.如图所示，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8。
（1）梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么？
（2）用表格表示当x从10变到20时（每次增加1），y的相应值；
（3）当x每增加1时，y如何变化？说说你的理由。
（4）当x＝0时，y等于什么？此时它表示的什么？
2.如图，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是100千米，请根据图象回答或解决下面的问题.
（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地早？早到多长时间？
（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？
（3）指出在什么时间段内两车均行驶在途中；在这段时间内，①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面。
3.汽车在山区行驶过程中，要经过上坡，下坡，平路等路段，在自身动力不变的情况下，上坡时速度越来越慢，下坡时速度越来越快，平路上保持匀速行驶，下面的图像表示了一辆汽车在山区行驶过程中的速度随时间变化的情况。
（1）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
（2）汽车遇到了几个上坡路段？几个下坡路段？在哪个下坡路段上花时间最长？
（3）用自己的言语大致描述这辆汽车的行驶情况，包括遇到山路，在山路上的速度变化情况等？
随堂练习：
1.重庆市家庭电话月租费为25元，市内通话费平均每次为0.2元.若莹莹家上个月共打出市内电话次，那么上个月莹莹家应付费与之间的关系为，若你家上个月共打出市内电话100次，那么你家应付费元．
2.假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的
关系如图3所示，那么可以知道：
①甲、乙两人中先到达终点的是.
②乙在这次赛跑中的速度为m/s.
3.声音在空气中传播的速度y(m/s)与气温x(C)之
间在如下关系：
（1）当气温x=15C时，声音的速度y=m/s．
（2）当x=22C时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音响，则此人与燃放的烟花所在地相距m
4.拖拉机工作时，油箱中的余油量（升）与工作时间（时）的关系式为．当时，_________，从关系式可知道这台拖拉机最多可工作_________小时．
5.下表是佳佳往妹妹家打长途电话的几次收费记载：
时间／分1234567
电话费／元0.61.21.82.43.03.64.2
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）你能帮佳佳预测一下，如果她打电话用时间是10分钟，则需付多少电话费？
6.已知长方形的相邻两边的长分别是和，设长方形的周长为．
①试写出长方形的周长与之间的关系式；
②求当长为，时的周长；
③求当周长分别为，时的值．
7.小明读七年级，他很想一个人郊外秋游，但妈妈不放心，让他将一天的时间安排做一个详细计划，于是小明绘制了图5交给妈妈，你能根据这幅图想象一下小明的秋游情况吗？
北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案
每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，大家在认真准备自己的教案课件了吧。写好教案课件工作计划，才能规范的完成工作！你们会写一段优秀的教案课件吗？考虑到您的需要，小编特地编辑了“北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案”，相信能对大家有所帮助。
第五章生活中的轴对称教材简析
本章的主要内容有轴对称和轴对称图形的概念以及它们的区别、联系；简单的轴对称图形的性质；利用轴对称进行图案设计．
在对轴对称图象的初步认识的基础上，通过观察、认识、分析生活中的轴对称现象，研究轴对称及其基本性质，进而动手操作利用轴对称进行图案设计．
本章是中考的必考内容，主要考查轴对称、轴对称图形的识别、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定方法与性质，考查形式灵活多样，主要有选择题、填空题和解答题，难度不大．
教学指导
【本章重点】
1．轴对称图形的性质．
2．角平分线、线段垂直平分线及等腰三角形的性质．
【本章难点】
1．利用线段、角、等腰三角形的轴对称性解决简单的计算和书写推理的过程．
2．轴对称与轴对称图形的区别与联系．
3．利用轴对称的性质进行图案设计．
【本章思想方法】
1．体会分类讨论思想，如根据等腰三角形的特殊性，需分类讨论已知角是顶角还是底角，已知边是腰还是底边等．
2．体会转化思想，如在利用垂直平分线的性质定理求三角形的周长时，把三角形周长转化为已知线段的和．
课时计划
1轴对称现象1课时
2探索轴对称的性质1课时
3简单的轴对称图形3课时
4利用轴对称进行设计1课时
1轴对称现象
教学目标
一、基本目标
1．经历观察生活中的轴对称现象、探索轴对称现象共同特征的过程，进一步积累数学活动经验和发展学生的空间观念．
2．理解轴对称图形和成轴对称的图形的定义，能够识别这些图形并能指出它们的对称轴．
3．欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值．
二、重难点目标
【教学重点】
通过对现实生活实例和典型图案的观察与分析，认识轴对称和轴对称图形，会找出简单的轴对称图形的对称轴．
【教学难点】
理解轴对称图形和轴对称的联系与区别．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P115～P117的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
2．如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.
3．下列图形中是轴对称图形的有(B)
A．①②B．①④
C．②③D．③④
4．两个大小不同的圆可以组成如图中的五种图形，它们仍旧是轴对称图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么特点．
解：如图所示：
它们的对称轴均为经过两圆圆心的一条直线．
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．
【互动探索】(引发学生思考)如何判断一个图形是否是轴对称图形？如何找轴对称图形的对称轴？
【解答】(1)(3)(5)(6)(9)不是轴对称图形；(2)(4)(8)有1条对称轴；(7)有4条对称轴；(10)有2条对称轴．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个图形是否为轴对称图形，关键是看能否找到一条直线，沿这条直线折叠，使它两旁的部分能够互相重合．
【例2】图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？
【互动探索】(引发学生思考)可用两个图形成轴对称的概念来解决．
【解答】图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称．
整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)两个图形成轴对称与轴对称图形的联系与区别：
两个图形成轴对称轴对称图形
联系操作方式相同：沿一条直线折叠
沿直线折叠后，直线两旁的图形能完全重合
可以相互转化：把成轴对称的两个图形看作一个整体，就可以得到一个轴对称图形；把轴对称图形两旁的部分分别看作两个图形，它们就是成轴对称的两个图形
区别成轴对称是对于两个图形而言轴对称图形是对于一个图形而言
两个图形分居一条直线两旁一个图形被直线分成两部分
折叠后，一个图形与另一个图形完全重合折叠后，图形的一部分与另一部分互相重合(即重合到自身上)
(2)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，而两个图形成轴对称是指两个图形之间的形状与位置的关系．
活动2巩固练习(学生独学)
1．誉为全国第三大露天碑林的浯溪碑林，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是(C)
2．如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的汉语意思为书.
3．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格．
正多边形的边数34567
对称轴的条数34567
根据上表，猜想正n边形有n条对称轴．
解：如图：
4．观察图中的各种图形，说明哪些图形放在一起可形成轴对称．
解：根据轴对称图形的性质得出：(1)和(6)，(2)和(4)，(9)和(10)能形成轴对称图形．
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】轴对称在数学计算中有巧妙的应用．如图1，现要计算长方形中六个数字的和，我们发现，把长方形沿对称轴l1对折，重合的数字均为4，故六个数字的和为34＝12；若沿对称轴l2对折，则六个数字的和可表示为42＋22＝12.受上面方法的启发，请快速计算正方形(图2)中各数字之和．
图1图2
【互动探索】利用轴对称图形对称位置上的两数相加和相等来进行简便计算．
【解答】如图所示，一条对角线上的数都是5，若把这条对角线所在直线当作对称轴，把正方形对折一下，对称位置上的两数之和均为10，这样正方形中各数字之和为1010＋55＝125.
【互动总结】(学生总结，老师点评)数形结合是初中数学的一种重要思想方法，在求一组有特殊规律的数字的和时，经常会用到对称的思想及其相关的知识．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
轴对称现象
练习设计
请完成本课时对应练习！
2探索轴对称的性质
教学目标
一、基本目标
1．经历探索轴对称性质的过程，积累数学活动经验，发展空间观念．
2．理解轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．
二、重难点目标
【教学重点】
探索并掌握轴对称的性质．
【教学难点】
运用轴对称的性质作图及利用轴对称的性质解决一些实际问题．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P118～P119的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．我们把沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角.
2．轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
3．画轴对称图形，首先应确定对称轴，然后找出对称点.
4．如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在直线为对称轴，找出图中所有相等的线段和相等的角．
解：相等的线段：AB＝AE，CB＝DE，CF＝DF；相等的角：B＝E，C＝D，BAF＝EAF，AFD＝AFC．
5．把如图所示的图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形．
解：如图所示：
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，△ABC和△AED关于直线l对称，若AB＝2cm，C＝95，则AE＝________，D＝________.
【互动探索】(引发学生思考)因为△ABC和△AED关于直线l对称，AB＝2cm，C＝95，所以AE＝AB＝2cm，D＝C＝95.
【答案】2cm95
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类问题应先根据条件确定对应点，从而确定对应线段、对应角．
【例2】画出△ABC关于直线l的对称图形．
【互动探索】(引发学生思考)画已知图形关于直线对称的图形的关键是什么？
【解答】如图所示：
【互动总结】(学生总结，老师点评)画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连结即可得到．
活动2巩固练习(学生独学)
1．如图，△ABC和△ABC关于直线l对称，若A＝50，C＝30，则B的度数为(D)
A．30B．50
C．90D．100
2．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，与对角线交于点Q，点P是直线MN上面一点，下列判断错误的是(D)
A．AQ＝BQB．AP＝BP
C．MAP＝MBPD．ANM＝NMB
3．如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中BAD＝150，B＝40，则BCD的度数是(A)
A．130B．150
C．40D．65
4．如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形．
解：如图所示：
5．如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时1＝2，3＝4，并且2＋3＝90，4＋5＝90.如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角5＝30，那么1应该等于多少度才能保证黑球准确入袋？请说明理由．
解：1＝30才能保证黑球准确入袋．
理由如下：如图，因为5＝30，
所以7＝5＝30.
因为3＝4，
所以6＝7＝30，
所以2＝6＝30，
所以1＝2＝30.
即1＝30才能保证黑球准确入袋．
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上的点F处，若EFB＝60，则CFD＝()
A．20B．30
C．40D．50
【互动探索】根据图形翻折变换，得△ADE与△FDE关于直线DE成轴对称，所以△ADE≌△FDE，所以EFD＝EAD＝90.因为EFB＝60，所以CFD＝90－EFB＝30.
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
3简单的轴对称图形
第1课时等腰三角形
教学目标
一、基本目标
1．经历探索等腰三角形和等边三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴对称性、三线合一、两底角相等等性质．
2．能根据等腰三角形的性质解决一些简单的问题．
二、重难点目标
【教学重点】
等腰三角形、等边三角形的性质．
【教学难点】
等腰三角形、等边三角形的性质及探索过程．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P121～P122的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形是轴对称图形；
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称三线合一)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴；
(3)等腰三角形的两个底角相等.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC．
(1)因为ADBC，
所以BAD＝CAD，BD＝CD；
(2)因为AD是中线，
所以ADBC，BAD＝CAD；
(3)因为AD是角平分线，
所以ADBC，BD＝CD；
(4)因为AB＝AC，
所以B＝C.
3．完成教材P121想一想：
解：(1)等边三角形有三条对称轴，内角的平分线(各边上的中线、各边上的高)所在的直线为其对称轴．
(2)等边三角形的特征：①三条边都相等，三个内角都相等，且每个内角都是60；②是轴对称图形；③具有等腰三角形的一切特征．
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC中各内角的度数．
【互动探索】(引发学生思考)设A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
【解答】因为AB＝AC，BD＝BC＝AD，
所以ABC＝C＝BDC，A＝ABD．
设A＝x，则ABC＝C＝BDC＝ABD＋A＝2x.
在△ABC中，因为A＋ABC＋C＝180，
所以x＋2x＋2x＝180，解得x＝36.
所以在△ABC中，A＝36，ABC＝C＝72.
【互动总结】(学生总结，老师点评)当题中等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【例2】如图，已知AB＝AC，BDAC于点D．求证：BAD＝2DBC．
【互动探索】(引发学生思考)由BAD＝2DBC，考虑作BAD的平分线，即作等腰三角形的高，再根据等角的余角相等证明结论．
【证明】过点A作AEBC于点E.
因为AB＝AC，AEBC，
所以BAD＝22.
因为BDAC于点D，
所以BDC＝90，
所以2＋C＝C＋DBC＝90，
所以DBC＝2，
所以BAD＝2DBC．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：(1)从要证的等式中角之间的数量关系，考虑利用等腰三角形三线合一作辅助线；(2)在有直角的平面几何图形中，可用等角的余角相等证明角相等．
活动2巩固练习(学生独学)
1．已知等腰三角形的一个角为80，则其顶角为(D)
A．20B．50或80
C．10D．20或80
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分BAC，则BD＝3cm.
3．在△ABC中，AB＝AC＝5，A＝60，则BC＝5.
4．在△ABC中，AB＝AC，过点C作CN∥AB且CN＝AC，连结AN交BC于点M.求证：BM＝CM.
证明：因为AB＝AC，CN＝AC，
所以AB＝CN，N＝CAN.
又因为AB∥CN，
所以BAM＝N，
所以BAM＝CAM，
所以AM为BAC的平分线．
又因为AB＝AC，
所以AM为△ABC的边BC上的中线，
所以BM＝CM.
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】已知△ABC是等腰三角形，且A＋B＝130，求A的度数．
【互动探索】要求A，需讨论A是等腰△ABC的顶角还是底角，再结合三角形的内角和求解．
【解答】分情况讨论：
当A为顶角时，则B＝C．
因为A＋B＋C＝180，A＋B＝130，
所以B＝C＝50，所以A＝80.
当C为顶角时，则A＝B．
因为A＋B＝130，所以A＝65.
当B为顶角时，则A＝C．
因为A＋B＋C＝180，A＋B＝130，
所以A＝C＝50.
综上所述，A的度数可以为80，65或50.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题体现了分类讨论思想．等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角．本题易忽略讨论B是顶角还是底角．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
等腰三角形
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时线段的垂直平分线
教学目标
一、基本目标
1．探索并了解线段垂直平分线的有关性质，并利用垂直平分线的性质解决一些实际问题．
2．会用尺规作图作一条线段的垂直平分线．
3．经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．
二、重难点目标
【教学重点】
垂直平分线的有关性质．
【教学难点】
用尺规作图作线段的垂直平分线，并利用垂直平分线的性质解决一些实际问题．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P123～P124的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．
2．线段的垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
3．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长为(B)
A．6B．5
C．4D．3
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】详细过程见教材P124例1.
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D．若△DBC的周长为35cm，求BC的长．
【互动探索】(引发学生思考)DE垂直平分ABAD＝BD△DBC的周长为35cmBC＋AD＋CD＝35cm求出BC．
【解答】因为DE垂直平分AB，所以AD＝BD．
因为△DBC的周长为35cm，即BC＋BD＋CD＝35cm，
所以BC＋AD＋CD＝35cm.
又因为AC＝AD＋DC＝20cm，
所以BC＝35－20＝15(cm)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
活动2巩固练习(学生独学)
1．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，CE＝4，△ABC的周长是25，则△ABD的周长为(C)
A．13B．15
C．17D．19
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D、E，B＝60，C＝25，则BAD为(B)
A．50B．70
C．75D．80
3．如图，在△ABC中，AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D．若△DBC的周长为35cm，则BC长为15cm.
4．如图，在Rt△ABC中，B＝90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知BAE＝10，求C的度数．
解：因为B＝90，BAE＝10，
所以BEA＝80.
因为ED是AC的垂直平分线，
所以AE＝EC，所以C＝EAC．
因为BAC＋B＋C＝180，BAC＝BAE＋EAC，
所以10＋EAC＋90＋C＝180.
所以C＝EAC＝40.
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD．
【互动探索】(1)根据AD∥BC可知ADE＝ECF，再根据E是CD的中点可证得△ADE≌△FCE，从而根据全等三角形的性质得到结论；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
【证明】(1)因为AD∥BC，
所以ADE＝ECF.
因为E是CD的中点，
所以DE＝EC．
又因为AED＝CEF，
所以△ADE≌△FCE，
所以FC＝AD．
(2)因为△ADE≌△FCE，
所以AE＝EF，AD＝CF.
因为BEAE，
所以BE是线段AF的垂直平分线，
所以AB＝BF＝BC＋CF.
因为AD＝CF，
所以AB＝BC＋AD．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
【例4】如图，A、B、C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置．
【互动探索】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等作图．
【解答】如图，连结AB、AC，分别作出AB、AC的垂直平分线，两线的交点P就是供水站的位置．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了应用作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
线段的垂直平分线
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时角平分线的性质
教学目标
一、基本目标
1．经历探索角的轴对称性的过程，理解并掌握角平分线的有关性质，并能运用角平分线的性质解决一些实际问题．
2．掌握作已知角的平分线的尺规作图方法．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握角平分线的性质，会用尺规作已知角的平分线．
【教学难点】
角平分线的性质的应用．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P125～P126的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
2．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3．如图，已知BG是ABC的平分线，DEAB于点E，DFBC于点F，DE＝6，则DF的长为(D)
A．2B．3
C．4D．6
4．如图，AD是△ABC中BAC的平分线，DEAB于点E，AC＝7，DE＝4，则△ADC的面积等于14.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】详细过程见教材P126例2.
【例2】如图，在△ABC中，ACB＝90，BE平分ABC，DEAB于点D，如果AC＝3cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CE，从而可知AE、AC、DE之间的数量关系．
【解答】AE＋DE＝AC＝3cm.理由如下：
因为ACB＝90，BE平分ABC，DEAB，
所以DE＝CE，
所以AC＝AE＋CE＝3cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
活动2巩固练习(学生独学)
1．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是(C)
A．OE是AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C、D到OE的距离不相等
D．AOE＝BOE
2．如图，在Rt△ACB中，C＝90，AD平分BAC，若BC＝16，BD＝10，则点D到AB的距离是(D)
A．9B．8
C．7D．6
3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为点A，交CD于点D．若AD＝8，则点P到BC的距离是4.
4．如图，已知BD是ABC的平分线，DEBC于点E，S△ABC＝36cm2，AB＝12cm，BC＝18cm，则DE的长为2.4cm.
教师点拨：过点D作DFAB于点F.根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD＋S△BCD列方程求解即可．
5．如图，BD是ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PMAD，PNCD，垂足分别为点M、N.试说明：PM＝PN.
证明：因为BD是ABC的平分线，
所以ABD＝CBD．
又因为AB＝BC，BD＝BD，
所以△ABD≌△CBD(SAS)，
所以ADB＝CDB，
即DB是ADC的平分线．
因为PMAD，PNCD，
所以PM＝PN.
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，你能说出可供选择的地址有几处吗？
【互动探索】根据角平分线的性质，得货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点．
【解答】因为中转站要到三条公路的距离都相等，
所以货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点．
而外角平分线有3个交点，内角平分线有1个交点，
所以货物中转站可以供选择的地址有4个．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
角的轴对称性
练习设计
请完成本课时对应练习！
4利用轴对称进行设计
教学目标
一、基本目标
1．经历观察、分析、作图、折叠等过程，进一步理解轴对称及其性质，发展空间观念．
2．能够利用轴对称进行一些图案设计．
3．欣赏中国民间剪纸艺术中的一些图案，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握有关轴对称图形画图的操作技能，并能利用图形之间的轴对称关系来设计轴对称图形．
【教学难点】
掌握有关画图的技能及设计轴对称图形．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P128～P129的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．轴对称的性质：在轴对称图形中，
(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
(2)对应线段相等，对应角相等.
2．如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的(A)
A．轴对称性B．蝴蝶效应
C．颜色鲜艳D．数形结合
3．下列有关安全提示的图案中，可以看作轴对称图形的是(C)
4．如图的四个图案都是轴对称图形，它们分别有着自己的含义，如图1可以代表针织品、联通；图2可以代表法律、公正；图3可以代表航海、坚固；图4可以代表邮政、友谊等．请你自己也来设计一个轴对称图形，并请说明你所设计的轴对称图形的含义．
解：答案不唯一，如图：
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】在33的正方形网格图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的△DEF.(每个33正方形网格图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种)
【互动探索】(引发学生思考)根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形即可．
【解答】如图，△DEF即为所求．(答案不唯一)
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．解题时注意：若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种．
活动2巩固练习(学生独学)
1．下列古代的吉祥图案中，不是轴对称图形的是(C)
2．如图是由9个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑，若再涂黑一个，则整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有3种．
3．用四块如图1所示的是小正方形瓷砖拼成一个轴对称的大正方形图案(如图2)．请在图3、图4中分别给出两种不同的拼法，且使拼出的图案为轴对称图形．
解：如图所示：
活动3拓展延伸(学生对学)
【例2】观察设计：
(1)观察如图1～图4中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；
(2)在图5的网格中，设计一个新的图案，使该图案同时具有你在(1)中所写出的两个共同特征．(注意：新图案与如图1～图4的图案不能重合)
【互动探索】(1)利用已知图形的特征分别得出其共同的特征；(2)利用(1)所写的特征画出符合题意的图形即可．
【解答】(1)答案不唯一，如：所给的四个图案具有的共同特征可以是：①都是轴对称图形；②面积都等于四个小正方形的面积之和；③都是直线型图案；④图案中不含钝角等．
(2)答案不唯一，只要设计的图案同时具有所给出的两个共同特征均正确．例如：同时具备特征①、②的部分图案如图：
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握图形的特征是解题关键．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
