3.3等差数列的前n项和（第二课时）。

俗话说，磨刀不误砍柴工。教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师能够井然有序的进行教学。您知道教案应该要怎么下笔吗？下面是小编精心收集整理，为您带来的《3.3等差数列的前n项和（第二课时）》，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

3.3等差数列的前n项和（第二课时）

教学目的：

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式教学难点：灵活应用求和公式解决问题教学过程：一、复习引入：

首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等差数列的前项和公式1：

2.等差数列的前项和公式2：

3.，当d≠0，是一个常数项为零的二次式4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

（1）利用:当0，d0，前n项和有最大值。可由≥0，且≤0，求得n的值。当0，d0，前n项和有最小值。可由≤0，且≥0，求得n的值。（2）利用：由二次函数配方法求得最值时n的值。二、例题讲解

例1.已知等差数列的前项和为，前项和为，求前项和．解：由题设∴而例2已知一个等差数列的前四项和为21，后四项和为67，前n项和为286，求项数.

分析：若把有穷数列{an}的前n项和sn的平均值叫做数列的平均值，记为，即则sn=n.根据等差数列的性质易知，.(答案：n=26).

例3等差数列中，该数列的前多少项和最小？

思路1：求出sn的函数解析式（n的二次函数,），再求函数取得最小值时的n值.思路2：公差下为0的等差数列等差数列前n项和最小的条件为：思路3：由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0.例4.已知数列{an}的前n项和，求数列{|an|}的前n项和Tn.解：当时，∵n=1也适合上式，∴数列的通项公式为an=-3n+104(）由an=-3n+104≥0得n≤34.7，即当n≤34时，an0,当n≥35时an0.

(1)即当n≤34时，

Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=.(2)当n≥35时,

Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)

=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2s34-sn

三、练习：1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.2．两个数列1,,,……,,5和1,,,……,,5均成等差数列公差分别是,,求与的值。3．在等差数列{}中,＝－15,公差d＝3,求数列{}的前n项和的最小值。四、作业：课时P119习题3.39，10，《精析精练》P122智能达标训练.

精选阅读

等差数列的前n项和

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助授课经验少的高中教师教学。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《等差数列的前n项和》，仅供参考，欢迎大家阅读。

等差数列的前n项和教学目标
1.把握等差数列前项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)了解等差数列前项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;
(2)用方程思想熟悉等差数列前项和的公式,利用公式求;等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;
(3)会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值.
2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思维规律,初步形成熟悉问题,解决问题的一般思路和方法.
3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的练习,发展学生的思维水平.
4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.
教学建议
(1)知识结构
本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.
(2)重点、难点分析
教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.
推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从非凡问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.
高斯算法表现了大数学家的聪明和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用.
②前项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活.
③强调从非凡到一般,再从一般到非凡的思考方法与研究方法.
④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题.
⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式.
等差数列的前项和公式教学设计示例
教学目标
1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.
2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.
教学重点,难点
教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讲授法.
教学过程
一.新课引入
提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)
问题就是(板书)“”
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?
二.讲解新课
(板书)等差数列前项和公式
1.公式推导(板书)
问题(幻灯片):设等差数列的首项为,公差为,由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一:运用基本量思想,将各项用和表示,得
,有以下等式
,问题是一共有多少个,似乎与的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二:
上面的等式其实就是,为回避个数问题,做一个改写,,两式左右分别相加,得
,
于是有:.这就是倒序相加法.
思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得,于是.
于是得到了两个公式(投影片):和.
2.公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前项和的两个公式.
3.公式的应用
公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.
例1.求和:(1);
(2)(结果用表示)
解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.
例2.等差数列中前多少项的和是9900?
本题实质是反用公式,解一个关于的一元二次函数,注重得到的项数必须是正整数.
三.小结
1.推导等差数列前项和公式的思路;
2.公式的应用中的数学思想.
四.板书设计

等差数列前n项和

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，有效的提高课堂的教学效率。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？下面是小编为大家整理的“等差数列前n项和”，欢迎大家与身边的朋友分享吧！

课时192.2.3等差数列的前n项和（3）
【学习目标】
灵活运用等差数列的前n项和公式解决一些实际问题。
【知识概念】
1．等差数列的判定方法

2．等差数列通项性质

3.an与Sn的关系
；。
4．等差数列的前n项和的性质
【例题选讲】
例1．某剧场有20排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？

例2．某种卷筒纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm,满盘时直径120mm。已知卫生纸的厚度为0.1mm,问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少？（精确到1m）

例3．教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税。教育储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生。设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰.起存款金额50元，存款总额不超过2万元。
（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？
（2）零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约多少元？（精确到元）

【课堂练习】
课本P43练习4
课本P44习题9、10、11、12
【巩固提高】
1．某钢材库新到200根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆钢尽可能的少，那么将剩余多少根圆钢？

2．有30根电线杆，要运往1000m远的地方开始安装，在1000m处放一根，以后每50m放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少km？又若一辆车一次可运四根，怎样安排汽车的行程最短。

3．A，B两物自相距30m处同时相向运动，A每分钟走3m，B每分钟走2m，且以后每分钟比前1分钟多走0.5m，则A和B开始运动后分钟相遇。
4．流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感。据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制。从某天起。每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人。到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8670人。问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。

《等差数列的前n项和》说课稿

《等差数列的前n项和》说课稿

一、教材结构与内容简析
本节内容选自普遍高中课程标准实验教科书(北师大版)必修5第一章第四节等差数列的前n项和第一课时，是在学生学习了等差数列定义及通项公式的基础上学习和研究的，是进一步学习其它数列知识的基础。等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

二、教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：

认知目标：掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

能力目标经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

情感目标：获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

三、教学重点、难点

教学重点：等差数列前n项和公式

教学难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路

四、教法和学法

教法：采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“等差数列前n项和公式发现”为基本探究内容，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，公式的推导，并逐步得到深化。

学法：指导学生掌握“观察——猜想——推导——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对等差数列前n项和公式的探究。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

五、教学程序

（一）创设情境，布疑激趣

“兴趣是最好的老师”，如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半。因此，我通过对实际问题的引入，使学生一开始就能对这节课所研究的问题引起兴趣，使其立刻进入到研究者的角色中来，并从这一简单的例子进入我们今天的课题。

（二）探寻特例，提出猜想

1．激发学生思维，从自身熟悉的特例高斯问题入手进行研究，发现差数列前n项和公式。

2．让学生总结得出猜想：差数列前n项和与它的首项，末项，及项数有怎样的关系?

（三）寻找途径，证明猜想

1．让学生用倒序相加法证明差数列前n项和公式。

2．与等差数列通项公式结合得另一个公式。

3．运用差数列前n项和公式求解本节课问题。

（四）初步应用，深化认识

用公式也是教学的重点。为了让学生较熟练掌握公式，可采用设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成。

通过三道例题，主要让学生在具体问题中如何选用公式，变用公式及知三求二在数列中的应用，提高学生的计算能力

（五）小结反思，提高认识

通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体会？

1.等差数列前n项和公式:=

2公式的推证用的是倒序相加法

3在两个求和公式中,各有四个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.(体现了方程思想)

意图：使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，能抓住重点进行课后复习

（六）当堂检测

旨在了解学生对本节课知识的掌握情况，掌握学情，为了以后更好的进行教学。

（七）作业布置，

必做题是让学生巩固所学的知识，熟练公式的应用。根据学生的特点，为了促进数学成绩优秀学生的发展，培养他们分析问题解决问题的能力，我们设计了选做题，达到分层教学的目的

六、设计理念——把“数学发现的权力”还给学生

长期以来，我们的课堂教学太过于重视结论，轻视过程.为了应付考试，为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化.在数学概念公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题就束手无策.

数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体.新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验.

基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单地告诉学生差数列前n项和公式的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现，从发现公式的过程中让学生体会到：公式并不是凭空产生的，发现公式并不都是高不可攀的事情，通过我的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事.在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题、解决问题的能力，培养了他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念.

3.1等差数列（第二课时，等差数列的性质）

3.1等差数列（第二课时，等差数列的性质）

教学目的：

1.明确等差中项的概念.

2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.

教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用

教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题

一、复习引入

1．等差数列的定义；2．等差数列的通项公式：（1），（2），（3）

3．有几种方法可以计算公差d
①d=－②d=③d=

二、讲解新课：

问题：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

由定义得A-=-A，即：

反之，若，则A-=-A

由此可可得：成等差数列。

也就是说，A=是a,A,b成等差数列的充要条件

定义：若，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中

5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

注意到，，……

由此猜测：

性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则，

即m+n=p+q(m,n,p,q∈N)

（以上结论由学生证明）

但通常①由推不出m+n=p+q，②

特例：等差数列{an}中，与首尾“等距离”的任意两项和相等.即

三、例题

例1在等差数列{}中，若+=9,=7,求,.

分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式+=+=9入手……（答案：=2,=32）

例2等差数列{}中，++=－12,且··=80.求通项

分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题。而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再构造一个等式出来。

（答案：=－10+3(n－1)=3n－13或=2－3(n－1)=－3n+5）

例3在等差数列{}中,已知＋＋＋＋＝450,求＋及前9项和（＝＋＋＋＋＋＋＋＋）.

提示：由双项关系式：＋＝2，＋＝2及＋＋＋＋＝450,得5＝450,易得＋＝2＝180.

＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋＝9＝810.

例4已知a、b、c的倒数成等差数列，那么，a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列。

分析：将a、b、c的成等差数列转化为a+c=2b，再探索a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)，即a2(b+c)+b2(c+a)-c2(a+b)=0是否成立.

例5已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少公共项.

分析：两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.（答案：25个公共项）

四、练习：

1.在等差数列中，已知，，求首项与公差

2.在等差数列中,若求

3.在等差数列中若，，求

五、作业：课本：P114习题3.27.10，11.《精析精练》P117智能达标训练