一元二次方程高中教案

高一数学《用二分法求方程的近似解》导学案。

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助教师能够井然有序的进行教学。教案的内容要写些什么更好呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高一数学《用二分法求方程的近似解》导学案”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

高一数学《用二分法求方程的近似解》导学案

教学目标
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．

情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点

通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

教学难点
恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

教材分析
本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.

学情分析
通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握MicrosoftExcel软件一些基本的操作.

教学媒体分析
多媒体微机室、Authorware7.02中文版、几何画板4.06中文版、MicrosoftExcel、QBASIC语言应用程序【www.zw5000.cOM 作文5000网】

教学方法

动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践

教学环节设计流程图

教学设计理念

1.构建共同基础，提供发展平台；

2.提供多样解法，适应个性选择；

3.倡导积极主动、勇于探索的学习方式；

4.注重提高学生的数学思维能力；

5.发展学生的数学应用意识；

6.与时俱进地认识“双基”；

7.强调本质，注意适度形式化；

8.体现数学的文化价值；

9.注重信息技术与数学课程的整合；

10.建立合理、科学的评价体系.

教学过程与操作设计：

环节
教学内容设计
师生双边互动
信息技术应用

中外历史上的方程求解

在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座．虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九章算术》，北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》，南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果．1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N.H.Abel，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解．1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois，1811-1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程．人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．

师：介绍中外历史上的方程求解问题，从高次代数方程解的探索历程引导学生认识引入二分法的意义，从而引入课题．

生：感受到数学文化方面的熏陶，最大限度的调动学生的学习兴趣，提高学习的积极性和主动性.

Authorware7.02课件展示
这节课就让我们来共同学习一下§3.1.2《用二分法求方程的近似解》

想一想

我们已经知道，函数在区间（2，3）内有零点，且＜0，＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？

做一做

第一步：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)≈－0.084.因为(2.5)·＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.

第二步：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得(2.75)≈0.512.因为(2.5)·(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.

结论:由于(2，3)(2.5，3)(2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见下表和图)
师：一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，下面我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.

师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法．

生：用计算器算得

(2.5)≈－0.084

(2.75)≈0.512

几何画板4.06中文版演示计算结果

师：这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.

例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625－2.53125|=0.0078125＜0.01，所以，我们可以将=2.53125作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值.
Authorware7.02课件展示

议一议：你能说出二分法的意义及用二分法求函数零点近似值的步骤吗？

1.二分法的意义

对于在区间[，]上连续不断且满足·＜0的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)．

2.给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：

(1)确定区间，，验证·＜0，给定精确度；

(2)求区间，的中点；

(3)计算：

1若=，则就是函数的零点；

2若·＜0，则令=（此时零点）；

3若·＜0，则令=（此时零点）；

(4)判断是否达到精确度；即若＜，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2-4．

结论:由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.

思考：为什么由＜，便可判断零点的近似值为(或)？

师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．

师：分析条件

“·＜0”、“精确度”、“区间中点”及“＜”的意义．

生：结合求函数

在区间（2，3）内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理．

Authorware7.02课件展示

由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以借助几何画板4.06中文版软件和MicrosoftExcel软件来完成计算.

我们还是以求函数的零点为例

学生在教师引导下操作

师：

第一步：打开几何画板4.06中文版软件.

第二步：点击工具栏中的“图表”，选中“绘制新函数(Ctrl+G)”，或在工作区中点击右键，选中“绘制新函数”.

第三步：在弹出的对话框中输入

，点击“确定”.

几何画板4.06中文版

环节
教学内容设计
师生双边互动
信息技术应用

第四步：观察函数图象，确定零点所在的大致区间为(2，3).

几何画板4.06中文版

第五步:打开

MicrosoftExcel软件

第六步:分别在单元格A1、B1、C1输入、、

精确度，在C2输入0.5，分别在A2、A3输入2、2.5，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值4时为止，完成自动填充.

MicrosoftExcel软件

环节
教学内容设计
师生双边互动
信息技术应用

第七步:在B2单元格点击“粘贴函数”，

输入函数值公式

“=lnA2+2*A2-6”，得到与A2相应的函数值.

第八步:然后双击(或拖动)B2的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值.

生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，3)内.

第九步：重复上述操作：将A1、B1、C1复制到A7、B7、C7，把精确度设为0.25，在A8、B9分别输入2.5、2.75，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值3.25时为止，完成自动填充.复制B2到B8，得到与A8相应的函数值，然后双击(或拖动)B8的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值.

生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，2.75)内.
MicrosoftExcel软件
环节
教学内容设计
师生双边互动
信息技术应用

结论：借助信息技术求方程近似解(函数零点)的步骤如下：

1.利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间；

2.利用然后用MicrosoftExcel软件逐步计算解答．
第十步：重复上述过程，将精确度设为上次操作的一半，直到小于0.01为止，特别地，这时可以将区间端点作为零点的近似值.

生：观察所得

函数值，并且精确度为

0.0078125＜0.01，所以零点在区间(2.53125，2.5390625)内，

*=2.53125可以为函数的零点.

生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程近似解的方法，并进行讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论．
MicrosoftExcel软件
例题：借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解(精确度0.1)

解：（略）．打开几何画板打开Excel

尝试练习：

1.借助计算器或计算机，用二分法求函数

的零点(精确度0.1)

2.借助计算器或计算机，用二分法求方程的近似值(精确度0.01)
师：首先利用几何画板4.06中文版软件画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间，然后用MicrosoftExcel软件逐步计算解答．

生：独立完成解答，并进行交流、讨论、评析．
Authorware7.02课件展示

几何画板4.06中文版

MicrosoftExcel软件
我们也可以借助QBASIC语言编写一定的程序来求方程的近似解.（精确到0.01）
程序框图：

师：介绍学生感兴趣的计算机编程问题，渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔．

Authorware7.02课件展示

环节
教学内容设计
师生双边互动
信息技术应用

程序语句：

INPUT“，，=”；，，

DO

*=(+)/2

=LOG()+2*－6

=LOG(*)+2**－6

IF*＞0THEN

=*

ELSE

=*

ENDIF

LOOPUNTILABS(-)＜OR=0

PRINT

END
打开QBASIC文件

师：输入零点的大致区间和精确度，执行程序，检验程序运行结果的正确性．

QBASIC语言

应用程序
1.有兴趣的同学可以自学QBASIC语言或其他计算机语言，编写程序，来检验做题结果正确与否.

2.查找有关资料或利用Internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识．3.谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？将你这节课的收获与感受写成一篇小报告或小论文的形式，发表在学校的数学论坛上.
师：继续激发学生学习数学的热情；感受数学文化方面的熏陶；充分地利用学校资源进行后续学习和交流.

Authorware7.02课件展示

延伸阅读

高一数学用二分法求方程的近似解041

课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节教学内容设计师生双边互动
创

设

情

境材料一：二分查找(binary-search)
（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（）个单元。
Ａ．1000Ｂ．10Ｃ．100Ｄ．500
二分法检索（二分查找或折半查找）演示．

材料二：高次多项式方程公式解的探索史料
由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．
在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．
师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．

生：体会二分查找的思想与方法．

师：从高次代数方程的解的探索历程，引导学生认识引入二分法的意义．
组

织

探

究二分法及步骤：
对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间，，验证，给定精度；
2．求区间，的中点；
3．计算：

师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．

分析条件
“”、“精度”、“区间中点”及“”的意义．
环节呈现教学材料师生互动设计
组

织

探

究○1若=，则就是函数的零点；
○2若，则令=（此时零点）；
○3若，则令=（此时零点）；
4．判断是否达到精度；
即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4．
生：结合引例“二分查找”理解二分法的算法思想与计算原理．

师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法．

例题解析：
例1．求函数的一个正数零点（精确到）．
分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．
解：（略）．
注意：
○1第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；
○2建议列表样式如下：
零点所在区间中点函数值区间长度
[1，2]0
1
[1，1.5]0
0.5
[1.25，1.5]0
0.25
如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．

例2．借助计算器或计算机用二分法求方程
的近似解（精确到）．
解：（略）．

思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？

结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点．
师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．

生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析．

师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数．

生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论．
环节呈现教学材料师生互动设计
探
究
与
发
现1）函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使的实数；
从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；
若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；
若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．

2）用二分法求函数的变号零点
二分法的条件表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．师：引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．
尝
试
练
习1）教材P106练习1、2题；
2）教材P108习题3．1（A组）第1、2题；
3）求方程的解的个数及其大致所在区间；
4）求方程的实数解的个数；
5）探究函数与函数的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过的点．
作
业
回
馈1）教材P108习题3．1（A组）第3~6题、（B组）第4题；
2）提高作业：
○1已知函数
．
（1）为何值时，函数的图象与轴有两个交点？
（2）如果函数的一个零点在原点，求的值．

○2借助于计算机或计算器，用二分法求函数
的零点（精确到）；

○3用二分法求的近似值（精确到）．

环节呈现教学材料师生互动设计
课
外
活
动查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识．
收
获
与
体
会说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；
谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？

用二分法求方程近似解

§3.1.2用二分法求方程的近似解学案

课前预习学案
一、预习目标
能说出零点的概念，零点的等价性，零点存在性定理。
二、预习内容
（预习教材P89~P91，找出疑惑之处）
复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？
对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点.
方程有实数根函数的图象与x轴函数.
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.

复习2：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1.根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；
2.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
学习重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
学习难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解
二、学习过程
探究任务：二分法的思想及步骤
问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.
解法：
第一次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；
第二次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；
第三次，两端各放个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.

思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求的零点所在区间？如何找出这个零点？

新知：对于在区间上连续不断且0的函数，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).

反思：
给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如何呢？

①确定区间，验证，给定精度ε；
②求区间的中点；
③计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；
④判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④．
三、典型例题
例1借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解.

变式：求方程的根大致所在区间.

例2求方程的解的个数及其大致所在区间.
变式训练
求函数的一个正数零点（精确到）
零点所在区间中点函数值符号区间长度

四、反思总结
①二分法的概念；②二分法步骤；③二分法思想.
五、当堂达标
1.求方程的实数解个数及其大致所在区间.

课后练习与提高
1.若函数在区间上为减函数，则在上（）.
A.至少有一个零点B.只有一个零点
C.没有零点D.至多有一个零点
2.下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（）.
3.函数的零点所在区间为（）.
A.B.C.D.
4.用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为.
5.函数的零点个数为，大致所在区间为.
6.借助于计算机或计算器，用二分法求函数的零点（精确到）.

高一数学用二分法求方程的近似解038

第三十一课时用二分法求方程的近似解
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；
2．能借助计算器用二分法求方程的近似解；
3．体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
自学评价
1．二分法
对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间，验证，给定精度；
（2）求区间的中点；
（3）计算：
①若=，则就是函数的零点；
②若，则令=（此时零点）；
③若，则令=（此时零点）；
（4）判断是否达到精度：即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤2~4．
【精典范例】
例1：利用计算器，求方程的一个近似解（精确到0.1）．
【解】设，
先画出函数图象的简图.
(如右图所示)
因为
，
所以在区间内，方程有一解，记为.取与的平均数，因为
，
所以.
再取与的平均数，因为，
所以.
如此继续下去，得
，因为与精确到的近似值都为，所以此方程的近似解为
.
利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
点评:①第一步确定零点所在的大致区间，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；
②建议列表样式如下：
零点所在区间区间中点函数值区间长度
1
0.5
0.25
0.125
如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．
例2：利用计算器，求方程的近似解（精确到0.1）．
分析：分别画函数和
的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程的解．由函数与的图象可以发现，方程有惟一解，记为，并且这个解在区间内.
【解】设，利用计算器计算得
因为与精确到的近似值都为，所以此方程的近似解为
.
思考:发现计算的结果约稳定在.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．
除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．
例3：利用计算器，求方程的近似解（精确到0.1）．
【解】方程
可以化为．
分别画函数
与的图象，由图象可以知道，方程的解在区间内，那么对于区间，利用二分法就可以求得它的近似解为.
追踪训练一
1.设是方程的解，则所在的区间为（B）
A．B．
C．D．
2.估算方程的正根所在的区间是（B）
A．B．
C．D．
3．计算器求得方程的负根所在的区间是（A）
A．（，0）B．
C．D．
4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到)
(1)(2)
答案:(1)(2),
【选修延伸】
一、含字母系数的二次函数问题
例4：二次函数中实数、、满足，其中，求证：
（1）)；
（2）方程在内恒有解．
分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：是区间内的数，且，这就启发我们把区间划分为(，)和（，）来处理．
【解】（1）
，
由于是二次函数,故，又，所以，．
⑵由题意，得,．
①当时，由（1）知
若，则，又,所以在（，）内有解．
若，则
，又，所以在（,）内有解．
②当时同理可证．
点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数．若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．
（2）对字母、分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对分类，然后对分类显然是比较好．
追踪训练二
1．若方程在内恰有一则实数的取值范围是(B)
A．B．
C．D．
2.方程的两个根分别在区间和内，则的取值范围是；
3．已知函数，在上存在，使，则实数的取值范围是_________________．
4．已知函数
⑴试求函数的零点；
⑵是否存在自然数，使？若存在，求出，若不存在，请说明理由．
答案：（1）函数的零点为；
（2）计算得，，
由函数的单调性，可知不存在自然数，使成立．
学生质疑
教师释疑

高一数学用二分法求方程的近似解039

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师营造一个良好的教学氛围。写好一份优质的教案要怎么做呢？小编为此仔细地整理了以下内容《高一数学用二分法求方程的近似解039》，但愿对您的学习工作带来帮助。

课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

教学程序与环节设计：

教学过程与操作设计：
环节教学内容设计师生双边互动
创

设

情

境材料一：二分查找(binary-search)
（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（）个单元。
Ａ．1000Ｂ．10Ｃ．100Ｄ．500
二分法检索（二分查找或折半查找）演示．

材料二：高次多项式方程公式解的探索史料
由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．
在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．
师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．

生：体会二分查找的思想与方法．

师：从高次代数方程的解的探索历程，引导学生认识引入二分法的意义．
组

织

探

究二分法及步骤：
对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间，，验证，给定精度；
2．求区间，的中点；
3．计算：

师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．

分析条件
“”、“精度”、“区间中点”及“”的意义．
环节呈现教学材料师生互动设计
组

织

探

究○1若=，则就是函数的零点；
○2若，则令=（此时零点）；
○3若，则令=（此时零点）；
4．判断是否达到精度；
即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4．
生：结合引例“二分查找”理解二分法的算法思想与计算原理．

师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法．

例题解析：
例1．求函数的一个正数零点（精确到）．
分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．
解：（略）．
注意：
○1第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；
○2建议列表样式如下：
零点所在区间中点函数值区间长度
[1，2]0
1
[1，1.5]0
0.5
[1.25，1.5]0
0.25
如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．

例2．借助计算器或计算机用二分法求方程
的近似解（精确到）．
解：（略）．

思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？

结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点．
师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．

生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析．

师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数．

生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论．
环节呈现教学材料师生互动设计
探
究
与
发
现1）函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使的实数；
从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；
若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；
若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．

2）用二分法求函数的变号零点
二分法的条件表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．师：引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．
尝
试
练
习1）教材P106练习1、2题；
2）教材P108习题3．1（A组）第1、2题；
3）求方程的解的个数及其大致所在区间；
4）求方程的实数解的个数；
5）探究函数与函数的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过的点．
作
业
回
馈1）教材P108习题3．1（A组）第3~6题、（B组）第4题；
2）提高作业：
○1已知函数
．
（1）为何值时，函数的图象与轴有两个交点？
（2）如果函数的一个零点在原点，求的值．

○2借助于计算机或计算器，用二分法求函数
的零点（精确到）；

○3用二分法求的近似值（精确到）．

环节呈现教学材料师生互动设计
课
外
活
动查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识．
收
获
与
体
会说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；
谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？