数列的函数特性教学案。

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，高中教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。怎么才能让高中教案写的更加全面呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“数列的函数特性教学案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

第2课时数列的函数特性
知能目标解读
1.熟练掌握数列与函数之间的关系，了解数列是一种特殊的函数的含义.
2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.
3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项.
重点难点点拨
重点：1.了解数列是一种特殊的函数的含义.
2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.
难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.
学习方法指导
1.数列的概念与函数概念的联系
(1)数列是一种特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集{1,2,3,…,n}，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数.
(2)数列与函数不能画等号，数列是相应函数的一系列函数值.
(3)利用函数与数列的关系，可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质.
2.数列的表示方法
(1)数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点.
(2)若数列是以解析式的形式给出的，则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点.
(3)数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型，有很广泛的应用.
(4)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但是它只能表示有限个元素间的对应关系.
3.数列的单调性
（1）递增数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an+1an(n∈N+)，那么这个数列叫做递增数列.
（2）递减数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它前面的项，即an+1an(n∈N+)，那么这个数列叫做递减数列.
（3）常数列：如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.
（4）摆动数列：一个数列{an}，从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫做摆动数列.?
注意：
(ⅰ)有关数列的分类，由于分类的标准不同，分类方法也不一致：
(ⅱ)数列的单调性的判断，定义法是十分重要的方法，即计算an+1-an，并研究差的符号的正负；除了应用定义判断外，也可以利用其函数性质判定，例如数列an=3-n，因为一次函数y=3-x是减函数，因此可判断数列{an}是递减数列.
4.如何证明数列的单调性证明数列的单调性的主要方法有：
(1)定义法：其中之一是作差比较，为了便于判断an+1-an的符号，通常将an+1-an变成常数形式或因式连乘积的形式或平方和形式.
除了作差比较外，也可以采用作商的方法，作商时，首先应明确数列的项an的符号(an0还是an0)，将其商与1进行比较，从而确定数列的单调性，对于多项式应进行因式分解，对于根式，进行分子（或分母）有理化.
(2)借助于数列图像的直观性，证明数列的单调性.
知能自主梳理
1.几种数列的概念
（1）数列按照项与项之间的大小关系可分为数列，数列，数列和数列.
（2）一般地，一个数列｛an｝，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；
（3）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；
（4）一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做数列；
（5）如果数列｛an｝的各项都相等，那么这个数列叫做数列.
2.数列的递推公式
如果已知数列的(或前几项)，且从第二项（或某一项）开始的与它的
(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的
公式.
3.an与Sn的关系
S1(n=1)
若数列｛an｝的前n项和记为Sn，即Sn=a1+a2+…+an,则an=
(n≥2)
［答案］1.(1)递增递减摆动常（2）an+1an递增(3)an+1an递减（4）摆动（5）常
2.第1项任一项an前一项an-1递推
3.Sn-Sn-1
思路方法技巧
命题方向数列表示法的应用
［例1］(1)根据数列的通项公式填表：
n12…5……n
an……153…3(3+4n)
(2)画出数列{an}的图像，其中an=3n-1.
［分析］(1)根据数列的通项公式，代入相应的n值得到所求的项，解关于n的方程得项对应的n值.
(2)在直角坐标系下，描出点(n,an).
［解析］(1)由第n项可知此数列的通项公式为：an=3(4n+3),
所以a1=3×(4×1+3)=21,a2=3×(4×2+3)=33,a5=3×(4×5+3)=69.
令3(4n+3)=153，解得n=12.
故填充完整的表格为：?
n12…5…12…n
an2133…69…153…3(3+4n)
(2)∵an=3n-1，列表：

n1234…
an13927…
在直角坐标系中图像如下：
［说明］(1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系；(2)数列an=3n-1的图像是函数y=3x-1(x0)上的无穷多个孤立的点.
变式应用1已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,作出该数列的图像.
［解析］分别取n=1,2,3,…,得到点（1,1）,(2,3),(3,5),…,描点作出图像.如图，它的图像是直线y=2x-1上的一些等间隔的点.
命题方向数列单调性的判断
［例2］已知函数f(x)=2x-2-x，数列{an}满足f(log2an)=-2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
（2）求证数列{an}是递减数列.
［分析］（1）已知函数关系式，由条件可得出2log2an-2-log2an=-2n,解这个关于an的方程即可；（2）只需证明an+1-an0或1(an0)即可.
［解析］（1）∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,
∴2log2an-2-log2an=-2n,an-=-2n,
∴an2+2nan-1=0,解得an=-n±.
∵an0,∴an=-n.
（2）=
=1.
即{an}是递减数列.
［说明］我们常把递增数列和递减数列统称为单调数列，由于数列可看作是一个特殊的函数，因此，判断函数性质的方法同样适用于数列.比较an与an+1大小的常用方法有：①作差法：若an+1-an0,则数列{an}是递增数列；若an+1-an0，则数列{an}是递减数列.②作商法：若1,则数列{an}是递增数列；若1，则数列{an}是递减数列.
变式应用2写出数列1,,,,,…的通项公式，并判断它的增减性.
［解析］该数列的通项公式为an=,
∴an+1-an=-=.
∵n∈N+,∴(3n+1)(3n-2)0,
∴an+1an,∴该数列为递减数列.
命题方向数列中最大项与最小项的求法
［例3］求数列{-2n2+9n+3}中的最大项.
［分析］由通项公式可以看出an与n构成二次函数关系，求二次函数的最值可采用配方法.此时应注意自变量n为正整数.
［解析］由已知an=-2n2+9n+3=-2(n-)2+.
由于n为正整数,故当n=2时,an取得最大值为13.
所以数列{-2n2+9n+3}的最大值为a2=13.
［说明］数列的项与项数之间构成特殊的函数关系,因此有关数列的最大项与最小项问题可用函数最值的求法去解决,但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件.
变式应用3已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.
(1)数列中有多少项是负数？
（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
［解析］（1）由n2-5n+40,解得1n4.
∵n∈N＋,∴n=2,3.
∴数列有两项是负数.
（2）∵an=n2-5n+4=（n-）2-,可知对称轴方程为n==2.5.
又∵n∈N＋,∴n=2或3时，an有最小值，其最小值为22-5×2+4=-2.
探索延拓创新
命题方向数列的实际应用题
［例4］在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：该人在A公司工作比在B公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由(精确到1元).
［分析］根据题意，先建立实际问题的数学模型，根据建立的函数模型解决问题.由于自变量n∈N+,函数解析式可以看作数列的通项公式，因此可运用数列的单调性求解.
［解析］设在A公司月工资为an，在B公司月工资为bn，则
问题等价于求cn=an-bn=1270+230n-2000×1.05n-1(n∈N+)的最大值.
当n≥2时，cn-cn-1=230-100×1.05n-2;
当cn-cn-10,即230-100×1.05n-20时，1.05n-22.3，得n19.1.
因此，当2≤n≤19时，cn-1cn,
于是当n≥20时，cncn-1.
所以c19=a19-b19≈827(元).
即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.
［说明］数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N+（或它的有限子集{1,2,3,…,n}）的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径.
变式应用4某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值（万元）组成数列{an}，满足an=2n2-15n+3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？
［解析］由题意知，实质是求数列{an}的最小项.
由于an=2n2-15n+3=2（n-）2-，
图像如图所示，由图像知n=4时，a4最小，a4=-25，即第4个月产值最少，最少为-25万元.
名师辨误做答
［例5］已知an=a（）n(a≠0且a为常数)，试判断数列{an}的单调性.
［误解］∵an-an-1=a（）n-a（）n-1=-a（）n0,
∴数列{an}为递减数列.
［辨析］错误原因是误认为a0,其实对非零实数a应分a0和a0两种情况讨论.
［正解］∵an-an-1=-a（）n(n≥2,n∈N*),
∴①当a0时，an-an-10,∴anan-1,
∴数列{an}是递减数列.
②当a0时，an-an-10,∴anan-1,
∴数列｛an｝是递增数列.
课堂巩固训练
一、选择题
1.已知数列｛an｝,a1=1,an-an-1＝n-1(n≥2)，则a6=（）
A.7B.11C.16D.17?
［答案］C?
［解析］∵a1=1,an-an-1=n-1(n≥2)，
∴a2-a1=1,∴a2=a1+1=2,
∴a3-a2=2,∴a3=a2+2=4,?
∴a4-a3=3,∴a4=a3+3=7,?
∴a5-a4=4,∴a5=a4+4=11,?
∴a6-a5=5,∴a6=a5+5=16.
2.(2012济南高二检测)数列{an}中，an=-n2+11n,则此数列最大项的值是（）
A.B.30C.31D.32
［答案］B
［解析］an=-n2+11n=-（n-）2+,?
∵n∈N+,∴当n=5或6时，an取最大值30，故选B.
3.一给定函数y=f(x)的图像在下列图中，并且对任意a1∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到数列{an}满足an+1an(n∈N+)，则该函数的图像是（）
［答案］A
［解析］由关系式an+1=f(an)得到数列{an}满足an+1an,可得f(an)an,即f(x)x.故要使该函数y=f(x)图像上任一点（x,y）都满足yx,图像必在直线y=x的上方，所以A正确.
说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚明白，数列问题有时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.

二、填空题
4.已知f(1)=2,f(n+1)=(n∈N+),则f(4)=.
［答案］
［解析］∵f(1)=2,f(n+1)=(n∈N＋),?
∴f(2)==,
f(3)===,
f(4)===.
5.已知数列{an}中，an=an+m(a0,n∈N＋)满足a1=2,a2=4,则a3=.
［答案］2?
2=a+ma=2a=-1
［解析］∵a1=2,a2=4,?∴,∴（舍去）或,
4=a2+mm=0m=3
∴a3=(-1)3+3=2.
三、解答题
6.证明数列｛｝是递减数列.?
［证明］令an=，
∴an+1-an=-
=-?
=-0,?
∴an+1an.所以数列｛｝是递减数列.
课后强化作业
一、选择题
1.已知数列{an}满足an+1-an-3=0，则数列{an}是（）
A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定
［答案］A?
［解析］由条件得an+1-an=30可知an+1an，
所以数列{an}是递增数列.
2.设an=-n2+10n+11，则数列{an}的最大项为（）?
A.5B.11C.10或11D.36
［答案］D
［解析］∵an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,
∴当n=5时，an取最大值36.
3.数列｛an｝中，a1=0，以后各项由公式a1a2a3…an＝n2给出，则a3+a5等于（）
A.B.C.D.
［答案］C?
［解析］∵a1a2a3…an=n2,?
∴a1a2a3=9,a1a2=4,∴a3＝.?
同理a5=,∴a3+a5=+=.
4.已知数列{an}的通项公式an=lg1536-(n-1)lg2，则使得an0成立的最小正整数n的值为（）
A.11B.13C.15D.12?
［答案］D?
［解析］lg1536-lg2n-10,lg1536lg2n-1,
即2n-11536,代入验证得答案为D.
5.已知数列{an}中，a1=1,a2=3，an=an-1+(n≥3)，则a5=（）
A.B.C.4D.5?
［答案］A?
［解析］a3=a2+=3+1=4.
a4=a3+=4+=.
a5=a4+=+=.
6.在数列{an}中，a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2)，则的值是（）
A.B.C.D.
［答案］C
［解析］∵a1=1,∴a2=1+1=2,a3a2=a2+(-1)3=2+(-1)=1,∴a3=,
又a3a4=a3+(-1)4,∴a4=3,?
∵a4a5=a4+(-1)5=2,∴a5=,?
∴==.
7.已知Sk表示数列的前k项和，且Sk+Sk+1=ak+1(k∈N+)，那么此数列是（）
A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列
［答案］C
［解析］∵ak+1=Sk+1-Sk=Sk+Sk+1，
∴Sk=0(k∈N+).?
可知此数列每一项均为0，
即an=0是常数列.
8.已知数列{an}的通项公式为an=（）n-1［（）n-1-1］，则关于an的最大项，最小项叙述正确的是（）
A.最大项为a1,最小项为a3
B.最大项为a1,最小项不存在
C.最大项不存在，最小项为a3
D.最大项为a1，最小项为a4
［答案］A?
［解析］令t=（）n-1，则它在N+上递减且0t≤1，而an=t2-t，在0t≤时递减，在t≥时递增，且n=1时，t=1，n=2时，t=，n=3时，t=，n=4时，t=，且a4a3，故选A.
二、填空题
9.已知数列{an}的通项公式an=n2-4n-12（n∈N+），则
（1）这个数列的第四项是；?
（2）65是这个数列的第项；?
（3）这个数列从第项起以后各项为正数.
［答案］－12117
［解析］(1)a4=42-4×4-12＝-12.
(2)令65＝n2-4n-12,∴n2-4n-77=0,?
∴n=11或n=-7(舍去).?
故65是这个数列的第11项.?
（3）令n2-4n-120,得n6或n2.?
∴这个数列从第7项起各项为正数.
10.已知数列{an}的通项an=(a、b、c都是正实数)，则an与an+1的大小关系是.
［答案］an+1an
［解析］∵a,b,c均为实数，f(x)==在(0,+∞)上是增函数，故数列an=在n∈N+时为递增数列，∴anan+1.
11.已知｛an｝是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围为.
［答案］λ-3
［解析］由｛an｝为递增数列，得an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ0恒成立，
即λ-2n-1在n≥1时恒成立，?
令f(n)=-2n-1,f(n)max=-3.
只需λf(n)max=-3即可.
12.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n，关于该数列，有以下四种说法：
(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值；(4)-70是该数列中的一项.?
其中正确的说法有.（把所有正确的序号都填上）
［答案］(2)(4)?
［解析］令-2n2+13n0，得0n，故数列{an}有6项是正数项，有无限个负数项.当n=3时，数列{an}取到最大值，而当x=3.25时函数f(x)取到最大值.
令-2n2+13n=-70，得n=10，或n=-（舍去）.即-70是该数列的第10项.
三、解答题
13.已知数列1，2，，，，….
（1）写出这个数列的一个通项公式an;
（2）判断数列｛an｝的增减性.?
［解析］（1）数列1，2，，，，….可变为，，，，，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n对应，而分子比序号n的3倍少2，?∴an=.
(2)∵an==3-,
∴an+1=3-,?
∴an+1-an=3--3+=-=0,?∴an+1an.故数列｛an｝为递增数列.
14.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来.
(1)an=(-1)n+2;
(2)an=.
［解析］(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图1.?
(2)a1=2,a2=,a3=,a4=,a5=.图像如图2.?
15.已知数列｛an｝,a1=2,an+1=2an，写出数列的前4项，猜想an,并加以证明.
［证明］由a1=2,an+1=2an,得
a2=2a1=4=22,a3=2a2=222=23,?
a4=2a3=223=24.?
猜想an=2n(n∈N+).?
证明如下：?
由a1=2,an+1=2an,?
得==…===2.?
∴an=…a1=22…22＝2n.
16.已知函数f(x)=,设f(n)=an(n∈N+).求证：≤an1.
［解析］解法一：因为an-1=-1=-0,?
an-=-＝≥0,?
所以≤an1.
解法二：an===1-1,?
an+1-an=-
=
=.?
由n∈N+得an+1-an0，即an+1an,
所以数列{an}是递增数列.?
所以an的最小值为a1=,即an≥.
所以≤an1.

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等比数列教学案

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，有效的提高课堂的教学效率。你知道怎么写具体的教案内容吗？下面是小编精心收集整理，为您带来的《等比数列教学案》，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

第2课时等比数列的性质
知能目标解读
1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.
2.理解等比数列的性质及应用.
3.掌握等比数列的性质并能综合运用.
重点难点点拨
重点：等比数列性质的运用.
难点：等比数列与等差数列的综合应用.
学习方法指导
1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列.
2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等比数列{an}中依次取出的数为ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…,则===…=qm(q为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列.
3.如果数列{an}是等比数列，公比为q,c是不等于零的常数，那么数列{can}仍是等比数列，且公比仍为q;?{|an|}?也是等比，且公比为|q|.我们可以设数列{an}的公比为q,且满足=q,则==q,所以数列{can}仍是等比数列，公比为q.同理，可证{|an|}也是等比数列，公比为|q|.
4.在等比数列{an}中，若m+n=t+s且m,n,t,s∈N+则aman=atas.理由如下：因为aman=a1qm-1a1qn-1
=a21qm+n-2,atas=a1qt-1a1qs-1=a21qt+s-2,又因为m+n=t+s,所以m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积.
5.若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1,q2,则
（1）{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2.
(2){}仍为等比数列，且公比为.
理由如下：（1）=q1q2,所以{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2;(2)=,
所以｛}仍为等比数列，且公比为.
知能自主梳理
1.等比数列的项与序号的关系
（1）两项关系
通项公式的推广：
an=am(m、n∈N+).
(2)多项关系
项的运算性质
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，
则aman=.
特别地，若m+n=2p(m、n、p∈N+），
则aman＝.
2.等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间项的平方），即a1an＝a2=ak=a2(n为正奇数).
［答案］1.qn-mapaqa2p
2.an-1an-k+1
思路方法技巧
命题方向运用等比数列性质an=amqn-m(m、n∈N+)解题
［例1］在等比数列{an}中，若a2=2,a6=162,求a10.
［分析］解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q,再求a10.
［解析］解法一：设公比为q,由题意得
a1q=2a1=a1=-
，解得，或.
a1q5=162q=3q=-3
∴a10=a1q9=×39=13122或a10=a1q9=-×（-3）9=13122.
解法二：∵a6=a2q4,
∴q4===81,
∴a10=a6q4=162×81=13122.
解法三：在等比数列中，由a26=a2a10得
a10===13122.
［说明］比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.
变式应用1已知数列{an}是各项为正的等比数列，且q≠1,试比较a1+a8与a4+a5的大小.
［解析］解法一：由已知条件a10,q0，且q≠1,这时
(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)（1-q4）
=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)0,
显然，a1+a8a4+a5.
解法二：利用等比数列的性质求解.
由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)
=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).
当0q1时，此正数等比数列单调递减，1-q3与a1-a5同为正数，
当q1时，此正数等比数列单调递增，1-q3与a1-a5同为负数，
∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正.
∴a1+a8a4+a5.
命题方向运用等比数列性质aman=apaq(m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q)解题
［例2］在等比数列{an}中，已知a7a12=5，则a8a9a10a11=（）
A.10B.25C.50D.75
［分析］已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程.
［答案］B
［解析］解法一：∵a7a12=a8a11=a9a10=5，∴a8a9a10a11=52=25.
解法二：由已知得a1q6a1q11=a21q17=5，
∴a8a9a10a11=a1q7a1q8a1q9a1q10=a41q34=(a21q17)2=25.
［说明］在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，若按照常规解法，往往是建立a1,q的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.
变式应用2在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.
［解析］∵a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.
又∵a4a8=5,an0,
∴a4+a8===.
探索延拓创新
命题方向等比数列性质的综合应用
［例3］试判断能否构成一个等比数列{an}，使其满足下列三个条件：
①a1+a6=11;②a3a4=;③至少存在一个自然数m,使am-1,am,am+1+依次成等差数列，若能，请写出这个数列的通项公式；若不能，请说明理由.
［分析］由①②条件确定等比数列{an}的通项公式，再验证是否符合条件③.
［解析］假设能够构造出符合条件①②的等比数列{an},不妨设数列{an}的公比为q,由条件①②及a1a6=a3a4,得
a1+a6=11a1=a1=
，解得，或
a1a6=a6=a6=.
a1=a1=
从而，或.
q=2q=
故所求数列的通项为an=2n-1或an=26-n.
对于an=2n-1,若存在题设要求的m,则
2am=am-1+（am+1+）,得
2（2m-1）=2m-2+2m+,得
2m+8=0,即2m=-8,故符合条件的m不存在.
对于an=26-n,若存在题设要求的m，同理有
26-m-8=0,即26-m=8,∴m=3.
综上所述，能够构造出满足条件①②③的等比数列，通项为an=26-n.
［说明］求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用.
变式应用3在等差数列{an}中，公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,……成等比数列，求数列{kn}的通项kn.
［解析］由题意得a22=a1a4，
即(a1+d)2=a1(a1+3d)，
又d≠0,∴a1=d.
∴an=nd.
又a1,a3,ak1,ak2,……,akn,……成等比数列，
∴该数列的公比为q===3.
∴akn=a13n+1.
又akn=knd,∴kn=3n+1.
所以数列{kn}的通项为kn=3n+1.
名师辨误做答
［例4］四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为1，求这个等比数列的公比.
［误解］设这四个数为aq-3,aq-1,aq,aq3,由题意得
a3q-3=1,①
aq-1+aq+aq3=1.②
由①得a=q,把a=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0,解得q2=或q2=-(舍去)，故所求的公比为.
［辨析］上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q2,则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误.
［正解］设四个数依次为a,aq,aq2,aq3,由题意得

（aq）3=1,①
aq+aq2+aq3=1.②
由①得a=q-1,把a=q-1代入②并整理，得4q2+4q-3=0,解得q=或q=-,故所求公比为或-.
课堂巩固训练
一、选择题
1.在等比数列｛an｝中，若a6=6,a9=9,则a3等于（）
A.4B.C.D.3?
［答案］A?
［解析］解法一：∵a6=a3q3,
∴a3q3=6.?
a9=a6q3，
∴q3==.
∴a3==6×＝4.
解法二：由等比数列的性质，得
a26=a3a9，
∴36=9a3，∴a3=4.
2.在等比数列｛an｝中,a4+a5=10,a6+a7=20,则a8+a9等于（）
A.90B.30C.70D.40
［答案］D
［解析］∵q2==2,?
∴a8+a9=（a6+a7）q2=20q2=40.
3.如果数列｛an｝是等比数列，那么（）?
A.数列｛a2n｝是等比数列B.数列｛2an｝是等比数列
C.数列｛lgan｝是等比数列D.数列｛nan｝是等比数列
［答案］A
［解析］数列｛a2n｝是等比数列，公比为q2,故选A.
二、填空题
4.若a,b,c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为.?
［答案］1?
2b=a+c,
［解析］由题意知
b2=ac,
解得a=b=c,∴q=1.
5.在等比数列｛an｝中，公比q=2,a5=6,则a8=.?
［答案］48
［解析］a8=a5q8-5=6×23=48.
三、解答题
6.已知{an}为等比数列，且a1a9=64,a3+a7=20，求a11.?
［解析］∵{an}为等比数列,?
∴a1a9=a3a7=64,又a3+a7=20,?
∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.?
∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,?
当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20,?
∴1+q4=5，∴q4=4.?
当a3=16时，a3+a7=a3（1+q4）=20,
∴1+q4=，∴q4=.?
∴a11=a1q10=a3q8=64或1.
课后强化作业
一、选择题
1.在等比数列{an}中，a4=6,a8=18,则a12=（）
A.24B.30C.54D.108?
［答案］C?
［解析］∵a8=a4q4,∴q4===3,
∴a12=a8q4=54.
2.在等比数列｛an｝中，a3=2-a2,a5=16-a4,则a6+a7的值为（）
A.124B.128C.130D.132
［答案］B?
［解析］∵a2+a3=2,a4+a5=16,?
又a4+a5=(a2+a3)q2,
∴q2=8.?
∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8＝128.
3.已知｛an｝为等比数列，且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5等于（）
A.5B.10C.15D.20?
［答案］A?
［解析］∵a32=a2a4,a52=a4a6,?
∴a32+2a3a5+a52=25,
∴(a3+a5)2=25,?
又∵an0,∴a3+a5=5.
4.在正项等比数列｛an｝中，a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根，则a8a10a12等于（）
A.16B.32C.64D.256?
［答案］C?
［解析］由已知，得a1a19=16,?
又∵a1a19=a8a12=a102,
∴a8a12=a102=16,又an0,?
∴a10=4,
∴a8a10a12=a103=64.
5.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9=2a25,a2=1,则a1=（）?
A.B.C.D.2?
［答案］B?
［解析］∵a3a9=a26,又∵a3a9=2a25,?
∴a26=2a25,∴（）2=2,?
∴q2=2,∵q0,∴q=.
又a2=1,∴a1===.
6.在等比数列｛an｝中，anan+1，且a7a11=6,a4+a14=5,则等于（）
A.B.C.D.6
［答案］A
a7a11=a4a14=6
［解析］∵
a4+a14=5
a4=3a4=2
解得或.
a14=2a14=3
又∵anan+1,∴a4=3,a14=2.
∴==.
7.已知等比数列｛an｝中，有a3a11=4a7,数列｛bn｝是等差数列，且b7=a7,则b5+b9等于（）
A.2B.4C.8D.16
［答案］C
［解析］∵a3a11=a72=4a7,∵a7≠0,
∴a7=4,∴b7=4,
∵{bn}为等差数列，∴b5+b9=2b7=8.
8.已知0abc,且a,b,c成等比数列的整数，n为大于1的整数，则logan,logbn,logcn成
（）
A.等差数列?B.等比数列?
C.各项倒数成等差数列?D.以上都不对?
［答案］C?
［解析］∵a,b,c成等比数列，∴b2=ac.?
又∵+=logna+lognc=lognac
=2lognb=,?
∴+=.
二、填空题
9.等比数列｛an｝中，an0，且a2=1+a1,a4=9+a3,则a5-a4等于.
［答案］27
［解析］由题意，得a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9,
∴q2=9,又an0,∴q=3.?
故a5-a4=(a4-a3)q=9×3＝27.
10.已知等比数列｛an｝的公比q=-,则等于.
［答案］-3
［解析］＝
==-3.
11.(2012株州高二期末)等比数列{an}中，an0,且a5a6=9,则log3a2+log3a9=.
［答案］2
［解析］∵an0,∴log3a2+log3a9=log3a2a9
=log3a5a6=log39=log332=2.
12.（2011广东文，11）已知｛an｝是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=.
［答案］2?
［解析］本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列的通项公式可解得.
解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，?
因为a2=2，所以q2-q-2=0，解得q=－1，或q=2.
因为an为递增数列，所以q=2.
三、解答题
13.在等比数列｛an｝中，已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数，求a10.
［解析］∵a4a7=a3a8=-512，
a3+a8=124a3=-4a3=128
∴，解得或.
a3a8=-512a8=128a8=-4
又公比为整数，
∴a3=-4,a8=128,q=-2.
∴a10=a3q7=(-4)×（-2）7＝512.
14.设｛an｝是各项均为正数的等比数列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求此等比数列的通项公式an.?
［解析］由b1+b2+b3=3,?
得log2(a1a2a3)＝3，
∴a1a2a3＝23＝8，
∵a22=a1a3，∴a2=2,又b1b2b3=-3,
设等比数列｛an｝的公比为q，得?
log2（）log2(2q)=-3.
解得q＝4或，
∴所求等比数列｛an｝的通项公式为
an=a2qn-2=22n-3或an=25-2n.
15.某工厂2010年生产某种机器零件100万件，计划到2012年把产量提高到每年生产121万件.如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率是多少？2011年生产这种零件多少万件？.
［解析］设每一年比上一年增长的百分率为x,则从2010年起，连续3年的产量依次为a1=100,a2=a1(1+x),a3=a2(1+x),即a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1＋x)2,成等比数列.
由100(1+x)2=121得(1+x)2=1.21,
∴1＋x=1.1或1+x=-1.1,?
∴x=0.1或x=-2.1(舍去)，?
a2=100(1+x)=110(万件)，?
所以每年增长的百分率为10％，2011年生产这种零件110万件.
16.等差数列{an}中，a4=10，且a3,a6,a10成等比数列.求数列{an}前20项的和S20.
［解析］设数列{an}的公差为d，则a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.
由a3,a6,a10成等比数列得a3a10=a26，?
即（10-d）（10+6d）=（10+2d）2,?
整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1.
当d=0时，S20=20a4=200，?
当d=1时，a1=a4-3d=10-3×1=7,?
于是，S20=20a1+d=20×7+190=330.

酶的特性

第五章第1节降低化学反应活化能的酶
二、酶的特性
一、教材分析
本节课主要讲述酶在生物新陈代谢中的重要作用及其生理特性,教材对酶的本质和特性作了重点介绍。本章本节课内容是高二生物教材的重难点内容。自然界中的一切生命现象皆与酶的活动有关。在本章节中通过探索验证酶的特性的教学过程，培养学生建立科学的思维方法和研究精神。
二、教学目标：
1、知识目标：学会控制自变量，观察和检测因变量的变化及设置对照组和实验组。
2、能力目标：学会用准确的语言阐明实验探究的结果。
概述温度和pH影响酶的活性。
4、情感态度价值观：体验科学探究过程,领悟科学探究方法，体现团队合作精神。
二、教学重点：
1、学会控制自变量，观察和检测因变量的变化及设置对照组和实验组。
2、学会用准确的语言阐明实验探究的结果。
三、教学难点：
确定和控制对照实验中的自变量和无关变量，观察和检测因变量的变化。
四、学情分析
学生通过上一节课的学习已经有了实验操作基础，这节课的三个实验是在前面的基础上完成的，所以学生对此并不陌生。
五、教学方法
1．实验法：比较过氧化氢在不同条件下的分解。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
实验材料用具的准备、课件制作、学生预习有关内容
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
教师：通过复习上节课的内容---酶的高效性的实验，导入新课。
提问：酶的催化效率如此高效，酶能否催化任意一个化学反应?
（三）合作探究、精讲点拨。
探究一：酶的专一性
教师演示“淀粉酶对淀粉和蔗糖的水解作用”实验，学生边看边做此实验，仔细观察根据现象可知:淀粉酶只能催化淀粉水解，而不能催化蔗糖水解。说明生物体内某些酶只能催化某些分子结构相近的物质，而不能催化所有物质。如二肽酶能水解任意两种氨基酸组成的二肽。所以，每一种酶只能催化一种或一类化合物。通过实验可以得出这样的结论：酶的催化作用具有专一性。
提问：酶所催化的反应是不是在任何条件下都能发挥作用呢？
探究二：温度和PH值对酶活动的影响
1.实验分组和实验材料的选择
将学生分组，两小组探究温度对酶活性的影响，另两组探究pH对酶活性的影响。
引导学生对酶材料进行选择。向学生展示α—淀粉酶（工业用酶，适宜温度60℃），还有新鲜的肝脏研磨液，提问：肝脏研磨液里主要包含那种酶？
问：如果选用过氧化氢酶来探究温度对酶的影响，合适不合适？
教师补充：如果我们在实验中设置高温条件，温度不仅会对酶的活性产生影响，还会对化学反应本身的速率产生影响。这样的实验设计就不够严密。建议用α—淀粉酶来探究温度对酶活性的影响，用过氧化氢酶来探究PH对酶活性的影响。
引导学生根据所选材料对要探究的问题做出假设。
指出：控制好变量对于设计一个严谨的、可行性强的实验来说尤为重要。在大屏幕上列出思考问题：
（1）你所设计实验的自变量是什么？如何控制？
（2）实验的因变量是什么？反映因变量的指标是？如何对其指标进行检测？
（3）无关变量有哪些？如何进行控制？
应遵循的原则：对照原则
单一变量原则
等量原则和控制无关变量
2.实验方案设计和讨论
在学生讨论、互评的基础上，总结出比较合理完善的实验设计，将方案展示如下：
温度组：
⑴取六支洁净的试管，分别标号1,2，3，4,5和6。
⑵向1～３号试管中各加入１ｍｌα—淀粉酶溶液，向４～６号试管中各加入２ｍｌ淀粉溶液。
⑶将１号和４号试管放入０℃冰水浴中，２号和５号试管放入６０℃水浴中，３号和６号试管放入１００℃沸水浴中，均保温５分钟。
⑷分别将置于相同温度下的两支试管中的溶液混合均匀，仍然分别在０℃、６０℃、１００℃条件下保温，让混合液反应５分钟。
⑸将反应后的三支试管取出，分别加入等量碘液，震荡摇匀，观察溶液颜色变化，是否变蓝及变蓝程度，记录下来。

pH组：
⑴取六支洁净的试管，分别标号1,2，3，4,5和6。
⑵向1～３号试管中各加入２ｍｌ肝脏研磨液，向
４～６号试管中各加入２ｍｌH2O2溶液。　
⑶向１号和４号试管中各加入２滴5%的NaOH溶液，向２号和５号试管中各加入２滴蒸馏水，向３号和６号试管中各加入２滴5%的盐酸溶液，静置２分钟。
⑷分别将１号和４号、２号和５号、３号和６号试管中的溶液混合，震荡，观察混合后的三支试管中气泡产生的剧烈程度和气泡生成量的多少，记录。
3.实验结果的分析和讨论
如果实验现象不明显，引导学生共同讨论分析、总结原因。如：①试剂量取、混合等实验步骤操作是否规范;②在先后取不同试剂时，量筒有无清洗干净；③在酶与底物混合后，有无在与混合前相同的条件下给予充分的反应时间。等等。
4.得出结论
每种酶都有发挥自己活性的最适温度和最适pH，当温度过高或者是过低，酶的活性都会下降，且高温可以使酶永久失活，pH过酸或者是过碱，酶的活性也都会下降。
5.拓展延伸：如果给一个未知的酶，如何测定它发挥活性的最适温度和最适pH？

（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
完成本节的课后练习及课后延伸拓展作业。
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
一、酶的专一性
二、酶的作用条件较温和
十、教学反思
1、这节课是根据新课程标准“培养学生科学素养，倡导探究性学习”而设计的。笔者在本节课中设计了三个不同方式、不同程度的探究实验，一个是实验录像的观察，另一个是利用课件模拟酶的专一性实验，第三个是实际的实验探究。第二、第三个实验是在学生已掌握的实验一的方法后，在进一步的思考与讨论中开展的。目的是做到既关注知识结论，更关注知识的发生和发展过程，突出学生学习的主体地位。
2、酶的专一性和酶所需的作用条件实验的设计比较灵活，需要和物质鉴定实验相结合，难度较大，宜以课题小组的形式进行讨论。另外，由于受仪器设备的限制，对于酶的催化作用的原理不宜探究过深。
3、新课标的理念，在于突出发现的过程，学习的过程，发挥学生的主观能动性，调动学生的思维能力。而通过重现和虚拟手段模拟生命现象，是生物科学的一种重要研究方法。在本节课中，通过虚拟实验操作模拟酶的专一性实验验证过程，把抽象复杂的生命现象，转化为直观具体、肉眼可见的过程，既有利于学生理解掌握，同时也培养了学生的动手实践能力和与人合作交流的能力。

《正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编为大家整理的“《正弦函数、余弦函数的图象》教学案例”，仅供您在工作和学习中参考。

《正弦函数、余弦函数的图象》教学案例
【案例背景】
在接到青年教师教学优质课比赛的任务没多久，我又被级组赋予另一项艰巨而伟大的使命优质班会课评比。当两个优质课碰撞时，也许就只能成全一个优质了！刚从班会优质课的赛场退下来，还没来得及喘口气，便又匆忙的投入几天后即将举行的教学优质课。虽然我早已不是一位新手，我的年龄也正在踩线，青年教师的青春头衔将不再属于我，可是，面对教研处浓重组织的这场教学比赛，我还是心惊胆战！一是对手实在太强大；二是已有好几年没有教高一；三是《三角函数》是个公认不好讲、不易出彩的内容；四是我的准备不充足，留给我的时间太少了。面对这么多的不利因素，我只能勇往直前，不怕失败！首先，确定主题。怎样跳出三角函数那些枯燥的公式，平淡的性质，以学生为主体，新授课上出探究味呢？经过思考、对比，唯有图象，能当此重任。它有形的直观，有多媒体的动态，更有学生参与画图的空间。于是，我将主题定为正弦函数、余弦函数的图象。这是一个承前启后的章节，它的推导要利用前面讲过的三角函数线，它的出现又将为后面研究性质铺路。这也是一个知识联系丰富的内容，从正弦到余弦，只需用诱导公式和图象变换可以实现；从三角函数线几何法作图，到简化的五点法作图，再到灵活的图象变换，方法多样，内涵丰富。另外，这节课的画图，需要强大的信息技术支持，课件的动画效果和设计，直接影响到本课的难点突破。在这方面，我也花了大量心血，最终的课件效果令人满意，被其他老师借用。分享是一种快乐和美德！
【案例描述】
本节课需要用到很多以前的知识，比如，一开始给出正弦函数的定义，这需要以函数的定义为基础。而函数概念放了很久，学生普遍会遗忘。再如，由正弦曲线图象得出余弦曲线的图象，要借助诱导公式五、六。画正弦曲线的几何方法，要利用正弦线。所以，在课前的学案中，我设计了【温故知新】环节，帮助学生回顾。本课还有一个难点，画正弦曲线时怎样引导学生联想到三角函数线中的正弦线？从而用几何法准确作图。为此，我又设计了一个铺垫。用问题串来引导，启发学生如何准确的画出纵坐标，从一个具体的点入手，从而有效突破难点。
部分课堂实录：
一．课题导入
师:同学们，通过前面的学习，我们知道，当角的概念推广之后，在弧度制下，实数集与角的集合之间就形成了一一对应的关系，而当角确定之后，正弦值随之确定，余弦值也随之确定，这样，任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应。由这个法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数).
师:正弦函数和余弦函数的定义域是多少？
生：定义域为R.
师:在遇到一类新的函数时，我们通常会先作出它的图象，然后通过图像来研究它的性质.
通过图象可以研究函数的哪些性质？
生：值域、单调性、奇偶性、最大值、最小值等.
师:这节课我们首先来研究正弦函数和余弦函数的图象.
（教师板书，引出课题：正弦函数、余弦函数的图象）
师:在研究正弦函数和余弦函数图象之前,请同学们观看一个物理实验.
（多媒体展示简谐运动的位移和时间关系图象，让学生经历从生活世界到科学世界，感受三角函数变化的特定规律，并从直观上认识正弦函数和余弦函数图象.）
二．讲授新课
1．利用单位圆中的正弦线作函数y=sinx，x[0，2]的图象
师:以前我们用描点法作函数图象的时候，一般分哪几个步骤？
生：列表、描点、连线．
师:在[0,2p]范围内取哪些点？
生：取特殊角：等。
师：那么的值是精确值还是近似值？
师生共同讨论总结描点法的弊端,当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，不易描出对应点的精确位置.
师:（进一步提出问题）为了得到比较精确的正弦函数的图象，如何从几何的角度用图形表示纵坐标？
比如，怎样用几何法描出点？
（教师引导学生进行分析：要作出比较精确的正弦函数的图象，关键是要把列表中的点的纵坐标精确的标出来，注意到点的纵坐标其实都是正弦值，因此，问题转化成如何在坐标系中表示正弦值。结合在前面已经学过的三角函数线三角函数线从形的角度刻画了三角函数值的大小，这样学生很自然的想到利用单位圆中的正弦线来表示点的的纵坐标正弦值．）
生：学生先探索，然后上黑板展示她的成果。
（这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律．）
师:既然我们能够利用正弦线准确描点，那么请同学们再多找一些点，画出正弦函数y=sinx，x?[0,2p]的图象。
（留时间给学生作图，教师巡视，学生画好后投影展示，并请学生讲解作图步骤。）
师:在学生讲解完后，教师再利用多媒体的动画效果演示一下作图过程，加深印象。
（对作图过程进行小结，让学生进一步体会用正弦线描点的精确性）
师:我们知道正弦函数的定义域是R，但是刚才得到的仅仅是[0,2]上的图象．
提出问题：如何由y=sinx，x?[0,2p]的图象得到y=sinx，x?R的图象．
2．由函数y=sinx，x[0，2]的图象得到函数y=sinx，xR的图象
教师结合图形，引导学生继续研究[2,4]上的图象，让学生观察，发现：[2,4]上的图象和[0,2]上的图象都是由相同的正弦线通过平移过去得到的，因此，[2,4]上的图象和[0,2]上的图象在形状上是完全一样的，只是位置不同，即要得到[2,4]上的图象只需把[0,2]上的图象像右平移2个单位，其他区间上的图象也可以用类似的方法得到．
师生形成共识:把函数y=sinx,x[0,2]的图象沿x轴左右平移，每次平移2个单位，就可以得到y=sinx,xR的图象.
师：多媒体演示由y=sinx,x[0,2]的图象得到y=sinx,xR的图象的过程．
师:（小结）由y=sinx,x[0,2]的图象得到y=sinx,xR的图象的过程中，我们实际上根据的是诱导公式一：sin(x+2kp)=sinx,k?Z．
（先让学生从直观上感受[2,4]上的图象，再用诱导公式一从理论的高度上解释、认识，学生较容易接受，如果一下就利用诱导公式一来解释由y=sinx,x[0,2]的图象得到y=sinx,xR的图象的过程，比较抽象，学生不易理解）
由正弦函数的图象得到余弦函数的图象
师:（过渡）到这里，我们这节课的第一个问题正弦函数的图象就解决了，对于余弦函数的图象，我们是否可以用类似的方法来研究？
生:可以，但比较麻烦．
师:想走捷径，就得利用前人的成果！能否以正弦函数的图象为基础，结合诱导公式快速作出余弦函数的图象？
探究：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图象变换得到余弦函数的图象吗？
（教师组织学生讨论、交流引导学生利用诱导公式由正弦函数的图象得出余弦函数的图象，并动态演示过程．）
师：我们学过的哪个诱导公式能够实现正弦和余弦的互化？是需要把正弦化余弦，还是余弦化正弦？
生1：把余弦化正弦，；
师：（继续引导）还有没有其它的诱导公式能够实现余弦化正弦？
生2：；
师：（对学生的回答表示肯定与赞赏）非常好！要作的图象，只要作或的图象。从函数图象变换的角度考虑，如何由y＝sinx的图象得到或的图象，哪一个更简单？
生：由y＝sinx的图象得到的图象，需要经过两次图象变换，而由y＝sinx的图象得到的图象只要经过一次变换即向左平移个单位，所以后者更简单.
师：这样，我们通过平移，就得到了余弦函数的图象．
（通过探究，使学生从函数解析式之间的关系思考函数图象之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法，向学生渗透化归转化的数学思想）．
4．用五点法作正弦函数的简图
师:我们在作正弦函数y=sinx,x[0,2]的图象时，描出了12个点，但其中起关键作用的点是哪些？分别说出它们的坐标。
(学生回答，教师动画演示)
师:在精确度要求不高的情况下，我们常用五点画图法作出正弦函数的简图。
师：你们能类比说出余弦函数的五个关键点吗？
（师生一起总结：五点作图法是我们画三角函数简图的基本方法。
师：（小结）到这里，我们这节课的两个问题就都解决了.我们主要是学习了作三角函数图象的两种方法：利用三角函数线作正弦函数的图象和利用五点法作正弦函数、余弦函数的简图.用三角函数线作函数的图象虽然精确但比较麻烦，在今后的学习中，我们更多的是用五点法，它更实用.
下面我们就一起用五点法来作与正弦函数和余弦函数有关的简单函数的图象.
三．典例讲解
示例1:（1）用五点法作函数y=1+sinx,x[0,2]上的简图；
（2）用五点法作函数y=-cosx,x[0,2]上的简图.
（对于（1），教师重点、详细讲解，并多媒体演示过程,对于（2），则由学生练习，独立完成.）
师：（进一步提出思考，引导学生从图象变换的角度了解图象间的关系）你能否从函数图象变换的角度出发，利用y=sinx，x?[0,2p]的图象，得到y＝1＋sinx,x?[0,2p]的图象？同样的，如何利用y=cosx，x?[0,2p]的图象，得到y=-cosx，x?[0,2p]的图象？
2、巩固练习
四、课堂小结
师:这节课的研究学习就到这里了,请大家回顾一下这节课的探索和收获.
生1:我们学习了用三角函数线作图,五点法作图；
生2:复习了诱导公式，并利用诱导公式从正弦函数图象变换得到余弦函数的图象。
师:（在学生自行总结的基础上补充总结）说的好！这些正是这节课的重点所在.

电源特性的探究

电源特性的探究

湖北省黄梅县第一中学张流柱

【教学内容】

高二《物理》（必修加选修）第二册第十四章第六节。

【问题提出】

师：这节课，首先请同学们用电压表测量不同型号的干电池、蓄电池的电压，并说明测量结果。

生：不同型号的干电池的电压都约为1．5V，蓄电池的电压都约为2V。

师：我们的教材这样讲：“不接用电器时电源两极间电压的大小是由电源本身的性质决定的。为了表征电源的这种特性，物理学中引入电动势的概念。电源的电动势等于电源没有接入电路时两极间的电压。”我给同学们提出一个问题：电动势到底表征电源的什么特性?同学们，你们自己有什么问题吗?

生甲：为什么不同型号的干电池的电压都约为1．5V?

生乙：为什么干电池电压与蓄电池不同?

生丙：电源的电动势为什么等于电源没有接入电路时两极间的电压?

……

师：很好!为了回答以上问题，必须弄清电源的特性。

【学生活动】

一、活动Ⅰ：拆卸废旧干电池、蓄电池，初步弄清它们的构造

师：请大家动手，拆卸废旧干电池、蓄电池，看它们内部有些什么，内部物质是否导电。请注意环境卫生。

生：动手拆卸废旧干电池、蓄电池，测量内部物质是否导电。

师：我们早已知道，电源正极聚集着正电荷，负极聚集着负电荷。现在又知道，干电池、蓄电池的正、负两极之间的物质是导体。同学们对此有什么疑问吗?

生甲：正电荷为什么能够聚集在正极，负电荷为什么聚集在负极?

生乙：聚集在负极的负电荷为什么不经导电物质移向正极?

二、活动Ⅱ：提出设想，构建电源模型

师：这个问题提得相当好!为什么呢?同学们自己说说。

……

生：可能是电源内部存在一种力，不让聚集在负极的负电荷经内部的导电物质移向正极。

师：如果这种猜测是正确的话，这种力会不会是静电力?为什么?

生：不会。因为静电力是使聚集在负极的负电荷经电池内部的导电物质由负极移向正极。

师：很好。我们知道物体通常呈电中性，大家想过没有?为什么正电荷向电源正极聚集，负电荷向电源负极聚集?

……

生：是非静电力作用的结果。

师：对!现在，我们进一步来讨论这样的问题：把带有等量、异号电荷的平行板电容器用导线连接起来，导线中有瞬时电流。要保持导线中有持续的恒定电流，必须怎么办?

生：为了使导线中有持续的电流，必须使两极板间总存在恒定的电压。

师：这时平行板电容器内部场强是否改变?

生：不变。

师：如何保持平行板电容器内部场强不变?就需要……

生：保持两极板所带电量不变。

师：如何保持两极板所带电量不变呢?

生：自然是把经过导线移至另一极的电荷重新“捉”回来，也就是要使从负极经过导线移至正极的等量电子再回到负极。

师：从负极经过导线移至正极的电子再回到负极的路径是在平行板之间还是在平行板的外部?

生：内部。

师：靠什么力？

生：非静电力。

师：通过刚才的讨论，我们知道：如果能使平行板电容器负极经过导线移至正极的等量电子经平行板之间再回到负极，那么平行板之间就必须存在一种非静电力。如果平行板之间存在那么一种非静电力，那么这样的“平行板电容器”就是什么?

生：电源。

活动Ⅲ：归纳总结电源的特性

师：作为电源，必须具备什么条件?

生：内部必须存在非静电力。

师：电源内部的非静电力作用于电荷，将产生什么效果?请大家讨论一下，然后回答。

生：由于非静电力总是不停地把正电荷由电源负极移至正极，或者把负电荷由电源正极移至负极，电源正极将聚集着正电荷，负极聚集着负电荷，在电源内部形成电场。

师：如果电源没有接入外电路呢?

生：在非静电力作用下，正电荷向电源正极移动，负电荷向电源负极移动，电源正负两极电荷量将逐渐增多，两极间电场将逐渐增强。

师：电源两极间电场能否无限增强?为什么?

生：不能。因为，电源两极之间形成了电场，电荷在移动过程中还要受到阻碍它运动的电场力作用，且阻碍它运动的电场力将逐渐增大。最终非静电力和静电力平衡，两极间电场的场强也就保持不变了。

师：现在大家是否知道不同种类的电源，没有接入电路时，用电压表测得的两极间电压不等的原因了?认真思考、讨论，然后回答。

……

生：由于不同种类的电源内部非静电力的大小不同，两极间电场的场强也就不同。所以不同种类的电源两极间电压不等。

师：相当好!请同学们再用能量的观点讨论、说明电源的特性。

……

生：非静电力使正电荷由电源负极移至正极，对电荷做正功；电荷在移动过程中受电场力阻碍作用，要克服电场力做功。非静电力做功使其他形式的能转化为电能。从能的转化观点看来，电源就是把其他形式的能转化为电能的装置。

师：不同的电源把其他形式的能转化为电能的本领相同吗?为什么?

生：不同。因为对不同的电源来说，非静电力一般不同，它把同样多的正电荷从负极移至正极所做的功，一般是不同的。在移送电量相等的情况下，非静电力做的功越多，电源把其他形式的能转化为电能的本领也就越大。

活动Ⅳ：寻找论据，深入探究电源的特性

师：电动势就是表征电源把其他形式的能转化为电能的这种本领的物理量。课后，请同学们查阅有关电源资料，弄清如下几个问题：①常见的有几种电源？内部靠什么作用使得电源正极集聚着正电荷负极集聚着负电荷?②常见电源分别将什么形式的能量转化为电能?③什么是电源的电动势?④电源的电动势为什么等于电源没有接入电路时两极间的电压?

【表达交流】

在弄清上述问题的基础上，结合课堂上的讨论，写一篇小论文，题为《电源的特性》。

点评：

电动势的概念是掌握闭合电路欧姆定律的基础和关键，是高中物理电学部分难以理解的概念之一。电动势概念成为教学难点的原因：从电动势概念的本身来看，电动势概念十分抽象，建立电动势概念涉及到的其他概念多，关系复杂。例如非静电力、静电力、非静电力做功、克服非静电力做功、能量转化、动态平衡等等，很容易造成学生思路混乱。从学生这方面看，大多数中学生的抽象思维能力还比较低，对于电池、蓄电池的化学作用和发电机的电磁作用，在学习电动势这一概念时，学生认识还不多，知识储备不够。另外，学生对电源的感性认识也十分匮乏，虽然经常接触干电池等电源，但是对电源的感知仅限于外观。鉴于以上原因，十多年以来，中学物理课本都没有阐述清电动势的物理意义，更没有建立电动势的概念，这给学生掌握闭合电路欧姆定律造成了重大障碍。这节课采用探究教学，让学生动手，解剖电池，丰富学生的感性认识，培养学生的实践能力；启迪学生思维，培养提出问题、解决问题能力；在较短的时间内，学生自主进行了大量的思维活动，明确了电动势的物理意义；将对电源的特性的进一步探究，以建立电动势确切、科学的概念延伸到课外，既能使学生较深入地理解电动势的概念，又没有冲淡教学重点。这种课内外相结合探究同一问题的做法，在探究教学上具有一定的创新。（点评者：吴吉成）