平方差公式。

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新泰实验中学11—12学年上学期八年级数学第2章学案
2.1平方差公式
学习目标：
1、能推导平方差公式，并会用几何图形解释公式；
2、能用平方差公式进行熟练地计算；
3、经历探索平方差公式的推导过程，发展符号感，体会“特殊——一般——特殊”的认识规律.
学习重难点：
重点：能用平方差公式进行熟练地计算；
难点：探索平方差公式，并用几何图形解释公式.
学习过程：
一、自主探索
1、计算：（1）(m+2)(m-2)(2)(1+3a)(1-3a)

(3)(x+5y)(x-5y)(4)(y+3z)(y-3z)

2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？再举两例验证你的发现.

3、你能用自己的语言叙述你的发现吗？

4、平方差公式的特征：
（1）、公式左边的两个因式都是二项式。必须是相同的两数的和与差。或者说两个二项式必须有一项完全相同，另一项只有符号不同。
（2）、公式中的a与b可以是数，也可以换成一个代数式。
二、试一试
例1、利用平方差公式计算
（1）(5+6x)(5-6x)(2)(x-2y)(x+2y)(3)(-m+n)(-m-n)

例2、利用平方差公式计算
（1）(1)(-x-y)(-x+y)(2)(ab+8)(ab-8)(3)(m+n)(m-n)+3n2

三、合作交流
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
（1）请表示图中阴影部分的面积.
(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？aab

（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
四、巩固练习
1、利用平方差公式计算
(1)(a+2)(a-2)(2)(3a+2b)(3a-2b)

(3)(-x+1)(-x-1)(4)(-4k+3)(-4k-3)

2、利用平方差公式计算
（1）803×797（2）398×402

3．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）
A．只能是数B．只能是单项式C．只能是多项式D．以上都可以
4．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）
A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）
C．（a+b）（b－a）D．（a2－b）（b2+a）
5．下列计算中，错误的有（）
①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；
③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）
A．5B．6C．－6D．－5
7．（－2x+y）（－2x－y）=______．
8．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．
9．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．
10．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．
11．利用平方差公式计算：20×19．

12．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．

五、学习反思
我的收获：

我的疑惑：

六、当堂测试
1、下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（）.
(A)(x+1)(1+x)(B)(1/2b+b)(-b-1/2a)(C)(-a+b)(-a-b)(D)(x2-y)(x+y2)
2、填空：(1)(x2-2)(x2+2)=
（2）（5x-3y）()=25x2-9y2
3、计算：
（1）（-2x+3y）(-2x-3y)(2)(a-2)(a+2)(a2+4)

4．利用平方差公式计算
①1003×997②14×15

七、课外拓展
下列各式哪些能用平方差公式计算？怎样用？
1)(a-b+c)(a-b-c)
2)(a+2b-3)(a-2b+3)

3)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)

4)(a-b+c-d)(-a-b-c-d)

精选阅读

平方差公式导学案

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家都在十分严谨的想教案课件。只有规划好教案课件计划，新的工作才会更顺利！你们清楚有哪些教案课件范文呢？小编收集并整理了“平方差公式导学案”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

章节与课题§9.4.2平方差公式课时安排2课时
使用人使用日期或周次
本课时
学习目标
或学习任务1、经历探索平方差公式的过程，能总结出平方差公式及语言叙述.
2、能正确运用平方差公式进行简单的计算.
3、培养语言表达能力、逻辑思维能力.
本课时
重点难点
或学习建议教学重点：理解平方差公式，运用平方差公式进行计算.
教学难点：平方差公式的推导.
本课时
教学资源
的使用电脑、投影仪.
学习过程学习要求
或学法指导教师
二次备课栏
自学准备与知识导学：
1、看图回答：边长为的小正方形纸片放
置在边长为的大正方形纸片上，你能求出
阴影部分的面积吗？
⑴阴影部分由2个相同的直角梯形组成，梯
形的上底等于_____，下底等于_____，高等
于_____，因此梯形的面积等于___________，
阴影部分的面积等于____________________.
⑵大正方形的面积等于_____，小正方形的面
积等于_____，因此阴影部分的面积等于____________.
⑶显然，⑴和⑵中求得的面积一样.由此可得出的结论是：
__________________=____________，这个公式称为平方差公式.
2、你还能用多项式乘多项式法则得到同样的结论吗？请写出你的过程.
(a+b)(a-b)=
3、你能说出平方差公式的特点，以及它与完全平方公式的不同点吗？

4、平方差公式的语言叙述是：_____________________________________.
5、总结：完全平方公式（2个）、平方差公式通常称为乘法公式，在计算时可以直接使用.

分别从整体和局部两个方面去思考.

梯形的面积=
(上底+下底)×高÷2.

公式的语言叙述：两数和乘两数差等于这两个数的平方差.
学习交流与问题研讨：
1、例题一(准备好，跟着老师一起做！)
用平方差公式计算：⑴⑵
2、例题二(有困难，大家一起讨论吧！)
计算：⑴⑵

分析：把⑴中的看作平方差公式中的，把看作，把⑵中的看作平方差公式中的，把看作，再用平方差公式进行计算.
与公式比较，哪个相当于公式中的，哪个相当于公式中的．

练习检测与拓展延伸：
1、巩固练习一
⑴口答下列各题
①②
③④
⑵判断正误
①（）②（）
③（）④（）
⑶填空
①
②
③
④
2、巩固练习二
⑴课本P67练一练1、2；⑵补充习题P381、2.
3、提升训练
⑴课本P67练一练3；
⑵计算：
4、当堂测试
探究与训练P45-464-9.

分析：与公式比较，哪个相当于公式中的，哪个相当于公式中的．要更好、更灵活的掌握平方差公式.
课后反思或经验总结：
1、通过适量的练习使学生能够正确熟练的运用乘法公式进行混合运算，引导学生运用公式简单计算，让学生在应用公式的过程中，提高变形应用公式的能力.

平方差公式教学设计

8.3完全平方公式与平方差公式
第2课时平方差公式
1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；(重点)
2．掌握平方差公式的应用．(重点、难点)
一、情境导入
1.教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则．
学生积极举手回答．
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2.教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式．
二、合作探究
探究点：平方差公式
【类型一】直接应用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解析：直接利用平方差公式进行计算即可．
解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；
(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】应用平方差公式进行简便运算
利用平方差公式计算：
(1)2013×1923；(2)13.2×12.8.
解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．
解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝400－19＝39989；
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.
方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第13题
【类型三】运用平方差公式进行化简求值
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第14题
【类型四】平方差公式的几何背景
如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．
解析：∵左图中阴影部分的面积是a2－b2，右图中梯形的面积是12(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可以验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
【类型五】平方差公式的实际应用
王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．
解：李大妈吃亏了，理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．
三、板书设计
1．平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2．平方差公式的运用
学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成

1.7　平方差公式(二)

1.7平方差公式(二)

教学目的

进一步使学生理解掌握平方差公式，并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异．

教学重点和难点：公式的应用及推广．

教学过程：

一、复习提问

1．（1）用较简单的代数式表示下图纸片的面积．

（2）沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积．

讲评要点：

沿HD、GD裁开均可，但一定要让学生在裁开之前知道

HD＝BC＝GD＝FE＝a－b，

这样裁开后才能重新拼成一个矩形．希望推出公式：

a2－b2＝(a＋b)(a－b)

2．（1）叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；

（2）试比较公式的两种表达式在应用上的差异．

说明：平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点．（1）公式具体，易于理解；（2）公式的特征也表现得突出，易于初学的人“套用”；（3）形式简洁．但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性，这样也就造成对具体问题存在一个判定a、b的问题，否则容易对公式产生各种主观上的误解．

依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子：

经对比，可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括．因而也就“欠”明确（如结果不知是谁与谁的平方差）．故在使用平方差公式时，要全面理解公式的实质，灵活运用公式的两种表达式，比如用文字公式判断一个题目能否使用平方差公式，用数学公式确定公式中的a与b，这样才能使自己的计算即准确又灵活．

3．判断正误：

（1）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2－3b2；(×)（2）(4x＋3b)(4x－3b)＝16x2－9；(×)

（3）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2＋9b2；(×)（4）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2－9b2；(×)

二、新课

例1运用平方差公式计算：

（1）102×98；（2）(y＋2)(y－2)(y2＋4)．

解：（1）102×98（2）(y＋2)(y－2)(y2＋4)

＝(100＋2)(100－2)＝(y2－4)(y2＋4)

＝1002－22＝10000－4＝(y2)2－42＝y4－16．

＝9996；

2．运用平方差公式计算：

（1）103×97；（2）(x＋3)(x－3)(x2＋9)；

（3）59.8×60.2；（4）(x－)(x2＋)(x＋)．

3．请每位同学自编两道能运用平方差公式计算的题目．

例2填空：

（1）a2－4＝(a＋2)()；（2）25－x2＝(5－x)()；（3）m2－n2＝()()；

思考题：什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积？

（某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积）

练习

填空：

1．x2－25＝()()；

2．4m2－49＝(2m－7)()；

3．a4－m4＝(a2＋m2)()＝(a2＋m2)()()；

例3计算：

（1）(a＋b－3)(a＋b＋3)；（2）(m2＋n－7)(m2－n－7)．

解：（1）(a＋b－3)(a＋b＋3)（2）(m2＋n－7)(m2－n－7)

＝[(a＋b)－3][(a＋b)＋3]＝[(m2－7)＋n][(m2－7)－n]

＝(a＋b)2－9＝a2＋2ab＋b2－9．＝(m2－7)2－n2

＝m4－14m2＋49－n2．

三、小结

1．什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？

2．平方差公式中字母a、b可以是那些形式？

3．怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？

四、布置作业

1．运用平方差公式计算：

（1）(a2＋b)(a2－b)；（2）(－4m2＋5n)(4m2＋5n)；

（3）(x2－y2)(x2＋y2)；（4）(9a2＋7b2)(7b2－9a2)．

2．运用平方差公式计算：

（1）69×71；（2）53×47；（3）503×497；（4）40×39．

教后记：