实际问题的函数建模。

俗话说，磨刀不误砍柴工。教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师能够井然有序的进行教学。关于好的教案要怎么样去写呢？下面的内容是小编为大家整理的实际问题的函数建模，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

【必修1】第四章
第二节实际问题的函数建模（1）
实际问题的函数刻画
学时:1学时
【学习引导】
一、自主学习
1.阅读课本页
2.回答问题：
（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？
（2）层次间有什么联系？
（3）怎样用数学知识刻画实际问题（怎样解答应用题）？
（4）本节的重点，难点是什么？
3.完成页练习.
4.小结.
二、方法指导
1.读题是解决实际问题的重要环节，一般的实际问题的叙述都比较长，需要逐字逐句地把问题看懂，这是建立数学模型的前提
2.同学们应注意在解决问题时应选择适当的函数模型进行拟合实现问题解决
3.同学们学习过程中应了解一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，分段函数等函数模型．
【思考引导】
一、提问题
1.为什么要用函数来刻画实际问题？

2.用函数来刻画应用题应注意哪些问题，具体步骤是什么?

二、变题目
1．某种细菌在培养过程中,每15分种分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由1个繁殖成4096个需经过()
小时小时小时小时
2.一根弹簧,挂重100N的重物时,伸长20cm,当挂重150N的重物时,弹簧长()
3.今有一组数据如下表
1.99345.16.12
1.54.047.51218.01
则选取拟合函数时,最好选()
4.一等要三角形的周长是20,则其底边长关于其腰长的函数关系式是____________________
5.下表显示出函数值随自变量变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是()
45678910
15171921232527
一次函数模型二次函数模型指数函数模型对数函数模型
6.某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(30天)里,有20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,设每天从报社买进的报纸数量相同,则应该每天从报社买进多少份,才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点每天最多可赚多少元?

7.某桶装水经营部每天房租,工作人员工资等固定成本为200元,每桶水进价为5元,销售单价与日销售量的关系如下表:
销售单价(元)6789101112
日销售量(桶)480440400360320280240
请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?最大利润是多少?
【总结引导】
1.本节课的重点是了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．
2.数学建模与传统应用题的区别：题设不同，过程不同，结论不同．
3.实际问题的函数刻画主要有以下步骤:
(1)_____________________,审清题意.
(2)设_________________________,表示题目中的有关量.
(3)根据题目中的等量关系用相关的符号来建立_____________,并用函数的观点解答问题
4.常用的一些实际生产,生活中的等量关系如下:
(1)利润=_________________;
(2)矩形的面积=_______________;
(3)平均增长率=________________.

【拓展引导】
1.一种商品连续两次降价后,现又想通过两次提价恢复原价,你知道每次应提价多少吗?

2.某服装公司从2007年1月份开始投产，前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件和1.36万件。由于产品质地优良，款式新颖，前几个月的产品销售情况较好，为使销售部在接受订单时不至于过多或过少，需要预测以后几个月的产量。现有两个函数模型可用于模拟产品的产量y与月份x的关系：（其中a,b,m,n,p均为常数），选用那个模型更能合理预测以后几个月的产量？
参考答案
【思考引导】
一．提问题
1.把复杂的文字语言转化到我们熟悉的数字，符号语言上来，从而利用所学知识解决实际问题．
2.①认真读题，缜密审题②引进数学符号，建立数学模型
【变题目】
1.C2.D3.C
4．5.A
6.每天从应从报社卖400份,获得利润最大,每天可赚1170元
7.每桶水的价格为11.5元时.利润最大为1490元
【总结引导】
3.(1)认真读题(2)有关数学符号(3)函数关系
4.(1)收入-支出(2)长宽(3)
【拓展引导】
（１）（或11.11%）
（2）设，将点（1，1），（2，1.2），（3，1.3）分别代入，有，解之得
所以
则，与实际产量差距为0.01
综上所述，选用较合理。

精选阅读

自建函数模型解决实际问题

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，高中教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生更好的消化课堂内容，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。高中教案的内容具体要怎样写呢？下面是小编帮大家编辑的《自建函数模型解决实际问题》，仅供参考，希望能为您提供参考！

3.2.2函数模型的应用举例
第二课时自建函数模型解决实际问题

课前预习学案
一、预习目标：知道5种基本初等函数及其性质
二、预习内容：
函数图像定义域值域性质
一次函数
二次函数
指数函数
对数函数
幂函数
三．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标：能够通过题意，自建模型，解决实际的问题
学习重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。
学习难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。
二、探究过程：
例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。销售单价与日销售量的关系如图所示:
销售单价/元6789101112
日均销售量/桶480[来440400360320280240
请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
探索以下问题：
（1）随着销售价格的提升，销售量怎样变化？成一个什么样的函数关系？

（2）最大利润怎么表示？润大利润=收入-支出

本题的解答过程：
解：

本题总结

例2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表
（身高：cm；体重：kg）
身高60708090100110
体重6.137.909.9912.1515.0217.50
身高120130140150160170
体重20.9226.8631.1138.8547.2555.05
1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。
2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？
探索以下问题：
1）建立适当的坐标系，根据统计数据，画出它们相应的散点图；

2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？

3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重与身高的函数关系比较合适？

4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.

5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？
解答过程：解：
变式.将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：
时间（S）60120180240300
温度（℃）86.8681.3776.4466.1161.32
时间（S）360420480540600
温度（℃）53.0352.2049.9745.9642.36

1）建立适当的坐标系，描点画出水温随时间变化的图象；
2）建立一个能基本反映该变化过程的水温（℃）关于时间的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.
3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？
解：

课堂检测
课本121页B组第1题
课后巩固练习与提高
1、一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。
（A）4（B）5（C）6（D）7
x年468…
（万元）7117…

2、某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？
观测时间1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底
该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.20000.40000.60010.79991.0001
3、（2003北京春，理、文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

参考答案
1、B
故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。
3、（2003北京春，理、文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：=12，所以这时租出了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.

应用已知函数模型解决实际问题

§3.2.2函数模型的应用实例
第一课时应用已知函数模型解决实际问题

课前预习学案
一．预习目标：熟悉几种常见的函数增长型
二．预习内容：阅读课本内容思考：主要的函数增长性有哪些
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.
学习重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
学习难点：将实际问题转变为数学模型.
二．学习过程
解决实际问题的步骤
1）首先建立直角坐标系，画出散点图；
2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：
一次函数模型：
二次函数模型：
幂函数模型：
指数函数模型：（＞0，）
利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.

例1某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

变式：某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.

例2要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.

变式：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.

课后练习与提高
一．选择题
1.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）
A.B.C.D.
2．一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价恢复原价，则每次应提价（）
A．10%B．20%C．5%D．11.1%
3．今有一组实验数据如下：
1.993.04.05.16.12
1.54.047.51218.01
现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）
A．B．C．D．
二．填空题
4.假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=，那么广告效应为，当A=时，取得最大广告效应.
5．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为2个）经过3小时后，这种细菌可由1个分裂成__________个
三．解答题
6.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.?
（1）求y关于x的函数；?
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.?

参考答案

《用函数模型解决实际问题》教学设计

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以更好的帮助学生们打好基础，使教师有一个简单易懂的教学思路。怎么才能让教案写的更加全面呢？经过搜索和整理，小编为大家呈现“《用函数模型解决实际问题》教学设计”，仅供参考，欢迎大家阅读。

《用函数模型解决实际问题》教学设计
用函数模型解决实际问题这部分内容，非常注重贴近实际生活，关注社会热点，要求学生对一些实际例子做出判断、决策，注重培养学生分析问题、解决问题的能力。解决函数建模问题，也就是根据实际问题建立起数学模型来。所谓的数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表达的一种数学结构。函数就是重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行。本节内容是安排在学生刚学完函数的相关知识，为学生建立起函数模型奠定基础。
学生虽然对这种函数建模问题并不陌生，但是要建立起正确的函数模型却不是一件容易的事。这种题型题目较长，相关的内容较多，问题不是一眼就可以看出答案，需要建立的函数模型也多种多样，不少还会涉及到求二次函数的最值问题，学生往往是无从下手，对自己失去信心。针对这种情况，我觉得直接让学生一步到位就找出解决问题的途径是很困难，老师在这里就应该发挥自己的主导地位，带领学生由问题入手，逐步分析，自己设计出一个一个的小问题，最后把这些小问题串起来，把题目中的大问题解决。
用函数模型解决实际问题需要建立的函数模型是多种多样的，只有根据题目的要求建立起适当的函数模型，才能成功地解决问题。教师在授课过程中，要注重分类的思想，帮助学生把函数建模问题分成几类，以方便学生形成自己的知识系统。
一．一次函数模型的应用
某同学为了援助失学儿童，每月将自己的零用钱一相等的数额存入储蓄盒内，准备凑够200元时一并寄出，储蓄盒里原有60元，两个月后盒内有90元。
（1）盒内的钱数（元）与存钱月份数的函数解析式，并画出图象。
（2）几个月后这位同学可以第一次汇款？
这种题型只要建立起一次函数就可以很快地解决问题，而且学生以前也有接触过，对他们而言这种问题难度不大，主要是让他们对函数建模有个感觉。
二．二次函数模型的应用
建立二次函数模型解决实际问题是整本书中出现得最多的一种方法，这种多用于根据二次函数的性质求出最值，求利润问题也多属于这种类型。
某商店进了一批服装，每件售价为90元，每天售出30件，在一定范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件。请写出利润（元）与售价（元）之间的函数关系，当售价为多少元时，每天的利润最大？
学生首次接触这种类型的题，往往是束手无策，这时教师可引导他们从他们最熟悉的问题做起：利润=单件售价×售出件数，设售价为x，则下面只需要找出售出件数即可，而售出件数又与价钱降低的幅度有关，所以设计下列相关问题让学生去找答案：
售价比原定的售价降低了：90－x
售出件数比原来多了：（90－x）×1＝90－x
则现在售出件数为：30＋（90－x）＝120－x
因此，利润y=x（120－x）
只要学生根据这些小问题，一个一个向题目索取答案，那么这道题就可以迎刃而解。
三．分段函数模型的应用
我们国家的税收，邮资的收取，出租车的收费都是按段收费的，可以根据这些现实中的例子让学生写出它们对应的函数，这样学生会更感兴趣，而且也更能感受到数学在实际生活中的广泛应用。
四．指数函数模型的应用
这种函数的应用多用于人口的增长问题，银行用复利计算利息的问题。
按复利计算利息的一种储蓄，设本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，计算5期后的本利和是多少？（不计利息税）
这种涉及到建立指数函数模型的问题，学生理解起来相对困难，可以帮助学生从第一期、第二期……求起：
1期后的本利和为a＋a×r＝a（1＋r）
2期后的本利和为a（1＋r）＋a（1＋r）r＝a（1＋r）2
3期后的本利和为a（1＋r）2＋a（1＋r）2×r＝a（1＋r）3
……
x期后的本利和为y＝a（1＋r）x
这样分步骤，学生就很容易理解最终的本利和的函数式是怎么得到的。
根据实际例子建立起适当的函数模型是教学当中的一大难点，只有帮助学生进行分类归纳，并且在授课过程中时刻体现由问题入手，由简单到复杂，学生才能对所学知识更好地掌握，才能在数学学习中体会到其中的乐趣，把数学更好地应用到实际生活中去。

实际问题中导数的意义

3.2.1实际问题中导数的意义
教学过程：
一、主要知识点：
1.基本方法：
（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的减函数.
（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）.②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.
（3）判别f（x0）是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.
（4）求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f′（x）.②求方程f（x）＝0的根.③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值.
（5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与、比较得出函数在上的最值.
2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.
解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.
根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．

二、典型例题
例1、在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
思路一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的，这个结论是否具有一般性？
变式：从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？
提示：答案：．
评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值.可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.

例2、（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y（升），关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米．
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗油（升）．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，
依题意得
令得
当时，是减函数；
当时，是增函数．
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．

例3、求抛物线上与点距离最近的点.
解：设为抛物线上一点，
则.
与同时取到极值.
令.
由得是唯一的驻点.
当或时，是的最小值点，此时.
即抛物线上与点距离最近的点是（2，2）.

例4、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境.已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.
解：不失一般性，设烟囱A的烟尘量为1，则烟囱B的烟尘量为8并设AC＝，
于是点C的烟尘浓度为，
其中为比例系数.
令，有，
即.
解得在（0，20）内惟一驻点.
由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，
在惟一驻点处，浓度最小，即在AB间距A处处的烟尘浓度最小.

例5、已知抛物线y＝－x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程.
解：设切点P（x0，－x02+2）（x0＞0），由y＝－x2+2得y′＝－2x，
∴k1＝－2x0.
∴l的方程为y－（－x02+2）＝－2x0（x－x0），令y＝0，得x＝令x＝0，得y＝x02+2，
∴三角形的面积为S＝（x02+2）＝.
∴S′＝.令S′＝0，得x0＝（∵x0＞0）.
∴当0＜x0＜时，S′＜0;当x0＞时，S′＞0.
∴x0＝时，S取极小值∵只有一个极值，
∴x＝时S最小，此时k1＝－，切点为（，）.
∴l的方程为y－＝－（x－），即2x+3y－8＝0.

例6、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解：设∠BCD＝Q，则BC＝，CD＝40cotθ，（0＜θ＜＝，
∴AC＝50－40cotθ
设总的水管费用为f（θ），依题意，有
f（θ）＝3a（50－40cotθ）+5a
＝150a+40a
∴f′（θ）＝40a
令f′（θ）＝0，得cosθ＝
根据问题的实际意义，当cosθ＝时，函数取得最小值，
此时sinθ＝，∴cotθ＝，
∴AC＝50－40cotθ＝20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.

例7、（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为，则
由题设可得正六棱锥底面边长为：，
故底面正六边形的面积为：
＝，（单位：）
帐篷的体积为：
（单位：）
求导得．
令，解得（不合题意，舍去），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数．
∴当时，最大．
答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．
三、小结：
⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．
⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．
⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单
四、课后作业：